江苏省赣榆县海头高级中学2019届高三数学10月检测试题 理

江苏省赣榆县海头高级中学2019届高三数学10月检测试题 理
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知集合{}4,3,0=
A ，集合{}3,2,0,1|-=x
B ，则=⋂B A ▲ ．
2．函数)6
3sin(2)(π
+
=x x f 的最小正周期为 ▲ ．
3．若复数z 满足i z i 43+=⋅，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为 ▲ ． 4．函数x x f 4log 1)(-=的定义域为 ▲ ．
5．2022年世界杯足球赛将在卡特尔举行，某小组拟由D C B A ,,,四支球队组成．若这四支球队实力相当，按照规则该组有2支球队出线，则球队A 出线的概率为 ▲ ．
6．某校共有400名学生参加了一次数学竞赛，竞赛成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组为
[)60,50，[)70,60， ，[]100,90，则在本次竞赛中，得分不低于80分的人数为
▲ ．
7．如图是一个算法流程图，则输出的a 的值为 ▲ ．
8．已知7)tan(=+βα，1)tan(-=-βα，则α2
tan 的值为 ▲ . 9．设函数)0)(8sin()(>+=ϖπ
ϖx x f ，若)4
()(π
f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ϖ的最
小值为 ▲ ．
10．设R a ∈，函数ax x a x x f --+=2
3
)1(3)(为奇函数，则函数)(x f 的极大值为 ▲ ． 11．已知1sin cos 2=+α
α, )2
,2(π
πα-∈，则=+)2
3
2sin(πα ▲ ．
12．已知函数)(x f 是定义在R 上的周期为4的奇函数，当20<<x 时，2
)(-=x
x f ，则
)2()2
5
(f f +的值为 ▲ ． )6(题图第
13．已知函数6)(2
-=x x f ，若0>>b a ，且)()(b f a f =，则b a 2的最大值为 ▲ ．
14．在锐角ABC ∆中，设角C B A ,,的对边分别为c b a ,,．若B A A C cos sin 2sin sin =-，
a
b
=
λ，则实数λ的取值范围为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为c b a ,,． （1）若sin()2cos 6
A A π
+=，求A 的值；
（2）若1
cos 3
A =，3b c =，求C sin 的值．
16．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与半径为5的圆O 交于点A ，以OA 为始边作锐角β，其终边与圆O 交于点B
，AB = （1）求cos β的值； （2）若点A 的横坐标为25
13
，求点B
17．（本小题满分14分）
已知函数x
a x x f +
=ln )(． （1）若1=a ，求函数)(x f 的单调区间； （2）当[]e x ,1∈时，求函数)(x f 的最小值．
18．（本小题满分16分）
设函数),(13)(2
23R b a x a bx ax x f ∈+-+=在1x ，2x 处取得极值，且221=-x x ． （1）若1=a ，求b 的值；
（2）若0>a ，求b 的取值范围． （注：212212
214)(x x x x x x -+=-）
19．（本小题满分16分）
一个创业青年租用一块边长为4百米的等边ABC ∆田地（如图）养蜂、产蜜与售蜜.田地内拟修建笔直小路MN ，AP ，其中N M ,分别为BC AC ,的中点，点P 在CN 上.规划在小路MN 与AP 的交点O （O 与N M ,不重合）处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区，N A ,为出入口（小路宽度不计）．为节约资金，小路MO 段与OP 段建便道，供蜂源植物培育之用，费用忽略不计．为车辆安全出入，小路AO 段的建造费用为每百米4万元，小路ON 段的建造费用为每百米3万元 ．
（1）若拟修建的小路AO 段长为7百米，求小路ON 段的建造费用； （2）设θ=∠BAP .求θcos 的值，使得小路AO 段与ON 段的建造总费用最小.
20．（本小题满分16分）
设R a ∈，函数ax e x f x
+=)(，其中e 为自然对数的底数. （1）若函数)(x f 是增函数，求实数a 的取值范围； （2）设直线012=+-y x 与函数)(x f y =的图象相切. ①求实数a 的值；
②求证：当0≥x 时，1`
2)(2
+≥x x f . （参考数据：1491485<<e ）
江苏省海头高级中学2019届高三第二次考试
A
数学Ⅱ（附加题）
2018.10.10
21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的．．．．．答题区域．．．． 内作答．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤．
B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知b a ,为实数，矩阵⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=31b a M 所对应的变换T 把点)2,1(变成)4,2(． （1）求b a ,的值；
（2）求矩阵M 的逆矩阵1-M ．
C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若曲线1C 的极坐标方程是2)4
cos(=-
π
θρ，曲线2C 的极坐标方程为)3
sin(8π
θρ+
=．
（1）求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程； （2）判断两曲线的位置关系．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分） 在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，1=AD ，21=D D ，点P 在棱1CC 上，设1CC λ=，
且10≤≤λ
．
（1）若M 为B A 1的中点，异面直线AM 与BP 所成的角为4
π
，求λ的值； （2）若21
=λ，求二面角P B A A --1的正弦值．
23．（本小题满分10分）
某校从高二、高三年级的学生中，选拔学生组队参加市辩论赛．高二年级推荐了3名男生，2名女生，高三年级推荐了3名男生，4名女生参加集训．由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队． （1）求高二年级至少有1名学生入选代表队的概率；
（2）设X 表示代表队中高二年级的男生人数，求X 的分布列和数学期望．
A
B
D
P
M
1A 1
B 1
C 1
D C
答案：1、{}3,0；2、3
2π；3、4；4、(]4,0；5、21；6、120；7、40；8、43；9、2
3；
10、
9
2；11、257-；12、94-；13、16；14、
(
)
3,2
15、解：（1）由题设sin()2cos 6A A π
+
=，得A A A c os 26
sin c os 6c os sin =+π
π，从而
A A cos 3sin =，所以0cos ≠A ，3tan =A ，因为π<<A 0，所以3
π
=
A ．
（2）由c b A 3,31
cos ==
及A bc c b a cos 2222-+=，得222c b a -=，故ABC ∆是直角三角形，且2π=B ，所以3
1
cos sin ==A C ．
16、
17、
18、
19、（1）在△AOM 中，222AO AM OM 2AM OM cos AMO =+-⋅∠
∴2222AM 22AM 2cos
3π=+- 化简得：2AM 2AM 30+-= ∵AM ＞0，∴AM ＝1，则ON MN AM 211=-=-=，3×1＝3
答：小路ON 段的建造费用为3万元． （2）由正弦定理得：AM
AO OM 2sin sin sin()33
θπθ==-
则AO sin θ
=，sin OM sin θθθ-=
sin 3sin ON MN AM 2sin sin θθθθθθ
-=-=-= 设小路AO 段与ON 段的建造总费用为()f θ
则9sin ()4AO 3ON sin f θθθθ-+=+=，63
ππθ<<
2()sin f θθθ'=，若0θ满足03cos 4
θ=，且063ππθ<<，列表如下：
则当θ＝0θ时，()f θ有极小值，此时也是()f θ的最小值
∴03cos cos 4θθ==
答：当cos θ34
=
，小路AO 段与ON 段的建造总费用最小．
20、
附加题：
1、2,4-==b a ；⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-5251101103
1M 2、02:1=-+y x C ；0434:2
22=--+y x y x C
相交
3、615；630
4、（1）10099
；
（2）201
)0(==X P ；209
)1(==X P ；209)2(==X P ；20
1
)3(==X P 23
)(=X E。