高考数学第二轮专题复习

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2023新教材高考数学二轮专题复习第一部分专题攻略专题一小题专攻第一讲集合常用逻辑用语不等式课件

则A∪B＝( )
A．(0，1)
B．(1，2)
C．(－∞，2)
D．(0，＋∞)
答案： C 解析：因为B＝{x|x(x－2)<0}＝{x|0<x<2}，则A∪B＝{x|x<2}．
3．[2022·新高考Ⅱ卷]已知集合A＝{－1，1，2，4}，B＝{x||x－
1|≤1}，则A∩B＝( )
A．{－1，2}
B．{1，2}
3．[2022·浙江卷]设x∈R，则“sin x＝1”是“cos x＝0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：由sin x＝1，得cos x＝0，因此“sin x＝1”是“cos x＝0”的充分条件，当cos x＝0时，x＝π2＋kπ(k∈Z)．当k为偶数时，sin x＝1；当k为奇数时，sin x＝－ 1，因此“sin x＝1”不是“cos x＝0”的必要条件．所以“sin x＝1”是“cos x＝0” 的充分不必要条件．故选A.
则A∩B＝{x|x<－1或1<x<2}∩{x|x>－2}＝{x|－2<x<－1或1<x<2}．
(2)[2022·山东济南二模]已知集合A＝{1，2}，B＝{2，4}，C＝{z|z＝
xy，x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：C
解析：由题意，当x＝1时，z＝xy＝1，当x＝2，y＝2时，z＝xy＝4，当x＝2，y＝4时，z＝xy＝16，即C中有三个元素．
保分题 1.[2022·山东肥城模拟]命题p：有的等差数列是等比数列，则( ) A．¬p：有的等差数列不是等比数列 B．¬p：有的等比数列是等差数列 C．¬p：所有的等差数列都是等比数列 D．¬p：所有的等差数列都不是等比数列

2023高考数学二轮复习专项训练《导数的概念和几何意义》(含答案)

2023高考数学二轮复习专项训练《导数的概念和几何意义》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）直线y=x与曲线y=e x+m(m∈R,e为自然对数的底数)相切，则m=()A. 1B. 2C. −1D. −22.（5分）与曲线y=x3−5x相切且过原点的直线的斜率为()A. 2B. −5C. −1D. −23.（5分）曲线y=ax2在点P(1,a)处的切线平行于直线y=2x+1，则a=()A. 1B. 12C. −12D. −14.（5分）在曲线y=x3+x-2的切线中，与直线4x-y=1平行的切线方程是( )A. 4x-y=0B. 4x-y-4=0C. 2x-y-2=0D. 4x-y=0或4x-y-4=05.（5分）若函数f(x)=1x−3ax的图象在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直，则a= ()A. −1B. 1C. −712D. −536.（5分）函数f(x)=−x2+3ln x的图象在x=1处的切线倾斜角为α，则cos2α=()A. 13B. 12C. 23D. 347.（5分）已知函数y=3x在x=2处的自变量的增量为Δx=0.1，则Δy为( )A. -0.3B. 0.6C. -0.6D. 0.38.（5分）曲线在点(1,2)处的切线方程为A. B. C. D.9.（5分）曲线y=12x2−2x在点(1,−32)处的切线的倾斜角为()A. −135°B. 45°C. −45°D. 135°10.（5分）已知曲线C：x2−2x+y2+b=0，且曲线C上一点P(2,2)处的切线与直线ax−y+1=0垂直，则a=()A. 2B. 12C. −12D. −211.（5分）设f(x)=x3+(a−1)x2+ax.若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0 ,0)处的切线方程为()A. y=xB. y=−xC. y=2xD. y=−2x12.（5分）物体运动方程为s=14t4−3，则t=5时的瞬时速率为()A. 5m/sB. 25m/sC. 125m/sD. 625m/s二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）曲线y=x+lnx−1往点(1,0)处的切线方程为______．14.（5分）已知定义在R上的函数f(x)满足f′(x)>0，且f(f(x)−e x)=e+1，若f(x)⩾ax−a+1恒成立，则实数的取值范围是____________.15.（5分）如果质点A的位移s与时间t满足方程s=2t3，则在t=3时的瞬时速度为____．16.（5分）已知函数f(x)={1x,x∈(0,2]f(x−2),x∈(2,+∞)，则f(x)在x=3处的切线方程为______．17.（5分）若函数f(x)=−x2+x在[2,2+Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于−1，则Δx的取值范围是____________.三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）已知函数f(x)=x2−2x−alnx+ax，a∈R.(1)若a=1，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)设f(x)的极小值点为x0，且f(x0)<a−a24，求a的取值范围．19.（12分）已知函数f(x)=ln x−ax，其中a为非零常数．(1)当a=1时，求f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在x=1处的切线斜率为−1，求f(x)的极值．20.（12分）已知函数f(x)=−x2+x图像上两点A(2,f(2))、B(2+Δx,f(2+Δx)).(1)若割线AB的斜率不大于−1，求Δx的范围；(2)用导数的定义求函数f(x)=−x2+x在x=2处的导数f′(2)，并求在点A处的切线方程．21.（12分）已知函数y=23x3−2x2+3，(1)求在点(1,53)处的切线方程，(2)求函数在[−1,3]的最值．22.（12分）已知函数f(x)=e x ln x−ae x(a∈R).(1)若f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=−e x+1平行，求a的值;(2)若f(x)在(0,+∞)上是单调函数，求实数a的取值范围.23.（12分）已知函数f(x)=ae x，g(x)=ln(ax)+52，a>0．(Ⅰ)若y=f(x)的图象在x=1处的切线过点(3,3)，求a的值并讨论ℎ(x)=xf(x)+m(x2+2x−1)(m∈R)在(0,+∞)上的单调增区间；(Ⅱ)定义：若直线l：y=kx+b与曲线C1：f1(x,y)=0、C2：f2(x,y)=0都相切，则我们称直线l为曲线C1、C2的公切线．若曲线y=f(x)与y=g(x)存在公切线，试求实数a的取值范围．四、多选题（本大题共5小题，共25分）24.（5分）已知函数f(x)=√x−ln x，若f(x)在x=x1和x=x2(x1≠x2)处切线平行，则()A.√x1√x2=12B. x1x2<128C. x1+x2<32D. x12+x22>51225.（5分）函数f(x)的导函数为f′(x)，若已知f′(x)的图像如图，则下列说法不正确的是()A. f(x)存在极大值点B. f(x)在(0,+∞)单调递增C. f(x)一定有最小值D. 不等式f(x)<0一定有解26.（5分）关于函数f(x)=a ln x+2x，下列判断正确的是()A. 函数f(x)的图象在点x=1处的切线方程为(a−2)x−y−a+4=0B. x=2a是函数f(x)的一个极值点C. 当a=1时，f(x)⩾ln2+1D. 当a=−1时，不等式f(2x−1)−f(x)>0的解集为(12,1)27.（5分）已知函数f(x)=ax3+x2+axe x，则()A. 若曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线与x+5y=0相互垂直，则a=5B. 若a=0，则函数f(x)的单调递减区间为(−∞,0)∪(2,+∞)C. 若a=0，则函数f(x)有2个极值点D. 若关于x的不等式函数x2+1⩾f(x)在(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围为(−∞,e-12]28.（5分）函数f(x)={e x−1,x⩽1,ln(x−1),x>1,若函数g(x)=f(x)−x+a只有一个零点，则a的值可以为()A. 2B. −2C. 0D. 1答案和解析1.【答案】C;【解析】解：设切点为(x,y)，则x=y，∵y=e x+m，∴y′=e x+m∴e x+m=1，即x+m=0，又e x+m=x，∴e0=x，∴x=1，∴m=−1，故选：C.先求导函数，利用直线y=x与曲线y=e x+m相切，可知切线的斜率为1，即切点处的函数值为1，再利用切点处的函数值相等，即可求出a的值本题以直线与曲线相切为载体，考查了利用导数研究曲线上过某点切线方程的斜率，解答该题的关键是正确理解导数的几何意义．2.【答案】B;【解析】解：设切点坐标为P(x0,y0)，由曲线y=f(x)=x3−5x，得f′(x)=3x2−5，所以过原点的切线斜率为k=f′(x0)=3x02−5，所以切线方程为y−y0=(3x02−5)(x−x0)；又切线过原点O(0,0)，所以−x03+5x0=−3x03+5x0，解得x0=0，所以y0=0，则P(0,0)；所以与曲线y=x3−5x相切且过原点的直线的斜率为k=f′(0)=−5．故选：B．设切点为(x0,y0)，求出切线l的斜率为f′(x0)，写出切线l的方程，根据且线1过原点求出切点坐标和斜率．该题考查了导数的几何意义与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．3.【答案】A;【解析】解：y=ax2的导数为y′=2ax，可得曲线在点P(1,a)处的切线斜率为k=2a，由切线平行于直线y=2x+1，可得k=2，即2a=2，解得a=1，故选：A．求得y=ax2的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件可得a的方程，解方程可得a的值．该题考查导数的几何意义，考查两直线平行的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】D;【解析】曲线y=x 3+x-2求导可得y′=3x 2+1 设切点为(a ，b)则3a 2+1=4，解得a=1或a=-1 切点为(1，0)或(-1，-4)与直线4x-y-1=0平行且与曲线y=x 3+x-2相切的直线方程是：4x-y-4=0和4x-y=0 故选D 。

高考数学二轮复习专题突破—函数的单调性、极值与最值(含解析)

高考数学二轮复习专题突破—函数的单调性、极值与最值一、单项选择题1.(2021·浙江丽水联考)若函数f(x)=(x-a)3-3x+b的极大值是M,极小值是m,则M-m的值()A.与a有关,且与b有关B.与a有关,且与b无关C.与a无关,且与b无关D.与a无关,且与b有关2.(2021·山东青岛期末)若函数f(x)=x2-ax+ln x在区间(1,e)上单调递增,则实数a的取值范围是() A.[3,+∞) B.(-∞,3]C.[3,e2+1]D.[-e2+1,3],则下列关于函数f(x)的说法正确的是()3.(2021·陕西西安月考)已知函数f(x)=3xe xA.在区间(-∞,+∞)上单调递增B.在区间(-∞,1)上单调递减,无极小值C.有极大值3eD.有极小值3,无极大值e4.(2021·湖南岳阳期中)已知直线y=kx(k>0)和曲线f(x)=x-a ln x(a≠0)相切,则实数a的取值范围是()A.(-∞,0)∪(0,e)B.(0,e)C.(0,1)∪(1,e)D.(-∞,0)∪(1,e)5.(2021·湖北十堰二模)已知函数f(x)=2x3+3mx2+2nx+m2在x=1处有极小值,且极小值为6,则m=() A.5 B.3C.-2D.-2或56.(2021·四川成都二模)已知P是曲线y=-sin x(x∈[0,π])上的动点,点Q在直线x-2y-6=0上运动,则当|PQ|取最小值时,点P的横坐标为()A.π4B.π2C.2π3D.5π67.(2021·湖北荆门期末)已知曲线y=sinxe x+1(x≥0)的一条切线的斜率为1,则该切线的方程为()A.y=x-1B.y=xC.y=x+1D.y=x+2二、多项选择题8.(2021·广东湛江一模)已知函数f(x)=x3-3ln x-1,则()A.f(x)的极大值为0B.曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为x轴C.f(x)的最小值为0D.f(x)在定义域内单调9.(2021·山东淄博二模)已知e是自然对数的底数,则下列不等关系中错误的是()A.ln 2>2e B.ln 3<3eC.ln π>πe D.ln3ln π<3π10.(2021·辽宁沈阳二模)已知函数f(x)={2x+2,−2≤x≤1,lnx-1,1<x≤e,若关于x的方程f(x)=m恰有两个不同的根x1,x2(x1<x2),则(x2-x1)f(x2)的取值可能是()A.-3B.-1C.0D.2三、填空题11.(2021·福建三明二模)已知曲线y=ln x+ax与直线y=2x-1相切,则a=.12.(2021·江苏无锡月考)试写出实数a的一个取值范围,使函数f(x)=sinx-ae x有极值.13.(2021·四川成都月考)设函数f(x)=e x-2x,直线y=ax+b是曲线y=f(x)的切线,则2a+b的最大值是.四、解答题14.(2021·山东潍坊二模)已知函数f(x)=ax 2+bx+ce x的单调递增区间是[0,1],极大值是3e.(1)求曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程;(2)若存在非零实数x0,使得f(x0)=1,求f(x)在区间(-∞,m](m>0)上的最小值.15.(2021·河北唐山期末)已知函数f(x)=a e x-x-1(a∈R),g(x)=x2.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当a>0时,若曲线C1:y1=f(x)+x+1与曲线C2:y2=g(x)存在唯一的公切线,求实数a的值.16.(2021·浙江嘉兴月考)已知f(x)=a2ln x-1ax2-(a2-a)x(a≠0).2(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.答案及解析1.C解析因为f(x)=(x-a)3-3x+b,所以f'(x)=3(x-a)2-3,令f'(x)=3(x-a)2-3=0,得x=a-1或x=a+1,判断可得函数的极大值M=f(a-1)=-1-3(a-1)+b=2-3a+b,极小值m=f(a+1)=1-3(a+1)+b=-2-3a+b,因此M-m=4.故选C.2.B解析依题意f'(x)=2x-a+1x ≥0在区间(1,e)上恒成立,即a≤2x+1x在区间(1,e)上恒成立,令g(x)=2x+1x (1<x<e),则g'(x)=2-1x2=2x2-1x2=(√2x+1)(√2x-1)x2>0,所以g(x)在区间(1,e)上单调递增,而g(1)=3,所以a≤3,即实数a的取值范围是(-∞,3].故选B.3.C解析由题意得函数f(x)的定义域为R,f'(x)=3(1−x)e x.令f'(x)=0,得x=1,当x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,故f(1)是函数f(x)的极大值,也是最大值,且f(1)=3e,函数f(x)无极小值.故选C.4.A解析设直线y=kx(k>0)与曲线f(x)=x-a ln x(a≠0)相切于点P(x0,x0-a ln x0)(x0>0).由题意得,f'(x)=1-ax ,则以P为切点的切线方程为y-x0+a ln x0=1-ax0(x-x0),因为该切线过原点,所以-x0+a ln x0=1-ax0(-x0),因此ln x0=1,即x0=e,所以k=1-ae>0,得a<e,又a≠0,故实数a的取值范围是(-∞,0)∪(0,e).故选A.5.A解析f'(x)=6x2+6mx+2n.因为f(x)在x=1处有极小值,且极小值为6,所以{f'(1)=0, f(1)=6,即{6+6m+2n=0,2+3m+2n+m2=6,解得{m=5,n=−18或{m=−2,n=3.当m=5,n=-18时,f'(x)=6x2+30x-36=6(x+6)(x-1),则f(x)在区间(-∞,-6)上单调递增,在区间(-6,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,且极小值为f(1)=6.当m=-2,n=3时,f'(x )=6x 2-12x+6=6(x-1)2≥0, 则f (x )在R 上单调递增,f (x )无极值. 综上可得,m=5,n=-18. 6.C 解析如图所示,要使|PQ|取得最小值,则曲线y=-sin x (x ∈[0,π])在点P 处的切线与直线x-2y-6=0平行,对函数y=-sin x 求导得y'=-cos x ,令y'=12,可得cos x=-12,由于0≤x ≤π,所以x=2π3.故选C . 7.C 解析由题得y'=cosx·e x -sinx·e x(e x )2=cosx-sinxe x.设切点为(x 0,y 0)(x 0≥0),则y'|x=x 0=cos x 0-sin x 0e x 0,由y'|x=x 0=1,得e x 0=cos x 0-sin x 0.令f (x )=e x -cos x+sin x (x ≥0),则f'(x )=e x +sin x+cos x=e x +√2sin x+π4,当0≤x<1时,f'(x )>0,当x ≥1时,e x ≥e,√2sin (x +π4)≥-√2,f'(x )>0,所以∀x ≥0,f'(x )>0,所以f (x )在区间[0,+∞)上单调递增,则f (x )≥f (0)=0,所以方程e x 0=cos x 0-sin x 0只有一个实根x 0=0,所以y 0=sin0e 0+1=1,故切点为(0,1),切线斜率为1,所以切线方程为y=x+1.8.BC 解析函数f (x )=x 3-3ln x-1的定义域为(0,+∞),f'(x )=3x 2-3x =3x (x 3-1).令f'(x )=3x (x 3-1)=0,得x=1,列表得:f (x ) 单调递减单调递增所以f (x )的极小值,也是最小值为f (1)=0,无极大值,在定义域内不单调,故C 正确,A,D 错误;对于B,由f (1)=0及f'(1)=0,所以曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y-0=0(x-1),即y=0,故B 正确,故选BC .9.ACD 解析令f (x )=ln x-xe ,x>0,则f'(x )=1x −1e ,令f'(x )=0,得x=e,当0<x<e 时,f'(x )>0,当x>e 时,f'(x )<0,所以f (x )在区间(0,e)上单调递增,在区间(e,+∞)上单调递减,故f (x )max =f (e)=ln e -ee =0,则f (2)=ln 2-2e <0得ln 2<2e ,故A 错误;f (3)=ln 3-3e <0得ln 3<3e ,故B 正确;f (π)=ln π-πe <0得ln π<πe ,故C 错误;对于D 项,令g (x )=lnx x,x>0,则g'(x )=1−lnx x 2,当0<x<e时,g'(x )>0,当x>e 时,g'(x )<0,所以g (x )在区间(0,e)上单调递增,在区间(e,+∞)上单调递减,则g (3)>g (π),得ln33>ln ππ,即ln3ln π>3π,故D 错误.故选ACD .10.BC 解析画出函数f (x )的图象,如图,因为f (x )=m 的两根为x 1,x 2(x 1<x 2),所以x 1=m-22,x 2=e m+1,m ∈(-1,0],从而(x 2-x 1)·f (x 2)=e m+1-m-22m=m e m+1-m 22+m.令g (x )=x e x+1-12x 2+x ,x ∈(-1,0],则g'(x )=(x+1)e x+1-x+1.因为x ∈(-1,0],所以x+1>0,e x+1>e 0=1,-x+1>0, 所以g'(x )>0,从而g (x )在区间(-1,0]上单调递增.又g (0)=0,g (-1)=-52,所以g (x )∈-52,0,即(x 2-x 1)·f (x 2)的取值范围是-52,0,故选BC . 11.1 解析由题意得函数y=ln x+ax 的定义域为x>0,y'=1x +a.设曲线y=ln x+ax 与直线y=2x-1相切于点P (x 0,y 0),可得1x 0+a=2,即ax 0=2x 0-1①,y 0=ln x 0+ax 0,y 0=2x 0-1,所以ln x 0+ax 0=2x 0-1②,联立①②,可得x 0=1,a=1. 12.(-√2,√2)(答案不唯一) 解析 f (x )=sinx-a e x的定义域为R ,f'(x )=cosx-sinx+ae x,由于函数f (x )=sinx-a e x有极值,所以f'(x )=cosx-sinx+ae x有变号零点,因此由cos x-sin x+a=0,即a=sin x-cosx=√2sin x-π4,可得a ∈(-√2,√2),答案只要为(-√2,√2)的子集都可以. 13.e 2-4 解析 f'(x )=e x -2.设切点为(t ,f (t )),则f (t )=e t -2t ,f'(t )=e t -2,所以切线方程为y-(e t -2t )=(e t -2)(x-t ),即y=(e t -2)x+e t (1-t ),所以a=e t -2,b=e t (1-t ),则2a+b=-4+3e t -t e t .令g (t )=-4+3e t -t e t ,则g'(t )=(2-t )e t .当t>2时,g'(t )<0,g (t )在区间(2,+∞)上单调递减;当t<2时,g'(t )>0,g (t )在区间(-∞,2)上单调递增,所以当t=2时,g (t )取最大值g (2)=-4+3e 2-2e 2=-4+e 2,即2a+b 的最大值为e 2-4. 14.解 (1)因为f (x )=ax 2+bx+ce x,所以f'(x )=-ax 2+(2a-b)x+b-ce x.因为e x >0,所以f'(x )≥0的解集与-ax 2+(2a-b )x+b-c ≥0的解集相同,且同为[0,1].所以有{a>0,2a-ba=1,b-c-a=0,解得a=b=c.所以f(x)=a(x 2+x+1)e x(a>0),f'(x)=-ax2+axe x(a>0).因为a>0,所以当x<0或x>1时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,当0≤x≤1时,f'(x)≥0,函数f(x)单调递增,且f'(1)=0,所以f(x)在x=1处取得极大值,又由题知,极大值为3e,所以f(1)=3ae =3e,解得a=1,所以a=b=c=1.所以f(x)=x 2+x+1e x,f'(x)=-x2+xe x.所以f(-1)=1e-1=e,f'(-1)=-2e-1=-2e.所以曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程为y-e=-2e(x+1),即y=-2e x-e.(2)由(1)知函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,1)上单调递增,且f(0)=1e0=1, 所以满足f(x0)=1(x0≠0)的x0∈(1,+∞).所以当0<m≤x0时,由函数f(x)的单调性易知,f(x)在区间(-∞,m]上的最小值为f(0)=1;当m>x0时,f(m)<f(x0)=f(0)=1,f(x)在区间(-∞,m]上的最小值为f(m)=m 2+m+1 e m.综上所述,f(x)在区间(-∞,m]上的最小值为{1,0<m≤x0, m2+m+1e m,m>x0.15.解 (1)f'(x)=a e x-1.当a≤0时,f'(x)<0恒成立,f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递减.当a>0时,由f'(x)=0,得x=-ln a.当x<-ln a时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>-ln a时,f'(x)>0,f(x)单调递增.综上,当a ≤0时,f (x )在区间(-∞,+∞)上单调递减;当a>0时,f (x )在区间(-∞,-ln a )上单调递减,在区间(-ln a ,+∞)上单调递增.(2)因为曲线C 1:y 1=a e x 与曲线C 2:y 2=x 2存在唯一的公切线,设该公切线与曲线C 1,C 2分别切于点(x 1,a e x 1),(x 2,x 22),显然x 1≠x 2.由于y 1'=a e x,y 2'=2x ,所以a e x 1=2x 2=ae x 1-x 22x 1-x 2,因此2x 2x 1-2x 22=a e x 1−x 22=2x 2-x 22,所以2x 1x 2-x 22=2x 2,即x 2=2x 1-2.由于a>0,故x 2>0,从而x 2=2x 1-2>0,因此x 1>1.此时a=2x2e x 1=4(x 1-1)e x 1(x 1>1).设F (x )=4(x-1)e x(x>1),则问题等价于当x>1时,直线y=a 与曲线y=F (x )有且只有一个公共点.又F'(x )=4(2−x)e x,令F'(x )=0,解得x=2,所以F (x )在区间(1,2)上单调递增,在区间(2,+∞)上单调递减.而F (2)=4e 2,F (1)=0,当x →+∞时,F (x )→0, 所以F (x )的值域为0,4e 2,故a=4e 2. 16.解 (1)由题意得,当a=1时,函数f (x )=ln x-12x 2,其定义域为(0,+∞),因此f'(x )=1x -x=1−x 2x.令f'(x )>0,即1-x 2>0,得0<x<1,所以f (x )在区间(0,1)上单调递增; 令f'(x )<0,即1-x 2<0,得x>1,所以f (x )在区间(1,+∞)上单调递减. 故函数f (x )的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). (2)由题意,函数f (x )=a 2ln x-12ax 2-(a 2-a )x (a ≠0)的定义域为(0,+∞),11且f'(x )=a 2x -ax-(a 2-a )=-a(x+a)(x-1)x .当a<0时,-a>0, ①若-1<a<0,令f'(x )>0,即(x+a )(x-1)>0,得x>1或0<x<-a ;令f'(x )<0,即(x+a )(x-1)<0,得-a<x<1,所以函数f (x )在区间(1,+∞),(0,-a )上单调递增,在区间(-a ,1)上单调递减.所以当x=1时,函数f (x )取得极小值,不符合题意.②若a=-1,可得f'(x )=(x-1)2x ≥0,此时函数f (x )在区间(0,+∞)上单调递增,函数f (x )无极值,不符合题意.③若a<-1,令f'(x )>0,即(x+a )(x-1)>0,得x>-a 或0<x<1,令f'(x )<0,即(x+a )(x-1)<0,得1<x<-a ,所以函数f (x )在区间(1,-a )上单调递减,在区间(0,1),(-a ,+∞)上单调递增,所以当x=1时,函数f (x )取得极大值,符合题意.当a>0时,-a<0.令f'(x )>0,即(x+a )(x-1)<0,得0<x<1;令f'(x )<0,即(x+a )(x-1)>0,得x>1,所以f (x )在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,所以当x=1时,函数f (x )取得极大值,符合题意.综上可得,实数a 的取值范围是(-∞,-1)∪(0,+∞).。

新高考新教材高考数学二轮复习专题检测6函数与导数pptx课件

却,经过10 min物体的温度为50 ℃,则若使物体的温度为20 ℃,需要冷却
( C )
A.17.5 min
B.25.5 min
C.30 min
D.32.5 min
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
解析由题意得 50=10+(90-10)e
( D )
2.(2023 北京,4)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是( C )
A.f(x)=-ln x
1
C.f(x)=
1
B.f(x)=2
D.f(x)=3|x-1|
解析因为 y=ln x 在(0,+∞)上单调递增,所以 f(x)=-ln x 在(0,+∞)上单调递减,
故 A 错误;
3
3 +2
g(x)= ,则函数
3 +2
x≠0,所以-a=
.

设
f(x)存在 3 个零点等价于函数
y=-a 有三个不同的交点.
2(3 -1)
g'(x)= 2 .当

3 +2
g(x)= 的图象与直线
x>1 时,g'(x)>0,
函数 g(x)在(1,+∞)内单调递增,
当 x<1 且 x≠0 时,g'(x)<0,
专题检测六
函数与导数
单项选择题
lg, > 0,
1.(2023 广东高三学业考试)已知函数 f(x)=
若 a=f
2 , < 0,
A.-2
解析 a=f
B.-1

高三数学二轮专题复习第1讲直线与圆

∴切线方程为
y＝±
3x－2，和直线 y＝2
的交点坐标分别为－4
3
3，2，4
3
3，2.
故要使视线不被⊙O
挡住，则实数

的取值范围是－∞，－4
3
3∪4
3
3，＋∞.
答案 (1)－53 (2)B
考法2 圆的弦长相关计算【例3－2】 (2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B
归纳总结思维升华
探究提高 1.求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性. 2.求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.
【训练1】 (1)(2018·贵阳质检)已知直线l1：mx＋y＋1＝0，l2：(m－3)x＋2y－1＝0，
但m＝－1时，直线l1与l2重合.
当m＝－7时，l1的方程为2x－2y＝－13，直线l2：2x－2y＝8，此时l1∥l2.
∴“m＝－7或m＝－1”是“l1∥l2”的必要不充分条件. (2)设 l 的方程为ax＋by＝1(a>0，b>0)，则1a＋2b＝1. ∵a>0，b>0，∴1a＋2b≥2 a2b.则 1≥2 a2b， ∴ab≥8(当且仅当1a＝2b＝12，即 a＝2，b＝4 时，取“＝”). ∴当a＝2，b＝4时，△OAB的面积最小. 此时 l 的方程为2x＋4y＝1，即 2x＋y－4＝0. 答案 (1)B (2)A
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)过点(1，2)的直线l与两坐标轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，当

高三数学二轮复习重点

高三数学二轮复习重点高三数学第二轮重点复习内容专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。

这些性质通常会综合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。

一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向，与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负，最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。

不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。

当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。

专题二：数列。

以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式，通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。

专题三：三角函数，平面向量，解三角形。

三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定理是很好的工具。

向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。

专题四：立体几何。

立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。

大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。

另外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，着重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应该掌握三棱柱，长方体。

空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考察的方法为间接证明。

专题五：解析几何。

高考数学二轮专题复习：选修系列

选修系列【考纲解读】1.了解平行线截割定理,会证明并应用直角三角形射影定理、圆周角定理、圆的切线的判定及性质定理；会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。

2.了解平行投影的含义,通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影;会证平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆).3.理解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况;能在极坐标系中及极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程；理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义。

5.了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别.6.了解参数方程及参数的意义;能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.7.了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程；了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用。

8.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：+≤+.①a b a b-≤-+-.②a b a c c b9.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：+≤+≥-+-≥;;.ax b c ax b c x a x b c10.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．11.了解矩阵的概念、常见的平面变换；理解二阶矩阵与平面向量、矩阵的复合与乘法、二阶逆矩阵及特征值、特征向量.【考点预测】高考对本部分知识的考查比较基础,其中含绝对值的不等式是考查的重点;几何证明多为初中直线和圆相关命题的证明;坐标系和参数方程主要考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化；矩阵与变换主要考查矩阵的基本运算.目前各省自主命题,选做的难度不大,均为基础性题目,所以复习时要以课本为主,熟练掌握基本运算.【要点梳理】1.相似三角形的判定及性质，是几何证明的基础，常常利用相似三角形的性质找出几何图形中等量关系，列方程计算。

高考数学二轮复习专题

高考数学二轮复习专题汇总1专题一：集合、函数、导数与不等式。

此专题函数和导数以及应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。

每年高考中导数所占的比重都非常大，一般情况是在客观题中考查导数的几何意义和导数的计算，属于容易题;二是在解答题中进行综合考查，主要考查用导数研究函数的性质，用函数的单调性证明不等式等，此题具有很高的综合性，并且与思想方法紧密结合。

2专题二：数列、推理与证明。

数列由旧高考中的压轴题变成了新高考中的中档题，主要考查等差等比数列的通项与求和，与不等式的简单综合问题是近年来的热门问题。

3专题三：三角函数、平面向量和解三角形。

平面向量和三角函数的图像与性质、恒等变换是重点。

近几年高考中三角函数内容的难度和比重有所降低，但仍保留一个选择题、一个填空题和一个解答题的题量，难度都不大，但是解三角形的内容应用性较强，将解三角形的知识与实际问题结合起来将是今后命题的一个热点。

平面向量具有几何与代数形式的“双重性”，是一个重要的知识交汇点，它与三角函数、解析几何都可以整合。

4专题四：立体几何。

注重几何体的三视图、空间点线面的关系及空间角的计算，用空间向量解决点线面的问题是重点。

5专题五：解析几何。

直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程的探求以及最值范围、定点定值、对称问题是命题的主旋律。

近几年高考中圆锥曲线问题具有两大特色：一是融“综合性、开放性、探索性”为一体;二是向量关系的引入、三角变换的渗透和导数工具的使用。

我们在注重基础的同时，要兼顾直线与圆锥曲线综合问题的强化训练，尤其是推理、运算变形能力的训练。

6专题六：概率与统计、算法与复数。

要求具有较高的阅读理解和分析问题、解决问题的能力。

高考对算法的考查集中在程序框图，主要通过数列求和、求积设计问题。

高考数学二轮复习策略1.加强思维训练，规范答题过程解题一定要非常规范，俗语说：“不怕难题不得分，就怕每题都扣分”，所以大家要形成良好的思维品质和学习习惯，务必将解题过程写得层次分明结构完整。

2023届新高考数学二轮复习：专题(数列中的复杂递推式问题)提分练习(附答案)

2023届新高考数学二轮复习：专题（数列中的复杂递推式问题）提分练习【总结】1、叠加法：+-=1()n n a a f n ；2、叠乘法：+=1()n na f n a ；3、构造法（等差，等比）：①形如+=+1n n a pa q (其中,p q 均为常数-≠(1)0pq p )的递推公式，()+-=-1n n a t p a t ，其中=-1qt p，构造+-=-1n n a t p a t，即{}-n a t 是以-1a t 为首项，p 为公比的等比数列．②形如+=+1n n n a pa q (其中,p q 均为常数，-≠()0pq q p )，可以在递推公式两边同除以+1n q ，转化为+=+1n n b mb t 型．③形如++=-11n n n n a a d a a ，可通过取倒数转化为等差数列求通项．4、取对数法：+=1t n n a a ．5、由n S 和n a 的关系求数列通项（1）利用-⎧=⎪⎨≥⎪⎩，-，111=2n n n S n a S S n ，化n S 为n a ．（2）当n a 不易消去，或消去n S 后n a 不易求，可先求n S ，再由-⎧=⎪⎨≥⎪⎩，-，111=2n n n S n a S S n 求n a ．6、数列求和：（1）错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列(公比不等于1)对应项相乘构成的数列求和=⋅n n n c a b 型（2）倒序相加法（3）裂项相消法常考题型数列的通项公式裂项方法【典型例题】例1．已知数列{}n a 满足14a =且121n n a a a a +++⋯+=，设2log n n b a =，则122320172018111b b b b b b ++⋯+的值是( ) A．20174038B．30254036C．20172018D．20162017例2．已知数列{}n a 的通项公式为*)n a n N =∈，其前n 项和为n S ，则在数列1S ，2S ，⋯，2019S 中，有理数项的项数为( )A．42 B．43 C．44 D．45例3．对于*n N ∈，2314121122232(1)2n n n n +⨯+⨯+⋯+⨯=⨯⨯+ ．例4．设曲线1()n y x n N ++=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，则201712017220172016log log log x x x ++⋯+的值为．例5．在数1和2之间插入n 个正数，使得这2n +个数构成递增等比数列，将这2n +个数的乘积记为n A ，令2log n n a A =，*n N ∈．（1）数列{}n a 的通项公式为n a = ；（2）2446222tan tan tan tan tan tan n n n T a a a a a a +=⋅+⋅+⋯+⋅= ．例6．数列{}n a 中，*111,()2(1)(1)n n n na a a n N n na +==∈++，若不等式2310n ta n n++…恒成立，则实数t 的取值范围是．【过关测试】一、单选题1．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）斐波那契数列{}n a 满足121a a ==，()*21n n n a a a n ++=+∈N ，设235792023k a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+=，则k =（）A．2022 B．2023 C．2024 D．20252．（2023·全国·模拟预测）1678年德国著名数学家莱布尼兹为了满足计算需要，发明了二进制，与二进制不同的是，六进制对于数论研究有较大帮助.例如123在六进制下等于十进制的32162636306⨯+⨯+⨯=.若数列n a 在十进制下满足21n n n a a a +++=，11a =，23a =，n n b a =，则六进制1232022b b b b 转换成十进制后个位为（） A．2B．4C．6D．83．（2023秋·广东·高三统考期末）在数列{}n a 中，11,0n a a =>，且()221110n n n n na a a n a ++--+=，则20a 的值为（） A．18B．19C．20D．214．（2023秋·江西·高三校联考期末）设,a b ∈R ，数列{}n a 中，11a =，1n n a ba a +=+，*N n ∈，则下列选项正确的是（）A．当1a =，1b =-时，则101a =B．当2a =，1b =时，则22n S n n =-C．当0a =，2b =时，则2n n a =D．当1a =，2b =时，则21nn a =-5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足21112nn n a a a +++=，且11a =，213a =，则2022a =（）A．12021B．12022C．14043D．140446．（2023·安徽淮南·统考一模）斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，斐波那契数列{}n a 可以用如下方法定义：21n n n a a a ++=+，且121a a ==，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{}n b ，则数列{}n b 的前2023项的和为（） A．2023B．2024C．2696D．26977．（2023秋·江苏扬州·高三校考期末）已知数列{}n a 满足1122n n n n a a a a ++++=，且11a =，213a =，则2022a =（） A．12021B．12022C．14043D．140448．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足211232n n n n n n a a a a a a ++++-=，且1231a a ==，则7a =（） A．163B．165C．1127D．1129一、倒数变换法，适用于1nn n Aa a Ba C+=+（,,A B C 为常数）二、取对数运算三、待定系数法 1、构造等差数列法 2、构造等比数列法①定义构造法。

2023高考数学二轮复习专项训练《导数在解决实际问题中的应用》(含答案)

2023高考数学二轮复习专项训练《导数在解决实际问题中的应用》一、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）若z=−1+√3i，则zzz−−1=()A. −1+√3iB. −1−√3iC. −13+√33i D. −13−√33i2.（5分）命题“∀x∈R，∃x∈N，使得n⩾x2+1”的否定形式是()A. ∀x∈R，∃x∈N，使得n<x2+1B. ∀x∈R，∀x∈N，使得n<x2+1C. ∃x∈R，∃x∈N，使得n<x2+1D. ∃x∈R，∀x∈N，使得n<x2+13.（5分）已知函数y=f(x)的周期为2，当x∈[0,2]时，f(x)=(x−1)2，如果g(x)= f(x)−log5|x−1|，则函数的所有零点之和为()A. 8B. 6C. 4D. 104.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x为整数，且运行四次后退出循环，则输入的x的值可以是()A. 1B. 2C. 3D. 45.（5分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，DF⊥AB于点F，且AE=8，AB=10．在上述条件下，给出下列四个结论：①DE=BD；②ΔBDF≌ΔCDE；③CE=2；④DE2=AF⋅BF，则所有正确结论的序号是()A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②④6.（5分）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象如图所示，则()A. 函数f(x)的最小正周期是2πB. 函数f(x)在区间(π2,π)上单调递减C. 函数f(x)的图象与y轴的交点为(0,−12)D. 点(7π6,0)为函数f(x)图象的一个对称中心7.（5分）213，log26，3log32的大小关系是A. 213<log26<3log32 B. 213<3log32<log26C. 3log32<213<log26 D. 3log32<log26<2138.（5分）设函数y=ax2与函数y=|ln x+1ax|的图象恰有3个不同的交点，则实数a的取值范围为()A. (√33e,√e) B. (−√33e,0)∪(0,√33e)C. (0,√33e) D. (√e1)∪{√33e}二、填空题（本大题共5小题，共25分）9.（5分）设A，B是非空集合，定义：A⊗B={x|x∈A∪B且x∉A∩B}.已知集合A={x|0<x<2}，B={x|x⩾0}，则A⊗B=__________.10.（5分）某中学组织了“党史知识竞赛”活动，已知该校共有高中学生2000人，用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为50的样本参加活动，其中高一年级抽取了6人，则该校高一年级学生人数为 ______.11.（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是______．12.（5分）记S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=12，a42=a6，则S4=______．13.（5分）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，过F的一条倾斜角为30°的直线与C在第一象限交于点A，且|OF|=|OA|，O为坐标原点，则该双曲线的离心率为______．三、解答题（本大题共6小题，共72分）14.（12分）某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？15.（12分）在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b+c=2a，3csinB=4asinC．(Ⅰ)求cosB的值；(Ⅱ)求sin(2B+π6)的值．16.（12分）如图，ΔABC中，AC=2，BC=4，∠ACB=90°，D、E分别是AC、AB的中点，将ΔADE沿DE折起成ΔPDE，使面PDE⊥面BCDE，H、F分别是边PD和BE的中点，平面BCH与PE、PF分别交于点I、G．(Ⅰ)求证：IH//BC；(Ⅱ)求二面角P−GI−C的余弦值．17.（12分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，a2=18，且S1+116，S2，S3成等差数列，数列{b n}满足b n=2n.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设c n=a n⋅b n，若对任意n∈N∗，不等式c1+c2+⋯+c n⩾12λ+2S n−1恒成立，求λ的取值范围．18.（12分）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=√32，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4，设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，点A的坐标为(−a,0).(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅰ)若|AB|=4√2，求直线l的倾斜角．519.（12分）已知a为实数，函数f(x)=a ln x+x2−4x．(1)是否存在实数a，使得f(x)在x=1处取得极值？证明你的结论；,e]，使得f(x0)⩽g(x0)成立，求实数a的取值范围．(2)设g(x)=(a−2)x，若∃x0∈[1e答案和解析1.【答案】C;【解析】解：∵z =−1+√3i ，∴z ·z −=|z|2=(√(−1)2+(√3)2)2=4，则zzz −−1=−1+√3i 4−1=−13+√33i. 故选：C.由已知求得z ·z −，代入zzz −−1，则答案可求．此题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．2.【答案】D;【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以“∀x ∈R ，∃x ∈N ，使得n ⩾x 2+1”的否定形式为∃x ∈R ，∀x ∈N ，使得n <x 2+1”．故选：D.直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．此题主要考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．3.【答案】A; 【解析】该题考查函数的零点，考查数形结合的数学思想，正确作出函数的图象是关键．分别作出函数y =f(x)、y =log 5|x −1|的图象，结合函数的对称性，即可求得结论．解：当x ∈[0,2]时，f(x)=(x −1)2，函数y =f(x)的周期为2，图象关于y 轴对称的偶函数y =log 5|x|向右平移一个单位得到函数y =log 5|x −1|，则y =log 5|x −1|关于x =1对称，可作出函数的图象：函数y =g(x)的零点，即为函数图象交点横坐标，当x >6时，y =log 5|x −1|>1，此时函数图象无交点，又两函数在(1,6]上有4个交点，由对称性知它们在[−4,1)上也有4个交点，且它们关于直线x=1对称，所以函数y=g(x)的所有零点之和为：4×2=8，故选：A．4.【答案】A;【解析】解：依题意，S随着x的增大而增大，当x⩾2时，第一次循环时S⩾4，第二次循环时S⩾4+42=20，第三次循环时S⩾20+82=84⩾64，脱离循环，故x<2，故选：A．根据S和x的关系，S随着x的增大而增大，验证当x⩾2时的情况，即可得到结果．此题主要考查了程序框图，考查了循环结构．属于基础题．本题的难点在于逆推x的值，需要借助不等式来完成．5.【答案】B;【解析】解：∵∠BAC的平分线为AD，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE=DF，DC=DB，∴ΔBDF≌ΔCDE，所以①不正确，②正确；∵∠BAC的平分线为AD，DE⊥AC，DF⊥AB，∴AE=AF=8．又∵ΔBDF≌ΔCDE，∴CE=BF=AB−AF=10−8=2，故③正确；∵AB是直径，∴∠ADB=90°．又∵DF⊥AB，∴ΔDBF∽ΔADF，∴DFAF =BFDF，即DF2=AF⋅BF，∴DE2=AF⋅BF，故④正确；故选：B．利用角平分线的性质和全等三角形的判定可以判断①②的正误；利用排除法可以判断③④的正误．此题主要考查了相似三角形的判定与性质．解题时，利用了角平分线的性质和圆周角定理，难度不大．6.【答案】D;【解析】解：由函数图可象知T4=5π12−π6=π4，所以T=π，因为T=2πω，∴ω=2，所以最小正周期为π，故A错误；又函数过点(5π12,1)，所以f(5π12)=sin(2×5π12+φ)=1，所以5π6+φ=π2+2kπ，(k∈Z)，解得φ=−π3+2kπ，(k∈Z)，∵|φ|<π2，所以φ=−π3，所以f(x)=sin(2x−π3)，当x∈(π2,π)，所以2x−π3∈(2π3,5π3)，因为y=sinx在x∈(2π3,5π3)上不单调，故B错误；令x=1，则f(0)=sin(−π3)=−√32，所以与y轴交点为(0,−√32)，故C错误；若点(7π6,0)为函数f(x)图象的一个对称中心，则f(7π6)=0，当x=7π6时，f(7π6)=sin(2×7π6−π3)=sin2π=0，所以点(7π6,0)为函数f(x)图象的一个对称中心，故D正确，故选：D.根据函数图像求出函数解析式，再结合选项一一判断即可．此题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合与函数思想，属于中档题．7.【答案】B;【解析】此题主要考查了指数函数与对数函数的大小比较问题，属于基础题.首先根据单调性，将指数值与32比较，其次根据对数函数的递增性质得到两个对数值与2、32大小关系，答案易得.解：213<212<32，3log32=32log34>32,3log32=log38<log39=2，log26>log24=2，所以213<3log32<log26.故选B.8.【答案】C;【解析】解：令ax2=|ln x+1ax|得a2x3=|ln x+1|，显然a>0，x>0．作出y=a2x3和y=|ln x+1|的函数图象，如图所示：设a=a0时，y=a2x3和y=|ln x+1|的函数图象相切，切点为(x0,y0)，则{3a02x02=1x0a02x03=ln x0+1，解得x0=e−23，y0=13，a0=√3e3．∴当0<a<√3e3时，y=a2x3和y=|ln x+1|的函数图象有三个交点．故选：C．令ax2=|ln x+1ax|得a2x3=|ln x+1|，作出y=a2x3和y=|ln x+1|的函数图象，利用导数知识求出两函数图象相切时对应的a0，则0<a<a0．此题主要考查了函数图象的交点个数判断，借助函数图象求出临界值是关键．9.【答案】{x|x=0或x⩾2};【解析】此题主要考查集合的新定义，是基础题由集合A={x|0<x<2}，B={x|x⩾0}，可得A∪B={x|x⩾0}，A∩B={x|0<x<2}，则A⊗B={x|x=0或x⩾2}.10.【答案】240;【解析】解：设该校高一年级学生人数为n，则6n =502000，即n=240，故答案为：240.由分层抽样方法，按比例抽样即可．此题主要考查了分层抽样方法，重点考查了阅读能力，属基础题．11.【答案】16+8√2;【解析】解：由三视图知：几何体为直三棱柱削去一个三棱锥，如图：其中直棱柱的侧棱长为8，底面为直角三角形，且AB=BC=2，SA=2，SB=2√2，AC=2√2，∴几何体的表面积S=12×2×2+12×2×2√2+4+22×2√2+4+22×2+4×2=16+8√2．故答案为：16+8√2．几何体为直三棱柱削去一个三棱锥，结合直观图判断各面的形状及相关几何量的数据，把数据代入面积公式计算．此题主要考查了由三视图求几何体的表面积，判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键．12.【答案】152;【解析】解：∵a1=12，a42=a6，∴(12q3)2=12q5，解可得，q=2，则S4=12(1−24)1−2=152．故答案为：152．由已知结合等比数列的通项公式可求公比，然后结合等比数列的求和公式即可求解．这道题主要考查了等比数列的公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．13.【答案】√3+1;【解析】解：过F的一条倾斜角为30°的直线与C在第一象限交于点A，且|OF|=|OA|=c，∠AOx=60°，则A(c2,√3c 2)所以c 24a2−3c24b2=1，c2 4a2−3c24(c2−a2)=1，可得e 24−3e24e2−4=1，可得e4−8e2+4=0．解得e=1+√3．故答案为：√3+1．利用已知条件求出A的坐标，代入双曲线方程，结合离心率公式，求解即可．此题主要考查双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，注意运用三角形的中位线定理和勾股定理，考查运算能力，属于中档题．14.【答案】解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x、y台，总利润是P，则P=6x+8y，由题意有30x+20y⩽300，5x+10y⩽110，x⩾0，y⩾0，x、y均为整数由图知直线y=−34x+18P过M(4,9)时，纵截距最大，这时P也取最大值P max=6×4+8×9=96(百元).故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元．;【解析】此题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．15.【答案】解：(Ⅰ)在三角形ABC中，由正弦定理得bsinB =csinC，所以bsinC=csinB，又由3csinB=4asinC，得3bsinC=4asinC，即3b=4a，又因为b +c =2a ，得b =4a 3，c =2a3，由余弦定理可得cosB =a 2+c 2−b 22ac=a 2+49a 2−169a 22⋅a⋅23a=−14；(Ⅱ)由(Ⅰ)得sinB =√1−co s 2B =√154，从而sin2B =2sinBcosB =−√158， cos2B =cos 2B −sin 2B =−78，故sin (2B +π6)=sin2Bcos π6+cos2Bsin π6=−√158×√32−78×12=−3√5+716．; 【解析】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． (Ⅰ)根据正余弦定理可得；(Ⅱ)根据二倍角的正余弦公式以及和角的正弦公式可得．16.【答案】证明：（Ⅰ）∵D ，E 分别是边AC 和AB 的中点，∴DE ∥BC ， ∵BC ⊄平面PED ，ED ⊂平面PED ， ∴BC ⊂平面BCH ， ∴IH ∥BC ．解：（Ⅱ）如图，建立空间右手直角坐标系，由题意得：D （0，0，0），E （2，0，0），P （0，0，1），F （3，12，0），C （0，1，0），H （0，0，12），∴EP →=（-2，0，1），EF →=（1，12，0），CH →=（0，-1，12），HI →=12DE →=（1，0，0），设平面PGI 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则{EP →.n →=−2x +z =0EF →.n →=x +12y =0，令x=1，解得y=-2，z=2，∴n →=（1，-2，2），设平面CHI 的一个法向量为m →=（a ，b ，c ），则{CH →.m →=−b +12c =0HI →.m →=a =0，取b=1，得m →=（0，1，2），设二面角P-GI-C 的平面角为θ，则cosθ=|m →.n →||m →|.|n →|=3×√5=2√1515．∴二面角P-GI-C的余弦值为2√1515．;【解析】(Ⅰ)推导出DE//BC，从而BC⊂平面BCH，由此能证明IH//BC．(Ⅱ)以D为原点，DE，DC，DP为x，y，z轴，建立空间右手直角坐标系，利用向量法能求出二面角P−GI−C的余弦值．该题考查线线平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．17.【答案】解：(1)设公比为q的等比数列{ an}的前n项和为S n，a2=18，且S1+116，S2，S3成等差数列，所以：{a1q=182S2=S1+116+S3，解得：a1=14，q=12，所以S n=14(1−12n)1−12=12(1−12n)，故a n=14.(12)n−1=(12)n+1，(2)由于：a n=(12)n+1，数列{b n}满足b n=2n.则：C n=a n b n=n2n，则：T n=12+222+323+⋯+n2n①，1 2T n=122+223+324+⋯+n2n+1②，①−②得：12T n=(121+122+⋯+12n)−n2n+1，解得：T n=2−2+n2n，由于S n=14(1−12n)1−12=12(1−12n)，所以不等式c1+c2+⋯+c n⩾12λ+2S n−1恒成立，即2−2+n2n ⩾1−12n+12λ−1，则2−n+12n⩾12λ恒成立，令f(n)=n+12n，则f(n +1)−f(n)=n+22n+1−n+12n=−n2n+1<0，所以f(n)关于n 单调递减，所以(2−n+12n )min=2−1+12，则2−22⩾12λ 解得：λ⩽2.故：λ的取值范围为(−∞,2].;【解析】此题主要考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，错位相减法在数列求和中的应用，恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于较难题．(1)直接利用递推关系式和建立的方程组进一步求出数列的通项公式;(2)利用(1)的结论，进一步利用错位相减法求出数列的和，最后利用恒成立问题求出参数的取值范围．18.【答案】解：（1）∵椭圆x 2a2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率e=√32，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4， ∴a=2，c=√3，b=1， ∴椭圆的标准方程：x 24+y 21=1，（2）∵设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ，点A 的坐标为（-a ，0）． ∴点A 的坐标为（-2，0）， ∴直线l 的方程为：y=k （x+2），（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ）可知点A 的坐标是（-2，0）．设点B 的坐标为（x 1，y 1），直线l 的斜率为k ．则直线l 的方程为y=k （x+2）．于是A 、B 两点的坐标满足方程组{y =k(x +2)x 24+y 21=1消去y 并整理，得（1+4k 2）x 2+16k 2x+（16k 2-4）=0．由-2x 1=16k 2−41+4k 2，得x 1=2−8k 21+4k 2．从而y 1=4k1+4k 2．所以|AB|=4√1+k 21+4k 2 由|AB|=4√25，得4√1+k 21+4k 2=4√25整理得32k 4-9k 2-23=0，即（k 2-1）（32k 2+23）=0，解得k=±1．所以直线l 的倾斜角为π4或3π4．;【解析】(1)椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)根据a 2=b 2+c 2，ca =√32，2a =4，求解．(2)联立方程组{y =k(x +2)x 24+y 21=1消去y 并整理，得(1+4k 2)x 2+16k 2x +(16k 2−4)=0，运用韦达定理，弦长公式求解．此题主要考查了椭圆和直线的位置关系，联立方程组结合弦长公式求解．19.【答案】解：（1）函数f （x ）定义域为（0，+∞），f′（x ）=ax +2x-4=2x 2−4x +ax假设存在实数a ，使f （x ）在x=1处取极值，则f′（1）=0，∴a=2，…（2分）此时，f′（x ）=2(x−1)2x，当x ＞0时，f′（x ）≥0恒成立，∴f （x ）在（0，+∞）递增．…（4分） ∴x=1不是f （x ）的极值点．故不存在实数a ，使得f （x ）在x=1处取极值．…（5分）（2）由f （x 0）≤g （x 0）得：（x 0-ln x 0）a≥x 02-2x 0 …（6分）记F （x ）=x-lnx （x ＞0），∴F′（x ）=x−1x（x ＞0），．…（7分）∴当0＜x ＜1时，F′（x ）＜0，F （x ）递减；当x ＞1时，F′（x ）＞0，F （x ）递增． ∴F （x ）≥F （1）=1＞0．…（8分） ∴a≥x 02−2x 0x0−ln x 0，记G （x ）=x 2−2xx−lnx ，x ∈[1e ，e]∴G′（x ）=(2x −2)(x−lnx )−(x−2)(x−1)(x−lnx )2=(x−1)(x−2lnx +2)(x−lnx )2…（9分）∵x ∈[1e，e]，∴2-2lnx=2（1-lnx ）≥0，∴x-2lnx+2＞0∴x ∈（1e ，1）时，G′（x ）＜0，G （x ）递减；x ∈（1，e ）时，G′（x ）＞0，G （x ）递增…（10分）∴G （x ）min =G （1）=-1∴a≥G （x ）min =-1．…（11分）故实数a 的取值范围为[-1，+∞）． …（12分）; 【解析】(1)求出函数f(x)定义域，函数的导函数f′(x)，假设存在实数a ，使f(x)在x =1处取极值，则f′(1)=0，求出a ，验证推出结果．(2)由f (x 0)⩽g(x 0) 得：(x 0−ln x 0)a ⩾x 02−2x 0，记F(x)=x −ln x(x >0)，求出F′(x)，推出F(x)⩾F(1)=1>0，转化a ⩾x 02−2x 0x 0−ln x 0，记G(x)=x 2−2x x−ln x，x ∈[1e,e]求出导函数，求出最大值，列出不等式求解即可．该题考查函数的动手的综合应用，函数的最值的求法，极值的求法，考查转化思想以及计算能力．。

高三数学第二轮数学专题复习全套教案

高三数学第二轮数学专题复习全套教案目标为高三学生提供一套完整的数学专题复教案，帮助他们加深对数学知识的理解和掌握，为高考做好准备。

复内容1. 函数与方程- 函数的概念和性质- 一次函数和二次函数的图像、性质及应用- 方程的根与解的判定- 一元一次方程组和一元二次方程的求解方法- 函数方程的解法和应用2. 三角函数- 三角函数的概念和性质- 常用三角函数的图像、性质及应用- 三角函数的基本关系式和恒等变换- 解三角函数方程和不等式的方法3. 数列与数学归纳法- 数列的概念和性质- 等差数列和等比数列的推导和应用- 数学归纳法的基本原理和应用- 常见数列问题的解法4. 三角比例和相似- 三角比例的性质和应用- 直角三角形和一般三角形的相似性质- 解三角形的基本方法和应用- 四边形的性质和计算教学安排1. 每个教题讲解时长约为30分钟，包括概念讲解和示例演练。

2. 每个专题分为3节课，共计9节课。

3. 每节课后设置10道练题，供学生完成并检查答案。

4. 每周安排一次模拟考试，让学生检验自己的研究成果。

教案编写原则1. 教案内容简明扼要，重点突出，不涉及复杂的法律问题。

2. 尽可能使用清晰简单的语言，避免使用过多的专业术语。

3. 引用的内容必须能够得到确认，并标明出处。

4. 鼓励学生积极参与讨论和解决问题，培养他们的思考能力和解决问题的能力。

结语这份高三数学第二轮数学专题复全套教案旨在帮助学生复数学知识，强化概念和技巧的掌握。

教案内容简明扼要，注重培养学生的思考能力和解决问题的能力。

希望学生能够利用这份教案，全面提升数学水平，为高考取得好成绩做好准备。

> 注意：该文档的内容是根据提供的信息创作的，内容的准确性和可行性需要进一步核实确认。

高考数学二轮复习习题精选(附答案)

第1章集合与简易逻辑§1–1集合一、集合的概念1.1.1在“①难解的题目；②方程x2＋1＝0在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是()．(A) ②③(B) ①③(C) ②④(D) ①②④解析由集合中元素的确定性可知只有②和③能组成集合，答案为A．1.1.2下列集合中，有限集是()．(A) {x|x<10，x∈N} (B) {x|x<10，x∈Z}(C) {x|x2<10，x∈Q} (D) {x|x＝y＋10，y∈R}解析由N表示自然数集得{x|x<10，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}是有限集，答案为A．1.1.3若集合M＝{x|x≤6}，a＝，则下列结论中正确的是()．(A) {a}M(B) a M(C) {a}∈M(D) a∉M解析因为 <6，则∈M，{a}M，所以，答案为A．1.1.4已知集合A＝{0，1}，B＝{y|y2＝1－x2，x∈A}，则A与B的关系是()．(A) A＝B(B) A B(C) A∈B(D) A B解析由已知得集合B＝{－1，0，1}，所以，A B，答案为B．1.1.5下列四个关系中，正确的是()．(A) ∅∈{0} (B) 0∉{0} (C) {0}∈{0，1} (D) 0∈{0，1}解析∅与{0}，{0}与{0，1}是两个集合间的关系，这种关系不应用表达元素与集合间关系的“∈”来表达；而0∈{0}，又0是集合{0，1}中的元素，所以，0∈{0，1}是正确的，答案为D．1.1.6设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝()．(A) 1 (B) －1 (C) 2 (D) －2解析由已知得0∈{1，a＋b，a}，而a≠0，于是，只能a＋b＝0，则＝－1，又－1∈{1，a＋b，a}，所以，a＝－1，b＝1，b－a＝2，答案为C．1.1.7用适当的方式写出下列集合：(1) 组成中国国旗的颜色名称的集合；(2) 不大于6的非负整数所组成的集合；(3) 所有正奇数组成的集合；(4) 方程x3＋6＝0的实数解构成的集合；(5) 不等式x2－5x＋4<0的解集；(6) 直角坐标平面中，第一象限内的所有点组成的集合；(7) 直角坐标平面中，直线y＝2x－1上的所有点组成的集合．解析(1) 组成中国国旗的颜色名称的集合是{红，黄}．(2) 不大于6的非负整数所组成的集合是{0，1，2，3，4，5，6}．(3) 所有正奇数组成的集合是{x|x＝2k＋1，k∈N}．(4) 方程x3＋6＝0的实数解构成的集合是{x|x3＋6＝0，x∈R}．(5) 不等式x2－5x＋4<0的解集{x|x2－5x＋4<0}或写成{x|1<x<4}．(6) 直角坐标平面中，第一象限内的所有点组成的集合是{(x，y)|x>0且y>0}．(7) 直角坐标平面中，直线y＝2x－1上的所有点组成的集合是{(x，y)|y＝2x －1}．1.1.8已知集合A＝{1，3，x}，集合B＝{1，x2}，若有B A且x∉B，则A＝．解析由x2∈A及x∉B得x2＝3，解得x＝±，经检验此x的值符合集合中元素的互异性，所以，集合A＝{1，3，}或{1，3，－}．1.1.9集合A＝{x|－3≤x≤2}，B＝{x|2m－1≤x≤2m＋1}，若B⊆A，则m的取值范围是．解析由已知可得解得－1≤m≤．1.1.10若集合M＝{0，1，2}，N＝{(x，y)|x－2y＋1≥0且x－2y－1≤0，x，y∈M}，则N中元素的个数为()．(A) 9 (B) 6 (C) 4 (D) 2解析将点(0，0)，(1，1)，(2，2)，(0，1)，(1，0)，(0，2)，(2，0)，(1，2)，(2，1)的坐标代入不等式组可知只有点(0，0)，(1，1)，(1，0)，(2，1)四个点在集合N内，所以，答案为C．1.1.11定义集合运算：A☉B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，设集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A☉B的所有元素之和为()．(A) 0 (B) 6 (C) 12 (D) 18解析由已知可得A☉B＝{0，6，12}，所以，A☉B中所有元素之和为18，答案为D．1.1.12设⊕是R上的一个运算，A是R的非空子集，若对任意a，b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法，减法，乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是()．(A) 自然数集(B) 整数集(C) 有理数集 (D) 无理数集解析任意两个自然数或整数的商不一定是自然数或整数，任意两个无理数的积不一定是无理数，而任意两个有理数的和、差、积、商一定都是有理数，所以，有理数集对加法，减法，乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的，答案为C．1.1.13集合M＝{x|a1x>b1}，N＝{x|a2x>b2}，其中常数a1b1a2b2≠0，则“”是“M＝N”的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析若a1＝b1＝1，a2＝b2＝－1，则有，此时，M＝{x|x>1}，N＝{x|x<1}，M≠N；若M＝N，则必有a1a2>0，于是，M＝，N＝，或者，M＝，N＝，于是，，即，所以，“”是“M＝N”的必要不充分条件，答案为B．1.1.14已知集合M＝{x|x≤a2＋b2}，其中a，b是常数．给出下列四个命题：① 2ab一定属于M② 2ab一定不属于M③－2ab一定属于M④－2ab一定不属于M其中正确命题的序号是(写出所有正确命题的序号)．解析由(a－b)2≥0和(a＋b)2≥0对任意a，b∈R恒成立可得2ab≤a2＋b2，－2ab≤a2＋b2，所以，2ab∈M，－2ab∈M，在上述四个命题中，①和③是正确的．1.1.15已知集合A是非零实数集的子集，并且有如下性质：对任意x∈A，必有3－∈A．问：(1) 集合A可否有且仅有一个元素?如果可以，求出所有满足要求的集合A；若不可以，则说明理由；(2) 集合A可否有且仅有两个元素?如果可以，求出所有满足要求的集合A；若不可以，则说明理由．解析(1) 若集合A中有且仅有一个元素x，则3－＝x，即x2－3x＋2＝0，解得x＝1或x＝2，所以，集合{1}和{2}是两个满足要求的单元集．(2) 集合{1，2}是满足要求的二元集．若集合A＝{a，b}是满足要求的二元集，并且即则a＝b，矛盾，所以，满足要求的二元集只能是{1，2}．1.1.16同时满足{1}A⊆{1，2，3，4，5}，且A中所有元素之和为奇数的集合A的个数是()．(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8解析若A为二元集，则A可为{1，2}、{1，4}；若A为三元集，则A可为{1，2，4}、{1，3，5}；若A为四元集，则A可为{1，2，3，5}、{1，3，4，5}；若A为五元集，则A可为{1，2，3，4，5}，所以，共有7个符合条件的集合，答案为C．1.1.17对于集合A和B，当A B时，下列集合之间的关系一定不能成立的是()．(A) ∅⊆A(B) ∅B(C) B＝∅(D) A＝∅解析由于不存在集合是空集的真子集，所以，由A B可得B≠∅，所以，答案为C．1.1.18下列各组集合中，M与P表示同一个集合的是()．(A) M＝{(1，－3)}，P＝{(－3，1)}(B) M＝∅，P＝{0}(C) M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2＋1，x∈R}(D) M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{t|t＝(y－1)2＋1，y∈R}解析(1，－3)与(－3，1)是平面直角坐标系中两个不相同的点；集合{0}中有一个元素，它不是空集．集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}是二次函数y＝x2＋1的因变量的集合，它是一个数集，而集合P＝{(x，y)|y＝x2＋1，x∈R}表示平面直角坐标系中的一条抛物线，它是点的集合．集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{t|t＝(y－1)2＋1，y∈R}＝{y|y≥1}，所以，答案为D．1.1.19写出集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝2且x＋y＝0}的所有子集：．解析集合A＝{(1，－1)，(－1，1)}，所以，A的所有子集是∅，{(1，－1)}，{(－1，1)}，{(1，－1)，(－1，1)}．1.1.20用适当的方式写出下列集合并化简：(1) 方程x2＋2＝0的全体实数解组成的集合：；(2) 函数y＝3x＋2，1≤x≤3的所有因变量组成的集合：；(3) 函数y＝－x2＋4x＋3，x∈R的所有因变量组成的集合：．解析(1) 方程x2＋2＝0的全体实数解组成的集合是{x|x2＋2＝0，x∈R}＝∅；(2) 函数y＝3x＋2，1≤x≤3的所有因变量组成的集合是{y|y＝3x＋2，1≤x≤3}＝{y|5≤y≤11}；(3) 函数y＝－x2＋4x＋3，x∈R的所有因变量组成的集合是{y|y＝－x2＋4x ＋3，x∈R}＝{y|y≤7}．1.1.21已知集合{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R，x∈R}中有且仅有一个元素，则a的值是．解析要使得集合{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R，x∈R}中有且仅有一个元素，则a＝0或Δ＝22－4a＝0，所以，a＝0或a＝1．1.1.22关于x的不等式≤的解集是A，关于x的不等式x2－3(a＋1)x＋2(3a ＋1)≤0 (其中a∈R)的解集是B，求使A⊆B的a的取值范围．解析不等式≤的解集A＝[2a，a2＋1]．不等式x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0即为(x－2)(x－3a－1)≤0．若a≥，则B＝[2，3a＋1]；若a<，则B＝[3a＋1，2]．由A⊆B得或解得1≤a≤3或a＝－1．所以，a的取值范围是a＝－1或1≤a≤3．1.1.23已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋(a－1)＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0，x∈R}，若B⊆A，C⊆A，求实数a，b应满足的条件．解析集合A＝{1，2}，而x2－ax＋(a－1)＝0即为(x－1)(x－a＋1)＝0，若a－1＝1，即a＝2，则B＝{1}满足；若a－1≠1，即a≠2，则B＝{1，a－1}，由B⊆A知a－1＝2，即a＝3．对于集合C，由C⊆A知，若C＝∅，则Δ＝(－b)2－8<0，解得－2<b<2；若C为单元集，则Δ＝(－b)2－8＝0，此时C＝{}或C＝{－}，与C⊆A矛盾；若C＝{1，2}，即C中方程两根为1和2，则b＝3．所以，a，b应满足的条件是a＝2或a＝3而－2<b<2或b＝3．1.1.24已知集合A＝{(x，y)|y＝－x2＋mx－1}，B＝{(x，y)|x＋y＝3，0≤x≤3}，若有且仅有一个点同时属于集合A和B，求实数m的取值范围．解析由已知得抛物线与线段有且仅有一个交点．由得x2－(1＋m)x＋4＝0，该方程在区间[0，3]上只有一个解．若Δ＝(m＋1)2－16＝0，则m＝3或m＝－5，如果m＝3，解得x＝2；如果m＝－5，解得x＝－2∉[0，3]，于是m＝－5舍去．若Δ>0，则记f(x)＝x2－(1＋m)x＋4，此时，只需f(3)<0，即9－3(m＋1)＋4<0，解得m>．所以，m的取值范围是m>或m＝3．1.1.25设集合M＝{1，2，3，4，5，6}，S1，S2，…，S k都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的S i＝{a i，b i}，S j＝{a j，b j}(i≠j，i，j∈{1，2，3，…，k})，都有min≠min(min{x，y}表示两个数x，y中的较小者)，则k的最大值是()．(A) 10 (B) 11(C) 12 (D) 13解析集合M的所有两元子集是{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共计15个，其中，不同min (i＝1，2，…，15)有共11个，所以，答案为B．1.1.26设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈P，都有a ＋b，a－b，ab，∈P (除数b≠0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集F＝{a＋b|a，b∈Q}也是数域．有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域．其中正确的命题的序号是(把你认为正确的命题的序号填上)．解析因为任意两个整数的商不一定是整数，故命题①不正确；当集合M ＝Q∪{}时，由于1∈Q，而∉M，故命题②不正确；由数域P的定义知，必有＝1∈P，从而2∈P，则3∈P，…，所以，整数集Z⊆P，故数域P中必有无穷多个元素，命题③正确；由于数集F＝{a＋b|a，b∈Q}是数域，则将其中的换成，…等仍为数域，所以数域有无穷多个，命题④正确．所以，在上述四个命题中，正确命题的序号是③，④．1.1.27非空集合G关于运算⊕满足：(1) 对任意a，b∈G，都有a⊕b∈G；(2) 存在e∈G，使得对一切a∈G，都有a⊕e＝e⊕a＝a，则称G关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①G＝{非负整数}，⊕为整数的加法；②G＝{偶数}，⊕为整数的乘法；③G＝{平面向量}，⊕为平面向量的加法；④G＝{二次三项式}，⊕多项式的乘法；⑤G＝{虚数}，⊕为复数的乘法．其中G关于运算⊕为“融洽集”的是(写出所有“融洽集”的序号)．解析对于非负整数集以及加法运算，两个非负整数之和一定是非负整数，其中e＝0；对于偶数集和乘法运算，其中不存在满足要求的元素e；对于平面向量集合以及向量的加法运算，任意两个平面向量之和仍为该平面内的向量，e＝；对于二次三项式集合以及多项式的乘法，其中不存在满足要求的元素e；对于虚数集和复数的乘法运算，其中不存在满足要求的元素e，所以，集合G关于运算⊕为“融洽集”的是①和③．1.1.28已知集合S＝{x|x＝m2＋n2，m，n∈Z}．求证：若a，b∈S，则ab ∈S．解析由a，b∈S得存在整数p，q，r，s，使得a＝p2＋q2，b＝r2＋s2，则ab＝(p2＋q2)(r2＋s2)＝p2r2＋q2s2＋p2s2＋q2r2＝(pr＋qs)2＋(ps－qr)2，其中pr＋qs 和ps－qr都是整数，所以，ab∈S．1.1.29已知集合A＝{x|x＝12a＋8b，a，b∈Z}，B＝{y|y＝20c＋16d，c，d ∈Z}．判断集合A与集合B之间存在什么关系，并说明理由．解析若y∈B，即y＝20c＋16d＝12c＋8(c＋2d)，因为c，d∈Z，则有c＋2d∈Z，得y∈A，于是B⊆A；若x∈A，则x＝12a＋8b＝60a－48a＋40b－32b ＝20(3a＋2b)＋16(－3a－2b)，因为a，b∈Z，则有3a＋2b，－3a－2b∈Z，于是A⊆B．所以，A＝B．1.1.30若f(x)＝x2＋ax＋b，a，b∈R，A＝{x|x＝f(x)，x∈R}，B＝{x|x＝f[f(x)]，x∈C}．(1) 写出集合A与B之间的关系，并证明；(2) 当A＝{－1，3}时，用列举法表示集合B．解析(1) 任取x∈A，则f(x)＝x，于是，f [ f(x)]＝f(x)＝x，即有x∈B，所以有A⊆B，但由于x＝f[f(x)]必为四次方程，在复数集C上有4个根，所以A B．(2) 当A＝{－1，3}时，即方程x2＋ax＋b＝x的两根为－1、3，于是－1＋3＝－(a－1)，(－1)×3＝b，所以a＝－1，b＝－3，即f(x)＝x2－x－3，此时，集合B中的方程为(x2－x－3)2－(x2－x－3)－3＝x，即(x2－x－3)2－x2＝0，(x2－3)(x2－2x－3)＝0，所以，B＝{－1，3，，－}．1.1.31已知A＝{(x，y)|x2＋y2＋4x＋4y＋7＝0，x，y∈R}，B＝{(x，y)|xy ＝－10，x，y∈R}．(1) 对于直线m和直线外的一点P，用“m上的点与点P距离的最小值”定义点P到直线m的距离与原有的点线距离概念是等价的．试以类似的方式给出一个点集A与B的“距离”的定义；(2) 依照(1)中的定义求出A与B 的“距离”．解析(1) 定义：在点集A，B中分别任取一点，所取两点间的距离若有最小值，则此最小值称为点集A与B的“距离”．(2) 集合A中的点构成一个圆，其方程是(x＋2)2＋(y＋2)2＝1，圆心C(－2，－2)，半径为1，设P(x，y)为曲线xy＝－10上任意一点，则|PC|2＝(x＋2)2＋(y＋2)2＝x2＋y2＋4(x＋y)＋8＝(x＋y)2－2xy＋4(x＋y)＋8＝(x＋y)2＋4(x＋y)＋28＝(x＋y＋2)2＋24．＝2，所以，A与B的“距离”为2－当且仅当即或时，|PC＝24，|PC|最小值1．二、集合的运算1.1.32已知全集I＝{a1，a2，a3，a4，a5，a6}，集合A＝{a1，a3，a4，a5}，B＝{a1，a4}，则A∩∁I B＝()．(A) {a1，a4} (B) {a2，a6}(C) {a3，a5} (D) {a2，a3，a5，a6}解析∁I B＝{a2，a3，a5，a6}，所以，A∩∁I B＝{a3，a5}，答案为C．1.1.33若集合M＝{x||x|≤2}，N＝{x|x2－3x＝0}，则M∩N＝()．(A) {3} (B) {0} (C) {0，2} (D) {0，3}解析M＝[－2，2]，N＝{0，3}，所以M∩N＝{0}，答案为B．1.1.34设A，B，I均为非空集合，且满足A⊆B⊆I，则下列各式中错误的是()．(A) (∁I A)∪B＝I(B) (∁I A)∪(∁I B)＝I题1.1.34(C) A∩(∁I B)＝∅(D) (∁I A)∩(∁I B)＝(∁I B)解析集合A，B，I的关系如图所示，可知(∁I A)∪(∁I B)＝∁I A≠I，所以，答案为B．1.1.35设全集I＝{2，3，5}，A＝{|a－5|，2}，∁I A＝{5}，则a的值为()．(A) 2 (B) 8 (C) 2或8 (D) －2或8解析由A∪∁I A＝I得|a－5|＝3，所以a＝2或8，答案为C．1.1.36设集合M＝{x|a1x2＋b1x＋c1＝0}，N＝{x|a2x2＋b2x＋c2＝0}，则方程(a1x2＋b1x＋c1)(a2x2＋b2x＋c2)＝0的解集是()．(A) M∩N(B) M∪N(C) N(D) M解析由(a1x2＋b1x＋c1)(a2x2＋b2x＋c2)＝0可得(a1x2＋b1x＋c1)＝0或(a2x2＋b2x＋c2)＝0，所以，该方程的解集是M∪N，答案为B．1.1.37若集合M＝{(x，y)|x＋y＝0}，P＝{(x，y)|x－y＝2}，则M∩P＝()．(A) (1，－1) (B) {x＝1}∪{y＝－1}(C) {1，－1} (D) {(1，－1)}解析由得所以，M∩P＝{(1，－1)}，答案为D．1.1.38满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M 的个数是()．(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解析由M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}知a1、a2∈M，a3∉M，a4可以在集合M也可以不在集合M中，所以，满足要求的集合M的个数是2个．答案为B．1.1.39若A，B，C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有()．(A) A⊆C(B) C⊆A(C) A≠C(D) A＝∅解析任取x∈A，则x∈A∪B＝B∩C，于是，x∈B∩C，则x∈C，所以，A⊆C，答案为A．1.1.40已知A＝{x|x≤7}，B＝{x|x<2}，C＝{x|x>5}，则A∩B＝；A ∪C＝；A∩B∩C＝．解析由已知得A∩B＝{x|x<2}，A∪C＝R，A∩B∩C＝∅．1.1.41若集合A＝{x|－2<x<1或x>1}，B＝{x|a≤x≤b}满足A∪B＝{x|x>－2}，A∩B＝{x|1<x≤3}，则a＝；b＝．解析在数轴上画出集合A∪B和A∩B可得a＝1，b＝3．1.1.42全集U的子集A、B、C的关系如图所示：其中三个圆分别表示集合A、B、C，试用集合A、B、C的运算结果表述图中的阴影所代表的集合：．解析图中的阴影部分表示集合∁U A∩B∩C．题1.1.41题1.1.421.1.43已知a>b>0，全集I＝R，集合M＝，N＝，P＝{x|b<x<}，则下列关系式中正确的是()．(A) P＝M∩∁I N(B) P＝∁I M∩N(C) P＝M∪N(D) P＝M∩N题1.1.43 解析由a>b>0得b<<<a，将集合M，N表示在数轴上可知P＝M∩∁I N，答案为A．1.1.44对于集合A，B，C，“A∩C＝B∩C”是“A＝B”的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析若A＝B，则显然有A∩C＝B∩C；反之，若C＝{1}，A＝{1，2}，B＝{1，3}，此时A∩C＝B∩C＝{1}，但A≠B，所以，“A∩C＝B∩C”是“A＝B”的必要不充分条件，答案为B．1.1.45设全集I＝{(x，y)|x，y∈R}，集合M＝，N＝{(x，y)|y≠x＋1}，那么∁I(M∪N)＝()．(A) ∅(B) {(2，3)}(C) (2，3) (D) {(x，y)|y＝x＋1}解析集合I表示平面上所有的点，集合M表示直线y＝x＋1上除(2，3)外的所有点，集合N表示不在直线y＝x＋1上的所有点，所以M∪N表示平面上除(2，3)外的所有点，所以，∁I(M∪N)是集合{(2，3)}，答案为B．1.1.46若全集I＝R，f(x)，g(x)都是定义域为R的函数，P＝{x|f(x)<0}，Q ＝{x|g(x)≥0}，则不等式组的解集用P，Q表示为．解析由已知可得不等式g(x)<0的解集是∁I Q，所以，不等式组的解集是P∩∁I Q．1.1.47设P表示△ABC所在平面上的点，则集合{P|PA＝PB}∩{P|PB＝PC}＝．解析由已知得点P到△ABC三顶点等距，所以，{P|PA＝PB}∩{P|PB＝PC}＝{△ABC的外心}．1.1.48集合A＝{(x，y)|ax＋y＝1}，B＝{(x，y)|x＋ay＝1}，C＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，分别求使得集合(A∪B)∩C为含有两个元素和三个元素的集合的a的值．解析集合A、B分别表示过定点(0，1)和(1，0)的两条直线，集合C表示单位圆，且(0，1)，(1，0)∈C，若(A∪B)∩C含有两个元素，则两直线重合或同时与圆相切，可得a＝1或a＝0．若(A∪B)∩C含有三个元素，即表明两条直线与圆有且仅有三个公共点，由于两直线或同时与圆相切，或同时与圆不相切，则必须有上述两条直线的交点在圆上，两直线的交点是，则＝1，所以，a＝－1±．1.1.49若集合A是一个有限集，我们以f(A)表示该集合中元素的个数．例如：f (∅)＝0，f ({a })＝1等等．(1) 已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝x 2，x ∈R}，若集合N ＝{(x ，y )|y ＝b }，其中b 是实常数，求f (M ∩N )的值；(2) 已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝x 2，x ∈Z}，若集合P ＝{(x ，y )|y ＝x ＋p }，其中p 是实常数，如果存在整数k 使得(k ，k 2)∈M ∩P ，求证：f (M ∩P )＝2．解析 (1) 若b <0，则f (M ∩N )＝0；若b ＝0，则f (M ∩N )＝1；若b >0，则f (M ∩N )＝2．(2) 由已知可得关于x 的方程x 2＝x ＋p 有一个根是k ，则k 2＝k ＋p ，即p ＝k 2－k ，于是，方程x 2＝x ＋p 即为x 2－x －(k －1)k ＝0，即(x －k )(x ＋k －1)＝0，解得x ＝k 或x ＝1－k ，所以，M ∩P ＝{(k ，k 2)，(1－k ，(1－k )2)}，由k 是整数得k ≠1－k ，则f (M ∩N )＝2．1.1.50 设全集为R ，A ＝{x |x 2－5x －6>0}，B ＝{x ‖x －5|<a }(a 是常数)，且11∈B ，则( )．(A) ∁R A ∪B ＝R (B) A ∪∁R B ＝R(C) ∁R A ∪∁R B ＝R (D) A ∪B ＝R解析集合A ＝{x |x >6或x <－1}，由11∈B 得|11－5|<a ，即a >6，集合B ＝(5－a ，5＋a )，此时5－a <－1，5＋a >6，所以，A ∪B ＝R ，答案为D ．1.1.51 已知P ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R}，Q ＝{y |y ＝x ＋1，x ∈R}，则P ∩Q ＝( )．(A) {(0，1)，(1，0)} (B) {0，1}(C) {1，2} (D) {y |y ≥1}解析集合P ，Q 分别是函数y ＝x 2＋1，y ＝x ＋1的值域，于是P ＝[1，＋∞)，Q ＝R ，所以P ∩Q ＝[1，＋∞)，答案为D ．1.1.52 设A 、B 是两个非空集合，定义A 与B 的“差集”为A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，则A －(A －B )＝( )．(A) B (B) A ∩B (C) A ∪B (D) A解析由“差集”的定义可知集合A –B 如图中阴影部分所示，所以，A －(A －B )＝A ∩B ，答案为B ．1.1.53 已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素，若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为( )．(A) mn (B) m ＋n (C) n －m (D) m －n解析由文氏图可得A ∩B 的元素个数为m －n ，答案为D ．1.1.54 设全集U ＝N *，集合A ＝{x |x ＝2n ，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝3n ，n ∈N *}，则∁U (A ∪B )＝( )．(A) {x |x ＝6n ，n ∈N *} (B) {x |x ＝6n ±1，n ∈N *}(C) {x |x ＝6n ±2，n ∈N *} (D) {x |x ＝6n ±3，n ∈N *}解析对于x ＝2n ，n ∈N *，若n ＝3k (k ∈N *)，则x ＝6k ；若n ＝3k －1 (k ∈题1.1.52题1.1.53N *)，则x ＝6k －2；若n ＝3k －2 (k ∈N *)，则x ＝6k －4，对于x ＝3n ，若n ＝2k (k ∈N *)，则x ＝6k ；若n ＝2k －1 (k ∈N *)，则x ＝6k －3，所以，∁U (A ∪B )＝ {x |x ＝6n ±1，n ∈N *}，答案为B ．1.1.55 我们称(P ，Q )为“有序集合对”，其中P ，Q 是集合，当P ≠Q 时，认为(P ，Q )与(Q ，P )是两个不同的“有序集合对”．那么，使得A ∪B ＝{a ，b }成立的“有序集合对”(A ，B )共有( )个．(A) 9 (B) 4 (C) 7 (D) 16 解析若A ＝∅，则只能B ＝{a ，b }；若A ＝{a }，则B 可以为{b }或{a ，b }；若A ＝{b }，则B 可以为{a }或{a ，b }；若A ＝{a ，b }，则B 可以是∅，{a }，{b }，{a ，b }这四个集合中的某一个，所以，使得A ∪B ＝{a ，b }成立的“有序集合对”(A ，B )共有9个，答案为A ．1.1.56 有限集合S 中元素的个数记做card(S )．设A ，B都为有限集合，给出下列命题：① A ∩B ＝∅的充要条件是card(A ∪B )＝card(A )＋card(B )；② A ⊆B 的必要条件是card(A )≤card(B )；③ A ⊈B 的充分条件是card(A )≤card(B )；④ A ＝B 的充要条件是card(A )＝card(B )，其中真命题的序号是( )．(A) ③，④ (B) ①，②(C) ①，④ (D)②，③ 解析用文氏图可知，当A ∩B ＝∅时，必有card(A ∪B )＝card(A )＋card(B )．反之，若card(A ∪B )＝card(A )＋card(B )，也必有A ∩B ＝∅．于是，card(A ∪B )＝card(A )＋card(B )是A ∩B ＝∅的充要条件；若A ⊆B ，则card(A )≤card(B )；反之，当card(A )≤card(B )时，未必有A ⊆B ，于是，card(A )≤card(B )是A ⊆B 的必要条件；当card(A )≤card(B )时，有可能有A ⊆B ，于是，card(A )≤card(B )是A ⊈B 的既不充分，也不必要条件；card(A )＝card(B )是A ＝B 的必要不充分条件，所以，答案为B ．1.1.57 若非空集合A ，B ，C 满足A ∪B ＝C ，且B 不是A 的子集，则( )．(A) x ∈C 是x ∈A 的充分条件但不是必要条件(B) x ∈C 是x ∈A 的必要条件但不是充分条件(C) x ∈C 是x ∈A 的充要条件(D) x ∈C 既不是x ∈A 的充分条件，也不是x ∈A 的必要条件解析若x ∈A ，则一定有x ∈A ∪B ＝C ，于是，x ∈C 是x ∈A 的必要条件；如果x ∈C ＝A ∪B 时必有x ∈A ，则C ⊆A ，即A ∪B ⊆A ，于是，任取y ∈B ⊆A ∪B ⊆A ，则y ∈A ，B ⊆A ，矛盾，所以，x ∈C 是x ∈A 的必要条件但不是充分条件，答案为B ．题1.1.561.1.58 已知集合M ＝{2，3，m 2＋4m ＋2}，P ＝{0，7，m 2＋4m －2，2－m }满足M ∩P ＝{3，7}，则实数m 的值是．解析由已知得7∈M ，则m 2＋4m ＋2＝7，解得m ＝1或m ＝－5．若m ＝1，则m 2＋4m －2＝3，2－m ＝1．若m ＝－5，2－m ＝7，与集合中元素的互异性矛盾，所以，m 的值是1．1.1.59 如果全集U ＝{a ，b ，c ，d ，e ，f }，A ＝{a ，b ，c ，d }，A ∩B ＝{a }，∁U (A ∪B )＝{f }，则B＝．解析由表示集合U ，A ，B 的图形可得只有e ∈(∁U A )∩B ，所以，B ＝{a ，e }．1.1.60 如果全集U 含有12个元素，P ，Q 都是U 的子集，P ∩Q 中含有2个元素，∁U P ∩∁U Q 含有4个元素，∁U P ∩Q含有3个元素，则P 含有个元素；Q 含有个元素．解析由表示集合U ，P ，Q 的图形可得P ，Q 中各有5个元素．1.1.61 集合A ＝{x |x ＝5k ＋3，k ∈N}， B ＝{x |x ＝7k ＋2，k ∈N}，则A ∩B 中的最小元素是．解析由已知可得集合A ＝{3，8，13，18，23，28，33，…}， B ＝{2，9，16，23，30，…}，所以，A ∩B 中的最小元素是23．1.1.62 已知集合A ＝{x |－8≤x ≤6}，B ＝{x |x ≤m }，若A∪B ≠B 且A ∩B ≠∅，则m 的取值范围是．解析将集合A ，B 表示在数轴上可知m 的取值范围是－8≤m <6．1.1.63 已知常数a 是正整数，集合A ＝， B ＝{x ‖x |<2a ，x ∈Z}，则集合A ∪B 中所有元素之和为．解析由|x －a |<a ＋可得－<x <2a ＋，而x ∈Z ，于是，A ＝{0，1，2，3，…，2a －1，2a }，由|x |<2a 得－2a <x <2a ，又x ∈Z ，则B ＝{－(2a －1)，－(2a －2)，…，(2a －2)，(2a －1)}．于是，A ∪B ＝{－(2a －1)，－(2a －2)，…，－1，0，1，…，(2a －2)，(2a －1)，2a }，其中所有元素之和为2a ．1.1.64 我们将b －a 称为集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”．若集合M ＝，N ＝，且M 和N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，则集合M ∩N 的“长度”的最小值是( )．(A) (B) (C) (D)解析集合M 和N 的“长度”分别是和，又M 和N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，于是，当m ＝，n ＝0时，集合M ∩N 的“长度”取得最小值，答案为B ．题1.1.59 题1.1.60 题1.1.621.1.65已知集合A＝{x|x2＋(m＋2)x＋1＝0，x∈R}，且A∩R＋＝∅，求实数m的取值范围．解析若A＝∅，则Δ＝(m＋2)2－4<0，解得－4<m<0；若A≠∅，则由x2＋(m＋2)x＋1＝0没有正数根得解得m≥0．所以，m的取值范围是m>－4．1.1.66若集合A＝{x|x2－2ax＋a＝0，x∈R}，B＝{x|x2－4x＋a＋5＝0，x ∈R}．(1) 若A＝B＝∅，求a的取值范围；(2) 若A和B中至少有一个是∅，求a的取值范围；(3) 若A和B中有且仅有一个是∅，求a的取值范围．解析(1) 若A＝∅，则4a2－4a<0，解得0<a<1．若B＝∅，则16－4(a＋5)<0，解得a>－1，所以，使A＝B＝∅成立的a的取值范围是0<a<1．(2) 设A'＝(0，1)，B'＝(－1，＋∞)，则使A和B中至少有一个是∅的实数a ∈A'∪B'，即使A和B中至少有一个是∅的实数a的取值范围是a>－1．(3) 使A和B中有且仅有一个是∅的a∈[A'∩(∁R B')]∪[(∁R A')∩B']，所以，使A和B中有且仅有一个是∅的a的取值范围是－1<a≤0或a≥1．§1–2简易逻辑一、命题1.2.1如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的()．(A) 否命题必是真命题(B) 否命题必是假命题(C) 原命题必是假命题(D) 逆否命题必是真命题解析一个命题的逆命题与否命题真假相同，答案为A．1.2.2命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()．(A) 不存在x∈R，x3－x2＋1≤0(B) 存在x∈R，x3－x2＋1≤0(C) 存在x∈R，x3－x2＋1>0(D) 对任意的x∈R，x3－x2＋1>0解析“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“存在x∈R，使得x3－x2＋1>0”，答案为C．1.2.3与命题“若a∉M，则b∉M”等价的命题是()．(A) 若b∈M，则a∉M(B) 若b∉M，则a∈M(C) 若b∈M，则a∈M(D) 若a∉M，则b∈M解析逆否命题与原命题互为等价命题，原命题的逆否命题为“若b∈M，则a∈M”，所以，答案为C．1.2.4设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可以推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是()．(A) 若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立(B) 若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立(C) 若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)<k2成立(D) 若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立解析由25>16得f(4)＝25使得f(4)≥42成立，由已知可得当k≥4时，均有f(k)≥k2成立，答案为D．1.2.5命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()．(A) 若x2≥1，则x≥1或x≤－1 (B) 若－1<x<1，则x2<1(C) 若x>1或x<－1，则x2>1 (D) 若x≥1或x≤－1，则x2≥1解析命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”，答案为D．1.2.6在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是．解析原命题的逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”．当A∩B＝A 时，任取x∈A＝A∩B，必有x∈B，则A⊆B，必有A∪B＝B成立，所以，逆否命题和原命题都是真命题．原命题的否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”，同上，可知否命题和逆命题也都是真命题．所以，在这四个命题中，真命题的个数是4．1.2.7若a，b都是非零实数，证明：|a|＋|b|＝|a＋b|与ab>0等价．解析若|a|＋|b|＝|a＋b|，则(|a|＋|b|)2＝|a＋b|2，a2＋b2＋2|a||b|＝a2＋b2＋2ab，于是，|ab|＝ab，可得ab>0；若ab>0，则或于是，|a|＋|b|＝|a＋b|．所以，当a，b都是非零实数时，|a|＋|b|＝|a＋b|与ab>0等价．1.2.8已知A和B都是非空集合，证明：“A∪B＝A∩B”与“A＝B”是等价的．解析若A∪B＝A∩B，则任取x∈A，必有x∈A∪B＝A∩B，于是，x∈A∩B，则x∈B，所以，A⊆B，同理可得B⊆A，于是，A＝B；若A＝B，则显然有A∪B＝A∩B，所以，“A∪B＝A∩B”与“A＝B”是等价的．1.2.9已知a，b，c是实数，则与“a，b，c互不相等”等价的是()．(A) a≠b且b≠c(B) (a－b)(b－c)(c－a)≠0(C) (a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0(D) a2，b2，c2互不相等解析由于不相等关系不具有传递性，当a≠b且b≠c，a与c可能相等；由(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0可得a＝b，b＝c，c＝a中至少有一个不成立，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0等价于“a，b，c不全相等”，而不能等价于“a，b，c互不相等”；a＝－1，b＝0，c＝1，此时a，b，c互不相等，但a2＝c2，所以，“a，b，c互不相等”与“a2，b2，c2互不相等”不是等价的；a≠b等价于a－b≠0，“a，b，c互不相等”等价于a－b≠0，b－c≠0，c－a≠0同时成立，所以，“a，b，c互不相等”与“(a－b)(b－c)(c－a)≠0”等价，答案为B．1.2.10命题“若ab＝0，则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为．解析原命题的逆否命题为“若a、b均不为零，则ab≠0”．1.2.11给出下列四个命题：①若x2＝y2，则x＝y；②若x≠y，则x2≠y2；③若x2≠y2，则x≠y；④若x≠y且x≠－y，则x2≠y2，其中真命题的序号是．解析由x2＝y2可得x＝y或x＝－y，命题①不成立；若x＝－y≠0，此时x≠y，而x2＝y2，于是，命题②不成立；若x2≠y2时有x＝y，则可得x2＝y2，矛盾，于是，命题③成立；对于x≠y且x≠－y，如果x2＝y2，则有x＝y或x＝－y，即x＝y与x＝－y至少有一个成立，矛盾，于是，命题④成立．所以，上述四个命题中，真命题的序号是③和④．1.2.12已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根．命题q：方程4x2＋ 4(m－2)x＋1＝0没有实根．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m 的取值范围．解析当命题p为真时，应有解得m>2．当命题q为真时，应有Δ＝16(m －2)2－16<0，解得1<m<3．于是，使“p或q”为真的m的取值范围是m>1，使“p且q”为假的m的取值范围是m≤2或m≥3，所以，使两者同时成立的m 的取值范围是m≥3或1<m≤2．1.2.13某人要在一张3×3的表格中填入9个数(填的数有正有个数之和为负．求证：他一定不能写出满足要求的数表．解析若此人能写出满足要求的数表，则由a11＋a12＋a13>0，a21＋a22＋a23>0，a31＋a32＋a33>0可得数表中的九个数之和为正；同时，又有a11＋a21＋a31<0，a12＋a22＋a32<0，a13＋a23＋a33<0，则数表中的九个数之和为负，矛盾，所以，此人一定不能写出满足要求的数表．1.2.14设a，b∈R，A＝{(x，y)|y＝ax＋b，x∈Z}，B＝{(x，y)|y＝3x2＋15，x∈Z}，C＝{(x，y)|x2＋y2≤144}都是平面xOy内的点的集合．求证：不存在a，b，使得A∩B≠∅，且点(a，b)∈C 同时成立．解析设满足要求的a，b存在，则P(a，b)∈C，即a2＋b2≤144．由得ax＋b－(3x2＋15)＝0，在aOb平面内，原点到直线ax＋b－(3x2＋15)＝0的距离是＝3≥12，其中等号当且仅当3，即x2＝3时成立，但它与x∈Z矛盾，所以，使A∩B≠∅成立的(a，b)必有 >12，与a2＋b2≤144矛盾，所以，满足要求的a，b不存在．1.2.15中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”，“平行关系”等等，如果集合A中元素之间的一个关系“~”满足以下三个条件：(1) 自反性：对于任意a∈A，都有a~a；(2) 对称性：对于a，b∈A，若a~b，则有b~a；(3) 传递性：对于a，b，c∈A，若a~b，b~c，则有a~c，则称“~”是集合A的一个等价关系，例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系(自反性不成立)，请你再列出三个等价关系：．解析由集合、角、向量的性质可知，“集合相等”、“角相等”、“向量相等”都是满足要求的等价关系．1.2.16已知函数f(x)在R上是增函数，a，b∈R．写出命题“若a＋b>0，则f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)”的逆命题，并判断其真假．若所写命题是真命题，给出证明；若所写命题是假命题，给出反例．解析所求逆命题为：已知函数f(x)在R上是增函数，a，b∈R．若f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)，则a＋b>0．该命题是真命题．证明如下：若a＋b≤0，即a≤－b，由函数f(x)在R上是增函数得f(a)≤f(－b)，同理f(b)≤f(－a)，由此可得f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)，与已知条件矛盾．所以，a＋b>0．二、充分条件和必要条件1.2.17两个圆“周长相等”是“面积相等”的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析两个圆周长相等，则由2πr1＝2πr2得两圆半径r1＝r2，则两圆面积相等，反之亦然，所以，两个圆“周长相等”是“面积相等”的充要条件，答案为C．1.2.18P：四边形四条边长相等，Q：四边形是平行四边形，则P是Q的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析当四边形的四条边长相同时，它是菱形，一定是平行四边形；反之，一个平行四边形的四条边长不一定都相等，所以，P是Q的充分不必要条件，答案为A．1.2.19已知a，b，c，d都是实数，则“a＝b且c＝d”是“a＋c＝b＋d”的()．(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件解析对于实数a ，b ，c ，d ，如果a ＝b 且c ＝d ，则有a －b ＝0，c －d ＝0，则a ＋c －(b ＋d )＝(a －b )＋(c －d )＝0，于是，a ＋c ＝b ＋d ；反之，如果a ＝1，b ＝2，c ＝4，d ＝3，有a ＋c ＝b ＋d ，但此时a ≠b ，c ≠d ，所以，“a ＝b 且c ＝d ”是“a ＋c ＝b ＋d ”的充分不必要条件，答案为A ．1.2.20 已知a ，b ，c 是实数，则“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的( )．(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件解析如果a ＝b ，则a －b ＝0，于是，ac －bc ＝(a －b )c ＝0，可得ac ＝bc ；反之，如果c ＝0，a ＝1，b ＝2，此时有ac ＝bc ，但a ≠b ，所以，“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充分不必要条件，答案为A ．1.2.21 设m ，n 是整数，则“m ，n 均为偶数”是“m ＋n 是偶数”的( )．(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件解析如果m ，n 均为偶数，则m ＋n 一定是偶数；反之，如果m ＝1，n ＝3，m ＋n ＝4为偶数，但此时m 和n 都不是偶数，所以，“m ，n 均为偶数”是“m ＋n 是偶数”的充分而不必要条件，答案为A ．1.2.22 设集合A ，B 是全集U 的两个子集，则A B 是∁U A ∪B ＝U 的( )．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析由表示集合U ，A ，B 关系的图形可知当A B 时必有∁U A ∪B ＝U 成立，反之，当A ＝B 时，也有∁U A ∪B ＝U 成立，即A 是B 的真子集不是∁U A ∪B ＝U 成立的必要条件，所以，答案为A ．1.2.23 对于集合M 和P ，“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的( )．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析由表示集合M ，P 的图形可知当x ∈M 或x ∈P 时不一定有x ∈M ∩P ，而当x ∈M ∩P 时必有x ∈M 或x ∈P ，所以，“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的必要不充分条件，答案为B ．题1.2.22题1.2.231.2.24如果x，y是实数，那么“cos x＝cos y”是“x＝y”的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析当cos x＝cos y时，不一定有x＝y，而当x＝y时，必有 cos x＝cos y，所以，“cos x＝cos y”是“x＝y”的必要不充分条件，答案为B．1.2.25使不等式(1－|x|)(1＋x)>0成立的充要条件为()．(A) x<－1或x>1 (B) －1<x<1(C) x>－1且x≠1(D) x<1且x≠－1解析此不等式等价于或解得－1<x<1或x<－1，即为x<1且x≠－1，所以，答案为D．1.2.26一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正数根和一个负数根的充要条件是()．(A) ab>0 (B) ab<0 (C) ac>0 (D) ac<0解析若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正数根x1和一个负数根x2，则x1x2＝<0，则ac<0；反之，若ac<0，一元二次方程的判别式Δ＝b2－4ac>0，此方程一定有两个实数根，且两根之积为<0，这两个实数根一定是一个正数和一个负数，所以，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正数根和一个负数根的充要条件是ac<0，答案为D．1.2.27“x>1”是“<1”的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析若x>1，则－1＝<0，即<1；反之，如果x<0，则有<1，此时，x>1不成立，所以，“x>1”是“<1”的充分不必要条件，答案为A．1.2.28已知x是实数，则“x≠1”是“x2－4x＋3≠0”的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析如果x＝3，则x≠1，此时x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)＝0；反之，如果x2－4x＋3≠0，即(x－3)(x－1)≠0，则x≠3且x≠1，所以，“x≠1”是“x2－4x＋3≠0”的必要不充分条件，答案为B．1.2.29“一个正整数的个位数字是5”是“这个正整数是5的倍数”的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析如果一个正整数的个位数是5，即此正整数一定可表示成10k＋5(k 是非负整数)，它一定是5的倍数；反之，可写成10n(n是正整数)的正整数一定是5的倍数，但它的个位数不是5，所以，“一个正整数的个位数字是5”是“这个正整数是5的倍数”的充分不必要条件，答案为A．1.2.30对于集合A，B，下列四个命题中正确的是()．。

高考数学二轮复习常考题型大通关(全国卷理数)附答案

高考数学二轮复习常考题型大通关（全国卷理数）选择题：不等式1.不等式()20x x -<的解集是()A.()0,2 B.()(),02,-∞⋃+∞ C.(),0-∞ D.()2,+∞2.已知实数a b c ，，满足a b c <<，且0ab <，那么下列各式中一定成立的是()A.a a b c > B.()0a c b -< C.22ac bc > D.()0ab b a ->3.不等式2601x x x +->+的解集为()A.{|21x x -<<-或3}x >B.{|31x x -<<-或2}x >C.{|3x x <-或12}x -<<D.{|3x x <-或2}x >4.已知函数()(1)f x x a x =+.设关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A .若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦,则实数a 的取值范围是() A.15,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.1,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C.1513,00,22⎛⎫⎛⎫+⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.15,2⎛⎫--∞ ⎪ ⎪⎝⎭5.某商品进价为每件40元，当售价为50元/件时，一个月能卖出500件，通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件.商店为使销售该商品月利润最高，则应将每件商品定价为()A.45元B.55元C.65元D.70元6.设实数,x y 满足约束条件10,10,3x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则32z x y =-的最小值为（）A ．8B ．1C ．2-D ．137.若,x y 满足约束条件11030x x y x y ≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，2z x y a =++的最大值为1，则实数a =（）A ．4B ．4-C ．2D ．2-8.设,x y 满足约束条件3310x y x y y +≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z x y =+的最小值为()A.0B.1C.2D.39.已知x y ，满足约束条件20626x x y x y -⎧⎪+≤⎨⎪-⎩ ，则目标函数442y z x +=+的最大值为（）A ．6B ．5C ．2D ．1-10.已知变量,x y 满足约束条件2240240x y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若222x y x k ++≥恒成立，则实数k 的最大值为（）A ．40B ．9C ．8D ．7211.若点(),x y 在不等式组2010220x y x y -≤-≤+-≥⎧⎪⎨⎪⎩,表示的平面区域内运动,则t x y =-的取值范围是()A.[]2,1--B.[]2,1-C.[]1,2- D.[]1,212.若,x y R +∈，且1x y +=，则11x y +的取值范围是()A.(2,)+∞B.[2,)+∞C.(4,)+∞D.[4,)+∞13.设a b R ∈＋，，且1a b +=，则11a b +的最小值是()A ．4B ．C ．2D ．114.设,x y 为正数,则()14x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为()A.6 B.9 C.12 D.1515.如果正数,,,a b c d 满足4a b cd +==,那么()A.ab c d ≤+且等号成立时,,,a b c d 的取值唯一B.ab c d ≥+且等号成立时,,,a b c d 的取值唯一C.ab c d ≤+且等号成立时,,,a b c d 的取值不唯一D.ab c d ≥+且等号成立时,,,a b c d 的取值不唯一答案以及解析1.答案：A解析：不等式(2)0x x -<对应方程的两个实数根是0和2，∴不等式的解集是(0,2).故选A2.答案：B解析：a b c << ，且0ab <，0,0a c ∴<>，b 与0的大小关系不确定．()220,,()0a c b ac bc ab b a -<<-<．∴只有B 正确，故选：B ．3.答案：B 解析：不等式()()22606101x x x x x x +->⇒+-+>+()()()2130x x x ⇒-++>,则相应方程的根为3-,1-,2,由穿针法可得原不等式的解为{|31x x -<<-或2}x >.4.答案：A解析：由题意可得0A ⊆,即()(0)0f a f <=,所以(1)0a a a +<,当0a >时无解,所以0a <,此时210a ->,所以10a -<<.函数()f x 的图象(图略)中两抛物线的对称轴12x a =,12x a=-之间的距离大于1,而[],x a x +的区间长度小于1,所以不等式()()f x a f x +<的解集是11,2222a a a a ⎛⎫--- ⎪⎝⎭,所以1111,,222222a a a a ⎡⎤⎛⎫-⊆--- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭,所以11,222{11,222a a a a -<--->即2210,{10,a a a a --<++>解得151522a +<<,又10a -<<,所以实数a的取值范围是1,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.5.答案：D解析：设在50元的基础上提高x 元，每月的月利润为y ,则y 与x 的函数关系式为2 50010) 504010(()4005000y x x x x =-+-=-++，其图象的对称轴为直线20x =，故每件商品的定价为70元时，月利润最高.6.答案：C 解析：由已知的约束条件得到可行域如图由目标函数变形为322z y x =-得到当图中()0,1A 时，z 的最小为022-=-7.答案：B 解析：根据题意，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．2z x y a =++可化为1222z a y x =-+-，作出直线12y x =-，平移该直线，当平移后的直线经过可行域内的点(1,2)A 时，z 取得最大值1，把1,2,1x y z ===代入2z x y a =++，得4a =-．8.答案：C解析：作出不等式组表示的平面区域,如图所示的阴影部分：由z x y =+可得y x z =-+,则z 表示直线y x z =-+在y 轴上的截距,截距越小,z 越小,由题意可得,331x y x y +=⎧⎨-=⎩解得31,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,当y x z =-+经过点A 时,z 最小,由可得31,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,此时2z x y =+=．9.答案：B解析：x y ，满足约束条件20626x x y x y -≥⎧⎪+<⎨⎪-⎩，表示的可行域如图：目标函数441422y y z x x ++==⨯++，目标函数的几何意义是可行域的点与()2,1--斜率的4倍，由题意可知：DA 的斜率最大．由26x x y =⎧⎨+=⎩，可得()2,4A ，则目标函数442y z x +=+的最大值为：444522⨯+=+．故选：B ．10.答案：D 解析：作出可行域如图中阴影部分所示，设22222(1)1z x y x x y =++=++-表示可行域内点(,)P x y 与点(1,0)A -距离的平方减去1，由题知min z k ≤，过A 作直线20x y +-=的垂线，由图可知，垂足在线段BC 上，因为点A 到直线的20x y +-=的距离2=，所以2min 327()122z =-=，故选D.11.答案：C解析：命题人考查线性规划的有关知识.先根据约束条件2010220 xyx y-≤-≤+-≥⎧⎪⎨⎪⎩画出可行域由20220xx y-=+-=⎧⎨⎩,得()2,0B由10220yx y-=+-=⎧⎨⎩,得()0,1A当直线t x y=-过点()0,1A时,t最小,t最小是1-当直线t x y=-过点()2,0B时,t最大,t最大是2则t x y=-的取值范围是[]1,2-故选C.12.答案：D解析：0x y>，，且1x y+=；∴1111222 x y x y y x y xx y x y x y x y+++=+=+++=+++；当y xx y=，即x y=时取“=”；∴11x y+的取值范围为[)4,+∞.故选D.13.答案：A解析：∵1a b+=∴1111()a ba b a b⎛⎫+=++⎪⎝⎭2b aa b=++224+=，故最小值为：4故选C.14.答案：B解析：()14455549x y x y x y y x ⎛⎫++=++≥++= ⎪⎝⎭,当且仅当2y x =时等号成立,故最小值为9,选B.15.答案：A解析：,,,a b c d 是正数,有242a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭,当等号成立时,2a b ==,2442c d cd c d +⎛⎫=≤⇒+≥ ⎪⎝⎭,当等号成立时,2c d ==.综上可知ab c d ≤+当等号成立时,2a b c d ====.故选A.。