高考数学(理科)二轮复习【专题2】函数的应用(含答案)

第2讲函数的应用

考情解读(1)函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以填空题的形式出现．(2)函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题．

1．函数的零点与方程的根

(1)函数的零点

对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．

(2)函数的零点与方程根的关系

函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．

(3)零点存在性定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y ＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意以下两点：

①满足条件的零点可能不唯一；

②不满足条件时，也可能有零点．

(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．

2．函数模型

解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.

热点一函数的零点

例1(1)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是________．

(2)(2014·辽宁改编)已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎨⎧

cos πx ，x ∈[0，1

2

]，

2x －1，x ∈(1

2

，＋∞)，则不等式

f (x －1)≤1

2

的解集为________．

思维升华 (1)根据二分法原理，逐个判断；(2)画出函数图象，利用数形结合思想解决． 答案 (1)1 (2)[14，23]∪[43，7

4

]

解析 (1)先判断函数的单调性，再确定零点． 因为f ′(x )＝2x ln 2＋3x 2>0，

所以函数f (x )＝2x ＋x 3－2在(0,1)上递增， 且f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋1－2＝1>0， 所以有1个零点．

(2)先画出y 轴右边的图象，如图所示．

∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称，∴可画出y 轴左边的图象，再画直线y ＝1

2.设与曲线交

于点A ，B ，C ，D ，先分别求出A ，B 两点的横坐标． 令cos πx ＝12，∵x ∈[0，1

2]，

∴πx ＝π3，∴x ＝1

3

.

令2x －1＝12，∴x ＝34，∴x A ＝13，x B ＝34

.

根据对称性可知直线y ＝12与曲线另外两个交点的横坐标为x C ＝－34，x D ＝－1

3.

∵f (x －1)≤12，则在直线y ＝1

2上及其下方的图象满足，

∴13≤x －1≤34或－34≤x －1≤－1

3， ∴43≤x ≤74或14≤x ≤23

. 思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同

的方程多以数形结合求解．

(1)已知函数f (x )＝(1

4

)x －cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数是________．

(2)已知a 是函数f (x )＝2x －log 12

x 的零点，若0

答案 (1)3 (2)f (x 0)<0

解析 (1)f (x )在[0,2π]上的零点个数就是函数y ＝(1

4)x 和y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的交点个数，

而函数y ＝(1

4

)x 和y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的交点有3个．

(2)∵f (x )＝2x －log 12

x 在(0，＋∞)上是增函数，又a 是函数f (x )＝2x －log 12

x 的零点，即f (a )＝0，

∴当0

热点二 函数的零点与参数的范围

例2 (2014·常州高三模拟)对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩

⎪⎨⎪⎧

b ，a －b ≥1，

a ，a －

b <1.设f (x )＝(x 2

－1)⊗(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是________． 思维启迪 先确定函数f (x )的解析式，再利用数形结合思想求k 的范围． 答案 [－2,1)

解析 解不等式x 2－1－(4＋x )≥1， 得x ≤－2或x ≥3，

所以f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＋4，x ∈(－∞，－2]∪[3，＋∞)，

x 2－1，x ∈(－2，3).

函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点转化为函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝－k 恰有三个不同交点．

如图，所以－1<－k ≤2，故－2≤k <1.

思维升华 已知函数的零点个数求解参数范围，可以利用数形结合思想转为函数图象交点个数；也可以利用函数方程思想，构造关于参数的方程或不等式进行求解．

定义在R 上的函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)的单调增区间为(－1,1)，若方程

3a (f (x ))2＋2bf (x )＋c ＝0恰有6个不同的实根，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－1

2

)