八年级下册数学张家口数学期末试卷专题练习(解析版)

八年级下册数学张家口数学期末试卷专题练习（解析版）一、选择题
1．如果
7
2
x
x
+
-
在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A．x≠2B．x≥﹣7 C．x≥2D．x≥﹣7且x≠2 2．由下列线段组成的三角形不是直角三角形的是（）
A．7，24，25 B．4，5，41C．3，5，4 D．4，5，6
3．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）
A．AB＝BC B．AC＝BD C．∠A＝∠C D．∠A＝∠B
4．一名射击爱好者5次射击的中靶环数如下：6，7，9，8，9．这5个数据的众数是
（）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（）
A．2 B．3C．
6
2
D．2
6．如图，△ABC，AB＝10cm，BC＝7 cm，AC＝6 cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为（）
A．6cm B．7cm C．9cm D．10cm
7．如图，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，AD为∠BAC的平分线，将△ADC沿直线AD 翻折得△ADE，则DE的长为（）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
8．两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒，在跑步过程中，甲、乙两人之间的距离y （米）与乙出发的时间t （秒）之间的关系如图所示给出以下结论：①8a =；②72b =；③98c =．其中正确的是（ ）
A ．②③
B ．①②③
C ．①②
D ．①③
二、填空题
9．要使632
x -有意义，则x 的取值范围为 ______． 10．菱形的周长为20cm ，一条对角线长为8cm ，则菱形的面积为______cm 2． 11．如图，数字代表所在正方形的面积，则A 所代表的正方形的面积为_________．
12．如图，将矩形纸片ABCD 对折，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，将纸片展平，再一次折叠，使点A 落在EF 上点H 处，若3EH =，则CD 的长为______．
13．写出一个具备y随x增大而减小且图象经过点（1，﹣3）的一次函数表达式
_________．
14．若顺次连接四边形ABCD四边中点所得的四边形是菱形，则原四边形的对角线AC、BD 所满足的条件是________．
15．如图，平面直角坐标系中，直线
1
1
2
y x
=+与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB
为边在第二象限内作正方形ABCD，在y轴上有一个动点M，当MDC
△的周长最小的时候，点M的坐标是______．
16．如图，矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均交于点O，且EG∥BC，将矩形折叠，使点C与点O重合，折痕MN恰好过点G若AB＝6，EF＝2，∠H＝120°，则DN的长为
_____．
三、解答题
17．计算：
（1）38﹣（π﹣3.14）0+|2﹣2|
（2）18﹣41
8
﹣2（2﹣1）
（3）（25-7）（25+7）﹣（5﹣3）2
18．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝4，求AC的长．
19．在学习了勾股定理之后，甲乙丙三位同学在方格图（正方形的边长都为1）中比赛找“整数三角形”，什么叫“整数三角形”呢？他们三人规定：边长和面积都是整数的三角形才能叫“整数三角形”．甲同学很快找到了如图1的“整数三角形”，一会儿后乙同学也找到了周长为24的“整数三角形”．丙同学受到甲、乙两同学的启发找到了两个不同的等腰“整数三角形”．请完成：
（1）以点A为一个顶点，在图2中作出乙同学找到的周长为24的“整数三角形”，并在每边周边标注其边长；
（2）在图3中作出两个不同的等腰“整数三角形”，并在每边周边标注其边长；
（3）你还能找到一个等边“整数三角形”吗？若能找出，请写出它的边长；若不能，请说明理由．
20．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点E 是AD 的中点，过点A 作AF ∥BC 交BE 的延长线于F ，连接CF ．
（1）求证：△AEF ≌△DEB ；
（2）若∠BAC ＝90°，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．
21．[观察]请你观察下列式子的特点，并直接写出结果：
221111111212
++=+-= ； 221111112323+
+=+-= ； 221111113434
+
+=+-= ； …… [发现]根据你的阅读回答下列问题：
（1）请根据上面式子的规律填空： ()2
21111n n ++=+ （n 为正整数）； （2）请证明(1) 中你所发现的规律．
[应用]请直接写出下面式子的结果： ()2
22222221111111111111223341n n ++++++++++ ． 22．某市为了倡导居民节约用水，生活用自来水按阶梯式水价计费．如图是居民每户每月的水（自来水）费y （元）与所用的水（自来水）量x （吨）之间的函数图象．根据下面图象提供的信息，解答下列问题：
（1）当1730x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式；
（2）已知某户居民上月水费为91元，求这户居民上月的用水量；
（3）当一户居民在某月用水为15吨时，求这户居民这个月的水费．
23．在菱形ABCD 中，点E 为边BC 的中点，
，垂足为点， 垂足为
点G ．
（1）如图①，求证：；
（2）如图②，如图③，请分别写出线段
之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）（2）的条件下，若菱形ABCD 的面积为
，菱形ABCD 的周长为，四边形的面积为 ，线段DF 的长为 ． 24．如图1，直线AB 分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，6OA =，30BAO ∠=︒，过点B 作BC AB ⊥交x 轴于点C ．
（1）请求出直线BC 的函数解析式．
（2）如图1，取AC 中点D ，过点D 作垂于x 轴的线DE ，分别交直线AB 和直线BC 于点F ，E ，过点F 作关于x 轴的平行线交直线BC 于点G ，点M 为直线DE 上一动点，作MN y ⊥轴于点N ，连接AM ，NG ，当AM MN NG ++最小时，求M 点的坐标及AM MN GN ++的最小值．
（3）在图2中，点P 为线段AB 上一动点，连接PD ，将PAD △沿PD 翻折至PA D '△，连接A B '，A C '，是否存在点P ，使得A BC '为等腰三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
25．已知，如图，在三角形ABC ∆中，20AB AC cm ==，BD AC ⊥于D ，且16BD cm =．点M 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动，速度为4/cm s ；同时点P 由B 点出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1/cm s ，过点P 的动直线//PQ AC ，交BC 于点Q ，连结PM ，设运动时间为()t s ()05t <<，解答下列问题：
（1）线段AD =_________cm ；
（2）求证：PB PQ =；
（3）当t 为何值时，以P Q D M 、、、为顶点的四边形为平行四边形？
【参考答案】
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
由已知可得x ﹣2≠0，x +7≥0，求出x 的范围即可．
【详解】
解：∵7x + ∴x ﹣2≠0，x +7≥0，
∴x ≠2，x ≥﹣7，
∴x ≥﹣7且x ≠2，
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查二次根式与分式有意义的条件，解题的关键是熟知其各自的特点． 2．D
【分析】
根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】
解：A、∵72+242=625=252，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵42+522，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵32+42=52，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵42+52≠62，∴不能够成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
利用平行线的判定与性质结合平行四边形的判定得出即可.
【详解】
∵AB//CD，
∴∠B+∠C=180°，
当∠A=∠C时，则∠A+∠B=180°，
故AD//BC，
则四边形ABCD是平行四边形.
故选C.
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定是解题的关键．
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数，进行求解即可．
【详解】
解：∵6，7，9，8，9这5个数中9出现了两次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为9，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了众数的定义，解题的关键在于能够熟练掌握众数的定义．
5．D
解析：D
分别取,AD BC 的中点为,G H ，连接,,,EG HE HF FG ，利用中点四边形的性质可以推出1111//,//,//,//2222
EG BD HF BD HE AC FG AC ，再根据AC BD ⊥，可以推导出四边形EGFH 是正方形即可求解．
【详解】
解：分别取,AD BC 的中点为,G H ，连接,,,EG HE HF FG ，
,E F 分别是,AB CD 的中点，
1111//,//,//,//2222
EG BD HF BD HE AC FG AC ∴， 又,2AC BD AC BD ⊥==，
1,HE EG GF HF HF FG ∴====⊥，
∴四边形EGFH 是正方形，
22EF FG ∴=
故选：D ．
【点睛】
本题考查了中点四边形的性质、正方形的判定及性质，解题的关键是作出适当的辅助线，利用题意证明出四边形EGFH 是正方形．
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
由折叠的性质得到CD =DE ，BC =BE ，由线段和差解得AE 的长，继而解题．
【详解】
解：由折叠的性质知，CD =DE ，BC =BE =7cm ．
∵AB =10cm ，BC =7cm ，
∴AE =AB ﹣BE =3cm ．
△AED 的周长=AD +DE +AE =AC +AE =6+3=9cm ．
故选：C ．
【点睛】
本题利用了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
在Rt ABC ∆中利用勾股定理求出AC 长，利用折叠性质：得到ADE ADC ∆∆≌，求出对应相等的边，设DE ＝x ，在Rt BDE ∆中利用勾股定理，列出关于x 的方程，求解方程即可得到答案．
【详解】
解：∵AB ＝6，BC ＝8，∠ABC ＝90°，
∴AC 22226810BC ，
∵AD 为∠BAC 的平分线，将△ADC 沿直线AD 翻折得△ADE ，
ADE ADC ∴∆∆≌，
∴A 、B 、E 共线，AC ＝AE ＝10，DC ＝DE ，
∴BE ＝AE ﹣AB ＝10﹣6＝4，
在Rt △BDE 中，设DE ＝x ，则BD ＝8﹣x ，
∵BD 2+BE 2＝DE 2，
∴（8﹣x ）2+42＝x 2，
解得x ＝5，
∴DE ＝5，
故选：B ．
【点睛】
本题主要是考查了直角三角形的勾股定理以及折叠中的三角形全等的性质，熟练利用折叠得到全等三角形，找到直角三角形中的各边的关系，利用勾股定理列方程，并求解方程，这是解决该类问题的关键．
8．B
解析：B
【分析】
易得乙出发时，两人相距8m ，除以时间2即为甲的速度；由于出现两人距离为0的情况，那么乙的速度较快．乙80s 跑完总路程400可得乙的速度，进而求得80s 时两人相距的距离可得b 的值，同法求得两人距离为0时，相应的时间，让两人相距的距离除以甲的速度，减2即为c 的值．
【详解】
由函数图象可知，
甲的速度为824÷=（米/秒），乙的速度为400805÷=（米/秒），
8(54)8∴÷-=（秒），8a ∴=，故①正确；
5804(802)400328b =⨯-⨯+=-72=（米）故②正确；
4004298c =÷-=（秒）故③正确；
∴正确的是①②③．故选B ．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，得到甲乙两人的速度是解决本题的突破点，得到相应行程的关系式是解决本题的关键．
二、填空题
9．x ≤ 2
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件可得6-3x ≥0，再解不等式即可．
【详解】
解：由题意得：6-3x ≥0，
解得x ≤2．
故答案为：x ≤2．
【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 10．24
【解析】
【分析】
画出符合题意的图形，利用菱形的对角线互相垂直平分，求解另一条对角线的长，再利用菱形的面积等于两条对角线的长之积的一半即可得到答案．
【详解】
解：如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，一条对角线AC 的长为8cm ，
5,4,,,AD AB BC CD cm OA OC cm OB OD AC BD ∴=======⊥
2222543OD AD AO ∴--，
26,BD OD cm ∴==
2116824.22
ABCD S AC BD cm ∴==⨯⨯=菱形 故答案为：24.
【点睛】
本题考查的是菱形的性质，菱形的面积，掌握菱形的性质及菱形的面积的计算是解题的关键．
11．A
解析：【解析】
【分析】
三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A 所代表的正方形的面积A =36+64=100．
解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方=36，一条直角边的平方=64，则斜边的平方=36+64．
故答案为：100．
【点睛】
本题考查了正方形的面积公式以及勾股定理．
12．【分析】
由折叠的性质可知ABG HBG ≌，90FEB ∠=︒，从而可得AB BH =，继而求得1122
EB AB BH ==，所以30EHB ∠=︒，再根据勾股定理求解即可 【详解】
由折叠可知：ABG HBG ≌，90FEB ∠=︒
ABG HBG ∴∠=∠，AB BH = E 是AB 的中点 ∴1122
EB AB BH == ∴30EHB ∠=︒
3EH =，222BH EB EH =+ ∴2394
BH =
BH ∴=
AB BH ∴==四边形ABCD 是矩形
CD AB ∴==
故答案为：【点睛】
本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，求得30EHB ∠=︒是解题的关键．
13．y ＝﹣3x
【分析】
根据y 随着x 的增大而减小推断出k 与0的关系，再可以利用过点（1，﹣3）来确定函数的解析式，答案不唯一．
【详解】
解：∵y 随着x 的增大而减小，
∴k ＜0，
又∵直线过点（1，﹣3），
则解析式为y ＝﹣3x 或y ＝﹣2x ﹣1或y ＝﹣x ﹣2等．
故答案为：y ＝﹣3x ．
本题主要考查对一次函数的性质、用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，能理解一次函数的性质是解此题的关键．
14．A
解析：AC BD
【分析】
如下图，根据三角形中位线的定理，可得AG=EF=1
2
AC，GF=AE=
1
2
BD，再根据菱形四条
边相等的性质，可得出AC与BD的关系．
【详解】
如下图，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点
∵点E、F是AB、BC的中点
∴EF=1
2
AC
同理可得：AG=EF=1
2
AC，GF=AE=
1
2
BD
∵要使得四边形HEFG是菱形，则HE=EF=FG=GH ∴只需AC=BD即可
故答案为：AC=BD
【点睛】
本题考查菱形的性质和三角形中位线的性质，解题关键是得出AG=EF=1
2 AC，
GF=AE=1
2 BD．
15．（0，）
【分析】
把x=0和y=0分别代入y=x+1，求出A，B两点的坐标，过D作DE垂直于x 轴，证△DEA≌△AOB，证出OA=DE，AE=OB，即可求出D的坐标；先作出D关于y轴的对称点D′，
解析：（0，11
4
）
【分析】
把x =0和y =0分别代入y =1
2x +1，求出A ，B 两点的坐标，过D 作DE 垂直于x 轴，证△DEA ≌△AOB ，证出OA =DE ，AE =OB ，即可求出D 的坐标；先作出D 关于y 轴的对称点D ′，连接CD ′，CD ′与y 轴交于点M ，则MD ′=MD ，求出D ′的坐标，进而求出CD ′的解析式，即可求解．
【详解】
解：y =12x +1，
当x =0时，y =1，当y =0时，x =-2，
∴点A 的坐标为（-2，0）、B 的坐标为（0，1），OA =2，OB =1，
由勾股定理得：AB
过D 作DE 垂直于x 轴，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠DEA =∠DAB =∠AOB =90°，AD =AB =CD
∴∠DAE +∠BAO =90°，∠BAO +∠ABO =90°，
∴∠DAE =∠ABO ，
在△DEA 与△AOB 中， DAE ABO DEA AOB DA AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△DEA ≌△AOB （AAS ），
∴OA =DE =2，AE =OB =1，
∴OE =3，
所以点D 的坐标为（-3，2），
同理：点C 的坐标为（-1，3），
作D 关于y 轴的对称点D ′，连接CD ′，CD ′与y 轴交于点M ，
∴MD ′=MD ，MD ′+MC =MD +MC ，此时MD ′+MC 取最小值，
∵点D （-3，2）关于y 轴的对称点D ′坐标为（3，2），
设直线CD ′解析式为y =kx +b ，
把C （-1，3），D ′（3，2）代入得：332k b k b -+=⎧⎨+=⎩
， 解得：14114k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴直线CD ′解析式为y =14
-x +114， 令x =0，得到y =114
， 则M 坐标为（0，
114）． 故答案为：（0，
114
）． 【点睛】 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，能求与x 轴y 轴的交点坐标和理解有关最小值问题是解本题的关键，难点是理解MD +MC 的值最小如何求． 16．﹣．
【分析】
延长EG 交DC 于P 点，连接GC 、FH ，则△GCP 为直角三角形，证明四边形OGCM 为菱形，则可证，由勾股定理求得GP 的值，再由三角形的中位线定理求解即可得到答案.
【详解】
解：延长E
解析：6﹣3． 【分析】 延长EG 交DC 于P 点，连接GC 、FH ，则△GCP 为直角三角形，证明四边形OGCM 为菱形，则可证3CG OM CM OG ====，由勾股定理求得GP 的值，再由三角形的中位线定理求解即可得到答案.
【详解】
解：延长EG 交DC 于P 点，连接GC 、FH ；如图所示：
则CP ＝DP ＝12CD ＝62
，△GCP 为直角三角形， ∵四边形EFGH 是菱形，∠EHG ＝120°，
∴GH ＝EF ＝2，∠OHG ＝60°，EG ⊥FH ，
∴OG ＝3，
由折叠的性质得：CG ＝OG ＝3，OM ＝CM ，∠MOG ＝∠MCG ，
∴2262
PG CG CP =-=
∵OG ∥CM ，
∴∠MOG ＋∠OMC ＝180°，
∴∠MCG ＋∠OMC ＝180°，
∴OM ∥CG ，
∴四边形OGCM 为平行四边形，
∵OM ＝CM ，
∴四边形OGCM 为菱形，
∴CM ＝OG ＝3，
过N 作NQ ⊥MC 于点Q ，NQ ⊥GP 于K
根据题意得：KG 是三角形MNQ 的中位线，
∴MQ ＝2KG ，
∴()()222DN PK CQ CM MQ CM GK CM PG PK CM PG DN ===-=-=--=--∴DN ＝263PG CM -=-． 故答案为：63-.
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质与判定，翻折变换，勾股定理，三角形中位线定
理等知识，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
三、解答题
17．（1）；（2）2；（3）
【分析】
（1）根据零次幂、立方根及绝对值可直接进行求解；
（2）先对二次根式进行化简，然后再进行二次根式的加减运算；
（3）利用乘法公式进行二次根式的混合运算即可．
【详
解析：（1）32）2；（3）1
【分析】
（1）根据零次幂、立方根及绝对值可直接进行求解；
（2）先对二次根式进行化简，然后再进行二次根式的加减运算；
（3）利用乘法公式进行二次根式的混合运算即可．
【详解】
解：（1）原式=2123
-+
（2）原式=22
=；
（3）原式=207591
--+=．
【点睛】
本题主要考查二次根式的混合运算及零次幂，熟练掌握二次根式的混合运算及零次幂是解题的关键．
18．【分析】
直接利用勾股定理进而得出AC的长．
【详解】
解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∵AC+AB＝10，BC＝4，
设AC＝x，则AB＝10﹣x，
∴x2+
解析：21 5
【分析】
直接利用勾股定理进而得出AC的长．【详解】
解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∵AC+AB＝10，BC＝4，
设AC＝x，则AB＝10﹣x，
∴x2+42＝（10﹣x）2，
解得：x＝21
5
，
答：AC的长为21
5
．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出等式方程是解题关键．
19．（1）见解析；（2）见解析；（3）不能，理由见解析；
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理以及题目给的数据作出边长分别为的“整数三角形”；
（2）根据勾股定理，作出两个不同的等腰“整数三角形”可以
解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）不能，理由见解析；
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理以及题目给的数据作出边长分别为6,8,10的“整数三角形”；
（2）根据勾股定理，作出两个不同的等腰“整数三角形”可以是边长为5,5,8;5,5,6的等腰三角形；
（3）根据题意先求得等边三角形的面积，比较面积和边长的关系即可得出不能找到等边“整数三角形”．
【详解】
（1）如图1，以A为顶点，周长为12的直角“整数三角形”的边长为3,4,5
以A为顶点，周长为24的直角“整数三角形”的边长为6,8,10
如图：
（2）如图，根据勾股定理，作出两个不同的等腰“整数三角形”可以是边长为5,5,8;5,5,6的等腰三角形
（3）不存在，理由如下：
如图，ABC 是等边三角形，AD 是三角形BC 边上的高，设AB =a （a 为正整数） 则1122
BD AB a ==
2233a AD AB BD BD =-=211133222ABC S BC AD a a ∴=⨯==△ a 23
是无理数， ∴不存在边长和面积都是整数的等边三角形
故找不到等边“整数三角形”．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，等边三角形的性质，熟练利用勾股定理找到勾股数是解题的关键．
20．（1）见解析；（2）四边形ADCF 是菱形，理由见解析．
【分析】
（1）由“AAS”可证△AEF ≌△DEB ；
（2）先证四边形ADCF 是平行四边形，由直角三角形的性质可得AD ＝CD ，可得结论．
【详
解析：（1）见解析；（2）四边形ADCF 是菱形，理由见解析．
【分析】
（1）由“AAS ”可证△AEF ≌△DEB ；
（2）先证四边形ADCF 是平行四边形，由直角三角形的性质可得AD ＝CD ，可得结论．
【详解】
证明：（1）∵AD 是BC 边上的中线，
∴BD ＝CD ，
∵点E 是AD 的中点，
∴AE ＝ED ，
∵AF ∥BC ，
∴∠AFE ＝∠EBD ，
在△AEF 和△DEB 中，
AFE DBE FEA BED AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△AEF ≌△DEB （AAS ），
（2）四边形ADCF 是菱形，
理由如下：∵△AEF ≌△DEB ，
∴AF ＝BD ，
又∵BD ＝CD ，
∴AF ＝CD ，
∵AF ∥BC ，
∴四边形ADCF 是平行四边形，
∵∠BAC ＝90°，AD 是BC 边上的中线，
∴AD ＝CD ，
∴四边形ADCF 是菱形．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质．证明四边形ADCF 是平行四边形是解题的关键．
21．[观察]，，；[发现]（1）或；（2）证明见解析；[应用]或．
【解析】
【分析】
（1）计算题目中结果，并根据计算过程和结果，总结得到一般规律，作出猜想，并对猜想进行计算，即可进行证明；
（2）运
解析：[观察]32，76，1312；[发现]（1）1111n n +-+或221n n n n
+++；（2）证明见解析；[应用]1n n n ++或221
n n n ++． 【解析】
【分析】
（1）计算题目中结果，并根据计算过程和结果，总结得到一般规律，作出猜想，并对猜想
进行计算，即可进行证明；
（2）运用（1）中发现规律，进行计算即可.
【详解】
[观察]32，76，1312， [发现]（1）1111n n +-+或221n n n n
+++
（2）左=
=
=
=
=∵n 为正整数，
∴()
11111011n n n n +-=+>++ ∴左1111
n n =+-=+右
[应用11n +++111111111111223341
n n =+-++-++-+++-+ (1111)
n n =⨯+-
+ 1n n n =++ 22=1
n n n ++ ∴答案为：1n n n ++或221
n n n ++. 【点睛】
（1）此类规律探究问题一定要结合式子特点和数的规律进行探究，类比；
（2）此类题目往往无法直接进行计算，一般要根据规律进行变形，往往会消去部分中间项，实现简化运算目的.
22．（1）；（2）25吨；（3）45元
【分析】
（1）利用待定系数法求解函数关系式的方法即可；
（2）将y=91代入（1）中解析式中求得x 值即可；
（3）将x=17代入（1）中解析式中求得y 值，再求得
解析：（1）534y x =-；（2）25吨；（3）45元
【分析】
（1）利用待定系数法求解函数关系式的方法即可；
（2）将y =91代入（1）中解析式中求得x 值即可；
（3）将x =17代入（1）中解析式中求得y 值，再求得当017x ≤<时，y 与x 之间的函数关系式，将x =15代入求解y 值即可．
【详解】
解：（1）设y 与x 之间的函数关系式为：y kx b =+，
由题意得：116306620k b k b =+⎧⎨=+⎩
，∴534k b =⎧⎨=-⎩， ∴y 与x 之间的函数关系式为：534y x =-．
（2）∵91元66>元，
∴由91534x =-得：25x =． 答：这户居民上月用水量25吨．
（3）当17x =吨时，5173451y =⨯-=元，
∴当017x ≤<时，y 与x 之间的函数关系式为：3y x =，
当15x =时，45y =元，
答：这户居民这个月的水费45元．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，理解题意，能从函数图象中获取有效信息，会利用待定系数法求解函数关系式是解答的关键．
23．（1）见解析；（2），理由见解析；（3）78，或
【分析】
（1）如图①中，如图1中，过点作于．证明可得结论．
（2）如图②中，结论：．如图③中，结论：．利用全等三角形的性质解决问题即可．
（3）根
解析：（1）见解析；（2）
，理由见解析；（3）78，或
【分析】
（1）如图①中，如图1中，过点D 作
于．证明可得结论．
（2）如图②中，结论：．如图③中，结论：．利用全等三
角形的性质解决问题即可．
（3）根据菱形的周长求出菱形的边长，利用菱形的面积公式求出菱形的高EF，再利用勾股定理求出，利用（2）中结论解决问题即可．
【详解】
解：（1）如图①中，如图1中，过点D作于．
四边形ABCD是菱形，
，//
AD BC，，
，，，
，，
∴四边形是平行四边形，
，
=，
，，AB AC
，
，
，
，
，
．
（2）如图②中，结论：．
理由：过点D作于．
同法可证，，，
．
如图③中，结论：．
理由：过点D作于．
同法可证，，，
．
（3）菱形ABCD的周长为52，
，
菱形ABCD的面积，，
，
，
，
四边形的面积．
，
，
，
如图②中，，
如图③，
故答案为78，或．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
24．（1）直线的函数解析式为：；（2）当点的坐标为：时，有最小值；（3）的坐标为：，或，或或．
【解析】
【分析】
（1）利用锐角三角函数求直角三角形的边和的长度，从而得出点、的坐标，再利用待定系数法，
解析：（1）直线BC 的函数解析式为：1323y x =+；（2）当M 点的坐标为：203(2,)3时，AM MN NG ++有最小值
26123
+；（3）P 的坐标为：(823-，223)3-或(623+，2)-或23(4,)3或(0,23)． 【解析】
【分析】
（1）利用锐角三角函数求直角三角形的边OB 和OC 的长度，从而得出点B 、C 的坐标，再利用待定系数法，求出直线BC 的函数解析式；
（2）此题需先在图形中补全题目出现的条件，第二问为“造桥问题”，借助两点之间线段最短，先作图，再结合函数知识解决问题；
（3）借助有定点、定长可确定圆入手，找到动点A '的运动轨迹；同时，考虑等腰三角形△A BC '的腰不确定，应分三种情况讨论，从而确定点P 的坐标．
【详解】
解：（1）x 轴y ⊥轴，6OA =，30BAO ∠=︒，
90BOA ∴∠=︒，60ABO ∠=︒，则3tan306233BO OA =︒⋅=
⋅=， (0,23)B ∴；
过点B 作BC AB ⊥交x 轴于点C ，
90CBA ∴∠=︒，906030CBO CBA ABO ∠=∠-∠=︒-︒=︒，
3tan302323
CO OB ∴=︒⋅=⋅=， (2,0)C ∴；
设直线BC 的函数解析式为：1y kx b =+，将点()0,23B ，(2,0)C -代入得，
02320b k b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得，323k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩
， ∴直线BC 的函数解析式为：1323y x =+．
（2）
MN y ⊥轴，//GF x 轴，
GF y ∴⊥轴，直线GF 上所有点的纵坐标都相等；
将点G 在直线GF 上平移至点G '，使得GG MN '=，连接AG '，交DE 于点M '，过M '作//M N MN ''交y 轴于点N '，连接GN '，
则MN M N ='
'，GN G M '''=，当M 位于点M '时，AM MN NG ++有最小值； 点D 为线段AC 的中点，(2,0)C -，(6,0)A ，
(2,0)D ∴，4=AD ，
DE x ⊥∵轴，
2GG MN M N '''∴===，90FDA ∠=︒，直线DE 上所有点的横坐标都为2；
2AD =，30BAO ∠=︒，
tan304DF AD ∴=︒⋅=
，则F ， ∴
设点(G x ，
代入y =+
+=，解得，23
x =-，则2(3G -
， 4(3G '∴
，则AG ' AM MN NG ∴++
的最小值为：2AM MN NG AM M N N G AG MN '''''++=++=+， 设直线G A '的函数解析式为：2y kx b =+，将点2(3G -
，(6,0)A ，代入得，
2360k b k b ⎧-+⎪⎨⎪+=⎩
k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线BC
的函数解析式为：2y =+ 设点(2,)M m '，将点M '
代入2y =+
m = 当AM MN NG ++最小时，M
点的坐标为：． （3）存在点P ，使得△A BC '为等腰三角形．
点A ，D 是定点，则AD 是定长，PAD ∆沿PD 翻折至△PA D '，则点A '是D 上的动点， （1）当A C A B ''=时，
①如图，点P 在x
轴上方，点(8P -
2；
②如图，点P 在x 轴下方，点(623P +，2)-；
（2）当'=BC BA 时，A '也在B 上，点23(4,)3
P ；
（3）当CB CA '=时，点A '也在C 上，点(0,3)P ．
【点睛】
本题考查了一次函数的综合应用，涉及的知识点有：一次函数、直角三角形等，体现了数学的模型思想、转化思想．解题的关键是：学生需要对基础知识掌握非常熟练，灵活调动．
25．（1）12；（2）证明见详解；（3）或t=4s．
【分析】
（1）由勾股定理求出AD即可；
（2）由等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠PBQ=∠PQB，再由等腰三角形的判定定理即可得出结论；
（3
解析：（1）12；（2）证明见详解；（3）
12
5
t s
=或t=4s．
【分析】
（1）由勾股定理求出AD即可；
（2）由等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠PBQ=∠PQB，再由等腰三角形的判定定理即可得出结论；
（3）分两种情况：①当点M在点D的上方时，根据题意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=12，得出MD=AD-AM=12-4t，由PQ∥MD，当PQ=MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可；
②当点M在点D的下方时，根据题意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=12，得出MD=AM-
AD=4t-12，由PQ∥MD，当PQ=MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可．
【详解】
（1）解：∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∴2222
201612
AD AB BD
=--（cm），
（2）如图所示：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，即∠PBQ=∠C，
∵PQ∥AC，
∴∠PQB=∠C，
∴∠PBQ=∠PQB，
∴PB=PQ；
（3）分两种情况：
①当点M在点D的上方时，如图2所示：
根据题意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=12，
∴MD=AD-AM=12-4t，
∵PQ∥AC，
∴PQ∥MD，
∴当PQ=MD时，四边形PQDM是平行四边形，即：当t=12-4t，时，四边形PQDM是平行四边形，
解得：
12
5
t （s）；
②当点M在点D的下方时，如图3所示：
根据题意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=12，
∴MD=AM-AD=4t-12，
∵PQ∥AC，
∴PQ∥MD，
∴当PQ=MD时，四边形PQDM是平行四边形，即：当t=4t-12时，四边形PQDM是平行四边形，解得：t=4（s）；
综上所述，当
12
5
t s
或t=4s时，以P、Q、D、M为顶点的四边形为平行四边形．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定方法，进行分类讨论是解决问题（3）的关键．。