(完整版)高三数学函数专题复习策略

高三数学试卷中函数专题复习策略一、《考试说明》对函数部分的要求1.函数.理解函数的概念、定义域、值域、奇偶性，了解函数的单调性、周期性、最大值、最小值；2.基本初等函数.了解幂函数的概念及图象，理解指数函数、对数函数的概念及图象和性质，理解指数及对数的运算.3.函数与方程.了解函数的零点与方程根的联系，能够用二分法求相应方程的近似解.4.函数模型及应用.理解常见的函数模型在实际问题中的应用.5.理解导数的几何意义,会根据公式、四则运算法则、复合函数求导法则求函数的导数，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，函数的极大值、极小值，闭区间上函数的最大值、最小值.二、函数部分命题特点函数是高中数学的核心内容，是学习高等数学的基础，作为高中数学中最重要的知识模块，贯穿着中学数学的始终.综观近几年的高考情况，函数命题呈现如下特点：1.知识点覆盖面全.近几年高考题中，函数的所有知识点基本都考过，特别是函数的图象性质、导数的几何意义与应用以及函数与不等式的综合基本上年年必考.2.题型难度涉及面广.在每年高考题中，低档、中档、高档难度的函数题都有，且填空、解答题型都有.3.综合性强.为了突出函数在中学数学中的主体地位，近几年来高考强化了函数对其他知识的渗透，例如，解析几何中经常涉及函数的值域的求法，三角、数列本质上也是函数问题.三、函数复习中关注方面（一）关注函数的定义域定义域的求法实际上就是解不等式，考生必须能够做到以下两点：一是熟知定义域常见要求，如分式的分母不为零；偶次根号下非负；对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；零次幂的底数不为零；三角函数中的正切、余切的定义域等等；二是熟练掌握常见不等式的解法，如二次不等式、分式不等式、根式不等式、三角不等式以及简单的指对数不等式. 例1.（2012年江苏卷）函数x x f 6log 21)(-=的定义域为 ．【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得126600112log0log620<x>x>x>xx x x≤-≥≤≤⎧⎧⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎩有关定义域问题最重要的是定义域优先原则，即研究函数的任何问题都要首先考虑其定义域. 例如研究函数的单调性和奇偶性，函数的最值等都需要首先确定定义域.另外，在进行换元时，应先确定“新元”的范围，然后再在其范围内讨论各种问题，这也是定义域优先的具体体现.（二）拓展求函数值域最值的方法求函数值域一直是函数的重要考查方向，它的丰富多样的求解方法和数学思想，将函数所有的性质融为一体，具有很强的综合性.常见两种题型，一种题型是具体函数求值域问题，另一种是将其他问题转化为求函数值域（或最值）问题，例如不等式恒成立求参数范围的问题，最后都是转化为函数的最值的问题.因此，考生一定要在复习当中重视不同结构的求值域问题.例2．（ 2012年上海春季高考）函数224log[2,4]logy x xx=+∈，的最大值是 .【解析】2[2,4]log[1,2]x x∈∴∈，，设2logt x=，则4y tt=+，求导可得函数在[1,2]t∈时单调递减，故1t=时，y取得最大值5.例3.关于x的方程22240x xm-+=在[0,1]内有解，求实数m的取值范围.【解析】令2,[1,2]x t t=∈，原问题转化为240t mt-+=在[1,2]上有解，这属于二次方程根的分布问题，需要结合二次函数图象，利用分类讨论进行求解，但是计算繁琐.事实上，求参变量范围的问题.我们还可以考虑“分离参变量”，即4=()m t g tt=+，所谓方程有解，即m在函数()g t的值域内，注意到函数()g t在[1,2]上递减，()[4,5],g t∴∈即[4,5]m∈.（三）灵活应用函数的性质函数性质是函数的重点内容，包括函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性。

对于函数的各种性质的定义，考生必须完全知晓并深刻理解。

除了能够判断函数的各种性质以外，还要能够灵活应用函数的性质，灵活应用的前提是能够识别函数的四大性质，并能自如应用，要有应用函数性质的意识。

例4.（2012年江苏卷）设()f x是定义在R上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，111()21xxaxf x bxx<+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b∈R，．若1322f f⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b+的值为．【解析】∵()f x是定义在R上且周期为2的函数，∴()()11f f-=，即21=2ba+-+①.又∵311=1222f f a⎛⎫⎛⎫=--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1322f f⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴141=23ba+-+②。

联立①②，解得，=2. =4a b-。

∴3=10a b+-.例5.（2010年江苏卷）设函数()()x xf x x e ae-=+()x R∈是偶函数，则实数a=________【解析】考查函数的奇偶性的知识.()x x g x e ae -=+为奇函数，由(0)0g =，得1a =-.例6.（2012年新课标卷）设函数22(1)sin ()1x x f x x ++=+的最大值为M ,最小值为m ，则M m +=【解析】222(1)sin 2sin ()111x x x x f x x x +++==+++，令22sin ()1x x g x x +=+，则()g x 为奇函数，对于奇函数来说其最大值与最小值之和为0，即max min ()()0,g x g x +=所以max min ()+()2f x f x =（四）强化识图、画图能力以及用图意识函数的图象是最直观反映函数性质的方式，要能够通过函数的性质以及图象变换画出函数的草图。

此外，还要有应用图象的意识，养成函数问题画图的习惯。

例7.（2012年高考辽宁理）设函数()()f x x R ∈满足()()f x f x -=()(2)f x f x =- ,且当[0,1]x ∈时,3()f x x =.又函数()|cos()|g x x x π=,则函数()()()h x g x f x =-13[,]22-上的零点个数为 .【解析】[0,1]x ∈时，3()f x x =，∴当[1,2]x ∈，32)[0,1],()(2)(2)x f x f x x -∈=-=-（ 当1[0,]2x ∈时，()cos(),g x x x π=当12[,]23x ∈时，注意到函数(),()f x g x 都是偶函数，且13(0)(0),(1)(1),()()022f g f g g g ====，作出函数(),()f x g x 的大致图象，函数()h x 除了0、1这两个零点之外，分别在区间1113[,0]2222-、[0,]、[,1]、[1,]上各有一个零点，共有6个零点.（五）熟练掌握二次、指数、对数、幂函数等基本函数的知识在高中阶段，考生主要学习的具体函数有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数以及它们之间进行的四则运算和复合，我们必须熟练掌握这些基本函数的各种性质、图象以及相互之间的关系。

例8.（2012年新课标卷）设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 最小值为 【解析】函数12x y e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于直线y x =对称，所以只需求点P 到直线y x =的最小距离即可，即12x y e =的平行于直线y x =的切线与直线y x =的距离，令1=12x y e '=，得ln 2,(ln 2,1),p x P =∴可求得点P 到直线y x =的距离为2(1ln 2)2-，所以PQ 的最小值为21ln 2)-（. 例9.已知图1是函数y ＝f (x )的图象，则图2中的图象对应的函数可能是________(填序号)．①y ＝f (|x |)；②y ＝|f (x )|；③y ＝f (－|x |)；④y ＝－f (－|x |)．【解析】由图象的变化知，原图保留了y 轴左边的部分，并把y 轴左边的部分关于y 轴对称到y 轴右边．①中，当x >0时，y ＝f (|x |)＝f (x )，当x <0时，y ＝f (－x )，所以应是把y 轴右边部分对称到y 轴左边，故①错．②中是把x 轴下边部分对称到x 轴上边，故②错．③项中当x >0时，y ＝f (－|x |)＝f (－x )，当x <0时，y ＝f (－|x |)＝f (x )，因此保留了y 轴左边部分，并作y 轴左边部分关于y 轴对称的图象，故③对．例10.(2012年湖南改编)已知两条直线l 1：y m =和l 2：y ＝82m ＋1(m >0)，l 1与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点A ，B ，l 2与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点C ，D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b .当m 变化时，b a的最小值为________． 【解析】由题意得1(),22m m A B x x ==，8821211,2.2m m C D x x ++⎛⎫== ⎪⎝⎭ 88212111,22.22B m m m m A C D a x x b x x ++⎛⎫⎛⎫∴=-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 888212121821222?22.22m m m m m m m m b a ++++--+-∴===- ∵82m ＋1＋m ＝12(2m ＋1)＋82m ＋1－12≥212(2m ＋1)×82m ＋1－12＝72， 当2m ＋12＝82m ＋1，即m ＝32时取等号． b a的最小值为722=(六)稳健用好导数工具导数最重要的价值，在于导数是一种方便研究函数性质的工具，比如求曲线的切线，求函数的单调区间，求函数的极值和最值，不等式恒成立问题等等。

作为一个重要的工具，导数运算一定要准确，要对已知函数进行正确求导。

同时，准确掌握导数与单数单调性以及极值之间的关系.例11（2012年福建卷文）3()sin ()2f x ax x a R =-∈且在[1,]2π上的最大值为3.2π- （1）求函数()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 在(0,)π内零点的个数，并加以证明.【分析】当函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该等式恒成立，从而把函数最值问题转化为恒成立问题，而利用导数求函数最值是解决恒成立问题的一种重要方法．零点个数的判定主要是依据零点存在定理．【评析】给定含有参数的函数以及相关的函数性质，求解参数的值或范围，需要我们灵活运用导数这一工具，对问题实施正确的等价转化，列出关于参数的方程或不等式． 在此类含参问题的求解过程中，逆向思维的作用尤为重要．例12（2012年四川理）已知a 为正实数,n 为自然数,抛物线22n a y x =-+与x 轴 正半轴相交于点A ,设()f n 为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距. (Ⅰ)用a 和n 表示()f n ;(Ⅱ)求对所有n 都有33()1()11f n n f n n -≥++成立的a 的最小值; (Ⅲ)当01a <<时,比较11()(2)n k f k f k =-∑与27(1)()4(0)(1)f f n f f --的大小,并说明理由. 【分析】本题第（Ⅰ）问较基础常规，而第（Ⅲ）问貌似不等式问题，但其实质还是函数问题，我们可以借助函数的图象和性质，比较直观地从几何的角度来判断两者的大小问题．【评析】本题属于高档题，难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力．主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识；考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力；且又深层次地考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法．。