2019_2020学年高中数学第一章立体几何初步1.2.1平面的基本性质与推论学案新人教B版必修2

1．2．1 平面的基本性质与推论
1．了解异面直线的概念．2．理解平面的基本性质．3．会证共点、共线、共面问题．
1．平面的基本性质
文字语言图形语言符号语言
基本性质1如果一条直线上的两点在一
个平面内，那么这条直线上的
所有点都在这个平面内．这时
就说，直线在平面内或平面经
过直线
若A∈l，B∈l，A∈α，
B∈α，则l⊂α
基本性质2经过不在同一条直线上的三
点，有且只有一个平面，简称
为不共线的三点确定一个平
面
若A，B，C三点不共线，
则有且只有一个平面
α，使A∈α，B∈α，C
∈α
基本性质3如果不重合的两个平面有一
个公共点，那么它们有且只有
一条过这个点的公共直线
α，β不重合，
若A∈α，
A∈β，
则α∩β＝l且A∈l
推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
3．共面与异面直线
(1)空间中的几个点或几条直线，如果都在同一个平面内，我们就说它们共面．如果两条直线共面，那么它们平行或者相交．
(2)我们把不同在任何一个平面内的直线叫异面直线．
(3)画法：画两条异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交的特点，即不共面的特点，通常采用平面衬托法，以加强直观性，常见的画法如图．
1．下列命题正确的是( )
①一条直线和一个点确定一个平面；
②两条相交直线确定一个平面；
③两条平行直线确定一个平面；
④四个点确定一个平面．
A．①③B．②③
C．③④D．②③④
答案：B
2．用符号语言表示下列语句，并画成图形．
(1)直线l经过平面α内两点A、B；
(2)直线l在平面α外，且过平面α内一点P；
(3)直线l在平面α内，又在平面β内；
(4)直线l是平面α与β的交线，平面α内有一条直线m与l平行．解：(1)A∈α，B∈α，A∈l，B∈l．
(2)l⊄α，P∈l，P∈α．
(3)l⊂α，l⊂β．
(4)α∩β＝l，m⊂α，m∥l．
3．判断下列图形是否是平面图形？为什么？
(1)三角形；
(2)平行四边形；
(3)任意四边形．
解：(1)是．因为不在同一直线上的三点确定一个平面．
(2)是．因为两条平行直线确定一个平面．
(3)不一定是．因为它可以是空间四边形．
4．两条直线无公共点是否一定平行呢？
解：不一定．在空间中，两条直线无公共点，则这两条直线可能平行，也可能异面．
共面问题
证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
【解】
已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C．
求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
证明：法一：(纳入平面法)
因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α．
因为l2∩l3＝B，所以B∈l2．
又因为l2⊂α，所以B∈α．同理可证C∈α．
又因为B∈l3，C∈l3，所以l3⊂α．
所以直线l1，l2，l3在同一平面内．
法二：(辅助平面法)
因为l1∩l2＝A，所以l1，l2确定一个平面α．
因为l2∩l3＝B，所以l2，l3确定一个平面β．
因为A∈l2，l2⊂α，所以A∈α．
因为A∈l2，l2⊂β，所以A∈β．
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β．
所以不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．
所以平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
(1)解决线共面问题的基本方法是：先由两个推论确定出平面，然后再证明其余的线也在该平面内；或由一部分线确定一个平面，由另一部分线确定另一个平面，再证明这两个平面重合．
(2)在解决某些数学问题时，需根据问题的具体情况进行逻辑划分，即分类讨论．点、线、面的位置关系有可能较为复杂，需对所有情形逐一讨论．在进行分类讨论时，需做到不重不漏．理解题意，依据公理，合理分类，分清各种位置的可能性，然后分别予以解决．求证：两两平行的三条直线如果都与另一条直线相交，那么这四条直线共面．
已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C．
求证：直线a、b、c和l共面．
证明：如图．因为a∥b，
由推论3可知直线a与b确定一个平面，设为α．
因为l∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈a，B∈b．
则A∈α，B∈α．而A∈l，B∈l，
所以由基本性质1可知l⊂α．
因为b∥c，
由推论3可知直线b与c确定一个平面，设为β，同理可知l⊂β．
因为平面α和平面β都包含直线b与l，且l∩b＝B，
所以由推论2可知：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
所以平面α与平面β重合，所以直线a、b、c和l共面．
多点共线问题
在长方体ABCD­A1B1C1D1中，O1是上底面A1B1C1D1的对角线的交点，长方体体对角线A1C交截面B1D1A于点P．求证：O1，P，A三点在同一直线上．
【证明】连接AC(如图所示)．
因为A1C交截面B1D1A于点P，
A1C⊂平面ACC1A1，
所以P∈平面B1D1A，
且P∈平面ACC1A1．
又因为平面B1D1A∩平面ACC1A1＝AO1，
所以P∈AO1(基本性质3)，
所以O1，P，A三点在同一直线上．
证明点共线问题常用方法
(1)先找出两个平面，再证明这三个点都是这两个平面的公共点，从而根据基本性质3判定他们都在交线上．
(2)选择两点确定一条直线，再证另一点在这条直线上．
1．
已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD(四条线段首尾相接，且连接点不在同一平面内，所组成的空间图形叫空间四边形)各边AB、AD、CB、CD上的点，且直线EF和GH交于点P，如图，求证：点B、D、P在同一条直线上．
证明：因为直线EF∩直线GH＝P，
所以P∈直线EF，
而EF⊂平面ABD，
所以P∈平面ABD．
同理，P∈平面CBD，
即点P是平面ABD和平面CBD的公共点．
显然，点B、D也是平面ABD和平面CBD的公共点，
由基本性质3知，
点B、D、P都在平面ABD和平面CBD的交线上，即点B、D、P在同一条直线上．
2．如图所示，在正方体AC1中，E，F分别为BC，CC1的中点，P，Q分别为AB，C1D1的中点．求证：P，Q，E，F四点共面．
证明：如图所示，连接BC1，
因为E，F分别为BC，CC1的中点，
P，Q分别为AB，C1D1的中点，
所以EF ∥BC 1，BC 1∥PQ ． 所以EF ∥PQ ．
所以E ，F ，P ，Q 四点共面．
多线共点问题
如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 中点，F 为AA 1的中点，求证：
(1)E ，C ，D 1，F 四点共面； (2)CE ，D 1F ，DA 三线共点． 【证明】
(1)分别连接EF ，A 1B ，D 1C ． 因为E ，F 分别是AB 和AA 1的中点， 所以EF ═∥12A 1B ． 又因为A 1D 1═∥B 1C 1═∥BC ， 所以四边形A 1D 1CB 是平行四边形， 所以A 1B ∥CD 1， 从而EF ∥CD 1．
所以EF 与CD 1确定一个平面， 所以E ，C ，D 1，F 四点共面． (2)如图所示， 因为EF ═∥12
CD 1， 所以延长直线D 1F 和CE 必相交，设D 1F ∩CE ＝P ． 因为D 1F ⊂平面AA 1D 1D ，P ∈D 1F ， 所以P ∈平面AA 1D 1D ．
又CE ⊂平面ABCD ，P ∈EC ，所以P ∈平面ABCD ．
即P 是平面ABCD 与平面AA 1D 1D 的公共点，而平面ABCD ∩平面AA 1D 1D ＝AD ，所以P ∈AD ，
所以CE，D1F，DA三线共点．
立体几何是以平面几何为基础的，平面几何中的一些结论在立体几何中也适用，有些立体几何问题可转化为平面几何问题来解决，本例充分利用平面中两线的位置关系，直线D1F 与CE相交于点P，进而证明P∈直线AD．
已知三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行，求证：a，b，c三条直线相交于同一点．
证明：因为α∩γ＝b，β∩γ＝a，
所以a⊂γ，b⊂γ．又由于直线a和b不平行，所以a，b必相交．
设a∩b＝P，如图，则P∈a，P∈b．
因为a⊂β，b⊂α，所以P∈β，P∈α．
又α∩β＝c，所以P∈c，即交线c经过点P．
所以a，b，c三条直线相交于同一点．
1．如果一条直线上有两点在同一平面内，那么这条直线就在这个平面内，解答时抓住直线上的两个点与平面的关系．
2．证明多点共线通常利用基本性质3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．
3．证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．
1．不共线的三点能确定一个平面，解答时首先分析所给的元素是否具有确定唯一平面的条件，再进行计算或推理．
2．平面的基本性质3是确定两个平面交线的基础，解答时关键是寻找两个相交平面的公共点，这些点都在这两个平面的交线上，据此可得相应结论．
3．共面与异面是直线的两种位置关系，解答时会用符号语言与图形语言表示位置关系，能按照定义说明两条直线共面还是异面，对于异面直线，要学会从理论上进行说明．
1．在空间内，可以确定一个平面的条件是( )
A．两两相交的三条直线
B．三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交
C．三个点
D．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点
答案：D
2．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，且M∈l，N∈l，那么( ) A．l⊂αB．l⊄α
C．l∩α＝M D．l∩α＝N
解析：选A．因为M∈a，N∈b，a⊂α，b⊂α，
所以M∈α，N∈α．
而M，N确定直线l，
根据基本性质1可知，l⊂α．故选A．
3．假设一块木板斜立在地面上，当用一根木棒在后面撑住时，能使板面固定，这个道理是________．
答案：过直线和直线外一点有且只有一个平面
4．对于结论“若a⊂α且a∩b＝P，则P∈α”，用文字语言可以叙述为__________．答案：若直线a与直线b相交于一点P且直线a在平面α内，则点P一定在平面α内
[学生用书P91(单独成册)])
[A 基础达标]
1．下列命题：
①公理1可用集合符号叙述为：若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则必有l∈α；
②四边形的两条对角线必相交于一点；
③用平行四边形表示的平面，以平行四边形的四条边作为平面边界线；
④梯形是平面图形．
其中，正确的命题个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A．①中应为l⊂α；②中空间四边形对角线异面；③中平面没有界线，只有④正确．
2．如图，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，且C∉l，则平面ABC 与平面β的交线是( )
A．直线AC
B．直线BC
C．直线AB
D．直线CD
解析：选D．由题意知平面ABC与平面β有公共点C，根据基本性质3，这两平面必定相交，有且只有一条经过点C的交线．由于两点确定一条直线，所以只要再找到两平面的另一个公共点即可．显然点D在直线AB上，从而它在平面ABC内；而D在直线l上，所以它又在平面β内，这样D也是平面ABC与平面β的公共点．因此平面ABC与平面β的交线是直线CD．
3．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是( )
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN
C．A∈α，A∈β⇒α∩β＝A
D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合
解析：选C．选项C中，α与β有公共点A，则它们有过点A的一条交线，而不是点A，故C错．
4．空间四点A，B，C，D共面但不共线，那么这四点中( )
A．必有三点共线
B．必有三点不共线
C．至少有三点共线
D．不可能有三点共线
解析：选B．若AB∥CD，则AB，CD共面，但A，B，C，D任何三点都不共线，故排除A，C；若直线l与直线外一点A在同一平面内，且B，C，D三点在直线l上，所以排除D．故选B．
5．如图所示，AA1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA1异面的棱共有( )
A．3条
B．4条
C．5条
D ．6条
解析：选B ．依据异面直线的判定定理找与AA 1异面的棱．因为AA 1在面A 1ABB 1内，B 1
在面A 1ABB 1内，C 1不在面A 1ABB 1内，所以C 1B 1是与AA 1异面的棱．同理，BC ，CD ，C 1D 1都是与
AA 1异面的棱，故正确答案为B ．
6．已知点A ，直线a ，平面α．
①A ∈a ，a ∈α⇒A ∈α；②A ∉a ，a ⊂α⇒A ∉α；③A ∈a ，a ⊂α⇒A ⊂α． 以上命题正确的个数为________．
解析：①中“a ∈α”符号不对；②中A 可以在α内，也可以在α外，故不正确；③中“A ⊂α”符号不对．
答案：0
7．如图所示，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，判断下列直线间的位置关系： (1)直线A 1B 与D 1C 的位置关系是________； (2)直线A 1B 与B 1C 的位置关系是________； (3)直线D 1D 与D 1C 的位置关系是________； (4)直线AB 与B 1C 的位置关系是________． 解析： 题号 结论 原因分析
(1) 平行 因为A 1D 1═
∥BC ，所以A 1BCD 1为平行四边形，所以A 1B ∥D 1C (2) 异面 A 1B 与B 1C 不同在任何一个平面内
(3) 相交 D 1D ∩D 1C ＝D 1
(4)
异面
AB 与B 1C 不同在任何一个平面内
8．如图所示的正方体中，P ，Q ，M ，N 分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是________(把正确图形的序号都填上)．
解析：图形①中，连接MN ，PQ (图略)，则由正方体的性质得MN ∥PQ ，根据公理2的推论3可知两条平行直线可以确定一个平面，故图形①正确．分析可知③中四点共面，②④中四点均不共面．
答案：①③
9．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线．
证明：
如图，连接A1B，CD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1．
所以BD1⊂平面A1BCD1．
同理BD1⊂平面ABC1D1
所以平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1．
因为A1C∩平面ABC1D1＝Q，所以Q∈平面ABC1D1．
又因为A1C⊂平面A1BCD1，
所以Q∈平面A1BCD1．
所以Q在平面A1BCD1与ABC1D1的交线上，
即Q∈BD1，所以B，Q，D1三点共线．
10．在四面体A­BCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC ＝DH∶HA＝2∶3，求证：EF，GH，BD交于一点．
证明：因为E，G分别为BC，AB的中点，
所以GE∥AC．
又因为DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，
所以FH∥AC，从而FH∥GE．
故E，F，H，G四点共面．
因为FH∥AC，DH∶DA＝2∶5，
所以FH∶AC＝2∶5，
即FH ＝2
5
AC ．
又因为E ，G 分别为BC ，AB 的中点， 所以GE ＝1
2AC ，
所以FH ≠GE ，
所以四边形EFHG 是一个梯形，
GH 和EF 交于一点，设为O ．
因为O ∈GH ，GH ⊂平面ABD ，O ∈EF ，EF ⊂平面BCD ， 所以O 在平面ABD 内，又在平面BCD 内， 所以O 在这两个平面的交线上，
而这两个平面的交线是BD ，且交线只有这一条， 所以点O 在直线BD 上． 故EF ，GH ，BD 交于一点．
[B 能力提升]
11．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成( ) A ．5部分 B ．6部分 C ．7部分
D ．8部分
解析：选C ．作出这三个平面的截面，如图所示，把空间分为7部分，本题考查了学生的空间想象能力．顺利作出截面是解决本题的关键，其中l 1，l 2，l 3是截线．
12．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱DD 1和BB 1上的点，MD ＝13DD 1，NB ＝1
3BB 1，
那么正方体的过点M ，N ，C 1的截面图形是( )
A ．三角形
B ．四边形
C ．五边形
D ．六边形
解析：
选C ．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱DD 1和BB 1上的点，
MD ＝13DD 1，NB ＝13
BB 1．如图，延长C 1M 交CD 于点P ，延长C 1N 交CB 于点Q ，连接PQ 交AD 于点E ，AB 于点F ，连接NF ，ME ，则正方体的过点M ，N ，C 1的截面图形是五边形，故选
C ．
13．在四边形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ，BC ，DC ，AD (或延长线)分别与平面α相交于点E ，F ，G ，H ．
求证：E ，F ，G ，H 必在同一直线上． 证明：因为AB ∥CD ，
所以四边形ABCD 是一个平面图形，
即AB ，CD 确定一个平面β，则AB ⊂β，AD ⊂β． 因为E ∈AB ，所以E ∈β， 因为H ∈AD ，所以H ∈β．
又因为E ∈α，H ∈α，所以α∩β＝EH ． 因为DC ⊂β，G ∈DC ，所以G ∈β．
又因为G ∈α，所以点G 在α与β的交线EH 上． 同理，点F 在α与β的交线EH 上． 所以E ，F ，G ，H 四点共线．
14．(选做题)如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AA 1，D 1C 1
的中点，过D ，M ，N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线l ．
(1)画出直线l 的位置；
(2)设l ∩A 1B 1＝P ，求线段PB 1的长．
解：(1)延长DM 交D 1A 1的延长线于E ，连接NE ，则NE 即为直线l 的位置．
(2)因为M 为AA 1的中点，AD ∥ED 1， 所以AD ＝A 1E ＝A 1D 1＝a ． 因为A 1P ∥D 1N ，且D 1N ＝1
2
a ，
所以A 1P ＝12D 1N ＝1
4
a ，
于是PB 1＝A 1B 1－A 1P ＝a －14a ＝3
4a ．。