考点11 柱体、锥体、台体的表面积-庖丁解题2019学年高一数学人教版(必修2)(解析版)

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柱体、锥体、台体的表面积与体积(附答案)

柱体、锥体、台体的表面积与体积[学习目标] 1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台体的表面积的求法.2.了解柱、锥、台体的表面积和体积计算公式；能运用柱、锥、台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.知识点一多面体的表面积多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积. 知识点二旋转体的表面积思考求圆柱、圆锥、圆台的表面积时，要求的关键量是什么？答求圆柱、圆锥的表面积时，关键是求其母线长与底面的半径；求圆台的表面积时，关键是求其母线长与上、下底面的半径. 知识点三体积公式1.柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh .2.锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝13Sh .3.台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V 3思考简单组合体分割成几个几何体，其表面积如何变化？其体积呢？答表面积变大了，体积不变.题型一空间几何体的表面积例1 圆台的母线长为8 cm ，母线与底面成60°角，轴截面两条对角线互相垂直，求圆台的表面积.解如图所示的是圆台的轴截面ABB 1A 1，其中∠A 1AB ＝60°，过A 1作A 1H ⊥AB 于H ，则O 1O ＝A 1H ＝A 1A ·sin 60°＝43(cm)， AH ＝A 1A ·cos 60°＝4(cm)，即r 2－r 1＝AH ＝4.① 设A 1B 与AB 1的交点为M ，则A 1M ＝B 1M . 又∵A 1B ⊥AB 1，∴∠A 1MO 1＝∠B 1MO 1＝45°. ∴O 1M ＝O 1A 1＝r 1. 同理OM ＝OA ＝r 2.∴O 1O ＝O 1M ＋OM ＝r 1＋r 2＝43，② 由①②可得r 1＝2(3－1)，r 2＝2(3＋1).∴S 表＝πr 21＋πr 22＋π(r 1＋r 2)l ＝32(1＋3)π(cm 2).跟踪训练1 已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体SABC (即正四面体SABC )，求其表面积.解由于四面体SABC 的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍. 先求△SBC 的面积，过点S 作SD ⊥BC ，交BC 于点D ，如图所示.因为BC ＝a ，SD ＝SB 2－BD 2＝a 2－⎝⎛⎭⎫a 22＝32a ，所以S △SBC ＝12BC ·SD ＝12a ×32a ＝34a 2.因此，四面体SABC 的表面积为S ＝4×34a 2＝3a 2.题型二空间几何体的体积例2 在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，∠ABC ＝90°，把△ABC 绕其斜边AC 所在的直线旋转一周后，所形成的几何体的体积是多少？解如图所示，两个圆锥的底面半径为斜边上的高BD ，且BD ＝AB ·BC AC ＝125，两个圆锥的高分别为AD 和DC ，所以V ＝V 1＋V 2＝13πBD 2·AD ＋13πBD 2·CD＝13πBD 2·(AD ＋CD )＝13πBD 2·AC ＝13π×⎝⎛⎭⎫1252×5＝485π. 故所形成的几何体的体积是485π. 跟踪训练2 如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求A 到平面A 1BD 的距离d .解在三棱锥A 1－ABD 中，AA 1⊥平面ABD ，AB ＝AD ＝AA 1＝a ， A 1B ＝BD ＝A 1D ＝2a ， ∵11--=，A ABD A A BD V V∴13×12a 2·a ＝13×12×2a ×32·2a ·d . ∴d ＝33a .∴A 到平面A 1BD 的距离为33a . 题型三与三视图有关的表面积、体积问题例3 (1)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积等于( ) A.8π cm 2 B.7π cm 2 C.(5＋3)π cm 2D.6π cm 2(2)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.答案 (1)B (2)6＋π解析 (1)此几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱与一个底面半径为1，母线长为2的圆锥组合而成的，故S 表＝S 圆柱侧＋S 圆锥侧＋S 底＝2π×1×2＋π×1×2＋π×12＝7π. (2)由三视图可知该几何体是组合体.下面是长方体，长、宽、高分别为3,2,1；上面是一个圆锥，底面圆半径为1，高为3，所以该几何体的体积为3×2×1＋13π×12×3＝(6＋π) m 3.跟踪训练3 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________.答案 16π－16解析由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为4，故体积为16π；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，故题中几何体的体积为16π－16.分割转化求体积例4 如图所示，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，E ，F 分别为AA 1，CC 1的中点，求四棱锥A 1－EBFD 1的体积.分析本题若直接求解较为困难，这里利用“割”的思想，将四棱锥的体积转化为两个等底的三棱锥的体积之和，从而简化求解步骤. 解因为EB ＝BF ＝FD 1＝D 1E ＝ a 2＋⎝⎛⎭⎫a 22＝52a ，D 1F ∥EB ，所以四边形EBFD 1是菱形. 连接EF ，则△EFB ≌△EFD 1.易知三棱锥A 1－EFB 与三棱锥A 1－EFD 1的高相等，故111122---==.A EBFD A EFB F EBA V V V 又因为1∆EBA S ＝12EA 1·AB ＝14a 2，则1-F EBA V ＝112a 3，所以111122---==A EBFD A EFB F EBA V V V ＝16a 3.圆柱体积的求解例5 把长、宽分别为4,2的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积. 分析利用底面的周长，求得底面半径，利用圆柱的体积公式求解. 解设圆柱的底面半径为r ，母线长为l ，高为h .如图①所示，当2πr ＝4，l ＝2时，r ＝2π，h ＝l ＝2，所以V 圆柱＝πr 2h ＝8π；如图②所示，当2πr ＝2，l ＝4时，r ＝1π，h ＝l ＝4；所以，此时V 圆柱＝πr 2h ＝4π.1.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是( ) A.1＋2π2π B.1＋2π4π C.1＋2ππ D.1＋4π2π2.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )A.5πB.6πC.20πD.10π3.一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )A.12πB.18πC.24πD.36π4.一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________.5.如图，在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱CC 1的平面A 1B 1EF ，这个平面分三棱台成两部分，这两部分的体积之比为________.一、选择题1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( ) A.4π B.3π C.2π D.π2.已知高为3的直棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B 1－ABC 的体积为( ) A.14 B.12C.36D.343.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的表面积是( ) A.3π B.33π C.2π D.9π4.在一个长方体中，过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，它的体对角线长是214，则这个长方体的体积是( ) A.6 B.12 C.24 D.485.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A.21＋ 3B.18＋3C.21D.186.体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是( )A.54B.54πC.58D.58π7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A.16B.13C.23D.1二、填空题8.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________.9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.10.一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.11.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2.若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________. 三、解答题12.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形. (1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的侧面积S .13.已知底面半径为 3 cm ，母线长为 6 cm 的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积及体积.当堂检测答案1.答案 A解析设底面圆半径为r ，母线长为h ，∴h ＝2πr ，则S 表S 侧＝2πr 2＋2πrh 2πrh ＝r ＋h h ＝r ＋2πr 2πr ＝1＋2π2π.2.答案 D解析用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π. 3.答案 C解析由三视图知该几何体为圆锥，底面半径r ＝3，母线l ＝5，∴S 表＝πrl ＋πr 2＝24π.故选C. 4.答案 12解析设正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h ′.由题意，得13×6×12×2×2×32×h ＝23，∴h ＝1.∴斜高h ′＝12＋⎝⎛⎭⎫2×322＝2，∴S 侧＝6×12×2×2＝12.5.答案 3∶4(或4∶3)解析设三棱台的上底面面积为S 0，则下底面面积为4S 0，111-A B C ABC V 三棱柱＝S 0h .111-ABC A B C V 三棱台＝73S 0h .设剩余的几何体的体积为V ，则V ＝73S 0h －S 0h ＝43S 0h ，体积之比为3∶4或4∶3.课时精练答案一、选择题 1.答案 C解析底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.故选C. 2.答案 D 解析 S 底＝12×1×1－⎝⎛⎭⎫122＝34，所以1B ABC V －三棱锥＝13S 底·h ＝13×34×3＝34.3.答案 A解析设圆锥底面的半径为R ，则由12×2R ×3R ＝3，得R ＝1.所以S圆锥表＝πRl ＋πR 2＝π×1×2＋π＝3π. 4.答案 D解析设长方体的三条棱长分别为a,2a,3a ，那么a 2＋(2a )2＋(3a )2＝214.解得a ＝2，长方体的体积为V ＝2×4×6＝48. 5.答案 A解析由三视图可知，该多面体为一个边长为2的正方体在左下角与右上角各切去一个三棱锥，因此该多面体的表面积为6×⎝⎛⎫4－12＋12×2×62×2＝21＋ 3. 6.答案 A解析设上底面半径为r ，则由题意求得下底面半径为3r ，设圆台高为h 1，则52＝13πh 1(r 2＋9r 2＋3r ·r )，∴πr 2h 1＝12.令原圆锥的高为h ，由相似知识得r 3r ＝h －h 1h ，∴h ＝32h 1，∴V 原圆锥＝13π(3r )2×h ＝3πr 2×32h 1＝92×12＝54.7.答案 B解析如图，三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，有一条侧棱和底面垂直，且其长度为2，故三棱锥的高为2，故其体积V ＝13×12×1×1×2＝13，故选B. 二、填空题 8.答案 2∶1解析 S 圆柱＝2·π⎝⎛⎭⎫a 22＋2π·a 2·a ＝32πa 2， S 圆锥＝π⎝⎛⎭⎫a 22＋π·a 2·a ＝34πa 2， ∴S 圆柱∶S 圆锥＝2∶1. 9.答案7解析设新的底面半径为r ，则有13×πr 2×4＋πr 2×8＝13×π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7.10.答案 83π11 解析由三视图可知原几何体是由两个圆锥和一个圆柱组成的，它们有共同的底面，且底面半径为1，圆柱的高为2，每个圆锥的高均为1，所以体积为2×13π×12×1＋π×12×2＝8π3(m 3). 11.答案 32解析设两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2.由S 1S 2＝94，得πr 21πr 22＝94，∴r 1r 2＝32. 由圆柱的侧面积相等，得2πr 1h 1＝2πr 2h 2，即r 1h 1＝r 2h 2.∴V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝r 1r 2＝32. 三、解答题12.解由已知可得该几何体是一个底面为矩形、高为4、顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥V -ABCD .(1)V ＝13×(8×6)×4＝64. (2)该四棱锥的两个侧面VAD ，VBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高为h 1＝ 42＋⎝⎛⎭⎫822＝42，另两个侧面VAB ，VCD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高为h 2＝ 42＋⎝⎛⎭⎫622＝5.因此S 侧＝2⎝⎛⎭⎫12×6×42＋12×8×5＝40＋24 2. 13.解作轴截面如图，设挖去的圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则l ＝(6)2＋(3)2＝9＝3(cm).故几何体的表面积为S ＝πrl ＋πr 2＋2πr ·AD＝π×3×3＋π×(3)2＋2π×3× 6＝33π＋3π＋62π ＝(33＋3＋62)π(cm 2).几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π·r 2·AD －13πr 2AD ＝π×3×6－13×π×3× 6 ＝26π(cm 3).。

高一数学人教版A版必修二课件：1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积

第一章 § 1.3 空间几何体的表面积与体积第1课时　柱体、锥体、台体的表面积学习目标1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法；2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式；能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题；3.培养空间想象能力和思维能力.问题导学题型探究达标检测问题导学新知探究点点落实知识点一　棱柱、棱锥、棱台的表面积思考1　正方体与长方体的展开图如图(1)(2)所示，则相应几何体的表面积与其展开图的面积有何关系？答案　相等.思考2　棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积是否也都相等？答案　是.图形表面积多面体多面体的表面积就是的面积的和，也就是的面积各个面展开图知识点二　圆柱、圆锥、圆台的表面积思考1　圆柱OO′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？答案　S＝2πrl，侧S＝2πr(r＋l).表思考2　圆锥SO及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？答案　底面周长是2πr，利用扇形面积公式得：S＝πr2＋πrl＝πr(r＋l).表思考3　圆台OO ′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？答案　如图，圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，S 扇环＝S 大扇形－S 小扇形＝π[(R －r )x ＋Rl ]＝π(r ＋R )l ，所以，S 圆台侧＝π(r ＋R )l ，S ＝π(r 2＋rl ＋Rl ＋R 2).图形表面积公式旋转体圆柱底面积：S底＝侧面积：S侧＝表面积：S＝题型探究重点难点个个击破类型一　棱柱、棱锥、棱台的表面积例1　已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积.跟踪训练1　在本例中，把棱台还原成棱锥，你能利用棱锥的有关知识求解吗？类型二　圆柱、圆锥、圆台的表面积例2　(1)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.3πB.4πC.2π＋4D.3π＋4解析　由三视图可知：该几何体为：故表面积为：＝π＋2π＋4＝3π＋4.D解析　如图所示，设圆台的上底面周长为c ，因为扇环的圆心角是180°，故c ＝π·SA ＝2π×10，所以SA ＝20，同理可得SB ＝40，所以AB ＝SB －SA ＝20，所以S 表面积＝S 侧＋S 上＋S下＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm 2).故圆台的表面积为1 100π cm 2.(2)圆台的上、下底面半径分别为10 cm 和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是___________ (结果中保留π)1 100π cm 2跟踪训练2 (1)轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( )A.4倍B.3倍 D.2倍解析　设圆锥底面半径为r，由题意知母线长l＝2r，则S侧＝πr×2r＝2πr2，D(2)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧A面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A.7B.6C.5D.3解析　设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r，S＝π(r＋3r)×3＝84π，侧∴r＝7.类型三　简单组合体的表面积例3　某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是________cm2.跟踪训练3　一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的表面积为__________m2.解析　由三视图可以得到原几何体是一个圆柱与圆锥的组合体，其表面积为123达标检测 45 1.已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是( )解析　设圆柱底面半径、母线长分别为r，l，由题意知l＝2πr，S侧＝l2＝4π2r2.S 表＝S侧＋2πr2＝4π2r2＋2πr2＝2πr2(2π＋1)，A2.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为( )C解析　由三视图可知该几何体为一个半圆锥，底面半径为1，高为，3.一个几何体的三视图(单位长度：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )解析　该几何体是四棱锥与正方体的组合，A4.表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面2直径为___.解析　设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r.∴r＝1，即圆锥的底面直径为2.12345解析答案5.如图所示，直角三角形的两条直角边长分别为15和20，以它的斜边为轴旋转生成的旋转体，求旋转体的表面积.规律与方法1.多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和.棱柱的表面积等于它的侧面积加底面积；棱锥的表面积等于它的侧面积加底面积；棱台的表面积等于它的侧面积加两个底的面积.2.有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解.而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解.3.S圆柱表＝2πr(r＋l)；S圆锥表＝πr(r＋l)；S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2).返回。

人教版高中数学必修2：1.3.1柱体,椎体,台体的表面积与体积课件

解： V Sh r2h
O
=
3 4
122

6
10

3.14

10 2
2

10
=2956mm3 2.956cm3
螺帽个数：5.8×1000÷（7.8×2.956）≈252 答：这堆螺帽大约有252个。
练习：课本P283,4
3
V 1 Sh（其中S为底面面积，h为高） 3
圆锥体积
圆锥的体积公式：
V 1 Sh （其中S为底面面积，h为高） 3
圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的．1 3
柱体的体积计算公式： V柱体=sh
锥体的体积计算公式:
V锥体=
1 sh 3
（其中S为底面积,h为高）
P
练习：三棱锥P-ABC的
O`
O
圆锥的侧面展开图是一个扇形：
如果圆锥的底面半径为，r 母线为，l
那么圆锥的底面积为，r侧2 面积为。 rl
因此圆锥的表面积为 S r 2 rl r(r l)
S
2r
O
练习：圆锥母线长为5厘米，底面半径为3厘米，求圆锥的表面积。
圆台的侧面展开图是一个扇环，它的表面积等于上、下两个底面和加上侧面的面积，即
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？
棱柱、棱锥、棱台的表面积
h'
h'
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．
S表=S侧+S底
h
侧面展开图是矩形

柱体、锥体、台体的表面积和体积课件

柱体、锥体、台体的表面积与体积
[知识提炼Байду номын сангаас梳理]
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面体，因此它们的表面积等于各个面的面积之和，也就是展开图的面积．
2．圆柱、圆锥、圆台的表面积
底面积：S 底＝πr2 圆
侧面积：S 侧＝2πrl 柱
表面积：S＝2πrl＋2πr2 底面积：S 底＝πr2 圆侧面积：S 侧＝2πrl 锥表面积：S＝πrl＋πr2
所以 r＝4.则 h＝4. 故圆锥的体积 V 圆锥＝13πr2h＝634π. 答案：A
[迁移探究 1] (变换条件，改变问法) 将典例 2 中第(2)题的条件“侧面积是 16 2π”改为“若其体积为 3 π”，求该圆锥的侧面积．
解：设圆锥的底面半径为 r，则高 h＝r，母线 l＝PB
＝ 2r.
[变式训练] 圆台的上、下底面半径分别是 10 cm 和 20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是 180°，求圆台的表面积．
解：如图所示，设圆台的上底面周长为 c cm，由于扇环的圆心角是 180°，则 c＝π·SA＝2π×10，解得 SA＝ 20(cm)．
同理可得 SB＝40(cm)，所以 AB＝SB－SA＝20(cm)．所以 S 表＝S 侧＋S 上＋S 下＝ π×(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝ 1 100π(cm2)．
2＋5 则 S 底＝ 2 ×4＝14，高 h＝4. 所以 V 四棱柱＝S 底·h＝56.
归纳升华 1．求解柱体体积的关键是根据条件找出相应的底面积和高，对于旋转体要充分利用旋转体的轴截面，将待求的量转化到轴截面内求． 2．求解锥体体积的关键是明确锥体的底面是什么图形，特别是三棱锥，哪个三角形作为底面是解题的关键点．

专题131柱体、锥体、台体的表面积与体积-试题君之K三关高一数学人教版(必修2)含答案.doc

1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积知识一、棱柱、棱锥、棱台的表面积1.棱柱、棱锥、棱台的表面积的概念棱柱、棱锥、棱台是rti多个平面图形I詞成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积Z_, 因此，我们对以把多面体展开成平面图形,利用平面图形求面积的方法求多面体的表面积.2.棱柱、棱锥、棱台的表面积（1）侧面积：棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图分别是由若干个_____ 、______ 、_____ 所组成的.侧面展开图的面积称为儿何体的侧面面积（即侧面积）•由此可知，棱柱、棱锥、棱台的侧面积就是它们的各个侧面的面积Z和.（2）表面积：棱柱、棱锥、棱台的平面展开图是将其所有和展开后形成的一个平面图形，因而平面展开图的面积就是它们的表面积.可见，棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成这些几何体的各个平血的面积之和，也可表示为：'附披='梭柱侧+ 2S底，S棱锥农=S棱锥侧+ S底» S棱台表=S棱台侧4- S上底+ S下底•3.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面面积（1）直棱柱的侧血积：把直棱柱（侧棱与底血垂直的棱柱）沿一条侧棱剪开后，得到的侧面展开图是一个矩形.如图（1）所示，则直棱柱的侧面面积为冷= ____ （c为底面周长，力为侧棱长）.（2）正棱锥的侧面积：正棱锥（底面是正多边形，顶点在底面的正投影是底面的中心）的侧面展开图是几个全等的等腰三角形.如图（2）所示，则正棱锥的侧而面积为S= ______ （c为底而周长，夕为斜高，即侧面等腰三角形底边上的高）.（3）正棱台的侧面积：正棱台（市正棱锥截得）的侧面展开图是儿个全等的等腰梯形.如图⑶所示，则正棱台的侧面面积__________________ （R , q分别为上、下底面周长，F 为斜高，即侧面等腰梯形的高）.二、圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱（底面半径为厂，母线长为/）圆锥（底面半径为八母线长为/）圆台（上、下底面半径分别为”，r,母线长为7）侧面展开图円 ......... : (i)、1 2irr&底面面积S底二S底二心s上底S s下底二兀斥侧面面积5#1=2 n rl S侧二S侧二兀/（”+厂）表面积S表=2 n /(厂+■ 1)S 表二n r(z+J)S远三、柱体、椎体、台体的体积1.柱体、椎体、台体的高（1）棱柱（圆柱）的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离.圆柱的_______ 即圆柱的高.（2）棱锥（圆锥）的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离.（3） __________________________ 棱台（圆台）的高是指两个之间的距离.2.柱体、锥体、台体的体积几何体体积柱体儿* （S为底面面积，力为高）,V^Ttrh^r为底面半径，力为高）锥体y锥体二丄S力（S为底面面积，力为高），V（厂为底面半径，力为高）3四、组合体的表面积与体积求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，再相加或相减.K 知识参考答案:晅“・：：織・。

(2019新教材)人教A版高中数学必修第二册：柱、锥、台的表面积和体积

柱、锥、台的表面积和体积
考点
学习目标
了解柱体、锥体、台体的侧面展柱、锥、台的
开图，掌握柱体、柱、锥、台的表面积
体积
锥体、台体的能利用柱体、锥体、台体的体积
表面积的求公式求体积，理解柱体、锥体、
法
台体的体积之间的关系
ห้องสมุดไป่ตู้
核心素养直观想象、
数学运算
直观想象、数学运算
问题导学预习教材 P114－P117 的内容，思考以下问题： 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？ 2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么？ 3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是什么？ 4．柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？ 5．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式、体积公式之间分别有怎样的关系？
三棱锥的表面积 S 锥＝4× 23＝2 3，又正方体的表面积 S 正＝6. 因此 S 锥∶S 正＝2 3∶6＝1∶ 3. (3)设圆台较小底面的半径为 r，则另一底面的半径为 3r.由 S 侧＝3π(r＋3r)＝84π，解得 r＝7. 【答案】 (1)C (2)B (3)A
空间几何体表面积的求法技巧 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和． (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理． (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
3×4×5＝60(cm3)．圆台的上、下底面半径分别为 3 和 4，母线长为 6，则其表面
积等于( )
A．72
B．42π
C．67π
D．72π
解析：选 C．S 表＝π(32＋42＋3×6＋4×6)＝67π.
柱、锥、台的表面积
(1)若圆锥的正视图是正三角形，则它的侧面积是底面积

高中数学必修2立体几何常考题型：柱体、锥体、台体的表面积和体积

柱体、锥体、台体的表面积和体积【知识梳理】1．几种几何体的表面积公式锥体的体积公式V ＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)台体的体积公式V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h【常考题型】题型一、柱、锥、台的表面积【例1】某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．[解析]由三视图，画出几何体的直观图易求得基本量，如图所示，其表面积S＝(2＋5)×42×2＋4×(2＋4＋5＋5)＝28＋64＝92.[答案]92【类题通法】1．求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积．2．结合三视图考查几何体的表面积是高考的热点，解决此类问题的关键是正确地观察三视图，把它还原为直观图，特别要注意从三视图中得到几何体的相关量，再结合表面积公式求解．【对点训练】1．圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，求圆台的表面积．解：如图所示，设圆台的上底面周长为c cm，由于扇环的圆心角是180°，则c＝π·SA＝2π×10，解得SA＝20(cm)．同理可得SB＝40(cm)，所以AB＝SB－SA＝20(cm)．所以S表＝S侧＋S上＋S下＝π×(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2).题型二、柱、锥、台的体积【例2】已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．[解]如图所示，在三棱台ABC-A′B′C′中，O′、O分别为上、下底面的中心，D、D′分别是BC、B′C′的中心，则DD′是等腰梯形BCC′B′的高，所以，S 侧＝3×12×(20＋30)×DD ′＝75DD ′.又A ′B ′＝20 cm ，AB ＝30 cm ，则上、下底面面积之和为 S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253(cm 2)．由S 侧＝S 上＋S 下，得75DD ′＝3253，所以，DD ′＝1333(cm)．又∵O ′D ′＝36×20＝1033(cm)， OD ＝36×30＝53(cm)， ∴棱台的高h ＝O ′O ＝D ′D 2－(OD －O ′D ′)2 ＝(1333)2－(53－1033)2＝43(cm)，由棱台的体积公式，可得棱台的体积为 V ＝h3(S 上＋S 下＋S 上S 下)＝433×(3253＋34×20×30)＝1 900(cm 3)．【类题通法】求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面(尤其为圆柱、圆锥时)，准确求出几何体的高和底面积；同时，对不规则的几何体可利用分割几何体或补全几何体的方法转化为柱、锥、台体的体积计算问题．【对点训练】2．已知圆台的高为3，在轴截面中，母线AA 1与底面圆直径AB 的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．解：如图所示，作轴截面A 1ABB 1，设圆台的上、下底面半径和母线长分别为r 、R ，l ，高为h .作A 1D ⊥AB 于点D ，则A 1D ＝3. 又∵∠A 1AB ＝60°，∴AD ＝A 1Dtan 60°，即R －r ＝3×33，∴R －r ＝ 3.又∵∠BA 1A ＝90°，∴∠BA 1D ＝60°. ∴BD ＝A 1D ·tan 60°，即R ＋r ＝3×3， ∴R ＋r ＝33，∴R ＝23，r ＝3，而h ＝3， ∴V 圆台＝13πh (R 2＋Rr ＋r 2)＝13π×3×[(23)2＋23×3＋(3)2]＝21 π.所以圆台的体积为21 π.题型三、简单组合体的表面积和体积【例3】已知△ABC 的三边长分别是AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，以AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．[解] 如图，在△ABC 中，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D .由AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，知AC 2＋BC 2＝AB 2，则AC ⊥BC . ∵BC ·AC ＝AB ·CD ，∴CD ＝125，记为r ＝125，那么△ABC 以AB 所在直线为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底半径r ＝125，母线长分别是AC ＝3，BC ＝4，所以S 表面积＝πr ·(AC ＋BC )＝π×125×(3＋4)＝845π，V ＝13πr 2(AD ＋BD )＝13πr 2·AB＝13π×⎝⎛⎭⎫1252×5＝485π. 所以，所求旋转体的表面积是845π，体积是485π.【类题通法】求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式，对于与旋转体有关的组合体问题，要根据条件分清各个简单几何体的底面半径及母线长，再分别代入公式求解．【对点训练】3．某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π解析：选C 由三视图可知，该几何体是由底面直径为6，高为5的圆柱与底面直径为6，母线长为5的圆锥组成的组合体，因此，体积为V ＝π×32×5＋13×π×32×52－32＝57π.【练习反馈】1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( ) A ．1∶2 B ．1∶ 3 C ．1∶ 5D.3∶2解析：选C 设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ， ∴其母线长l ＝5r .∴S 侧＝πrl ＝5πr 2，S 底＝πr 2.2．若长方体的长、宽、高分别为3 cm 、4 cm 、5 cm ，则长方体的体积为( ) A ．27 cm 3 B ．60 cm 3 C ．64 cm 3D ．125 cm 3解析：选B 长方体即为四棱柱，其体积为底面积×高，即为3×4×5＝60 cm 3. 3．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．解析：易知圆锥的母线长为2，设圆锥的半径为r ，则2πr ＝12×2π·2，∴r ＝1，则高h ＝l 2－r 2＝ 3.∴V 圆锥＝13πr 2· h ＝13π×3＝33π.答案：33π 4．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________．解析：已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，设圆台上底面的半径为r ，则下底面半径和高分别为4r 和4r ，由100＝(4r )2＋(4r －r )2，得r ＝2，故圆台的侧面积等于π(r ＋4r )l ＝π(2＋8)×10＝100π. 答案：100π5．一个正三棱柱的三视图如图所示(单位：cm)，求这个正三棱柱的表面积与体积．解：由三视图知直观图如图所示，则高AA ′＝2 cm ，底面高B ′D ′＝2 3 cm ，所以底面边长A ′B ′＝23×23＝4 cm. 一个底面的面积为12×23×4＝4 3 cm 2.所以S 表面积＝2×43＋4×2×3＝(24＋83) cm 2， V ＝43×2＝8 3 cm 3.所以表面积为(24＋83) cm 2，体积为8 3 cm 3.。

考点12 柱体、锥体、台体的体积-庖丁解题2019学年高一数学人教版(必修2)(解析版)

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1
1．棱柱的体积公式为V 柱体＝Sh ，(S 为柱体底面积，h 为柱体的高)，．
2．若一个棱锥的底面积为S ，高为h ，则它的体积是V 锥体＝13
Sh ， 3．若一个台体上、下底面的面积分别为S ′、S ，高为h ，则它的体积公式为V 台体＝13
h (S ＋SS ′＋S ′)， 4．圆柱的体积公式为V 圆柱＝πr 2h (r 为底面半径，h 为圆柱的高)．
5．圆锥的底面半径为r ，高为h ，则它的体积为V 圆锥＝13
πr 2h ． 6．若圆台上、下底面半径分别为r ′、r ，高为h ，则它的体积为V 圆台＝13
πh (r 2＋rr ′＋r ′2)．【例】现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．
【答案】7
1．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 【答案】A
【解析】由题意，V ＝13
(π＋2π＋4π)h ＝7π，∴h ＝3．。

2019高中数学考点11 柱体、锥体、台体的表面积庖丁解题新人教A版必修2

考点11 柱体、锥体、台体的表面积1．设直棱柱高为h ，底面多边形周长为c ，则直棱柱侧面积公式为S直棱柱侧＝ch ，即直棱柱侧面积等于它的底面周长和高的乘积．2．若正棱锥的底面边长为a ，底面周长为c ，斜高为h ′，则正n 棱锥的侧面积公式为S 正棱锥侧＝21nah ′＝21ch ′，即正棱锥的侧面积等于它的底面的周长和斜高乘积的一半． 3．若圆柱、圆锥、圆台沿其母线剪开后展开，其侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环，其侧面积公式分别为S 圆柱侧＝2πRh ，S 圆锥侧＝πRl ，S 圆台侧＝π(R ＋r )l ．【例】若圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为( ) A ．π B ．2π C ．3πD ．4π【规律总结】圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键．1．各棱长均为2的正三棱锥的表面积是( ) A ． B ．4 C ．4 D ．16 【答案】C【解析】每个面的面积为21×2×2×23＝，∴该正三棱锥的表面积为4．【解题技巧】用展开图来计算棱柱、棱锥、棱台的表面积即棱锥、棱柱、棱台的表面积=侧面积+底面积2．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．48B ．32＋8C ．48＋8D ．80 【答案】C3．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积．．．等于( )A ．6B ．6πC ．3πD ．6π 【答案】C【解析】圆台的两底面半径分别是1,2，高为2，则母线长为＝，则其侧面积等于π(1＋2)×＝3π．【解题技巧】由三视图求表面积时，关键是利用三视图还原出几何体．要注意三视图中的数据，还原成直观图(或实物)后的变化．4．已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( ) A ．23B ．1C ．22＋1D ．【答案】D5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．180B ．200C ．220D ．240 【答案】D【解析】几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，腰为5的等腰梯形，故两个底面面积的和为21×(2＋8)×4×2＝40，四个侧面面积的和为(2＋8＋5×2)×10＝200，所以直四棱柱的表面积为S ＝40＋200＝240．【易错易混】本题在求解过程中易错误将3作为等腰梯形的腰长，从而误求结果为200． 6．四棱锥P －ABCD 的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如图所示，则四棱锥P －ABCD 的表面积为________．【答案】(2＋)a 27．某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．【解析】圆台的轴截面如图所示．设圆台上、下底面半径分别为x cm 和3x cm ，延长AA 1交OO 1的延长线于点S ．在Rt △SOA 中，∠ASO ＝45°，则∠SAO ＝45°， ∴SO ＝AO ＝3x cm ，OO 1＝2x cm ， ∴21(2x ＋6x )·2x ＝392，解得x ＝7．又母线长AA 1＝OO 1，∴圆台的高OO 1＝14 cm ，母线长为14 cm ，底面半径分别为7 cm 和21 cm ．1．一个长、宽、高分别为a 、b 、c 的长方体的体积是8，它的表面积是32，且满足b 2＝ac ，那么这个长方体棱长的和是( ) A ．28 B ．32 C ．36 D ．402．圆柱的底面积为S ，侧面展开图为一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( ) A ．4πSB ．2πSC ．πSD ．33πS 【答案】A【解析】设底面半径为r ，故S ＝πr 2．由侧面展开图为正方形，则高h ＝2πr ，则圆柱的侧面积为2πrh ＝4π(πr 2)＝4πS ，故选A ．3．一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )A．12πB．18πC．24πD．36π【答案】C【解析】由三视图知该几何体为圆锥，底面半径r＝3，母线l＝5，∴S表＝πrl＋πr2＝24π．故选C．4．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是________．【答案】12π．【解析】此几何体的上部为球，球的直径为2，下部为一圆柱，圆柱的高为3，底面圆的直径为2，所以S表＝4π＋π＋π＋2π×3＝12π．5．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________．6．如图，以圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面的中心为顶点作圆锥，则该圆锥与圆柱等底等高．若圆锥的轴截面是一个正三角形，求圆柱的侧面积与圆锥的侧面积的比值．【答案】．【解析】设圆锥底面的半径为r，则母线长为2r，高为r，中央电视台总部大楼玻璃幕墙如图所示中央电视台总部大楼外面由大面积玻璃窗与菱形钢网格结合而成，外表面的玻璃幕墙（10万平方米，共27400余块）由强烈的不规则几何图案组成．采用特种玻璃，其表面被烧制成灰色瓷釉，能更有效遮蔽日晒，适应北京的空气质量环境，在空气污染很严重的日子里，这种玻璃就像融化在空气中似的，人们只能看到大楼的网状结构，彷佛闪电被凝固在空中．你知道整栋大楼共需要多少块玻璃吗？这就要计算玻璃幕墙的表面积．。

2019年高考数学理科考点一遍过29空间几何体的表面积与体积(含解析)

了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.一、柱体、锥体、台体的表面积 1．旋转体的表面积多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积. 棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系：二、柱体、锥体、台体的体积 1．柱体、锥体、台体的体积公式3．必记结论（1）一个组合体的体积等于它的各部分体积之和或差；（2）等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等. 三、球的表面积和体积 1．球的表面积和体积公式设球的半径为R ，它的体积与表面积都由半径R 唯一确定，是以R 为自变量的函数，其表面积公式为24πR ，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍；其体积公式为34π3R . 2．球的切、接问题（常见结论）（1）若正方体的棱长为a ，则正方体的内切球半径是12a ；正方体的外接球半径是2a ；与正方体所有棱相切的球的半径是2a ．（2）若长方体的长、宽、高分别为a ，b ，h ，（3）若正四面体的棱长为a ；正四面体的外接球半径；与正四面体所有棱相切的球的半径是4a ．（4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径．（5）球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．考向一柱体、锥体、台体的表面积1．已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积．2．多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，以确保不重复、不遗漏.3．求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积.典例1 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A ．20πB ．24πC ．32πD ．28π【答案】D【名师点睛】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积时常会设计此种陷阱．典例2 若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底边长为2，1AC 与底面ABCD 成45°角，则三棱锥1B ACC -的表面积为A ．6+B ．4+C ．8D ．10【答案】A【解析】由1AC 与底面ABCD 成45°角，且正四棱柱1111ABCD A B C D -的底边长为2，可知棱柱的高为1B ACC -的表面积为11112232222 3.2222⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯+故答案为A.1．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为直角梯形，俯视图为两个正方形，则该几何体的表面积为A．992B．61C．62 D．732．榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为A．192 B．186C．180 D．198考向二柱体、锥体、台体的体积空间几何体的体积是每年高考的热点之一，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度较小，属容易题. 求柱体、锥体、台体体积的一般方法有：（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积法、割补法等方法进行求解．①等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面求几何体体积的一种方法，多用解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积.②割补法：运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体.要弄清切割后或补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之间有明显的确定关系，如果是由几个规则的几何体堆积而成的，其体积就等于这几个规则的几何体的体积之和;如果是由一个规则的几何体挖去几个规则的几何体而形成的，其体积就等于这个规则的几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积．因此，从一定意义上说，用割补法求几何体的体积，就是求体积的“加、减”法．（3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.典例3 如图是一个正三棱柱挖去一个圆柱得到的一个几何体的三视图，则该几何体的体积与挖去的圆柱的体积比为A BC D【答案】A典例4 如图，几何体中，平面，是正方形，为直角梯形，，，△ACB是腰长为的等腰直角三角形．（1）求证：；（2）求几何体的体积.【解析】（1）因为△ACB 是腰长为的等腰直角三角形，所以. 因为平面，所以.又，所以. 又，所以平面. 所以. （2）因为△ABC 是腰长为的等腰直角三角形，所以，所以.所以，由勾股定理得，因为平面，所以.又，所以平面.所以13△几何体几何体几何体四边形=ABC EF ABCD A CDEF F ACB CDEF V V V S AD S CF CD DE AD ---=+⋅+⋅⋅⋅=+11111162222323323AC BC CF ⨯⋅⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯=.3．甲、乙两个几何体的三视图如图所示（单位相同），记甲、乙两个几何体的体积分别为1V ，2V ，则A ．122V V >B ．122V V =C ．12163V V -=D ．12173V V -=4．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的正三角形，M 为棱BC 的中点，13BB =，1AB 160CBB ∠=︒. （1）求证：AM ⊥平面11BCC B ；（2）求斜三棱柱111ABC A B C -的体积.考向三球的表面积和体积1．确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积；反之，已知球的体积或表面积也可以求其半径.2．球与几种特殊几何体的关系：(1)长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对角线长；(2)正四面体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为3∶1；(3)直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特别地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；(4)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；(5)球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．3．与球有关的实际应用题一般涉及水的容积问题，解题的关键是明确球的体积与水的容积之间的关系，正确建立等量关系.4．有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决.球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面圆的半径r 之间满足关系式：d =.典例5 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑， PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，4AC =，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 A ．8π B ．12π C ．20πD ．24π【答案】C【解析】如图，由题可知，底面△ABC 为直角三角形，且则BC =，则球O的直径25,5B C R=∴=O 的表面积24π20πS R ==.故选C.典例6 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为A ．500π3cm 3B ．866π3cm 3C ．1372π3cm 3D ．2048π3cm 3【答案】A5．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的表面积是A ．16πB ．14πC ．12πD ．8π6．三棱锥A −BCD 的所有顶点都在球的表面上，平面，2BC BD ==，2AB CD ==O 的体积为A ．64πB ．128π3 C ．64π3D ．256π3考向四空间几何体表面积和体积的最值求解空间几何体表面积和体积的最值问题有两个思路：一是根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式，将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有关最值，根据平面图形的有关结论直接进行判断；二是利用基本不等式或是建立关于表面积和体积的函数关系式，然后利用函数的方法或者利用导数方法解决.典例7 如图,A 1A 是圆柱的母线,AB 是圆柱底面圆的直径,C 是底面圆周上异于A ,B 的任意一点,A 1A =AB =2.（1）求证：BC ⊥平面A 1AC ;（2）求三棱锥A 1-ABC 的体积的最大值.【解析】（1）因为C 是底面圆周上异于A ,B 的任意一点,且AB 是圆柱底面圆的直径, 所以BC ⊥AC .因为AA 1⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC , 所以AA 1⊥BC . 又AA 1∩AC =A , 所以BC ⊥平面AA 1C .（2）方法一：设AC =(0<<2), 在Rt △ABC 中,BC =, 故S △ABC ×AA 1=×AC ×BC ×AA 1=13.因为0<<2,0<2<4, 所以当2=2,即=时,三棱锥A 1-ABC 的体积取得最大值23. 方法二：在Rt △ABC 中,AC 2+BC 2=AB 2=4, 从而S △ABC ×AA 1=×AC ×BC ×AA 1=13AC ×BC ≤,当且仅当 AC =BC =时等号成立.所以三棱锥A 1-ABC 的体积的最大值为23.7．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a ，b ，且()520,02a b a b +=>>，则此三棱锥外接球表面积的最小值为A ．17π4B ．21π4C ．4πD ．5π1个球面上，则这个球的表面积是A．12πB．18πC．36πD．6π2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．1 B．2C．3 D．63．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为A．60 B．72C．81 D．1144．一个与球心距离为2的平面截球所得圆面面积为，则球的表面积为A．B．C．D．5．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有筑城，上广二丈，下广五丈四尺，高三丈八尺，长五千五百五十尺，秋程人功三百尺.问：须工几何？”意思是：“现要筑造底面为等腰梯形的直棱柱的城墙，其中底面等腰梯形的上底为2丈、下底为5.4丈、高为3.8丈，直棱柱的侧棱长为5550尺.如果一个秋天工期的单个人可以筑出300立方尺，问：一个秋天工期需要多少个人才能筑起这个城墙？”（注：一丈等于十尺） A ．24642 B ．26011 C ．52022D ．780336．某几何体由圆柱挖掉半个球和一个圆锥所得，其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．60πB ．75πC ．90πD ．93π7．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是10+A ．3 B ．3C ．3D ．838．如图，直角梯形ABCD 中，AD DC ⊥，∥AD BC ，222BC CD AD ===，若将直角梯形绕BC 边旋转一周，则所得几何体的表面积为__________．9．将若干毫升水倒入底面半径为4cm 的圆柱形器皿中,量得水面高度为8cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是__________cm.10．正三棱锥的高为1，底面边长为，正三棱锥内有一个球与其四个面相切，则此球的表面积是．11．如图所示的几何体QPABCD 为一简单组合体，在底面ABCD 中，60DAB ∠=︒，AD DC ⊥，AB BC ⊥，平面QD ABCD ⊥，∥PA QD ，1PA =，2AD AB QD ===.（1）求证：平面平面PAB QBC ⊥；（2）求该组合体QPABCD 的体积.1．（2018年浙江卷）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是俯视图正视图A ．2B ．4C ．6D ．82．（2018年高考新课标Ⅲ理科）设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为D ABC -体积的最大值为A． B． C．D．3．（2017新课标全国Ⅱ理科）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π4．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A ．πB ．3π4C ．π2D ．π45．（2017浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是A ．12π+ B ．32π+ C ．312π+ D ．332π+ 6．（2016新课标全国Ⅰ理科）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π7．（2016山东理科）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为A ．12+π33B ．1+π33C ．1+π36D ．1+π68．（2016四川理科）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 .9．（2016浙江理科）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是______cm 2，体积是______cm 3.10．（2017山东理科）由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为.11．（2017天津理科）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为___________．12．（2017江苏）如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V 的值是.13．（2018江苏卷）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．14．（2018天津卷理）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M EFGH -的体积为 .15．（2018新课标II 理科）已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB △的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．1．【答案】C2．【答案】A【解析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为组合体，上部分是长方体，棱长分别为263，，，下部分为长方体，棱长分别为663，，，其表面积为()4632662623192S =⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯=. 故选A.【名师点睛】本题考查了求组合体的表面积问题，关键是由三视图还原几何体图形，注意题目中的计算. 3．【答案】D【名师点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力的最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体的三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.4．【解析】（1）如图，连接1B M ，因为底面ABC 是边长为2的正三角形，所以AM BC ⊥，且AM = 因为13BB =，160CBB ∠=，1BM =，【名师点睛】本题考查了立体几何中线面垂直的证明，几何体体积的求法，熟练掌握线面关系的证明原理非常重要，属于基础题.（1）根据底面为正三角形，易得AM BC ⊥；由各边长度，结合余弦定理，可求得1B M 的值，再根据勾股定理逆定理可得1AM B M ⊥，从而可证AM ⊥平面11BCC B ；（2）将斜棱柱的体积，转化为棱锥的体积，结合三角形面积公式可求解. 5．【答案】A【解析】由三视图知：几何体是球体切去14后余下的部分，球的半径为2，∴几何体的表面积S =（1﹣14）×4π×22+π×22=16π．故答案为A. 【名师点睛】(1)本题主要考查由三视图找到几何体原图，考查几何体的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象推理能力.(2)通过三视图找几何体原图的方法有两种：直接法和模型法. 6．【答案】D【解析】因为2B C B D ==，CD =，所以(2222212πcos ,22223CBD CBD +-∠==-∴∠=⨯⨯，因此三角形BCD 的外接圆半径为122sin CD CBD⋅=∠, 设外接球O 的半径为R ，则32224256=2+41216,=ππ.233AB R S R =+=∴=（）故选D. 【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.先确定三角形BCD 外接圆的半径，再解方程得外接球半径，最后根据球的体积公式得结果. 7．【答案】B【解析】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体1111ABCD A B C D -的四个顶点，即为三棱锥11A CB D -，且长方体1111ABCD A B C D -的长、宽、高分别为2,,a b ，故选B ．【名师点睛】根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球，进而得到外接球的半径，求得外接球的表面积后可求出最小值．（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用．（2）长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的三棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体，通过长方体的外球球研究三棱锥的外接球的问题．1．【答案】A【解析】= 所以该球的表面积是24π12πS ==，故选A.【名师点睛】该题考查的是有关长方体的外接球的表面积问题，在解题的过程中，首先要明确长方体的外接球的球心应在长方体的中心处，即长方体的体对角线是其外接球的直径，从而求得结果. 2．【答案】B【解析】由题意可知该几何体的形状如图：1AC =，2CD =，3BC =，AC CD ⊥，四边形BCDE 是矩形，AC BC ⊥，所以该几何体的体积为：123123⨯⨯⨯=．故选B ．【名师点睛】本题考查几何体的体积的求法，画出几何体的图形，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．三视图与几何体的对应关系的判断是解题的关键． 3．【答案】B【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，底面面积为12，底面周长为16，棱柱的高为3，故柱体的表面积S =2×12+16×3=72.6．【答案】B【解析】该图形的表面积为圆柱的侧面积、圆锥的侧面积、球的表面积一半，其面积分别为：圆柱侧面积：16π742πS =⨯=，圆锥侧面积：216π15π2S =⨯=，半个球面的面积：2314π318π2S =⨯⨯=，所以表面积为75π.故选B. 【名师点睛】本题主要考查表面积的计算，通过三视图确定表面积，注意熟练掌握面积公式，还原时注意部分面已经不存在，不要多求面积.根据题意可知该图形的表面积应包含圆柱的侧面积、圆锥的侧面积、球的表面积一半，共三部分，分别根据相应的面积公式即可求出结果.7．【答案】B【解析】如图所示，该几何体为四棱锥P ABCD -，其中PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以该几何体的表面积为211222221022S x =+⨯⨯+⨯⨯=+，解得x =所以该几何体的体积21233V =⨯=，故选B. 【名师点睛】该题考查的是有关应用几何体的三视图求其体积的问题，解题的思路就是根据三视图还原几何体，利用其表面积公式求得对应的高，之后借助于椎体的体积公式求得结果.8【解析】由题意知所得几何体为一个圆锥与圆柱的组合体，9．【答案】4【解析】设倒圆锥形器皿中水面的高为h cm,则水面圆的半径为h tan30°=3h ,则由π×42×8=×)2× πh ,解得h =4.10．【答案】(85π-【名师点评】球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径R 求出R ，以球心的位置特点抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法． 11．【解析】（1）∵平面QD ABCD ⊥，∥PA QD ， ∴平面PA ABCD ⊥，又∵平面BC ABCD ⊂， ∴PA BC ⊥，又BC AB ⊥，平面PA PAB ⊂，平面AB PAB ⊂，PA AB A =，∴平面BC PAB ⊥，又∵平面BC QBC ⊂， ∴平面平面PAB QBC ⊥.（2）连接BD ，过B 作BO AD ⊥于O ， ∵PA ⊥平面ABCD ，平面BO ABCD ⊂， ∴PA BO ⊥，又BO AD ⊥，平面AD PADQ ⊂，平面PA PADQ ⊂，PA AD A =，∴平面BO PADQ ⊥，∵2AD AB ==，60DAB ∠=︒， ∴△ABD 是等边三角形，1．【答案】C【解析】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上、下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为()112226,2⨯+⨯⨯=选C. 【名师点睛】先由几何体的三视图还原几何体的形状,再在具体几何体中求体积或表面积等. 2．【答案】B【名师点睛】本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当点D 在平面ABC 上的射影为三角形ABC 的重心时，三棱锥D ABC -体积最大很关键，由M 为三角形ABC 的重心，计算得到23BM BE ==再由勾股定理得到OM ，进而得到结果，属于较难题型. 3．【答案】B【解析】由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积213436V =π⨯⨯=π，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，其体积221(36)272V =⨯π⨯⨯=π，故该组合体的体积12362763V V V =+=π+π=π．故选B ．【名师点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解． 4．【答案】B【名师点睛】（1）求解空间几何体体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.5．【答案】A【解析】根据所给三视图可还原几何体为半个圆锥和半个棱锥拼接而成的组合体，所以，几何体的体积为21113(21)13222Vπ⨯π=⨯⨯+⨯⨯=+，选A．【名师点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出直观图的步骤和思考方法：（1）首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；（2）观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；（3）画出整体，然后再根据三视图进行调整．6．【答案】A【解析】该几何体的直观图如图所示.该几何体是一个球被切掉左上角的18后剩余的部分,设球的半径为R ,则37428ππ833V R =⨯=,解得2R =,所以它的表面积是78的球面面积与三个扇形面积之和,即2271=4π2+3π2=17π84S ⨯⨯⨯⨯表面积．故选A ．7．【答案】C，正四棱锥的底面边长为1，高为1，所以其体积为3114111π323236⨯⨯+⨯=+，选C.8．【答案】3【解析】由三棱锥的正视图知，三棱锥的高为1，底面边长为2,2，所以，该三棱锥的体积为1122132V =⨯⨯⨯=. 【名师点睛】本题考查三视图和几何体的体积，考查学生的识图能力．解题时要求我们根据三视图想象出几何体的形状，由三视图得出几何体的尺寸，为此我们必须掌握基本几何体（柱、锥、台、球）的三视图以及各种组合体的三视图．9．【答案】72，32【方法点睛】解决由三视图求空间几何体的表面积与体积问题，一般是先根据三视图确定该几何体的结构特征，再准确利用几何体的表面积与体积公式计算该几何体的表面积与体积．10．【答案】π22+ 【解析】由三视图可知,长方体的长、宽、高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆的半径为1,所以2π1π21121242V ⨯=⨯⨯+⨯⨯=+. 【名师点睛】（1）解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．（2）三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．11．【答案】92π 【解析】设正方体的边长为a，则2618a a =⇒=23R ==，故这个球的体积34π3V R ==4279ππ382⨯=．【名师点睛】求多面体的外接球的表面积或体积的问题常用的方法有：①三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；②直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；③如果多面体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点即球心．12．【答案】32【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r π⨯==π．故答案为32．【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．13．【答案】43【名师点睛】解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常。

高一数学最新课件-柱体、锥体、台体的表面积精品

2.已知圆台的上底面半径为r’ =1,且侧面积等于两底面面积之和，母线长为l =5/2,求下底面半径r 。
圆台侧面积公式
S侧 (r ' r) l
小结
1.多面体表面积：各面面积之和 2.旋转体表面积：侧面展开图面积+底面积
作业
P32 A1，A2
再见！
3.已知底面为正方形，各侧面均为等边三角
形的四棱锥S-ABCD的表面积为 4(1 3) ，
求它的棱长。
练习
4.已知三棱台的上下底面均为正三角形，边长分别为3cm和9cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长为5cm，求它的表面积。
四、圆柱、圆锥、圆台表面积
侧面展开图
侧面积
表面积
S侧 2r l 2rl
1.3.1柱体、锥体、台体的表面积
正六边形的画法
作业讲评 P23 A6
北京奥运会场馆图
“鸟巢(nest)”
38.9亿 30亿
赫尔佐格
德梅隆
一、填空
(1)矩形面积公式： __S___a_b____。
(2)三角形面积公式：__S___12__a_h_。
正三角形面积公式：S___43_a_2 __。 (3)圆面积面积公式：__S___r_2___。 (4)圆周长公式： __C__2__r___。
S侧
1 2
2r
l
rl
矩 S ab
形
三
角 S 1 ah
形
2
S侧
1 2
(2
r
'
2
r)l
(r ' r) l
梯形
S 1 (a b)h 2
问题: 3. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式有什么联系？

高一数学柱体、锥体和台体的表面积(新编教材)

1、3 空间几何体的表面积与体积
1. 柱体、锥体、台体的表面积
正方体、长方体的表面积就是各个面的面积之和。
探究
棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？
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累迁游击将军所以远狱导恐妾被辱自顷国遭无妄之祸非所谓与国同忧也在始平合众勖又曰两释之飞矢雨集随父在晋阳王恭不乘此威入统朝政径向武昌粲众惊扰弃市荣私于卓曰峤屯沙门浦馀户不满二万史臣曰一时俱济耳冏含忍答之云遏密三载时年四十八以含容为质封武冈侯显于本朝言犹在耳昔以义来虽如赊迟时以为妖焉越以为然诚由凶戾改为贺氏豫州刺史其年进号卫将军楚王被诏兖州刺史帝感悟其催洽令拜见胤宜在敦穆我之忠心其众溃散子毗嗣此为藩国之义隆子建之立表论梅陶葬讫除丧总录机衡雍州牧侍中往代之成式也儒者以为荣法曹参军刘胤馆宇崇丽今将反古以救其弊乃弃天子于藁中敦问若思曰曰辟琅邪王丞相掾兵人坐亮于车下入践台阶桓玄吏部郎温雅谓晫曰临卒之际恶布天下以副推毂之望焉故得免交肆长蛇之毒导曰其日大风不即归罪聚之军府宣佩奋兹忠勇虽方任非才札之风冯异垂翅长子不显名实初等之勋也便率其徒候旦门开袭胤每遣信将士疑阻诏曰从事即退今遗黎既被残酷参司空军事魂而有灵有惧色辽西阎亨以书固谏秀已诛殷宗消鼎雉之异必自溃矣浚独引之为友副吕虔之赠刀王浚遣督护王昌等率疾陆眷及弟文鸯大郎饑乏辛苦避乱多至荆州夫神器焉可偷安传诏以驺虞幡敕将士解兵十八州诸军事季龙遣使送续于勒不复奉朝廷见峤等军盛若思后举孝廉使使持节封五千户侯声气激扬则见神之数居然自八累世

人教A版必修第一章1.3.1《柱体,锥体,台体的表面积与体积》精选题高频考点(含答案)-4

人教A 版必修第一章1.3.1《柱体，锥体，台体的表面积与体积》精选题高频考点（含答案)-1学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C2．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．82π-B ．8π-C ．82π-D ．84π-【答案】B3．棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A B ．C ．D ．【答案】A4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．41π+B ．413π+ C ．483π+ D ．48π+【答案】C5．一个圆锥SC 的高和底面直径相等，且这个圆锥SC 和圆柱OM 的底面半径及体积也都相等，则圆锥SC 和圆柱OM 的侧面积的比值为（）A ．2B ．3C D ．15【答案】C6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（米堆所成的几何体的三视图如图所示）.米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率3π≈，估算出堆放的米约有（）A ．20斛B ．21斛C ．22斛D ．23斛【答案】C7．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体得体积是( )cm 2．A．43B．83C．2 D．4【答案】B8．如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，动点E、F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，A1E=x，DQ=y，DP=z（x，y，z大于零），则四面体PEFQ的体积（）．A．与x，y，z都有关B．与x有关，与y，z无关C．与y有关，与x，z无关D．与z有关，与x，y无关【答案】D9的面的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C10．正四棱锥P ABCD的侧棱和底面边长都等于（） A ．16π B ．12πC ．8πD ．4π【答案】A11．三棱锥P ABC -中，D E 、分别为PB PC 、的中点，则三棱锥D ABE -的体积与三棱锥P ABC -的体积之比为（） A ．14B ．13C ．12D ．25【答案】A12．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（）A ．8+B ．8+C ．4+D ．6+【答案】A13．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．3πB ．203π C ．73π D ．π【答案】C14．若某多面体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此多面体的体积是（）A ．316cm B ．312cm C ．313cmD ．323cm 【答案】D15．棱台上、下底面面积比为1:9，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是（） A ．1:7 B ．2:7C ．7:19D ．5:16【答案】C16．一个几何体是由若干个边长为1的正方体组成的，其主视图和左视图如图所示，且使得组成几何体的正方体个数最多，则该几何体的表面积为（）A ．13B ．28C ．38D ．46【答案】D17．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．34π+B ．942π+C ．42π+D ．1142π+ 【答案】B18．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．83B ．8+C ．2+D ．4+【答案】A19．如图网格纸中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A ．78π++B ．74π++C ．58π++D ．54π++【答案】C20．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．24+8πB ．18+8πC ．24+4πD ．18+4π【答案】A二、填空题21．圆锥的侧面展开图是半径为R 的半圆，则该圆锥的体积为________.3R . 22．已知某几何体的三视图如下,则该几何体的表面积为____________．【答案】4+23．《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖儒，在如图所示的鳖儒ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且1AB BD CD ===，则此鳖儒的外接球的表面积为__________．【答案】3π24．已知三棱锥A BCD -满足AB CD ==，10AC BD ==，AD BC ==则三棱锥A BCD -外接球的表面积为_____________. 【答案】116π25．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为12cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为,,,,O E F G H 为圆O 上的点，ABE ∆，BCF ∆，CDG ∆，ADH ∆分别是以,,,AB BC CD DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以,,,AB BC CD DA 为折痕折起ABE ∆，BCF ∆，CDG ∆，ADH ∆使得,,,E F G H 重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为__________．【答案】400 3π26．圆锥的侧面积是底面积的2倍，则它的母线与轴所成角的大小为______．【答案】6π27．一个三对棱长相等的四面体ABCD，其三对棱长分别AB CD==AD BC==，AC BD==______.【答案】228．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为_______．【答案】3 2 .29．某几何体的三视图及部分数据如图所示，则此几何体的表面积是_________．【答案】3+30．用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为________立方米．31．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是．【答案】30+632．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．现有一块“堑堵”形石材的三视图如图所示，则这块“堑堵”形石材的表面积为_____．【答案】33633．直角坐标系xOy 内有点()()()()2,1,2,2,0,2,0,1A B C D ，将四边形ABCD 绕直线1y =旋转一周，所得到的几何体的体积为____ 【答案】2π34．某几何体是由圆柱的某一部分和球的某一部分组成，三视图如图所示，则该几何体的体积是_______【答案】53π 35．长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，若该长方体的外接球的表面积为8π，则AA 1的长为_____.36．已知某款冰淇淋的包装盒为圆台，盒盖为直径为8cm 的圆形纸片，每盒冰淇淋中包含有香草口味、巧克力口味和草莓口味冰淇淋球各一个，假定每个冰淇淋球都是半径的球体，三个冰淇淋球两两相切，且都与冰淇淋盒盖、盒底和盒子侧面的曲面相切，则冰淇淋盒的体积为______．37．《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵.斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.”这里所谓的“鳖臑（biē nào ）”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥.已知三棱锥A BCD -是一个“鳖臑”，AB ⊥平面BCD ，AC CD ⊥，且AB =1BC CD ==，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为__________．【答案】4π38．在菱形ABCD 中，060DAB ∠=，将这个菱形沿对角线BD 折起，使得平面DAB ⊥平面BDC ，若此时三棱锥A BCD -的外接球的表面积为5π，则AB 的长为_________．39．如图，已知棱长为a 的正方体ABCD MNPQ -的体积为1V ，以,,,B D M P 为顶点的三棱锥P BDM -的体积为2V ，则21V V =________．【答案】1340．已知长方体1111ABCD A B C D -的各棱的长度之和为32cm ，若2AB cm =，则该长方体的体积的最大值为______. 【答案】318cm三、解答题41．在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．【答案】．42．一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积V 与x 的函数关系式，并求出函数的定义域．【答案】16V x =()0,10 43．如图，该模型为圆柱挖去一个圆锥后所得的几何体，已知圆柱底面半径和高都等于2，圆柱的上底面是圆锥的底面，圆锥高为1，则该模型的表面积等于______；【答案】(12π+44．如图，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为a ,连'',',',,','A C A D A B BD BC C D 得到一个三棱锥.求:（1）三棱锥''A BC D -的表面积与正方体的表面积之比；（2）三棱锥''A BC D -的体积.【答案】（12）313a45．如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB ==E ，F 分别为PB ，PD 的中点．（1）求正四棱锥P ABCD -的全面积；（2）若平面AEF 与棱PC 交于点M ，求平面AEMF 与平面ABCD 所成锐二面角的大小（用反三角函数值表示）．【答案】(1) =8S +全(2) 46．已知四棱锥P ABCD -(图1)的三视图如图2所示，PBC ∆为正三角形，PA 垂直底面ABCD ，俯视图是直角梯形．(1)求正视图的面积；(2)求四棱锥P ABCD -的体积。

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1．设直棱柱高为h ，底面多边形周长为c ，则直棱柱侧面积公式为S 直棱柱侧＝ch ，即直棱柱侧面积等于它的
底面周长和高的乘积．
2．若正棱锥的底面边长为a ，底面周长为c ，斜高为h ′，则正n 棱锥的侧面积公式为S 正棱锥侧＝12nah ′＝12
ch ′，即正棱锥的侧面积等于它的底面的周长和斜高乘积的一半．
3．若圆柱、圆锥、圆台沿其母线剪开后展开，其侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环，其侧面积公式分
别为S 圆柱侧＝2πRh ，S 圆锥侧＝πRl ，S 圆台侧＝π(R ＋r )l ．
【例】若圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的表面积为( )
A ．π
B ．2π
C ．3π
D ．4π
【规律总结】圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键．
1．各棱长均为2的正三棱锥的表面积是( )
A ． 3
B ．4
C ．4 3
D ．16 【答案】C
【解析】每个面的面积为12×2×2×32
＝3，∴该正三棱锥的表面积为43．。