初二数学勾股定理单元检测试卷 (7)

初二数学勾股定理单元检测试卷一、单选题
1．在△ABC中，AB＝1，AC＝2，BC
()
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形2．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是()
A．3，4，5 B．9，12，15 C
D．0.3，0.4，0.5
3．如图，一次飓风灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是（）
A．5米B．6米C．7米D．8米
4．若三角形三边的长为下列各组数，则其中是直角三角形的是（）．
A．3，3，3 B．5，6，8
C．4，5，6 D．5，12，13
5．△ABC中，∠ACB＝90°，则三个半圆的面积关系是（）
A．S1+S2＞S3B．S1+S2＝S3
C．S1+S2＜S3D．S12+S22＝S32
6．如图,正方形网格中,每个正方形的顶点叫格点,每个小正方形的边长为1,则以格点为顶点的三角形中,三边长都是整数的三角形的个数是()
A．4 B．8 C．16 D．20
7．已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）A．12 B．
C．12或
D．以上都不对
8．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为()
①a=3，b=4，c=5；②a=6，∠A=45∘；③a=2，b=2，c=2√2；④∠A=38∘，∠B=52∘．
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．如图，矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝3，P 是边CD 上一点，将△ADP沿直线AP对折，得到△APQ．当射线BQ交线段CD于点F时，DF的最大值是（）
A．3 B．2 C
．4D
．4
二、填空题
10．在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，
，则BC=__________；
11．如图，AOB
V中，AOB90
∠=o，AO3
=，BO6
=，AOB
V绕顶点O逆时针旋转到A'OB'
V处，此时线段A'B'与BO的交点E为BO的中点，则线段B'E的长度为______．
12．如图是一个直角三角形纸片，90
C
∠=︒，BC，AC的长分别为3cm，4cm.现要给它再拼接一个直角三角形纸片，两纸片不重叠且无缝隙，使得拼成的图形是等腰三角形，则拼接成的等腰三角形的周长为________.
13．如图所示，圆柱的高AB=15cm，底面周长为40cm，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C 处捕食，则它爬行的最短距离是
________.
14．如图，等腰直角三角形ABC 直角边长为1，，以它的斜边上的高AD 为腰，做第一个等腰直角三角形ADE ，其面积为S 1；再以所做的第一个等腰直角三角形ADE 的斜边上的高AF 为腰，做第二个等腰直
角三角形AFG ；……以此类推，这样所做的第7个等腰直角三角形的面积S 7=_______．
15．有一等腰直角三角形纸片，以它的对称轴为折痕，将三角形对折，得到的三角形还是等腰直角三角形（如图）．依照上述方法将原等腰直角三角形折叠四次，所得小等腰直角三角形的周长是原等腰直角三角形周长的_____倍．
三、解答题
16．如图，将ABC ∆沿着AC 边翻折，得到ADC ∆，且//AB CD ．
（1）判断四边形ABCD 的形状，并说明理由；（2）若16AC =，10BC =，求四边形ABCD 的面积． 17．如图所示，水池中离岸边D 点1.5米的C 处直立着一根芦苇，露出水面部分BC 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落在D 点，求水池中水的深度.
18．在△ABC 中,∠C=90°,∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c
(1)若a=3,b=4,求c 的值;
(2)若a=5,c=10,求b 的值;
(3)若a ∶b=3∶4,c=10,求a,b 的值.
19．（本题5分）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24, 25，现将它们摆成两个直角三角形，如图所示的摆
法正确的吗？请说明理由． 71520
24
25
20．如图,在等腰Rt △ABC 中,∠CAB=90°,P 是△ABC 内一点,且PA=1,PB=3,PC= √7.求:∠CPA 的大小
21．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，BC >AC ．
（1）在BC 上找点D ，使它到A 、B 两点的距离相等（用尺规作图，并保留作图痕迹）
（2）若AB=13cm ，AC=5cm ，求出点A 、D 间的距离。

22．如图，在Rt △OAB 中，∠A=90°，OA=4，AB=3，动点M 从点A 出发，动点M 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO 向终点O 移动；同时点N 从点O 出发，以每秒54
个单位长度的速度，沿OB 向终点B 移动．设运动时间为t 秒．
（1）用含t的代数式表示点N到OA的距离；
（2）设△OMN的面积是S，求S与t之间的函数表达式；当t为何值时，S有最大值？最大值是多少？（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
23．如图，在直角坐标平面内，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．
（1）填空：∠ ABC＝，S△ABC＝；
（2）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，再画出△A1B1C1关于y轴的对称图形△A2B2C2,在x轴上作一点p,使p到A,C两点间的距离和最短；
（3）若M是△ABC内一点，其坐标是（a，b），则△A2B2C2中，点M的对应点的坐标为．
参考答案
1．B
【解析】
解：在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2，BC ∵22212+=，∴△ABC 是直角三角形．
故选B ．
点睛：本题考查了勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
2．C
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理，一个三角形的三边满足两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．
【详解】
A ．因为32+42=52，故能构成直角三角形，此选项错误；
B ．因为92+122=152，能构成直角三角形，此选项错误；
C 2+）2≠2，不能构成直角三角形，此选项正确；
D ．因为0.32+0.42=0.52，能构成直角三角形，此选项错误．
故选C ．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，关键是知道两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．
3．D
【解析】
【分析】
由题意得：在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
【详解】
∵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，
∴折断的部分
=5，∴折断前高度为5+3=8（米）．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力． 4．D
【解析】
试题分析：因为22251213+=，根据勾股定理的逆定理可知，以5、12、13为边的三角形是直角三角形．
考点: 勾股定理的逆定理
5．B
【解析】
【分析】
分别用圆的面积公式表示出3个半圆的面积，然后结合勾股定理得出结论.
【详解】
解：∵∠ACB ＝90°，
∴AC 2+BC 2＝AB 2， ∵2
2
11AC A 228
ππ⋅⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭C S ； S 2＝22
1228ππ⋅⎛⎫= ⎪⎝⎭BC BC 2
231AB AB 228
ππ⋅⎛⎫== ⎪⎝⎭S ∴()22221188ππ+=+==S S AC BC AB S ， 即S 2+S 1＝S 3．
故选：B ．
【点睛】
本题考查勾股定理，熟练掌握面积公式是解题的关键.
6．C
【解析】
解：利用勾股定理，找长为有理数的线段，画三角形即可．∵32+42 =52，三边分别为：3、4、5，一共4组，每组4个，∴三边长都是整数的三角形的个数是4×4=16个．故选C ．
【解析】
【详解】
设Rt△ABC的第三边长为x，①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，由勾股定理得，
，此时这个三角形的周长=3+4+5=12；②当4为直角三角形的斜边时，x为直
角边，由勾股定理得，=，此时这个三角形的周长．故选C
8．C
【解析】
试题解析①a=3，b=4，c=5，
∵32+42=25=52，
∴满足①的三角形为直角三角形；
②a=6，∠A=45°，
只此两个条件不能断定三角形为直角三角形；
③a=2，b=2，c=2√2，
∵22+22=8=(2√2)2，
∴满足③的三角形为直角三角形；
④∵∠A=38°，∠B=52°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=90°，
∴满足④的三角形为直角三角形．
综上可知：满足①③④的三角形均为直角三角形．
故选C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理以及直角三角形的定义，解题的关键是根据勾股定理的逆定理和直角三角形的定义验证四组条件．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，套入数据验证“较小两边平方的和是否等于最大边的平方（或寻找三角形中是否有一个角为直角）”是关键．
9．C
【解析】
如图1所示，过点作于点，在矩形中，，所以，又，所以，所以，则，因为，，所以当最大、最小时，最小，最大，即当点与点重合时，最大。

如图2所示，此时，点、重合，、、三点共线，由可知，所以，在和中，，所以
，所以，故的最大值为。

故选C.
10．1
【解析】
作CD⊥AB，
∵∠A=30°，AC
∴CD=
，
2
∵∠B=45°，
∴BD =CD
∴BC 故答案为1.
点睛：遇到度数为30°、45°、60°的角，要将特殊角放到直角三角形中去，若没有现成的直角三角形，我们一般作垂线，构造直角三角形.
11．5
【解析】
【分析】
利用勾股定理列式求出AB ，根据旋转的性质可得AO A'O =，A'B'AB =，再求出OE ，从而得到OE A'O =，过点O 作OF A'B'⊥于F ，利用三角形的面积求出OF ，利用勾股定理列式求出EF ，再根据等腰三角形三线合一的性质可得A'E 2EF =，然后根据
B'E A'B'A'E =-代入数据计算即可得解．
【详解】
解：
AOB 90∠=o Q ，AO 3=，BO 6=，
AB ∴==
AOB QV 绕顶点O 逆时针旋转到A'OB'V 处，
AO A'O 3∴==，A'B'AB ==
Q 点E 为BO 的中点，
11OE BO 6322
∴==⨯=， OE A'O ∴=，
过点O 作OF A'B'⊥于F ，
A'OB'11S OF 3622
=⨯=⨯⨯V ，
解得OF =
在Rt EOF V 中，EF 5
===， OE A'O =Q ，OF A'B'⊥，
A'E 2EF 2(55
∴==⨯=等腰三角形三线合一)，
B'E A'B'A'E ∴=-==．
． 【点睛】
本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等腰三角形三线合一的性质，以及三角形面积，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．
12．18cm 或16cm
【解析】
【分析】
分BC 为重合边和AC 为重合边计算即可.
【详解】
解：由勾股定理，得：5AB ==（cm ）
， 当BC 为重合边时，周长为425218⨯+⨯=（cm ）；
当AC 为重合边时，周长为325216⨯+⨯=（cm ）.
故答案为18cm 或16cm.
【点睛】
本题考查了勾股定理和图形的剪拼，主要利用了等腰三角形的性质，难度不大，属于基础题型．
13．25cm
【解析】
【分析】
要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】
把圆柱侧面展开，展开图如下图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．
在RT△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=15cm，AD为底面半圆弧长，AD=40×1
20
2
=cm，
所以25cm
=，
此时考虑一种情况就是蚂蚁在圆柱体上方走直径这一情况：即路程为AB+BC=15+40
π
>25
∴最短路径为25cm．
故答案为：25cm．
【点睛】
本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．
14．
8 1 2⎛⎫ ⎪
⎝⎭
【解析】
分析：通过直角三角形的性质特点，斜边上的高等于斜边的一半，再分析规律，便能计算出答案了．
详解：∵等腰直角△ABC直角边长为1，
∴=
斜边上的高也是斜边上的中线，应该等于斜边的一半,
那么第一个等腰直角三角形的腰长为
2
2 1
11
, 2222
S
⎛⎫=⨯⨯= ⎪
⎝⎭
∴1,
= ∴第二个等腰直角三角形的腰长1,2 321111,2222S ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭ 那么第7个等腰直角三角形的面积871.2S ⎛⎫= ⎪⎝⎭
故答案是：81.2⎛⎫ ⎪⎝⎭
点睛：解答本题的关键是根据等腰直角三角形的性质得到其它等腰直角三角形面积的表示规律.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.
15．14
【解析】
设原等腰直角三角形三条边长分别为：a 、a a ，原周长为（）a ；
折叠一次后三角形三边长分别为：2a 、2
a 、a +1）a ；
折叠两次后三角形三边长分别为：
12a 、12a a ，周长为（a ； ……
折叠n 次后三角形周长为（a ×（2
）n .
所以折叠四次后三角形的周长为：（）a ×（
2）4=14（a ，是原三角形周长的14
. 故答案为
14. 点睛：此题关键在于找出每一次折叠后三角形的周长的变化规律.
16．（1）四边形ABCD 是菱形，见解；（2）四边形ABCD 的面积96=
【解析】
【分析】
（1）由折叠的性质得出AB AD =，BC CD =，BAC DAC ∠=∠，BCA DCA ∠=∠，由平行线的性质得出BCA DCA ∠=∠，得出BAC DAC BCA DCA ∠=∠=∠=∠，证出//AD BC ，AB AD BC CD ===，即可得出结论；
（2）连接BD 交AC 于O ，由菱形的性质得出AC BD ⊥，182
OA OB AC ===，
OB OD =，由勾股定理求出6OB ==，得出212BD OB ==，由菱形面积公式即可得出答案．
【详解】
解：（1）四边形ABCD 是菱形；理由如下：
∵ABC ∆沿着AC 边翻折，得到ADC ∆，
∴AB AD =，BC CD =，BAC DAC ∠=∠，BCA DCA ∠=∠，
∵//AB CD ，
∴BCA DCA ∠=∠，
∴BAC DAC BCA DCA ∠=∠=∠=∠，
∴//AD BC ，AB AD BC CD ===，
∴四边形ABCD 是菱形；
（2）连接BD 交AC 于O ，如图所示：
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC BD ⊥，182OA OB AC ==
=，OB OD =，
∴6OB ==，
∴212BD OB ==，
∴四边形ABCD 的面积1116129622
AC BD =⨯=⨯⨯=．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质、菱形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，证明四边形ABCD 是菱形是解题的关键．
17．2米.
【解析】
【分析】
首先设水池中水的深度AC 为x 米，，则()0.5AB AD x ==+米，然后再利用勾股定理可得方程()2
221.50.5x x +=+，再解即可．
【详解】
设水池中水的深度AC 为x 米，
则()0.5AB AD x ==+米.
在Rt ACD ∆中，根据勾股定理，
得222AC CD AD +=，
即()2221.50.5x x +=+.
解得2x =.
所以水池中水的深度为2米.
【点睛】
此题考查勾股定理的应用，解题关键在于理解题意列出方程.
18．（1）5 （2）（3）a=6 b=8
【解析】
试题分析：（1）由勾股定理求出边长c 即可；
（2）由勾股定理求出边长b 即可；
（3）由勾股定理和已知条件得出a ：b ：c=3：4：5，得出a=6，b=8即可．
试题解析：（1）∵∠C=90°，
∴=5；
（2）解：∵∠C=90°，
∴=
（3）∵∠C=90°，a ：b=3：4，
∴a ：b ：c=3：4：5，
∵c=10，
∴a=6，b=8．
19．摆法不正确,理由见解析．
【解析】
试题分析：根据勾股定理的逆定理判定即可．
试题解析：解：由题意可得，72+242=252，152+202≠242，
根据勾股定理的逆定理可得，两个三角形中只有一个直角三角形，所以摆法不正确．
考点：勾股定理的逆定理．
20．∠CPA=135°
【解析】
【分析】
由于△ABC为等腰直角三角形，AB=AC，则把△APB绕A点逆时针旋转90°可得到△AP′C，连PP′，根据旋转的性质得到∠P′AP=90°，P′A=PA=1，P′C=PB=3，得到△PAP′为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得P′P=√2PA=√2，∠APP′=45°，在△P′PC中，可得到PC2+P′P2=P′C2，根据勾股定理的逆定理得到△P′PC为直角三角形，∠CPP′=90°，利用
∠CPA=∠CPP′+∠APP′进行计算即可．
【详解】
∵△ABC为等腰直角三角形,AB=AC,
∴把△APB绕A点逆时针旋转90°可得到△AP′C,连PP′，如图，
∴∠P′AP=90°,P′A=PA=1,P′C=PB=3，
∴△PAP′为等腰直角三角形，
∴P′P=√2PA=√2,∠APP′=45°，
在△P′PC中,P′C=3,P′P=√2,PC=√7，
∵(√7)2+(√2)2=32，
∴PC2+P′P2=P′C2，
∴△P′PC为直角三角形,∠CPP′=90°，
∴∠CPA=∠CPP′+∠APP′=90°+45°=135°.
【点睛】
本题考查旋转的性质, 勾股定理的逆定理, 等腰直角三角形.本题所给的三条线段的长度，要利用已知线段求出角的度数找不到任何联系，所以本题通过旋转建立了它们之间的联系，从而问题迎刃而解.
21．（1）见解析；（2）169 24
.
【解析】
【分析】
（1）根据线段垂直平分线的作法作AB的垂直平分线即可；
（2）设AD=x，则BD=AD=x，利用勾股定理求出BC=12，再根据Rt△ACD三边关系列出方程求解即可得出答案。

【详解】
解：(1)如图所示，作线段AB的垂直平分线交BC于点D.点D即为所求.
（2）设AD=x，则BD=AD=x,
在Rt△ABC中，
12
BC==
12
CD BC AD x
∴=-=-
在Rt△ACD中，
222
AC CD AD
+=
222
5(12)x x
∴+-=
解得：
169
24 x=
所以点A、D间的距离是169 24
.
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的作法，也考查了勾股定理的应用.
22．（1点N到OA的距离为3
4
t；（2）S=-2
33
82
t t
+，当t=2时，S有最大值，最大值为S=
3 2．（3）t=2或t=
64
11
时，△OMN是直角三角形
【解析】
试题分析：（1）由勾股定理计算出OB，再用三角函数即可；
（2）得到S与t的函数关系，从而确定出面积最大值；
（3）要使△OMN是直角三角形，一个直角三角形和它相似，即可；
试题解析：（1）在Rt△OAB中，
，
∴点N到OA的距离为ON×sin∠O=533
t
454
t
⨯=；
（2）S=1
2
（4-t）×
3
4
t=-2
33
82
t t
+，
当t=-
3
2
3
2(
8
⨯-）
=2时，S有最大值，
最大值为S=-3
8
×22+
3
2
×2=
3
2
．
（3）∵△ABO为直角三角形，
∴以M、N、O为顶点的三角形和△ABO相似；当△OMN∽△OAB时，
∴OM ON OA OB
=，
∴
5
44 45
t-
=，
∴t=2，
当△OMN∽△OBA时，
∴OM ON OB OA
=，
∴5
445
4
t t -=， ∴t=6411
， ∴t=2或t=6411
时，△OMN 是直角三角形 考点：相似形综合题．
23．（1）∠ ABC ＝45°；S △ABC ＝
52
；（2）见解析；（3）（﹣a ，﹣b ） 【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理求三角形三边的长，从而判定三角形形状，∠ ABC ＝45°，在网格图中利用割补法求面积；（2）利用轴对称变换描点画出相应图形，然后根据轴对称及两点之间线段最短的知识，确定点P 的位置；（3）根据题意可知△A 2B 2C 2与△AB C 关于原点对称，从而求解.
【详解】
解：（1）∵A （0，3），B （3，4），C （2，2）
∴222125AC =+=;222125BC =+=;2221310AB =+= 222AC BC AB +=
∴△ABC 为等腰直角三角形
∴∠ ABC ＝45°；
S △ABC ＝2×3﹣12×1×3﹣12×1×2×2＝52
； (2)如图所示，△A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2即为所求；连接A 1C,交x 轴于点P ，点P 即为所求；
（3）由题意可知△A2B2C2与△AB C关于原点对称
∴点M的对应点的坐标为（﹣a，﹣b）．
【点睛】
本题考查勾股定理及其逆定理，轴对称变换作图，利用数形结合思想解题是本题的解题关键.。