石柱土家族自治县第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

石柱土家族自治县第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 函数是周期为4的奇函数，且在上的解析式为，则
()()f x x R Î02[,](1),01
()sin ,12x x x f x x x ì-££ï=íp <£ïî
（ ）1741
()()46f f +=A ． B ． C ． D ．
71691611161316
【命题意图】本题考查函数的奇偶性和周期性、分段函数等基础知识，意在考查转化和化归思想和基本运算能力．
2． 如图是某几何体的三视图，正视图是等腰梯形，俯视图中的曲线是两个同心的半圆组成的半圆环，侧视图是直角梯形．则该几何体表面积等于（
）
A ．12+
B ．12+23π
C ．12+24π
D ．12+π
3． 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若=4，则
=（
）
A ．3
B ．4
C ．
D ．13
4． 定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b=a ；当a ＜b 时，a ⊕b=b 2，则函数f （x ）=（1⊕x ）x ﹣（2⊕x ），x ∈[﹣2，2]的最大值等于（ ）
A ．﹣1
B ．1
C ．6
D ．12
5． 在△ABC 中，sinB+sin （A ﹣B ）=sinC 是sinA=的（
）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也非必要条件
6． 已知圆过定点且圆心在抛物线上运动，若轴截圆所得的弦为，则弦长
M )1,0(M y x 22
x M ||PQ
等于（ ）
||PQ A ．2 B ．3 C ．4 D ．与点位置有关的值
【命题意图】本题考查了抛物线的标准方程、圆的几何性质，对数形结合能力与逻辑推理运算能力要求较高，
难度较大.
7． 已知集合，，若，则（ ）
},052|{2
Z x x x x M ∈<+=},0{a N =∅≠N M =a A ．
B ．
C ．或
D ．或1-1-1-2
-8． 已知函数，其中，对任意的都成立，在12
2
()32f x x ax a =+-(0,3]a ∈()0f x ≤[]1,1x ∈-和两数间插入2015个数，使之与1，构成等比数列，设插入的这2015个数的成绩为，则（ ）
T T =A ．
B ．
C ．
D ．2015
2
2015
3
20152
3
20152
2
9． 设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的
()()21x
f x e x ax a =--+1a <()0f t <取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．3,12e ⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭33,24e ⎡⎫
-
⎪⎢⎣⎭
33,24e ⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
3,12e ⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
1111]
10．已知i 为虚数单位，则复数
所对应的点在（
）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
11．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（ ）A ．1
B ．
C ．
D ．
12．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）
A ．众数
B ．平均数
C ．中位数
D ．标准差
二、填空题
13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 不是直角三角形，则下列命题正确的是
（写出所有正确命题的编号）
①tanA •tanB •tanC=tanA+tanB+tanC ②tanA+tanB+tanC 的最小值为3
③tanA ，tanB ，tanC 中存在两个数互为倒数④若tanA ：tanB ：tanC=1：2：3，则A=45°⑤当tanB ﹣1=
时，则sin 2C ≥sinA •sinB ．
14．函数f （x ）=log a （x ﹣1）+2（a ＞0且a ≠1）过定点A ，则点A 的坐标为 ．　
15．已知1a b >>，若10
log log 3
a b b a +=
，b a a b =，则a b += ▲ ．16．的展开式中的系数为 （用数字作答)．
17．函数（）满足且在上的导数满足，则不等式
)(x f R x ∈2)1(=f )(x f R )('x f 03)('>-x f 的解集为
.
1log 3)(log 33-<x x f 【命题意图】本题考查利用函数的单调性解抽象不等式问题，本题对运算能力、化归能力及构造能力都有较高
要求，难度大.18．复数z=（i 虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为 ．
三、解答题
19．如图，A 地到火车站共有两条路径
和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所
用时间落在个时间段内的频率如下表：
现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。

（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？（2）用X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求X 的分布列和数学期望 。

20．设函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数
在
上的最大值与最小值．
21．【泰州中学2018届高三10月月考】已知函数.
()(),,x
f x e
g x x m m R ==-∈（1）若曲线与直线相切，求实数的值；()y f x =()y g x =m （2）记，求在上的最大值；()()()
h x f x g x =⋅()h x []0,1（3）当时，试比较与的大小.
0m =()
2f x e
-()g x 22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程（φ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极
轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的极坐标方程是ρ（sin θ+）=3
，射线OM ：θ=与圆C 的交点为O ，P ，与直线l
的交点为Q ，求线段PQ 的长．　
23．求下列函数的定义域，并用区间表示其结果．
（1）y=+；
（2）y=．
24．已知函数f（x）=|x﹣10|+|x﹣20|，且满足f（x）＜10a+10（a∈R）的解集不是空集．（Ⅰ）求实数a的取值集合A
（Ⅱ）若b∈A，a≠b，求证a a b b＞a b b a．
石柱土家族自治县第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
2．【答案】C
【解析】解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是一半圆台中间被挖掉一半圆柱，
其表面积为
S=[×（2+8）×4﹣2×4]+[×π•（42﹣12）+×（4π×﹣π×）+×8π]
=12+24π．
故选：C．
【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力的应用问题，是基础题目．
3．【答案】D
【解析】解：∵S n为等比数列{a n}的前n项和，=4，
∴S4，S8﹣S4，S12﹣S8也成等比数列，且S8=4S4，
∴（S8﹣S4）2=S4×（S12﹣S8），即9S42=S4×（S12﹣4S4），
解得=13．
故选：D．
【点评】熟练掌握等比数列的性质是解题的关键．是基础的计算题．
4．【答案】C
【解析】解：由题意知
当﹣2≤x≤1时，f（x）=x﹣2，当1＜x≤2时，f（x）=x3﹣2，
又∵f（x）=x﹣2，f（x）=x3﹣2在定义域上都为增函数，∴f（x）的最大值为f（2）=23﹣2=6．
故选C．
5．【答案】A
【解析】解：∵sinB+sin （A ﹣B ）=sinC=sin （A+B ），∴sinB+sinAcosB ﹣cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB ，∴sinB=2cosAsinB ，∵sinB ≠0，∴cosA=，
∴A=，
∴sinA=，当sinA=，
∴A=
或A=
，
故在△ABC 中，sinB+sin （A ﹣B ）=sinC 是sinA=的充分非必要条件，
故选：A
6． 【答案】A
【解析】过作垂直于轴于，设，则，在中，，为M MN x N ),(00y x M )0,(0x N MNQ Rt ∆0||y MN =MQ 圆的半径，为的一半，因此
NQ PQ 22222222
00000||4||4(||||)4[(1)]4(21)
PQ NQ MQ MN x y y x y ==-=+--=-+又点在抛物线上，∴，∴，∴.
M 02
02y x =2200||4(21)4PQ x y =-+=2||=PQ
7． 【答案】D 【解析】
试题分析：由，集合，{
}
{}1,2,025
,0522
--=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈<<-
=∈<+=Z x x x Z x x x x M {}a N ,0=又，或，故选D ．
φ≠N M 1-=∴a 2-=a
考点：交集及其运算．8． 【答案】C 【解析】
试题分析：因为函数，对任意的都成立，所以，解得
2
2
()32f x x ax a =+-()0f x ≤[]1,1x ∈-()()10
10
f f -≤⎧⎪⎨≤⎪⎩或，又因为，所以，在和两数间插入共个数，使之与，构成等
3a ≥1a ≤-(0,3]a ∈3a =122015,...a a a 2015比数列，，，两式相乘，根据等比数列的性质得，
T 122015...a a a =A 201521...T a a a =A ()
()
2015
2015
2
1201513T a a ==⨯，故选C.
T =2015
2
3
考点：1、不等式恒成立问题；2、等比数列的性质及倒序相乘的应用.9． 【答案】D 【解析】
考
点：函数导数与不等式．1【思路点晴】本题主要考查导数的运用，涉及划归与转化的数学思想方法.首先令将函数变为两个函
()0f x =数，将题意中的“存在唯一整数，使得在直线的下方”，转化为
()()()21,x
g x e x h x ax a =-=-()g t ()h x 存在唯一的整数，使得在直线的下方.利用导数可求得函数的极值，由此可求得的取值
()g t ()h x ax a =-m 范围.
10．【答案】A 【解析】解： =
=1+i ，其对应的点为（1，1），
故选：A ．　
11．【答案】C
【解析】解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为
．
因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为．
因此可知：A，B，D皆有可能，而＜1，故C不可能．
故选C．
【点评】正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为是解题的关键．
12．【答案】D
【解析】解：A样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．
B样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90
众数分别为88，90，不相等，A错．
平均数86，88不相等，B错．
中位数分别为86，88，不相等，C错
A样本方差S2=[（82﹣86）2+2×（84﹣86）2+3×（86﹣86）2+4×（88﹣86）2]=4，标准差S=2，
B样本方差S2=[（84﹣88）2+2×（86﹣88）2+3×（88﹣88）2+4×（90﹣88）2]=4，标准差S=2，D正确
故选D．
【点评】本题考查众数、平均数、中位标准差的定义，属于基础题．
二、填空题
13．【答案】　①④⑤　
【解析】解：由题意知：A≠，B≠，C≠，且A+B+C=π
∴tan（A+B）=tan（π﹣C）=﹣tanC，
又∵tan（A+B）=，
∴tanA+tanB=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）=﹣tanC（1﹣tanAtanB）=﹣tanC+tanAtanBtanC，
即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，故①正确；
当A=，B=C=时，tanA+tanB+tanC=＜3，故②错误；
若tanA，tanB，tanC中存在两个数互为倒数，则对应的两个内角互余，则第三个内角为直角，这与已知矛盾，故③错误；
由①，若tanA：tanB：tanC=1：2：3，则6tan3A=6tanA，则tanA=1，故A=45°，故④正确；
当tanB﹣1=时，tanA•tanB=tanA+tanB+tanC，即tanC=，C=60°，
此时sin 2C=
，
sinA •sinB=sinA •sin （120°﹣A ）=sinA •（cosA+sinA ）=
sinAcosA+
sin 2A=
sin2A+
﹣
cos2A=
sin （2A ﹣30°）
≤
，
则sin 2C ≥sinA •sinB ．故⑤正确；故答案为：①④⑤
【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了和角的正切公式，反证法，诱导公式等知识点，难度中档．
14．【答案】　（2，2）　．
【解析】解：∵log a 1=0，∴当x ﹣1=1，即x=2时，y=2，
则函数y=log a （x ﹣1）+2的图象恒过定点 （2，2）．故答案为：（2，2）．
【点评】本题考查对数函数的性质和特殊点，主要利用log a 1=0，属于基础题．　
15．【答案】【解析】
试题分析：因为1a b >>，所以log 1b a >，又101101
log log log log 33log 33a b b b b
b a a a a +=⇒+=⇒=或（舍），
因此
3a b =，因为b a a b =，所以3
333,1b b b b b b b b a =⇒=>⇒==a b +=考点：指对数式运算16．【答案】20
【解析】【知识点】二项式定理与性质【试题解析】通项公式为:令12-3r=3，r=3．
所以系数为：故答案为：17．【答案】)
3,0(【解析】构造函数，则，说明在上是增函数，且
x x f x F 3)()(-=03)(')('>-=x f x F )(x F R .又不等式可化为，即，
13)1()1(-=-=f F 1log 3)(log 33-<x x f 1log 3)(log 33-<-x x f )1()(log 3F x F <∴，解得.∴不等式的解集为.1log 3<x 30<<x 1log 3)(log 33-<x x f )3,0(18．【答案】 ．
【解析】解：复数z==﹣i（1+i）=1﹣i，
复数z=（i虚数单位）在复平面上对应的点（1，﹣1）到原点的距离为：．
故答案为：．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）A i表示事件“甲选择路径L i时，40分钟内赶到火车站”，B i表示事件“乙选择路径L i时，50分钟内赶到火车站”，i=1,2，用频率估计相应的概率可得
P（A1）=0。

1+0。

2+0。

3=0。

6，P（A2）=0。

1+0。

4=0。

5，
P（A1）＞P（A2）, 甲应选择L i
P（B1）=0。

1+0。

2+0。

3+0。

2=0。

8，P（B2）=0。

1+0。

4+0。

4=0。

9，
P（B2）＞P（B1）, 乙应选择L2。

（2）A,B分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（Ⅰ）知
,又由题意知，A,B独立，
20．【答案】
【解析】【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合
【试题解析】（Ⅰ）因为
．
所以函数的最小正周期为．
（Ⅱ）由（Ⅰ），得．
因为
，所以
，所以
．所以
．且当时，取到最大值；当时，取到最小值．
21．【答案】（1）；（2）当时，；当时，；1m =-1e m e <
-()()max 1h x m e =-1e m e ≥-()max h x m =-（3）.
()()2f x e g x ->【解析】试题分析：（1）研究函数的切线主要是利用切点作为突破口求解；（2）通过讨论函数在定义域内的单调性确定最值，要注意对字母m 的讨论；（3）比较两个函数的大小主要是转化为判断两个函数的差函数的符号，然后转化为研究差函数的单调性研究其最值．
试题解析：（1）设曲线与相切于点，
()x f x e =()g x x m =-()00,P x y 由，知，解得，()x f x e '=0
1x e =00x =又可求得点为，所以代入，得.
P ()0,1()g x x m =-1m =-（2）因为，所以.
()()x h x x m e =-()()()()
[]1,0,1x x x h x e x m e x m e x =+-=∈'--①当，即时，，此时在上单调递增，
10m -≤1m ≤()0h x '≥()h x []0,1所以；()()()max 11h x h m e ==-②当即，当时，单调递减，
011m <-<12m <<()0,1x m ∈-()()0,h x h x '<当时，单调递增，.
()1,1x m ∈-()()0,h x h x '>()()()0,11h m h m e =-=-（i ）当，即
时，；()1m m e -≥-21
e m e ≤<-()()max 0h x h m ==-（ii ）当，即时，；()1m m e -<-11
e m e <<-()()()max 11h x h m e ==-③当，即时，，此时在上单调递减，11m -≥2m ≥()0h x '≤()h x []0,1所以.
()()min 0h x h m ==-综上，当时，；1
e m e <-()()max 1h x m e =-
当时，.1
e m e ≥
-()max h x m =-（3）当时，，0m =()()22,x f x e e e g x x --==①当时，显然；0x ≤()()2f x e
g x ->②当时，，
0x >()()222ln ln ,ln ln x f x e x e e e g x x ---===记函数，()221ln ln x x x e x e x e
φ-=-=
⨯-则，可知在上单调递增，又由知，在()22111x x x e e e x x
φ-=⨯-=-'()x φ'()0,+∞()()10,20φφ''()x φ'上有唯一实根，且，则，即（*），()0,+∞0x 012x <<()020010x x e x φ--'==0201x e x -=当时，单调递减；当时，单调递增，
()00,x x ∈()()0,x x φφ'<()0,x x ∈+∞()()0,x x φφ'>所以，()()0200ln x x x e
x φφ-≥=-结合（*）式，知，020
1x e x -=002ln x x -=-所以，()()()2200000000
121120x x x x x x x x x φφ--+≥=+-==>则，即，所以.()2ln 0x x e
x φ-=->2ln x e x ->2x e e x ->综上，.()
()2f x e g x ->试题点睛：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、最值基本思路，当比较两个函数大小的时候，就转化为两个函数的差的单调性，进一步确定最值确定符号比较大小．
22．【答案】
【解析】解：（I ）圆C 的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x ﹣1）2+y 2=1．把x=ρcos θ，y=ρsin θ代入化简得：ρ=2cos θ，即为此圆的极坐标方程．
（II ）如图所示，由直线l 的极坐标方程是ρ（sin θ+
）=3，射线OM ：θ=．
可得普通方程：直线l
，射线OM ．联立
，解得，即Q ．联立，解得或．
∴P．
∴|PQ|==2．
23．【答案】
【解析】解：（1）∵y=+，
∴，
解得x≥﹣2且x≠﹣2且x≠3，
∴函数y的定义域是（﹣2，3）∪（3，+∞）；
（2）∵y=，
∴，
解得x≤4且x≠1且x≠3，
∴函数y的定义域是（﹣∞，1）∪（1，3）∪（3，4]．
24．【答案】
【解析】解（1）要使不等式|x﹣10|+|x﹣20|＜10a+10的解集不是空集，则（|x﹣10|+|x﹣20|）min＜10a+10，
根据绝对值三角不等式得：|x﹣10|+|x﹣20|≥|（x﹣10）﹣（x﹣20）|=10，
即（|x﹣10|+|x﹣20|）min=10，
所以，10＜10a+10，解得a＞0，
所以，实数a的取值集合为A=（0，+∞）；
（2）∵a，b∈（0，+∞）且a≠b，
∴不妨设a＞b＞0，则a﹣b＞0且＞1，
则＞1恒成立，即＞1，
所以，a a﹣b＞b a﹣b，
将该不等式两边同时乘以a b b b得，
a a
b b＞a b b a，即证．
【点评】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用和不等式的证明，涉及指数函数的性质，属于中档题．　。