高中数学必修三：知识点

必修 3：知识点
一：算法初步
1：算法的观点
（ 1）算法观点：往常是指能够用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤一定是明确和有效的，并且能够在有限步以内达成.
（ 2）算法的特色:
①有限性：一个算法的步骤序列是有限的，一定在有限操作以后停止，不可以是无穷的.
② 确立性：算法中的每一步应当是确立的并且能有效地履行且获得确立的结果。

③ 次序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只好有一个确立的后继步骤，
前一步是后一步的前提，只有履行完前一步才能进行下一步，并且每一步都正确无误，才能达成问题.
④ 不独一性：求解某一个问题的解法不必定是独一的，可是答案是独一的。

⑤ 广泛性：好多详细的问题，都能够设计合理的算法去解决。

2：程序框图
（ 1）程序框图基本观点：
①程序构图的观点：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来正确、直观地表示算法的图
形。

一个程序框图包含以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必需文字说明。

②组成程序框的图形符号及其作用
程序框名称功能
起止框表示一个算法的开端和结束，是任何流程图不行少的。

表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任
输入、输出框何需要输入、输出的地点。

赋值、计算，算法中办理数据需要的算式、公式等
办理框分别写在不一样的用以办理数据的办理框内。

判断某一条件能否建立，建即刻在出口处注明“是”
判断框或“ Y ”；不建即刻注明“否”或“ N ”。

学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则以下：
1、使用标准的图形符号。

2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。

3、除判断框外，大部分流程图符号只有一个进入点和一个退出点。

判断框拥有超出一个退出点的独一符号。

4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，并且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不一样的结果。

知足条件知足条件否
否是
语句
语句 2
语句 1
5、在图形符号内描绘的语言要特别精练清楚。

3：算法的三种基本逻辑构造：次序构造、条件构造、循环构造。

A
（1）次序构造：
次序构造在程序框图中的表现就是用流程线将程序框自上而下地连结起来，
按次序履行算法步骤。

如在表示图中， A 框和 B 框是挨次履行的，只有在履行
完 A 框指定的操作后，才能接着履行 B 框所指定的操作。

（2）条件构造：条件构造是指在算法中经过对条件的判断依据条件能否建立而选择不一样流
向的算法构造。

条件 P 能否建立而选择履行 A 框或 B 框。

不论P 条件能否建立，只好履行 A 框或 B 框之一，不行能同时履行。

（3）循环构造：在一些算法中，常常会出现从某处开始，依照必定条件，频频履行某一办理步骤的状况，这就是
循环构造，频频履行的办理步骤为循环体，明显，循环构造中必定包含条件构造。

循环构造又称重复构造，循环构
造可细分为两类：
①一类是当型循环构造，以下左图所示，它的功能是当给定的条件P 建即刻，履行 A 框， A 框履行完成后，
再判断条件P 能否建立，假如仍旧建立，再履行 A 框，这样频频履行 A 框，直到某一次条件P 不建立为止，此时不再履行 A 框，走开循环构造。

②另一类是直到型循环构造，以下右图所示，它的功能是先履行，而后判断给定的条件P 能否建立，假如P 仍
然不建立，则持续履行 A 框，直到某一次给定的条件P 建立为止，此时不再履行 A 框，走开循环构造。

P
A A 是
P
否是否
p
直到型循环构造
当型循环构造
注意： 1 循环构造要在某个条件下停止循环，这就需要条件构造来判断。

2在循环构造中都有一个计数变量和累加变量。

计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输出结果。

4：输入、输出语句和赋值语句
（1）输入语句
①输入语句的一般格式
②输入语句的作用是实现算法的输入信息功能；③“提示内容”提示用户输入什么样的信息，变量是指程序在运转时
其值是能够变化的量；④输入语句要求输入的值只好是详细的常数，不可以是函数、变量或表达式；⑤提示内容与
变量之间用分号“；”分开，若输入多个变量，变量与变量之间用逗号“，”分开。

（2）输出语句①输出
语句的一般格式
②输出语句的作用是实现算法的输出结果功能；③“提示内容”提示用户输入什么样的信息，表达式是指程序要输出的数据；④输出语句能够输出常量、变量或表达式的值以及字符。

（3）赋值语句①赋值
语句的一般格式
②赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；③赋值语句中的“＝”称作赋值号，与数学中的等号的意义是
不一样的。

赋值号的左右两边不可以对调，它将赋值号右侧的表达式的值赋给赋值号左侧的变量；④赋值语句左侧
只好是变量名字，而不是表达式，右侧表达式能够是一个数据、常量或算式；⑤关于一个变量能够多次赋值。

注意：①赋值号左侧只好是变量名字，而不可以是表达式。

如：2=X 是错误的。

②赋值号左右不可以对调。

如“A=B ”“ B=A ”的含义运转结果是不一样的。

③不可以利用赋值语句进行代数式的演算。

（如化简、因式分解、解方程等）。

④赋值号“ =”与数学中的等号意义不一样。

5：条件语句
（ 1）条件语句的一般格式有两种：①IF— THEN — ELSE 语句；② IF — THEN 语句。

① IF — THEN —ELSE 语句IF— THEN —ELSE 语句的一般格式为图 1，对应的程序框图为图 2。

IF条件
否
THEN知足条件
语句 1是
ELSE语句 1语句 2
图1图2
剖析：在IF —THEN —ELSE 语句中，“条件”表示判断的条件，“语句1”表示知足条件时履行的操作内容；“语句2”表示不知足条件时履行的操作内容；END IF 表示条件语句的结束。

计算机在履行时，第一对IF 后的条件进行判断，假如条件切合，则履行THEN 后边的语句1；若条件不切合，则履行ELSE 后边的语句2。

② IF — THEN 语句
IF — THEN 语句的一般格式为图3，对应的程序框图为图 4。

知足条件
是
IF 条件 THEN
语
语句否
（图
END IF（图 3）
注意：“条件”表示判断的条件；“语句”表示知足条件时履行的操作内容，
条件不知足时，结束程序； END IF 表示条件语句的结束。

计算机在履行时第一对IF 后的条件进行判断，假如条件
切合就履行THEN 后边的语句，若条件不切合则直接结束该条件语句，转而履行其余语句。

6：循环语句
循环构造是由循环语句来实现的。

对应于程序框图中的两种循环构造，一般程序设计语言中也有当型（ WHILE 型）和直到型（ UNTIL 型）两种语句构造。

即 WHILE 语句和 UNTIL 语句。

（1） WHILE 语句
① WHILE 语句的一般格式是对应的程序框图是
WHILE
循环条件
循环体是
WEND知足条件
否
②当计算机会到WHILE 语句时，先判断条件的真假，假如条件切合，就履行 WHILE 与 WEND 之间的循环体；而后再检查上述条
件，假如条件仍切合，再次履行循环体，这个过程频频进行，直到某一次条件不切合为止。

这时，
计算机将不履行循环体，直接跳到WEND 语句后，接着履行WEND 以后的语句。

所以，当型循环有时也称为“前测试型”循环。

（ 2） UNTIL语句
① UNTIL 语句的一般格式是对应的程序框图是
DO
循 环
循环体
否
LOOP UNTIL
条件
知足条件
是
②直到型循环，从 UNTIL 型循环构造剖析，计算机履行该语句时，先履行一次循环体，而后进行条件的判断，
假如条件不知足， 持续返回履行循环体， 而后再进行条件的判断， 这个过程频频进行， 直到某一次条件知足时，
不再履行循环体，跳到 LOOP UNTIL 语句后履行其余语句，是先履行循环体后进行条件判断的循环语句。

剖析： 当型循环与直到型循环的差别：
（ 1） 当型循环先判断后履行，直到型循环先履行后判断；
（ 2）在 WHILE 语句中，是当条件 知足时履行 循环体；在 UNTIL 语句中，是当条件 不知足时履行 循环。

（比如：上课时间睡觉，下课不睡觉）
7：展转相除法与更相减损术
（ 1）展转相除法。

用展转相除法求最大条约数的步骤以下：
①用较大的数
m 除以较小的数
n 获得一个商
S 0 和一个余数
R 0 ；
②若
R 0 ＝ 0，则
n 为
m ， n 的最大条约数；若
R 0 ≠ 0，则用除数
n 除以余数
R 0 获得一个商 S 1 和一个余数
R 1 ；
③若
R 1 ＝ 0，则
R 1 为 m ，n 的最大条约数； 若 R 1 ≠0，则用除数
R 0 除以余数
R 1 获得一个商
S 2 和一个余数
R 2 ；
挨次计算直至
Rn
＝ 0，此时所获得的
R n 1
即为所求的最大条约数。

（ 2）更相减损术
①随意给出两个正数；判断它们能否都是偶数。

假如，用 2 约简；若不是，履行第二步。

②以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。

持续这个操作，直到所得的
数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大条约数。

98 和 63： 98-63=35 63-35=28 35-28=7 28-7=21 21-7=14 14-7=7
8：秦九韶算法
（ 1）秦九韶算法观点：
f(x)=a n x n +a n-1x n-1+ .+a 1x+a 0 求值问题
n
n-1
f(x)=a n x +a n-1x + .+a 1x+a 0
=(( a n x n-2+a n-1x n-3+ .+a 2)x+a 1)x+a 0
=......
=(...( a x+a
)x+a
)x+...+a )x+a
n
n-1n-2
1
求多项式的值时， 第一计算最内层括号内挨次多项式的值，
即 v 1=a n x+a n-1 而后由内向外逐层计算一次多项式的值，
即 v 2 =v x+a v =v x +a n-3 ...... v =v x+a
1n-2 3 2 n n-10
这样，把 n 次多项式的求值问题转变成求 n 个一次多项式的值的问题。

9：进位制
（ 1）观点：进位制 是一种记数方式，用有限的数字在不一样的地点表示不一样的数值。

可使用数字符号的个数称为基
数，基数为 n ，即可称 n 进位制，简称 n 进制。

此刻最常用的是十进制，往常使用 10 个阿拉伯数字 0-9 进行记
数。

关于任何一个数，我们能够用不一样的进位制来表示。

比方：十进数 57，能够用二进制表示为
111001，也
能够用八进制表示为
71、用十六进制表示为
39，它们所代表的数值都是同样的。

一般地，若 k 是一个大于 1 的整数，那么以 k 为基数的 k 进制能够表示为：
a n a n 1 ...a 1 a 0( k ) (0 a n k,0
a n 1 ,..., a 1, a 0 k ) ，
而表示各样进位制数一般在数字右下脚加注来表示 (2)k 进制转变为十进制公式：
二进制
2
110011
（ ）化为十进制
110011
2 1 2 5
1 2 4
0 2 3
0 2 2 1
1
2
（ ）
a n a
n 1
L a 1a
0( k )
(3) 十进制转变为 k 进制：除 k 取余法
L
a n
k
n
a
n 1
k n 1
,如 111001(2)表示二进制数 ,34(5)表示 5 进制数 .
1 20 =51
a
k
1
a
k
1
(10)
注： k 进制数之间的转变， 第一转变成十进制 ，再转变为其余进制数。

二：统计
1：简单随机抽样 （ 1）整体和样本 ①在统计学中 , 把研究对象的全体叫做整体．②把每个研究对象叫做个体．③把整体中个体的总数叫做整体容量．
④为了研究整体
的有关性质，一般从整体中随机抽取一部分：
，
，
，
研究，我们称它为样本．此中
个体的个数称为样本容量．
（ 2）简单随机抽样。

特色是：每个样本单位被抽中的可能性同样（概率相等）
，样本的每个单位完整独立，相互间
无必定的关系性和排挤性。

简单随机抽样是其余各样抽样形式的基础。

往常不过在 整体单位之间差别程度较小和
数量较少 时，才采纳这类方法。

（ 3）简单随机抽样常用的方法：
①抽签法
②随机数表法
( ③计算机模拟法
③使用统计软件直接抽取。

)
（ 4）抽签法步骤 :
抽签法：
编号
给整体中所有个体编号（号码能够从 1 到 n ）
制签
搅拌
将 1 到 n 这 n 个号码写在形状、大小都同样的好签上
将好签放在一个容器中，搅拌均匀
抽签
每次冷静器中不放回地抽取一个好签，并记录其编号，连续抽取x 次
取样
从整体中，将与抽到的号签编号一致的个体拿出
编号将
（5）随机数法（利用随机数表编号）：
整体中的每个个体编号
定初值在随机数表中任选一个数作为开始的数
选号号码若不在编号中
从选定的数开始按必定的方向（能够向右、向左、向上、向下）读数，获得的
则跳过，若在编号中则拿出，假如获得的号码前方已拿出则
跳过，这样持续下去，直到取满为止
取样把选定的号码所对应的n 个个体作为样本
2：系统抽样
（ 1）系统抽样（等距抽样）：
系统抽样的步骤：
①将整体的 N 个个体编号；
②确立分段间隔 k，对编号进行分段，当N/n 是整数时，取k=N/n ；
③在第一段用简单随机抽样确立第一个个体编号m(m≦ k)
④依照必定的规则抽取个体，即：将m 加上间隔k 获得第二个个体编号（m+k), 以此类推。

3：分层抽样
（ 1）分层抽样（种类抽样）：
先将整体中的所有单位依照某种特色或标记（性别、年纪等）区分红若干种类或层次，而后按比率在各个种类或层次中采纳简单随机抽样或系用抽样的方法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来组成整体的样本。

比如：高年级与低年级分开，男女分开...
样本容量各层样本容量
（ 2）分层的比率问题：抽样比=
个体容量各层个体容量
简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种抽样的类比学习
方法共同
类型特色
简单随
机抽样
抽样过
程中每系统个个体抽样被抽取
的概率
相等
分层
抽样
抽样特色
从整体中
逐一不放
回抽取
将整体分红
平衡几部
分，按规则
关系抽取
将整体分
成几层，
按比率分
层抽取
互相联系适应范围
整体中
的个体
数较少
用简单随
整体中
机抽样抽
的个体
取开端号
数许多
码
用简单随整体由
机抽样或差别明
系统抽样显的几
对各层抽部分组
样成
4：用样本的数字特色预计整体的数字特色
（ 1）知道详细数据状况下求以下数值的方法：
x1x2x n
① 样本均值：x n
②样本标准差： s s2( x1 x)2( x2 x) 2( x n x) 2；方差： s2
n
③ 众数：在样本数据中，频次散布最大值所对应的样本数据（能够是多个）。

④ 中位数：在样本数据中，累计频次为时所对应的样本数据值（只有一个）。

（2）察看频次散布直方图（不知道详细数据）时求以下数值的方法：
① 样本众数：直方图中最高小长方形下端中点的横坐标的值。

② 中位数：第一步，依据直方图先求出各个小长方形的面积，（面积 =频次，总面积为1）；
第二步，确立中位数在哪个小长方形里（中位数均分面积，两边各）；
第三步，设中位数为x，则利用中位数均分面积，左侧面积和为列方程；
第四步，解方程，求出x。

③ 均匀数：第一步，依据直方图先求出各个小长方形的面积，（面积 =频次，总面积为1）；
第二步，求出每个小长方形的底边中点的横坐标。

第三步，面积与横坐标对应相乘
第四步，把第三步的结果相加，最后算出的数值即为均匀数。

5:用样本的频次散布预计整体散布
1：画出频次散布表与频次散布直方图
频次散布表和频次散布直方图，是从各个小组数据在样本容量中所占比率大小的角度，来表示数据散布规律，它
能够使我们看到整个样本数据的频次散布状况。

详细步骤以下：
第一步：求极差，即计算最大值与最小值的差.
第二步：决定组距和组数：组距与组数确实定没有固定标准，需要试试、选择，力争有适合的组数，以能把数据的规律较清楚地表现为准.太多或太少都不好，不利对数据规律的发现.组数应与样本的容量有关，
样本容量越大组数越多.一般来说，容量不超出100 的组数在 5 至 12 之间 .组距应最好“取整”，它与极差
有关 .
组距
注意：组数的“弃取”不依照四舍五入，而是当极差
不是整数时，组数=［
极差
组距
］ +1.
组距
②频次散布折线图：连结频次散布直方图中各个小长方形上端的要点，就获得频次散布折线图。

③整体密度曲线：整体密度曲线反应了整体在各个范围内取值的半分比，它能给我们供给更为精美的信息。

比如：为了认识某地域高三学生的身体发育状况，抽查了地域内100 名年纪为～ 18 岁的男生的体重状况，结果以下（单位： kg） .
6576716656 64766570 7256677064
687175687660 6266577459
7368676858 557274635972
6070586462
64576565
69736258667063
试依据上述数据画出样本的频次散布直方图，并对相应的整体散布作出预计.
解：依照以下值的差
（1）求最大值与最小计 .在上述数据中，最大值是 76，最小值是 55，极差是 76－ 55=21.
（2）确立组距与组数 .假如将组距定为 2，那么由 21÷ 2=，组数为 11，这个组数适合的 .于是组距为 2，组数为 11.（ 3）决定分点 .依据本例中数据的特色，第1小组的起点可取为，第 1 小组的终点可取为，为了防止一个数据既是起点，又是终点进而造成重复计算，我们规定分组的区间是“左闭右开”的 .这样，所获得的分组是
［，），［，），，［，） .
（ 4）列频次散布表 .（频次 =频数÷样本总数）
分组频数频次频次 /组距
［，）2
［，）6
［，）10
［，）10
［，）14
［，）16
［，）13
［，）11
［，）8
［，）7
［，）3
共计100
（ 5）绘制频次散布直方图 .
频次散布直方如图2－2－ 3所示 .
频次/ 组距
54. 5 56. 5 58. 5 60. 5 62. 5 64. 5 66. 5 68. 57 0. 5 72. 5 74. 5 76. 5 体重
0.07频次/ 组距频次/ 组距
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0. 01
54. 556. 558. 560. 562. 56 4. 566. 568. 570. 572. 574. 5体重
连结频次直方图中各小长方形上端的中点，就获得频次散布折线图.
2：茎叶图：茎是指中间的一列数，叶是指从茎旁边生长出来的数。

例 2：某赛季甲、乙两名篮球运动员每场竞赛得分状况以下
甲的得分： 15，21， 25，31， 36，39， 31，45， 36，48， 24，50， 37；
乙的得分： 13，16， 23，25， 28，33， 38，14， 8，39， 51.
上述的数据能够用以下图来表示，中间数字表示得分的十位数，两边数字分别表示两个人各场竞赛得分的个位数.
甲乙
08
51364
45 1 2358
76916 1 3389
854
051
图 2－2－5
6：变量间的有关关系：变量 1 的变化对变量 2 的结果有影响，但不是“函数” ，只好确立是“正有关、负有关” ，则称“变量 1 与变量 2 拥有有关关系”。

（1）回归直线：依据变量的数据作出散点图，假如各点大概散布在一条直线的邻近，就称这两个变量之间拥有
线性有关的关系，这条直线叫做回归直线方程。

设已经获得拥有线性有关关系的一组数据：
x
x1。

x n
y y1。

y n
所要求的回归直线方程为：y b x a
，此中， a，b 是待定的系数。

常考常用：已知 b，求 a，再求当 x 等于某数值时， y 的取值。

解法：计算 x 的均匀数和 y 的均匀数；
由回归直线过的样本中心点( x, y)
，将 x 的均匀数和 y 的均匀数对应代入回归方程，求出a；
当 a、 b 确立后，回归方程就是已知方程，只要将x 的值代入方程，便可求出y；同理，将已知的y 的值代入，也能够求出 x。

三：概率
1：随机事件的概率及概率的意义
（ 1）必定事件：在条件S 下，必定会发生的事件，叫有关于条件S 的必定事件；
（ 2）不行能事件：在条件S 下，必定不会发生的事件，叫有关于条件S 的不行能事件；
（ 3）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫有关于条件S 的随机事件；
（ 4）频数与频次：在同样的条件S 下重复n 次试验，察看某一事件 A 能否出现，称n 次试验中事件 A 出现的次数n A
为事件 A 出现的频数；称事件 A 出现的比率f n( A)n A
n
为事件 A 出现的频次。

（频次 =频数÷样本总数）
（ 5）当试验的次数越多时，频次就越靠近一个稳固值，这个稳固值我们称之为“概率”，即频次可当作概率的近似值。

2：概率的基天性质
（1）必定事件概率为 1，不行能事件概率为 0，所以 0≤P(A) ≤ 1
（2）事件的关系有：包含、并事件、交事件、相等事件
（ 3）若 A ∩ B 为不行能事件，即 A ∩B=，那么称事件 A 与事件 B 互斥；
（4）若 A ∩ B 为不行能事件， A ∪ B 为必定事件，那么称事件 A 与事件 B 互为对峙事件；所
以 :对峙事件必定是互斥事件。

（ 5）当事件 A 与 B 互斥时，知足加法公式：P(A ∪ B)= P(A)+ P(B) ；若某事件的结果有k 种可能，则这k 种可能的概率之和为 1.
若事件 A 与 B 为对峙事件，则 A ∪B 为必定事件，所以P(A ∪ B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1 — P(B) 。

（ 6）互斥事件与对峙事件的差别与联系，互斥事件是指事件 A 与事件 B 在一次试验中不会同时发生，其详细包含
三种不一样的情况：（1）事
件
A 发生且事件
B 不发生；（2）事件 A 不发生且事件 B 发生；（ 3）事件 A 与事件 B 同时不发生，而对峙事件是指事件A与事件 B 有且仅有一个发生，其包含两种情况；（ 1）事件 A 发生 B 不发生；（ 2）事件 B 发惹祸件 A 不发生，对峙事件互斥事件的特别情况。

3：基本领件
（1）基本领件：基本领件是在一次试验中所有可能发生的基本结果中的一个，一次实验的所有可能的结果一一列
出，列出时做到不重复、不遗漏即可得出所有的基本领件。

（列出时能够画树状图，也能够依照必定规则和次序一
一列出。

）
（2）基本领件的特色：①任何两个基本领件是互斥的；②任何事件（除不行能事件外）都能够表示成基本领件的和。

4：古典概型：
（1）古典概型的条件：古典概型是一种特别的数学模型，这类模型知足两个条件：
①试验结果的有限性和所有结果的等可能性。

②所有基本领件一定是有限个。

（2）古典概型的解题步骤；
①求出总的基本领件数；
A 所包含的基本领件的个数
②求失事件 A 所包含的基本领件数，而后利用公式p( A)
总的基本领件个数
5：几何概型
（1）几何概率模型：假如每个事件发生的概率只与组成该事件地区的长度（面积或体积）成比率，则称这样的概率模型为几何概率模型；
组成事件 A的地区长度（面积或体积）（ 2）几何概型的概率公式：p( A)
的地区长度（面积或体；
试验的所有结果所组成积）
（3）几何概型的特色：①试验中所有可能出现的结果（基本领件）有无穷多个；②每个基本领件出现的可能性相等．
注意：概率为1的事件不必定为必定事件；概率为0 的事件不必定为不行能事件。