球体退化八叉树网格编码与解码研究

第25卷 第1期2009年1月地理与地理信息科学Geog ra phy and Geo -Infor matio n Science V ol.25 N o.1
Januar y 2009
收稿日期:2008-10-26
基金项目:国家杰出青年基金项目(50525414);国家自然科学基金项目(40571137);国家863计划项目(2006AA12Z216)
作者简介:余接情(1984-),男,硕士研究生,主要从事空间信息理论与空间数据组织研究。

E-mail:yujieqing1984@
球体退化八叉树网格编码与解码研究
余接情1
,吴立新
2
(1.中国矿业大学资源与安全工程学院,北京100083;2.民政部/教育部减灾与应急管理研究院(北京师范大学),北京100875)
摘要:球面离散网格只进行地球表面剖分,而球体退化八叉树网格(SD OG)可对整个球体空间进行多层次连续的三维递归剖分,且网格大小均匀、变形稳定,适合作为全球三维空间基础框架。

该文研究SD OG 的编码与解码问题,剖析了SDOG 网格编码的原理,提出两种网格编码方法,即单层次退化Z 曲线填充编码(SDZ)和多层次退化Z 曲线填充编码(M DZ),设计了相应的编码与解码算法。

通过实验比较了SDZ 、M DZ 和QuaP A 主码在编码效率、解码效率及编码长度方面的差异,结果表明M DZ 是一种优异的多分辨率动态网格编码方法,可服务于基于SD OG 的全球三维空间基础框架。

关键词:网格编码;球体退化八叉树网格(SDO G);Q uaPA 编码;空间曲线;数字地球中图分类号:P208 文献标识码:A 文章编号:1672-0504(2009)01-0005-05
0 引言
球面离散网格(Global Discrete Gr id,GDG)是一种基于球面连续递归细分的离散格网,具有层次性、全球连续性和格网均一性特征,可避免平面投影带来的角度、长度和面积变形及空间数据的不连续性问题[1],并解决平面模型在全球多分辨率空间数据管理上的数据断裂、变形和拓扑不一致问题[2]。

近年,国际学术界对GDG 网格剖分的研究大体可分为经纬度网格[3]、正多面体网格[4-7]和自适应网格[8]。

其中,基于正八面体的球面四元三角网(Qua -ternar y T riang ular M esh,QTM )和正二十面体的球面四叉树网格(Sphere Q uadT ree,SQT ),能近似满足等面积、等形状等要求[9]。

面向数字地球的网格编码研究也基本围绕QTM 和SQ T 展开,主要有固定方向编码[10]
、ZOT 投影编码[11]、线性四叉树编码[12]、LS 编码[13]、四叉树编码SQ C [14]等。

不管是Q TM 还是SQT ,球面离散网格只对球面进行剖分,未涉及球面内外的三维空间。

显然,球面空间表达已无法满足航天航空、气象气候、地质采矿、大型岩土与水利工程等学科领域的需求。

吴立新等
[15]
提出了一种球体三维网格剖分
方案(QuaPA 网格),但该网格大小不均匀,两极端
变形严重,在南北极和球心处的网格侧面收缩为线或点,不能满足全球网格标准要求,即网格须有近似的网格面积和形状[16]。

球体退化八叉树网格(Sphere Degenerated -Oc -
tree Grid,SDOG)是一种采用退化八叉树对整个球体进行三维空间连续递归剖分的方法,网格大小均匀,变形稳定(图1)。

SDOG 既继承了GDG 网格变形小的优点,又弥补了其空间维数的不足,适合作为全球三维空间基础框架。

图1 地球八分体的3、4层剖分可视化
Fig.1 Visu alization of 3rd and 4th level grids of octant E arth
网格编码是关于网格的数字标识,是网格必不可少的重要内容。

它隐含有网格的空间位置信息,实现网格位置与网格数据的联系。

因此,只有配套有编码的网格才可以成为空间参考框架体系。

1 术语定义与数学关系
1.1 术语定义
为方便论述,对SDOG 网格定义如下术语:经距:网格最大经面与最小经面的经度之差;纬距:网格最大纬面与最小纬面的纬度之差;径距:网格最大
径面与最小径面的半径之差;球体坐标:以地球球心为原点,由经度、纬度和半径组成的地球体三维空间坐标;剖分层次:在八分体基础上递归划分的次数;层域(Flo or Reg io n,FR):经多次剖分后,具有相同
经距和纬距的所有网格单元的集合,记球体最表面处层域序号N FR =1,依球心方向递增;纬域(Lat-i tude Region,LR):经多次剖分后,同一层域内具有相同经距的所有网格单元的集合,记0b 纬线处纬域序号N LR =1,依南北极方向递增;码元:编码的最小组成单元,如0和1是二进制编码的码元。

1.2 数学关系
SDOG 网格经N 次剖分后,将产生N +1个层域,第N FR 个层域拥有N+2-N FR 个纬域。

N FR 、N LR 与经纬度、半径r 的数学关系如下:
N F R =
[lo g 2
R
0r
]+1 r I (
R 0
2n ,R 0
]N+1 r I (0,
R 0
2n
](1)
N LR =
1 N FR =N +1
N +2-N FR 90b -90b
2
N+1-N FR [U [90b
[log 2180b 90b -U ] U <90b -90b 2
N+1-N FR ,N FR X N +1
(2)式中:[]是向下取整运算;U 是点的纬度,取值范围为[0b ,90b ),对南半球的点先归化到北半球再进行计算;r 是点的半径,取值范围为(0,R 0];R 0是球体的半径;网格剖分原点为(0,0,R 0)。

同一层域内所有网格的经距和纬距相同,同一层域和纬域内所有网格经距相同。

经距$K 、纬距$U 、径距$r 与层域序号N FR 、纬域序号N LR 的数学关系如下:
$K =90b /2N+
2-N FR -N LR
;$U =90b /2N+1-N FR ;$r=90b /2N (3)
2 SDOG 网格编码原理
传统的地理坐标和空间直角坐标属于连续坐标空间,采用多个独立的连续变量来标识空间位置;而网格属于离散坐标空间,通过离散的网格编码来标
识网格空间位置。

网格编码是一个将多维离散空间映射到一维离散空间的过程,即空间曲线填充过程,要求尽量保持原有的空间相关性、快速的经纬度坐
标与编码转换能力以及高效的邻近网格搜索能力。

常见的空间曲线有行序、Peano 曲线、H ilber t 曲线、Gr ay 曲线等[17]。

Peano 曲线(也称Z 曲线)因具有良好的空间聚簇性和简单高效的数学生成方法而备受推崇。

QuaPA 编码和基于QTM 的线性四叉树编码采用的填充曲线均为Z 曲线,因此本文利用Z 曲线填充SDOG 网格。

图2a 为三维Z 曲线填充方法,其中小黑点代表网格节点,数字顺
序表示曲线的填充路径。

三维Z 曲线要求每个父节点都拥有8个子节点,而SDOG
网格属于退化网格,父网格经过一次剖分会产生4~
8个子网格。

因此,正常的三维Z 曲线将无法完成SDOG 网格填充。

图2b 是经过改进后的Z 曲线)))退化Z 曲线(Deg enerated -Z Curv e,DZ),当4、5网格节点发生退化,变成一个网格节点时,曲线
也进行相应退化,即原来的4-5直线退化成4点,但对应的编码并不发生变化。

其实质是本属于退化网格的编码不参与整个系统编码。

图2 Z 曲线填充原理
Fig.2 Principal of Z -Curve filling
SDOG 网格第0层剖分将球体分成8个八分体,分别落在8个不同的象限中。

由于产生的所有八分体的大小和形状都一样,可将其余象限的网格统一归化到0象限,然后再对0象限内的网格进行编码,其它象限的网格则通过象限码进行区分。

象限码Q 的标识如图3。

图3 象限码标识示意
Fig.3 Label of eight quadrants
象限码Q 的计算公式为:
Q=K \90b -4@((U -90b )\90b )
(4)
式中:\为整除运算;K 为经度;U 为纬度,北纬为正,南纬为负。

网格归化为第一象限的计算公式为:
K c =K %90b ;U c =
U U \0-U U <0
(5)
式中:%为求余;K c 和U c 分别为归化后的经、纬度。

本文采用DZ 曲线填充SDOG 网格,分为单层
次DZ 曲线填充和多层次DZ 曲线填充,对应的编码
方法分别称为SDZ 编码和MDZ 编码。

3 SDZ 编码与解码
3.1 SDZ 编码原理
采用SDZ 曲线对某一特定剖分层次的网格进行填充,网格编码不含剖分层次信息。

如图4所示,粗实线和细实线组成的网格是正六面体经过两次正常八叉树剖分后产生的网格(竖直方向按层面切割后的平面图),格内数字为Z 曲线填充结果。

若将剖分层次为2的SDOG 网格映射到正六面体空间,然
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第25卷
后进行逐层显示,则粗实线所围成的网格就是SDOG 网格。

可见原本虚线框内的网格在SDOG 剖分中发生了退化,多个网格变成了一个网格。

显然,采用正常Z 曲线填充行不通。

针对这种退化网格,SDZ 的编码策略是:取被退化网格的最小编码为编码值,而对非退化网格则采用原编码。

图5显示了剖分层次为2的SDZ
编码结果。

3.2 SDZ 编码算法
据球体坐标计算SDOG 网格码的步骤为:第一步:利用式(4)计算坐标点所在象限码Q ,转换成二进制码Q 2Q 1Q 0,然后用式(5)将坐标归化到第一象限。

第二步:利用式(3)计算归化后坐标所在网格的经距$K 、纬距$U 和径距$r,并按下式计算经序号N K 、纬序号N U 和径序号N r :
N K =[K /$K ]@$K 90b @2
N
(6)N U =[U /$U ]@$U 90b @2
N
(7)N r =
(R 0-r )@2N
R 0
(8)
第三步:计算N K 、N U 、N r 每一位二进制数的K t 、
U t 和r t :
K t =(K &2t );U t =(U &2t );r t =(r &2t
)
(9)
式中:&为/位与0运算;t 为位的序号,t=0,1,,,t max ;t max +1为N K 、N U 、N r 中最长的二进制位数;t max [N,N 为剖分层次。

位短者以位长者为参照对高位补零。

第四步:按象限码-经-纬-径顺序组装编码,得SDOG 网格码C=Q 2Q 1Q 0K n U n r n ,K 1U 1r 1。

算法分析:算法第二步需要进行以2为底的幂运算和以2为底的对数运算。

以2为底的幂运算可以转换为向左移位运算,计算机移位运算由硬件完成,执行效率非常高,可忽略其耗时。

而对数运算是
一种复杂的非线性运算,如果直接采用对数函数进行计算势必消耗很长时间。

此处情况比较特殊,[log x 2]的函数取值范围是[0,N],在一个很小的范围内浮动,故可将该函数运算进行改进。

改进后的[log x 2]函数的时间复杂度最大为O(N),其中N 为网格的剖分层次。

改进的算法用伪码表示如下:
Algo rithm I nt_Lo g2(x )BEGIN
LET y V alue=1,N=1
WH IL E (yV alue<x )
yV alue M ov e Left o ne bit;N =N+1 EN D W HIL E
RET U RN N -1;
EN D
算法第三步和第四步是计算二进制位并进行组装,其时间复杂度为O(N )。

因此,SDZ 编码的时间算法复杂度为O(N)。

3.3 SDZ 解码算法
据SDOG 网格码反算球体坐标的步骤为:
第一步:从SDOG 网格码中分离出象限码Q 和象限内网格编码C c ,Q 取0~2位,C c 取第2位后的所有位。

第二步:将C c 按位依次拆分,得K t 、U t 、r t :
K t =(M T &23t );U t =(M T &2
3t+1
);r t =(MT &23t+2)(10)式中:t 为位的序号,t=0,1,2,,,t max ,t max [N,其中N 为剖分层次。

第三步:将K t 、U t 、r t 转换成十进制数N K 、N U 及N r ,并按下式计算经距$K 、纬距$U 、径距$r 。

$K =90b /2N ;$U =90b /2N ;$r=R 0/2N
(11)
第四步:由式(12)计算坐标(K ,U ,r ),并按式(13)对坐标进行反归化。

最终反算得球体坐标(K c ,U c ,r c ),3个坐标轴方向的误差分别为$K 、$U 和$r 。

K =N K @$K ;U =N K @$U ;r=R 0-N K @$r
(12)
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7第第1期
余接情等:球体退化八叉树网格编码与解码研究
K c=K+(Q%4)@90b;U c=U Q<4
-U Q\4
;r c=r(13)
算法分析:算法主要在第二、三步耗时。

第二步的时间复杂度是O(N);第三步的最大时间复杂度也为O(N)。

因此,SDZ解码的时间复杂度为O(N)。

4M DZ编码与解码
4.1MDZ编码原理
多层次DZ曲线填充是一种层次递归编码,同一剖分层次中同父网格采用退化Z曲线填充;不同剖分层次间同系网格采用增减码元方式表达更深层次的网格。

同父网格指从同一父网格剖分出来的子网格;同系网格指具有直属关系的网格。

与SDZ编码不同, MDZ编码将网格剖分层次引入编码中,使不同剖分层次的网格全部纳入同一编码范畴,实现了多分辨率编码,可对所有尺度的球体网格进行统一编码。

SDOG父网格一次剖分最多产生8个子网格,可用8个码元0~7表示。

二进制中,表达0~7需3个二进制位,故M DZ每个码元长度为3个二进制位。

图6为MDZ编码原理(为了图示方便,此处同样将八分体映射到正三棱柱,然后再按半径方向逐层面显示)。

图6c、图6d中的40~44和46共6个网格属于同父网格,采用DZ曲线进行填充;而它们与图6a中的4网格属于同系网格,故4网格添加相应的码元就成了上述6个网格的编码。

图6M DZ网格编码原理
Fig.6Principle of MDZ coding
4.2MDZ编码算法
据球体坐标计算SDOG网格码的步骤为:
第一步:利用式(4)计算坐标点所在象限码Q,转换成二进制码Q2Q1Q0,并用式(5)将坐标归化到第一象限。

第二步:计算经、纬、径序号。

利用式(3)计算经距$K、纬距$U和径距$r,再用下式计算经序号N K、纬序号N U、径序号N r。

N K=[
K
$K];N U=[
U
$U];N r=[
(R0-r)
](14)第三步:利用式(9)计算N K、N U、N r的每一位二进制数K t、U t、r t。

式中t=0,,,t N-1。

第四步:按象限码-经-纬-径顺序组装编码,得SDOG网格码C=Q2Q1Q0K n U n r n,K1U1r1。

算法分析:与SDZ编码一样,算法耗时主要在第二、三步。

根据上文的分析,第二步的时间复杂度为O(N);第三步的时间复杂度应为O(N)。

因此, M DZ编码的时间复杂度为O(N)。

4.3MDZ解码算法
据SDOG网格码反算球体坐标的步骤为:
第一步:分离象限码Q和象限内网格编码C c: Q取0~2位,C c取第2位后的所有位。

第二步:将C c按位依次拆分,得到K t、U t、r t,具体方法见式(10)。

第三步:将K t、U t、r t分别转换成十进制数N K、N U及N r,用下式计算N FR和N LR,再用式(3)计算经距$K、纬距$U和径距$r。

N FR=N-[lo g2N-N r-1
2
](15) N LR=N+1-N FR-[log22
N-N FR+1
-N U-1](16)第四步:由式(12)计算球体坐标(K,U,r),并按式(13)对球体坐标进行反归化。

最终得反算球体坐标为(K c,U c,r c),3个坐标轴方向的误差为$K、$U、$r。

算法分析:算法耗时主要在第二、三步。

第二步的时间复杂度为O(N);第三步的最大时间复杂度为O(N),故M DZ解码的时间复杂度为O(N)。

5实验比较及分析
SDOG网格和QuaPA网格同属球体三维网格,而球面离散网格则为球面二维网格,网格编码比较应在同维之间进行。

由于QuaPA编码的主码为网格编码,因此可取SDOG的两种编码方案分别与Q uaPA主码编码进行比较。

SDZ、M DZ与Q uaPA主码编码实质上都是采用Z曲线对网格进行填充,三者的时间复杂度应近似。

分析QuaPA编码可知,QuaPA主码编码与解码的时间复杂度也为O(N)(QuaPA网格间隔取不同剖分层次的网格间距)。

为进一步比较Q uaPA主码、SDZ编码和M DZ编码在码长、编码时间和解码时间方面的差异,笔者设计了一个编程实验。

图7为实验结果(实验环境:CPU为Intel奔腾双核E2140,单核主频为1.6GH Z;内存为1GB;操作系统为Window s;编程语言为VC6.0)。

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第地理与地理信息科学第25卷
由于W indo ws 操作系统是一种分时系统,当有其它任务存在时,W indo w s 将对CPU 进行分时分配,因此执行时间会有所波动。

由图7可见,随着剖分层次的增大,三者的编码时间、解码时间和编码长度基本上呈线性增长。

在编码效率方面,依次为QuaPA 、M DZ 和SDZ;在解码效率上,MDZ 稍低,SDZ 与Q uaPA 几乎一致;在编码长度方面,M DZ 稍长,SDZ 和QuaPA 一致。

当然,编码长度与网格所处位置有关,图7c 仅为某一位置网格的情况,理论上MDZ 的编码长度等于3N+3;而QuaPA 和SDZ 的编码长度在4~3N+3之间。

虽然QuaPA 主码在编码效率、解码效率和编码长度方面均优于SDZ 和M DZ,但由于QuaPA 编
码所基于的网格变形严重,并不适合作为全球三维空间基础框架。

SDZ 和M DZ 的网格基础是SDOG 网格,具有多层次结构、网格尺寸均匀和变形稳定
的优点,虽然在编码和解码效率上略低于QuaPA,但仅有01001ms 的差异,相对于网格变形而言,可以忽略不计。

此外,SDZ 和MDZ 在编码和解码效率方面各有优劣,SDZ 码长总体上小于M DZ 。

但由于SDZ 只针对某一特定层次进行编码,所表达的网格数量有限,无法将不同层次的网格纳入同一编码体系;而MDZ 编码把剖分层次作为独立的变量参加编码,使网格编码范围扩大到所有剖分层次,实现了多层次网格统一编码。

因此,M DZ 编码比SDZ
编码更优异。

图7 SDZ 、M D Z 与Q uaPA 主码的性能比较
Fig.7 Performance comparing between SDZ,MDZ and Qu aPA
6 结语
球体退化八叉树网格(SDOG)大小均匀、变形稳定,且可对整个球体空间进行多层次连续的三维递归剖分,适合作为全球三维空间基础框架。

针对SDOG 的多层次退化Z 曲线填充编码(M DZ)是一种多分辨
率动态网格编码方法,无论是在编码与解码效率及码长方面,还是在空间聚簇性方面,都有良好的表现,可作为SDOG 网格编码的首选。

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2.A cademy of Dis aster Reduction and Emer gency M anagement,M inistr y of Civ il A f f air s ,M inistr y of
Ed ucation (Beij ing N or mal Univer sity ),B eij ing 100875,China)
Abstract:T he G lo bal Discr ete G rid (GDG )only do spatial divisio n on t he Earth surface,but t he Sphere Degenerated -Octr ee Gr id (SDO G)do hierar chica l co ntinuous thr ee dimensional spatial div isio n on the w hole Eart h including its surface,inside and outside space.SDO G is nice to be a general three dimensio nal fundamental framew or k o f the Ear th.In this paper,the co ding and deco -ding pr inciples fo r SDO G ar e studied.T he coding principle fo r SDO G is analyzed,and two co ding methods,viz.single hierar chy deg ener at ed -Z curves coding (SDZ)and mult-i hier archy degenerated -Z cur ves co ding (M DZ)are present ed.T he related co ding and decoding alg or ithms fo r SDZ and M DZ ar e desig ned.F ur thermor e,the co ding efficiency ,decoding efficiency and code leng th are compared betw een M D Z,SDZ and QuaPA via experimental test.T he test shows that M DZ is an excellent method fo r the mult-i solution dynamic 3D g r id,and can ser ve the SD OG -based thr ee dimensional f undamental f ramewo rk of t he Eart h.Key words:g r id co ding ;Spher e Degenerated -Octr ee G rid(SD OG);Q uaPA coding;space cur ve;dig ital Earth
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31第第1期
侯卫生等:面向三维地质建模的领域本体逻辑结构与构建方法。