广东省2012届高考数学文二轮专题复习课件：专题3 第14课时 数列的递推关系与数列求和

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切入点：含有an与Sn的递推关系式，常利用 n 1 S1 an 消去Sn，转化为 Sn Sn1 n 2n N* 只含an的递推关系式或消去an转化为只含Sn 的关系式再进行求解．
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1 解析 1因为S n an an 1， ① 2 1 所以S n 1 an 1 an (n 2)． ② 2 1 ① ②得an S n S n 1 an 1 an 1 an . 2 因为an 0，所以an 1 an 1 2.
n n 1
故Tn b1 f 1 b2 f 2 bn f n 1 1 1 1 1 [( )( ) 2 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ( n n1 )] ( n1 ) . 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 6
2 n
1 1 2 n 1 2n 1(n 2)， S n S1 1 所以S n (n 2)． 2n 1 1 当n 1时，S1 a1 1，该式也成立．所以S n . 2n 1 19
1．由含an与S n的关系式求an，通常用如下两 条思路： (n 1) S1 消去S n， 1 利用an S n S n 1 (n 2, n N*) 转化为只含an的递推关系，再进行求解． (n 1) S1 消去an， 2 利用an S n S n 1 (n 2, n N*) 转化为只含S n的递推关系，再进行求解． 2．求通项时，要注意an S n S n 1成立的条 件是n 2，n N*，因此，要注意对a1的检验．
2 2 n 2
，
，
2 an 2 2 an 3 2 1
2 3 3
n 3
，
2n 2 a2 2n 1a1 2n 1 1， 叠加得an 2 a1 [2 1
n 1 n 1
2 1
2
n 2
2n 1 1]
n
}是等差数列，并求数列a2n 的通项
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解析
1 1 1 1 1由a1 a11 a1 a1 1， 2 2 2 2 2
2 a2 2a 2 2a1 1 3， 2 2 3 1 3 1 a3 a31 a2 5， 2 2 2 2 2 a4 2a 4 2a2 2 8.
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1 2 由题意得S an ( Sn )． 2
2 n
1 因为an S n S n 1 (n 2)，所以S S n S n 1 ( S n ) 2 1 1 1 S n 1 S n S n S n 1 2 2 S n S n1
n 1 n 2
5
n 3
5 1) 4
1 5n1 n 1 3 5 4 1 5 4 5n 1 1.
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1．由递推关系求通项，关键是合理地变 形，从而进行转化．常用方法有累加法、累乘 法、迭代法、待定系数法和除幂法．本例中的 四种方法是解决数列递推问题的常用方法，需 要很好地体会． 2．常用的恒等式有：
所以数列a2n n 2 2n 1 是每项均为0的常数列， 所以数列a2n 的通项公式是a2n n 2 2n 1 (n N* )．
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a2n n 2 n N ， n ， 2 2 a2n 1 a2n n 3 n 2 1 a2 3 所以 n1 n ， ， 2 2 2 2 2 2 2 a2n 3 1 所以数列{ n }是首项为 ，公差为 的等差数列 2 2 2
*
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考点2 由an与Sn的关系求an或Sn
例2 1 (2011 潮州调研)已知各项都不为零的数列an 的 1 前n项和为Sn，且Sn an an 1 (n N* )，a1 1.求数列an 2 的通项公式． 1 2 已知数列an 的前n项和Sn与an满足：an，Sn，Sn 2 (n 2)成等比数列，且a1 1，求数列an 的前n项和S n .
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a2n 1
a2 n
方法2：因为对任意正整数n，由a2n 1 2a2n 2n， 得a2n 1 n 3 2n 2 a2n n 2 2n 1 ， a21 1 2 211 a2 3 0， 从而对n N*，a2n n 2 2n 1，
5
所以an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1
方法4： (迭代法) an 5 a n 1 4 5 5an 2 4 4 52 an 2 5 4 4 5 a1 (5
n
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所以an an an 1 an 1 an 2 a3 a2 a2
1 2 证明：由于bn f n n 2n 1 (2 1)(2n1 1) 1 (2 1) (2 1) 1 1 1 ( n n1 )， n n 1 2 (2 1)(2 1) 2 2 1 2 1
4
方法3： (构造方程组) ① an1 5an 4 依题意得 . ② an 5an1 4 ① ②得an 1 an 5 an an 1 ． b1 a2 a1 16 令bn an 1 an，则 bn 5 bn1 所以bn 16 5n 1，即an 1 an 16 5n 1. 3 16 1 16 5 16 5n 2 1 5n1 3 16 4 5n1 1. 1 5
专题三 数列
1
考点1 由递推关系求通项公式
例1 在数列an 中，已知a1 3，an 1 5an 4，求 数列an 的通项公式．
切入点：将递推关系进行适当变形，转化为等 差数列或等比数列或可累加求和得通项，也可 直接采用迭代法得到通项．
2
解析
方法1： (待定系数法)
设an 1 a 5(an a )，则an 1 5an 4a， 所以a 1，即an 1 1 5 an 1． 所以an 1 a1 1 5 所以an 4 5n 1 1.
2 n 2 n 1 2 1 ．经检验，a1也满足上式． 3
2试)已知数列an 中，a1 3， a2 5，其前n项和S n 满足S n S n 2 2S n 1 2n 1 (n 1 3)，令bn . an an 1
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变式1(2011 深圳一模)已知数列an 满足 1 n n为正奇数 2 a n 1 2 2 an . 2a n n位正偶数 n 2 2 1问数列an 是否为等差数列或等比数列？说明理由；
2 求证：数列{
公式．
a2n 2
n 1
4 1 n1 [1 ] 3 4 4 4 3 52 3 1 1 n1 5 2 3 n [1 ] 1 5 5 5 5 5 5 5 5 1 5 所以an 5n bn 3 5n 1 5n 1 1 4 5n 1 1.
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1 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1
a1； an an 1 a2 a1. 2 an an 1 an 2 a1 3．若将本例的已知条件an 1 5an 4中的4 变为4n, 4n等，应怎样进行求解，请同学们课后 思考与探究．
2
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因为a3 a2 2，a4 a3 3， 所以a3 a2 a4 a3， 所以数列an 不是等差数列． a2 a3 5 a2 a3 又因为 3， ， ， a1 a2 3 a1 a2 所以数列an 也不是等比数列．
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2 方法1：因为对任意正整数n，a2n 1 2a2n 2n， 1 a2 3 所以 n1 n ， ， 2 2 2 2 2 a2 n 3 1 所以数列{ n }是首项为 ，公差为 的等差数列， 2 2 2 a2n 3 n 1 * 从而对n N ， n ，则a2n n 2 2n 1. 2 2 2 所以数列a2n 的通项公式是a2n n 2 2n 1 (n N* )．
2 根据通项的形式特点可采用裂项相消法求和
后再放缩即可．
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解析
1由题意知S n Sn 1 Sn 1 Sn 2 2n 1
(n 3)， 即an an 1 2n 1 (n 3)， 2n 1 2n 2 22 5 2n 1 2n 2 22 2 1 2 2n 1( n 3)． 检验知n 1、时，结论也成立，故an 2 1. 2
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变式2 已知数列an 的前n项和Sn满足Sn 2an 1 ，
n
n 1，求数列an 的通项公式.
-
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解析
S n 2an 1 ，S n 1 2an 1 1
n n 1
n 1
(n 2)，
两式相减得an 2an 1 2 1 所以2an 1 2 an 2 2 1
n 1 n 1
所以an 1 是以a1 1 4为首项，为公比的等比数列． 5 45 ，
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方法2： 幂法) (除 an1 an 4 两边同时除以5 ，得 n1 n n1 . 5 5 5 an 4 令bn n ，则bn bn 1 n . 5 5 所以bn b1 b2 b1 b3 b2 bn 1 bn 2 bn bn 1
所以数列an 的奇数项组成首项为a1，公差 差为2的等差数列．
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为2的等差数列，偶数项组成首项为a2，公
S1 因为a1 1，所以a2 2， 1 a1 2 所以a2n1 1 n 1 2 2n 1， a2n 2 n 1 2 2n. 所以数列an 的通项公式为an n(n N* )