第23讲 拉普拉斯反变换的方法

F (s)
K1 K2 s j s j
利用上法，得系数
K1 K1 e j 1 , K 2 K1 e j 1
f (t ) 2 K1 et cos(t 1 )
例 解 其中 所以
设
F (s)
s2 s 2 2s 2
，求f ( t )。
1 ( s ) n 1
所以： f ( t ) t 2 e t t e t e t e 2 t

(t )
s4 2 例 4： F ( s ) 3 s 4s 2 4s 2 【解】 F ( s ) s 4 12s 16s2 2 s( s 2)
例2： F ( s )
s3 s 2s 5
2
【解】 F ( s )
k1
s3 s 1 2j
s 1 2 j
s3 s 1 2j s 1 2j k1 k2 s 1 2j s 1 2j s3 1 j k 2 s 1 2j 2
* k 2 k1 A jB
( j ) t k2 e ( j ) t k1e (t ) * j t e t ( k1e j t k1 e ) ( t )
2 e t ( A cos t B sin t ) ( t )
其中 : k i F ( s )( s pi ) s p
( 2 ) D ( s ) 0 的 根 含 有 m 阶 重 根 p1 时 , 则 ：
F ( s)
k 1( m 1 ) ki kn k 1m k 11 ... ... ... m m 1 s pi s pn （ s p1 ） （ s p1 ） （ s p1 ）
( n = 1，2，m )
例
设 F ( s ) ( s 1) ，求f ( t )。
2
s3
解
其中
F (s)
K11 K 12 ( s 1) 2 s 1
K11 ( s 1) 2 F ( s )
K12
s 1
2
d ( s 3) s 1 1 ds
则
f ( t ) 2t e t e t ,
3. D( s ) = 0含有重根 设 则
F (s) N (s) ( s s1 ) m
F (s)
K11 K12 K1m ( s s1 ) m ( s s1 ) m 1 s s1
其中
k1n
1 d n 1 [( s s1 ) m F ( s )] s s1 ( n 1)! ds n 1
1 j st f (t ) F ( s ) e ds j 2π j
通常的方法: （1）查表法 （2）利用性质 （3）部分分式展开
t0
直接利用定义求反变换---复变函数积分，比较困难。
若象函数 F(s) 是 s 的有理分式：
N ( s ) bm s m bm 1 s m 1 ... b1 s b0 F ( s) D( s ) s n a n 1 s n 1 ... a 1 s a 0
例1: 【解】
2s 2 3s 3 ? s 3 6 s 2 11s 6 k3 k1 k2 2s 2 3s 3 F ( s) ( s 1)(s 2)(s 3) s1 s2 s3 F ( s)
k1
k2
2s 2 3s 3 ( s 1)(s 3) s 2
k 13 k 12 k 11 k2 ( s 1) 3 ( s 1) 2 s1 s 2
2 1 1 1 s1 s2 ( s 1) 3 ( s 1) 2
tn 1 (t ) n 1 n! s
t n t e (t ) n!
B( s ) A( s )
s j
k1 ( s j )
B ( s ) s j 2j
B( s ) k 2 ( s j ) A( s ) B ( s ) s j 2j
s j
k 1 A j B，
k1 k2 f ( t ) L1 s j s j
t0
我们主要讨论象函数为有理真分式的情形 部分分式展开法 （m<n）。 (1 ) D ( s ) 0 的 根 为 n 个 单 根 p 1， ... p i ... p n , 则 ：
F ( s) ki kn k1 ... ... s p1 s pi s pn
i
K1 ( s 1) F ( s ) s 1 1 K 2 ( s 2 ) F ( s ) s 2 2
所以
则
F (s)
1 2 2 s 1 s 1
f (t ) e t 2 e 2 t
2. D( s ) = 0有共轭复根 设 则
s1 j , s 2 j

s 1 2 j
1 j 2
j (1 2j) t 1 j (1 2j) t f (t ) [ 1 e ] (t ) 2 2 e
e t cos 2 t s in 2 t ( t )
例 3： F ( s)
【解】 F ( s )

s3 ( s 2)(s 1) 3
•最后，给出S域系统函数的定义，通过系统函数的零极点分布来 分析系统的稳定性。
第4章 主要内容


4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
拉普拉斯变换的定义 单边拉普拉斯变换的性质 拉普拉斯反变换的方法 连续系统的S域分析方法 S域系统函数及应用
第 23 讲

拉普拉斯反变换的方法
拉普拉斯反变换方法

s 2
23 2
1 23 2 t f ( t ) ( t ) 4 ( t ) ( t ) 9 te 2 t ( t ) e (t ) 2 2
第4章 连续系统的S域分析
•拉普拉斯变换是傅里叶变换的广义形式，
•通过拉普拉斯变换将微分方程转换为代数方程，
•同时将起始状态和输入信号一起考虑，一举求得全响应。
•通过拉普拉斯变换引入S域系统函数，其零极点联系了系统 的时域和频域特性，并可直观判断系统的稳定性。
第4章 连续系统的S域分析
•本章导读： •首先，介绍拉普拉斯变换的定义、性质和反变换方法。 •然后，介绍拉氏变换分析LTI系统的两种方法： • • 已知微分方程的S域求解 已知电路的S域系统模型求解。
i
( i = 1，2，n )
则
f (t ) K1e s1t K 2 e s 2 t K n e s n t
例设
F (s)
s ( s 1)( s 2)
，求f ( t )。
解 其中
F (s)
s K1 K2 ( s 1)( s 2) s 1 s 1
F (s)
K1 K2 s ( 1 j) s ( 1 j)
1 1 2 j45 j e 2 2 2 1 1 2 j45 j e 2 2 2
K1 K2
f (t ) K1e s1t K 2 e s2t 2e t cos(t 45), t0
L1[ s n ] ( n) (t )
故多项式P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数及其各阶导数构成。
1. D( s ) = 0的根均为单实根
F (s) K1 K2 Kn s s1 s s2 s sn
式中
k i ( s si ) F ( s ) s s
s4
k1 12s 2 16s 2 s s ( s 2) 2
k1 k 22 k 21 s ( s 2)2 s2
1 2 k 22 12s 2 16 2 s 9
s 2
s0
k 21
d s
若m≥n，可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式 P(s)与有理真分式之和。
F (s) P (s) B( s) A( s )
例如：
2s 3 s 2 1 F ( s) 2 s 3s 2
2s 5
11s 9 s 3s 2
2
而
L1[1] ( t )
2s 2 3s 3 ( s 1) ( s 1)(s 2)(s 3) s 1
1
5
k3 6
F ( s)
1 5 6 s1 s 2 s 3
1 s
根 据e t ( t )
f ( t ) ( e t 5 e 2 t 6 e 3 t ) ( t )
其 中: k1i
1 d( m i ) [ F ( s )( s p1 ) m ] (mi ) ( m i )! ds s p
1
( 3 ) D ( s ) 0 的 根 含 有 共 轭 复 根 s j 时 ：
F ( s)
k1 k2 B( s) ( s j )( s j ) s j s j