中考数学压轴题精选及答案(整理版)

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2
2、（黄石市20XX 年）（本小题满分10 分）已知二次函数y x 2mx 4
m 8
1、（黄石市20XX 年）（本小题满分9 分）已知⊙ O1与⊙ O2相交于A、B 两点，点
O1
在⊙O2上，C为⊙ O2上一点（不与A ，B ，O1重合），直线CB与⊙ O1交于另一点D。

（1）如图（8），若AC是⊙ O2的直径，求证：AC CD；
2）如图（9），若C是⊙ O1外一点，求证：O1C AD；
3）如图（10），若C 是⊙ O1内一点，判断（2）中的结论是否成立。

20XX 年全国各地中考数学压轴题精选
1）当x 2时，函数值y随x的增大而减小，求m 的取值范围
2
2）以抛物线y x2 2mx 4m 8的顶点A 为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN（M ，N两点在抛物线上），请问：△ AMN 的面积是与
3、（20XX 年广东茂名市）如图，⊙ P与y轴相切于坐标原点O（0，0），与x轴相交于点A（5，0），过点 A 的直线AB 与y轴的正半轴交于点B，与⊙ P交于点C．
（1）已知AC=3 ，求点Ｂ的坐标；（４分）
2）若AC= a , D 是OＢ的中点．问：点O、P、C、 D 四点是否在同一
圆上？请说明
k
理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为O1，函
数y 的图象经过
1x
点O1，求k 的值（用含a的代数式表
示）．
4、庆市潼南县20XX 年）如图,在平面直角坐标系中，△ ABC 是直角三角
形, ∠
2
ACB=90, AC=BC, OA=1，OC=4，抛物线y x2 bx c经过A，B 两点，抛物
线的顶点为D．
（1）求b,c 的值；
（2）点E是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点（点A、B除外），过点
E作x轴的垂线
交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点 E 的坐标；
（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面
积；②在抛物线上是否存在一点P，使△ EFP是以EF 为直角边的
直角三角形? 若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理
由.
26题备用
图
5、苏省宿迁市20XX年）（本题满分10 分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，
6、苏省宿迁市20XX年）（本题满分12 分）如图，在Rt△ABC 中，∠ B＝90°，AB ＝1，
P 是反比例函数y＝6（x>0）图象上的任意一点，以P 为圆心，PO 为半径的圆与x、x
y 轴分别交于点 A 、B．
（1）判断P是否在线段AB 上，并说明理由；
（2）求△ AOB 的面积；
3）Q 是反比例函数y＝6（x>0）图象上异于点P的另一点，请以Q
为圆心，x
BC＝1，以点C为圆心，CB 为半径的弧交CA于点D；以点A为圆心，
AD 为半2
径的弧交AB 于点E．
（1）求AE 的长度；
（2）分别以点A、E为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点F（F与C在AB两侧），连接AF、EF，设EF交弧DE 所在的圆于点G，连接AG，试猜想∠ EAG 的大小，并
QO 半径画圆与x、y 轴分别交于点
B
C
说明理由．
第 5 题）
7（、 11年广东省 ）10．如图（1），将一个正六边形各边延长， 构成一个正六角星形 AFBDCE ，
它的面积为 1；取△ ABC 和△ DEF 各边中点，连接成正六角星形 A 1F 1B 1D 1C 1E 1，如 图（2）中阴影部分；取△A 1B 1C 1 和△D 1E 1F 1 各 边中点，连接 成正六角星形
A 2F 2
B 2D 2
C 2E 2，如图（3） 中阴影部分；如此下去⋯，则正六角星形 A 4F 4B 4
D 4C 4
E 4的面 积为 _____________ ．
题 7 图
（ 1）
题 7 图
A 1
B 1
C 1
C
D 1
F 1
（ 2）题 7 图（ 3 ）
8、｛1年广东省 ）21．如图（ 1），△ABC 与△ EFD 为等腰直角三角形， AC 与DE 重合，
AB=AC=EF =9，∠ BAC =∠ DEF =90o ，固定△ ABC ，将△ DEF 绕点 A 顺时针旋
转，当 DF 边与 AB 边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设 DE ，DF （或 它们的延长线 ）分别交 BC （或它的延长线 ） 于 G ，H 点，如图 （2） （ 1）问：始终与△ AGC 相似的三角形有 及 ；
（2）设 CG=x ，BH=y ，求 y 关于 x 的函数关系式（只要求根据图 （2）的情形说明理由） （ 3）问：当 x 为何值时，△ AGH 是等腰三角形 .
9、11年凉山州 ）如图，抛物线与 x 轴交于 A （ x 1 ，0）、 B （ x 2 ，0）
两点，且 x 1 x 2 ， 2
x 4x 12 0 的两个根。

题 8 图
(1)
与 y 轴交于点 C 0, 4 ，其中 x 1， （1）求抛物线的解析式； （2）点 M 是线段 AB 上的一个动点， 接 CM ， △ CMN
的面积最大时，
3）点 D 4,k 在
（ 1） x 2是方
程
过点 M 求点 M 作 MN ∥ BC ，交 AC 于点 N ，连 的坐标； 中抛物线上，点 E 为抛物线上一动点，在 x 轴
H 上是否存在点 求出所有满足条件的点 F 的坐标，若不存在，请说明理 由。

F ，使以 A 、 D 、 E 、
F 为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，
10、市二○一一年） 27．（本 题满分 12 分）情境观察
将矩形 ABCD 纸片沿对角线 AC 剪开，得到 △ABC 和△ A ′C′D，如图 1 所示 . 将 △A ′C′D 的顶点 A ′与点 A 重合，并绕点 A 按逆时针方向旋转，使点
D 、A （A ′）、B 在同一条直线上，如图 2 所示．
观察图 2 可知：与 BC 相等的线段是 ▲ ，∠ CAC ′= ▲ °．
D
C D
D
C' C' C
A
B A'
A
B
D A(A')
问题探究
图1
图2
3ABC AG BC G A AB AC △ABC
拓展延伸
如图 4，△ ABC 中， AG ⊥ BC 于点 G ，分别以 AB 、 AC 为一边向△
ABC 外作 矩形ABME 和矩形 ACNF ，射线GA 交EF 于点H. 若AB= k AE ，AC= k AF ，试探 究 HE 与 HF 之间的数量关系，并说明理由 .
图4
外作等腰 Rt △ABE 和等腰 Rt △ACF ，过点 E 、F 作射线 GA 的垂线，垂足分别为 P 、Q. 试探究 EP 与 FQ 之间的数量关系，并证明你的结论
11、市二○一一年）28．（本题满分12 分）如图，已知一次函数y = - x
+7 与正比例4
函数y = 3 x 的图象交于点A，且与x 轴交于点 B.
（1）求点 A 和点 B 的坐标；
（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥ y轴．动点P从点O 出发，以
每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点 A 运动；同时直线l从点12、｛11济宁）如图，第一象限内半径为2的⊙C与y 轴相切于点A，作直径AD，过
点D作⊙ C的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y=kx+3 。

（1）设点P 的纵坐标为p，写出p 随变化的函数关系式。

（2）设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△ AMN ∽△ ABP 。

请你对于点P 处于图中位置时的两三角形相似
B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R，交线给予证明；
段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒.
①当t为何值时，以A、P、R 为顶点的三角形的面积为8？（3）是否存在使△ AMN 的
面积等于请说明理由。

32
的k 值？若存
在，
25
请求出符合
的
k 值；若不存
在，
②是否存在以A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；
若不存在，请说明理
由．
备用
图）
和同学们一起研究某条抛物线y ax2（a 0）的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O ，两直角边与该抛物线交于A、B 两点，请解答以下问题：
（1）若测得OA OB 2 2 （如图1），求a 的值；
（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转到如图 2 所示位置时，过B 作
BF x轴于点F，测得OF 1，写出此时点B的坐标，并求点A的
横．坐．标．；
3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点
A 、
B 的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．
14、如图①，P为△ ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△ PAB 、△ PBC和△
PAC 中，如果存在一个三角形与△ ABC相似，那么就称P 为△ABC 的自相似点．
⑴如图②，已知Rt△ABC 中，∠ ACB=90°，∠ ACB>∠ A，CD 是AB 上的
中线，过点 B 作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ ABC 的自相似点．
⑵在△ ABC 中，∠ A<∠ B<∠ C．
①如图③，利用尺规作出△ ABC 的自相似点P（写出作法并保留作
图痕迹）；②若△ ABC 的内心P 是该三角形的自相似点，求该三角
形三个内角的度数．
1
函数y x （x> 0）的最小值．
x
15、题问题情境
已知矩形的面积为a（a 为常数，a> 0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
数学模型设该矩形的长为x，周长为y，则y
解决问题⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．16、20XX 年初中毕业生学业考试（衢州卷）已知两直线l1 ，l 2分别经过点A（1 ，0），点B（ 3，0），并且当两直线同时相交于y 正半轴的点C时，恰好有
l1 l 2 ，经过点A、B、C 的抛物线的对称轴与直线
y 2（x a）（x> 0．）
x
探索研究⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索l2 交于点K ，如图所示。

（1）求点 C 的坐标，并求出抛物线的函数解析式；
1
函数y x （x>0）的图象性质．x
① 填写下表，画出函数的图象：
x 1
4 1
3
1
2
1 2 3 4
y
②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
③在求二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠ 0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求（2）抛物线的对称轴被直线
l1，抛物线，直线l 2 和x 轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由。

（3）当直线l2绕点 C 旋转时，与抛物线的另一个交点为M ，
请找出使△ MCK 为等腰三角形的点M ，简述理由，
并写出点M 的坐标。

x 的函数关系式为
E
F O
17、（11 凉山州）如图，抛物线与x 轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1 x2，与y 轴交于点C 0 , 4 ，其中x1， x2是方程
2
x2 4x 1 2 0的两个根。

（1）求抛物线的解析式；
（2）点M 是线段AB上的一个动点，过点M 作
MN ∥ BC ，交AC 于点N ，连接CM ，当
△ CMN 的面积最大时，求点M 的坐标；
（3）点D 4,k 在（1）中抛物线上，点E 为
抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点F ，
使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，如果
存在，求出所有满足条件的点F 的坐标，若不存在，请说明理由
题满分14分）平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐
标分别为（0，3）、（1，0），将此平行四边形绕点0 顺时针旋转90°，
得到平行四边形A'B'OC' 。

（1）若抛物线过点C，A，A' ，求此抛物线的解析式；
（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A' B 'OC '重叠部分△ OC'D 的周长；
（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，间：点M在何处时△
AMA' 的面积
18、
最大?最大面积是多少?并求出此时点M的坐标
19（20XX 年广东省 如图（ 1），（2）所示，矩形 ABCD 的边长 AB=6 ，BC=4，点 F 在 第 19 题图（ 1）
第 19 题图（ 2 ）
DC 上，DF=2。

动点 M 、N 分别从点 D 、B 同时出发，沿射线 DA 、线段 BA 向点 A 的 方向运动（点 M 可运动到 DA 的延长线上），当动点 N 运动到点 A 时，M 、N 两点同 时停止运动。

连接 FM 、 FN ，当 F 、N 、M 不在同一直线时，可
得 △FMN ，过 △FMN 三边的中点作 △PQW 。

设动点 M 、 N 的速度都是 1个单位/秒， M 、N 运动的时间为 x 秒。

试解答下列问题： 1 2 3
20、（20XX 年桂林市）（本题满分 12 分）已知二次函数 y x 2
x 的图
象如图
42 （1）求它的对称轴与 x 轴交点 D 的坐标； （2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与 x 轴， y 轴的交点
分别
（1）说明 △ FMN ∽△ QWP ；
（2）设 0≤x≤4（即 M 从 D 到 A 运动的时间段） 。

试问 x 为何值时，
角形？当 在何范围时， △不为直角三角形？
3）设（ 2）中平移后的抛物线的顶点为
M ，以 直线 CM 与⊙D 的位置关系，并说
AB 为直径， D 为圆心作⊙ D ，试判断 △ PQW 为直角三
3）问当 x 为何值时，线段 MN 最短？求此时 MN 的值。

C
B
Q
21、（达州市20XX年）（10分）如图，已知抛物线与x 轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y 轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为P，连结AC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找一点D，使得DC 与AC 垂直，且直线DC 与x 轴交于点Q，求点 D 22、如图1，把一个边长为 2 2 的正方形ABCD放在平面直角坐标系中，点 A 在坐标
在，求出M 点坐标；若不存在，请说明理由．
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的坐
原点，点 C 在y 轴的正半轴上，经过B、C、D 三点的抛物线c1 交x
轴于点M、N（M在N的左边）.
（1）求抛物线c1的解析式及点M、N 的坐标；
B /、 D /在x 轴的负半轴上 （D /在B /的左边），点 A /
在第三象限，当点 G 沿
着抛物
时停止运动。

设 PQ 交直线 AC 于点
G 。

1） 求直线 AC 的解析式；
线c 1从点 M 移到点 N ，正方形 A /
B /
C /
D / 随之移动，移动中 B /D / 始终与 x
轴平行. 2） 设△PQC 的面积为 S ，求 S 关于 t 的函数解析式；
①直接写出 点 C'、 D'移动路线形成的抛物线 C （C '
）、Ｃ
（Ｄ'）
的
函数关系式；
3） 在 y 轴上找一点 M ，使△MAC 和△MBC 都是等
////
②如图 3，当正方形 A B C D 第一次移动到与正方形 ABCD 有一边在同一直
线上时， 腰三角形。

直接写出所有满足条件的 M 点的坐标；
4） 过点 P 作PE ⊥AC ，垂足为 E ，当 P 点运动时，
求点 G 的坐
标． 23、（本题满分 12 分）如图，二
次函数 线段 EG 的长度是否发生改变，请说明理由。

Q C G E
O(A)
M A'
y
1
x 2
2 2 与 x 轴交
于
A 、
B 两点，与 y 轴交于
C 点，点 P 从 A 点出发，以 1个单位每秒的速度向点 B 运动， 点 Q 同时从 C 点
出发，以相同的速度向 y 轴正方向运动，运动时间为 t 秒，点 P 到达 B 点时，点 Q 同
图3
24、．如图 1，正方形 ABCD 的顶点 A,B 的坐标分别为（ 0，10），（ 8，
4），顶点 C ，D
在第一象限 . 点 P 从点 A 出发，沿正方形按逆时针方 向运动，同时，点 Q 从点 E （ 4，0）
出发，沿 x 轴正方向以相同速度运动 . 当点 P 到达点 C 时， P ，Q 两点同时停止运动 . 设
运动时间为 t （s ）. （1）求正方形 ABCD 的边长 .
（2）当点P 在AB边上运动时，△ OPQ的面积S（平方单位）与时间t
（s）之间的函数图像为抛物线的一部分（如图 2 所示），求P，Q 两点的运动速度.
（3）求（2）中面积S（平方单位）与时间t（s）的函数解析式及面积S取最大值时点P 的坐标.
4）若点P,Q 保持（2）中的速度不变，则点P 沿着AB边运动时，∠ OPQ 的大小随着
时间t 的增大而增大；沿着BC边运动时，∠ OPQ的大小随着时间t 的增大而减小. 当点
P 沿着这两边运动时，能使∠ OPQ＝90°吗？若能，直接写出这样的点P 的个数；若不
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25. 已知ABC，以AC 为边在ABC外作等腰ACD ，其中AC AD。

（1）如图1，若DAC 2 ABC ，AC BC ，四边形ABCD 是平行四边形，
则ABC __ ；
（2）如图2，若ABC 30 ，ACD是等边三角形，AB 3，BC 4。

求BD
的长；
第22
题）
图
2
2 2 2
（3）如图3，若ACD为锐角，作AH BC于H。

当BD2 4AH2 BC2时，
DAC 2 ABC 是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明
你的结论。

抛物线的解析式为；
2）现将该抛物线沿着线段OC 移动，使其顶点M 始终在线段OC 上（包
括端点
O、C），抛物线与y轴的交点为D，与AB 边的交点为E；
①是否存在这样的点D，使四边形BDOC 为平行四边形？如存在，求出
此时
26.（本题满分12分）如图，Rt△AOB中，∠A＝90°，以O为坐标原点建立
直角坐标系，使点A在x轴正半轴上，OA＝2，AB＝8，点C为AB边的中
点，抛物线的顶点是
原点O，且经过 C 点．
（1）填空：直线OC 的解析式为
27.（本题满分12 分）等腰直角△ ABC和⊙ O如图放置，已知AB=BC=1，∠ 27、
抛物线的解析式；如不存在，说
明理由；
ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5．现△ ABC以每秒2 个单位的速度向右移动，同时△ ABC的边长AB、BC又以每秒0.5 个单位沿BA、BC方向增大．
28、 （扬州市 20XX 年） （本题满分 12 分）如图 1是甲、乙两个圆柱形水槽
的轴截面示 意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中 （圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上） ．现 将甲槽的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度 y （厘米）与注水时间 x （分 钟）之间的关系如图 2 所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：
29、（本题满分 12 分）在 △ ABC 中， BAC 90°，AB AC ，M 是 BC
边 的中点， MN ⊥BC 交 AC 于点 N ．动点 P 从点 B 出发沿射线 BA 以每秒 3厘 米的速度运动．同时，动点Q 从点 N 出发沿射线 NC 运动，且始
移动， 当△ ABC 的边（BC 边除外 ）与圆第一次相切时，点 B 移动了多少距离？
若在△ ABC 移动的同时，⊙ O 也以每秒 1 个单位的速度向右移动，则△ ABC
从开始
到它的边与圆最后一次相切，一共经过了多少时间？
⑶ 在⑵的条件下，是否存在某一时刻，△ ABC 与⊙ O 的公共部分等于⊙ O 的面积？若 存在， 1）图 2 中折线 ABC 表示
槽中水的深度与注水时间的关系， _____ 槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙” 纵坐标表示的实际意义是 __________ ； 注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同？ 若乙
槽底面积为 36 平方厘米（壁厚不计） ，求乙槽中铁块的体积； 若乙槽中铁块的体积为 112 立方厘米，求甲槽底线段
DE 表示 B （2） （3）
甲槽
图
19 y （厘米）
C
14
12
D B
2 A
E O
4 图2
6
x
(
乙
．（直接写
出结
终保持MQ⊥MP．
设运动时间为 t 秒（ t 0 ）．
（1） △PBM 与 △QNM 相似吗？以图１为例说明理由； （2）若 ABC 60°，AB 4 3 厘米．
①求动点 Q 的运动速度； ②设 △APQ 的面积为 S （平方厘米） ，求 S 与 t 的函数关系式；
1、 答案：（ 9 分）证明：（ 1）如图（
），连接 ， ∵ 为
的直径
2
3）探求
BP 2
、
2
PQ 2
、
CQ 2
三者之间的数量关系，以图１为例说明
理由．
C
图1
C
∴ ∴ 为⊙ 的直径∴ 在上又
，
为的中点∴△ 是以为底边的等腰三角形∴
（ 3 分）
（2）如图（二），连接，并延长交⊙ 与点，连∵四边形内接于⊙ ∴ 又∵
∴ ∴ 又为⊙ 的直径
∴∴（ 3 分）
（3）如图（三），连接，并延长交⊙ 与点，连∵ 又∴ ∴
又∴（ 3 分）
2、答案：解：（ 1）∵ ∴由题意得，
（ 3 分）（ 2）根据抛物线和正三角形的对称性，可知轴，设抛物线的对称
轴与交于点，则。

设∴
∴，定值（3
分）
（ 3）令，即时，
有
∴
由题意，为完全平方数，令
即
∵ 为整数，∴ 的奇偶性相同
3、解：本大题共 2小题，每小题 8分，共 16分）
（1）解法一：连接 OC，∵ OA是⊙ P 的直径，∴ OC⊥AB，
在 Rt△ AOC中，，1分
在 Rt △ AOC和 Rt△ ABO中，∵∠ CAO=∠OAB
∴ Rt△ AOC∽ Rt△ ABO，∴ ，即，·· 3分
解法二：连接 OC，因为 OA是⊙P 的直径，∴∠ ACO=90° 在Rt△AOC中，AO=5，AC=3，∴OC=4，······ 1 分过 C 作CE⊥OA于点 E，则：即，∴ ，····· 2 分
或解得或综合得
4分设经过 A、C 两点的直线解
为：．把点 A（ 5，0）、
代入上式
．· 4
分 ， ∴点 （2）点 O 、 P 、C 、 D 四点在同一个圆上，理由如下：连接 ∵OC ⊥AB ，D 为 OB 上的中点， CP 、
，∴∠ 3=∠4，又∵ OP=CP ，∴∠ 1=∠ 2，∴∠ 1+∠ 3= ∠2+∠4=90°， ∴PC ⊥CD ，又∵ DO ⊥OP ，∴Rt △PDO 和 Rt △ PDC 是同以 PD 为斜边的直角 三角形， ∴PD 上的中点到点 O 、P 、 C 、D 四点的距离相等， ∴点 O 、P 、C 、D 在以 DP 为直径的同一个圆上； 由上可知， 经过点 O 、P 、
的图象上，∴ ，
4、解：（1）根据已知条件可设抛物线的
解析式为 ，·
把点 A （ 0，4）代入上式
得：
，点 在函数
C 、
D 的圆心 是 DP 的中点，圆心 ，由（ 1）知： Rt △ AOC ∽Rt △ ABO ，∴ ，求得： AB= ，在 Rt △ ABO 中， ，OD= ，
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∴抛物线的对称轴是： ． 过点 N 作 N G ∥ 轴交 AC 于 G ；由点 A （ 0， 4）和点 C （5，0）可求出直线
（2）由已知，可求得 P （6， 4）． · 提示：由题意可知以 A 、O 、M 、P 为顶点的四边形有两条边 AO=4 、OM=3 ，
又知点 P 的坐标中 ，所以， MP>2,AP>2 ；因此以 1、 2、3、4为边或
以 2、3、4、5 为边都不符合题意，所以四条边的长只能是 3、4、5、6
的
抛物线对称轴过点 M ，所以在抛物线 的图象上有关于点 A 的对称点与 M 的距离为 5，即 PM=5，此时点 P 横坐标为 6，即 AP=6；故以 A 、O 、M 、 P 为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数 3、4、5、6 成立，
即 P （6， 4）．
（注：如果考生直接写出答案 P （６，４），给满分 2 分，但考生答案错 误，解答过程分析合理可酌情给 1 分）
⑶法一 ：在直线 AC 的下方的抛物线上存在点 N ，使 △NAC 面积最大． 设 N 点的横坐标为 ，此时点 N （ ，
AC 的解析式为：
一种情况，在 Rt △ AOM 中， ，因为
G ，此时： NG= ∴当 时，△ CAN 面积的最大值为
， 由 ， 得 ：
；把 代入得：
∴ N（， -3）
法二：提示：过点 N 作轴的平行线交轴于点 E，作 CF⊥EN于点 F，则
②如２６题备用图：ⅰ）过点 E 作 a ⊥ EF 交抛物线于点
P, 设点
再设出点 N的坐标，同样可求 , 余下过
程略）
5、（ 1）由已知得： A（-1，0）B（ 4， 5） 1
分
∵二次函数的图像经过点 A（-1， 0）B（4,5）
解得： b=-2
c=-3
（2 如２６题图：∵直线 AB 经过点 A（-1， 0） B（4,5）
∴直线 AB 的解析式为： y=x+1
∵二次函数∴设点 E（t ，t+1）, 则 F（ t，）- ∴EF= =
∴当时， EF的最大值 = ∴点 E的坐标为（，）（3）①
如２６题图：顺次连接点E、B、F、D 得四边形ＥＢＦＤ．
可求出点 F的坐标（，）,点 D的坐标为（ 1，-4）P(m, )
得 : ,
则有：
n，
ⅱ）过点 F作b⊥EF交抛物线于
，设
解得：，（与点 F 重合，
（ 3）如图，连接MN，则MN过点Q，且S△ MON＝S△AOB＝12．∴ OA·OB ＝OM·ON
∴∵∠ AON＝∠ MOB ∴△ AON∽△ MOB ∴∠
OAN＝∠ OMB ∴ AN∥
MB．
综上所述：所有点P 的坐
标：
7、解：（ 1）∵四边形ABCD是正方形∴∠ A＝∠ B＝∠ D
＝90 ∵QE⊥AB，MF⊥BC ∴∠ AEQ＝∠ MFB＝90°∴四边形
ABFM、AEQD都是矩形
∴ MF＝AB，QE＝AD，MF⊥ QE 又∵ PQ⊥MN
∴∠ EQP ＝∠ FMN
又∵∠ QEP＝∠ MFN＝ 90°
°，
A
°，
A
B
能使△ EFP 组成以 EF 为直角边的直角三角形． --12 分
6、解：（ 1）点P在线段AB上，理由如下：∵点O在⊙ P上，且∠ AOB＝ 90°
∴AB是⊙ P的直径∴点P 在线段AB上．
（2）过点P作PP1⊥x 轴，PP2⊥ y 轴，由题意可知PP1、PP2 ∴△ PEQ≌△ NFM．DQ＝AE＝t ∴ PA ＝ 1，
是△ AOB的中位线，故S△AOB＝OA×OB＝×2 PP1× PP2
∵ P是反比例函数y＝（x> 0）图象上的任
意一点
由勾股定理，
∵△ PEQ≌△
NFM
⊥MN
得PQ＝
（2）∵点P是边AB的中点，AB
＝ 2，
PE＝ 1－t ，QE＝2
∴MN＝PQ＝又
∵
PQ
∴ S△AOB＝OA× OB＝× 2 PP1×2PP2＝ 2 PP1×PP2
＝ 12．＝t 2－t
＋∵0≤t ≤2
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∴当 t ＝1时，S 最小值＝2． 综上： S ＝ t 2－t ＋ ，S 的最小值
10、（ 1）、△ HAB △HGA ；
（ 2）、由△ AGC ∽△ HAB ，得 AC/HB=GC/AB ，即 9/y=x/9 ，故 y=81/x
（0<x< ）
8、解：（1）在 Rt △ ABC 中，由 AB ＝1，BC
＝ 得 AC ＝ ＝ 3）因为：∠ GAH = 45 °
①当∠ GAH = 45°是等腰三角形 .的底角时，如图（ 1）：可知 CG =x =
/2
BC ＝ CD ，AE ＝AD ②当∠ GAH = 45°是等腰三角形 .的顶角时 , 如图（ 2）：由△
HGA ∽△
HAB
∴AE ＝AC －AD ＝ 2）∠ EAG ＝ 36°，理由如下：
知：HB= AB=9 ，也可知 BG=HC ，可得： CG =x =18-
∵FA ＝FE ＝ AB ＝1，
AE ＝ ∴ ＝ ∴△ FAE 是黄 金三角形 ∴∠ F ＝ 36°，∠AEF ＝72° ∵AE ＝AG ，FA ＝FE ∴∠ FAE ＝∠ FEA ＝∠ AGE ∴△ AEG ∽△ FEA ∴∠ EAG ＝∠ F ＝ 36°． 9、 答案：
又∵抛物线过点 、 、
11 、（ 1）∵
，∴ ，
， 。

··· 1 分
，故设抛物线的解析式为
为 2．
∴抛物线的解析式为
将点的坐标代入，
2）设点的坐标为（， 0），过点作轴于点（如图
1））。

∵点的坐标为（，0），点的坐标为（ 6， 0），
∴ ，∵ ，∴ 。

∴ ，∴
如图（ 3），当为平行四边形的对角线时，设，则平行
四边形的对称中心为
（，0）。

∴ 的坐标为（，4）。

把（，
4）
∴当时，有最大值 4。

此时，点的坐标为（ 2，
代入，得。

解得。

0）。

，。

4
13、1）根据题意，得 3，解得 ，∴ A （3 ，4） . 令 y =- x +7=0， 12、. 解：情境观察 AD (或 A ′D )， 90 问题探究 结论： EP=FQ. 证明：∵△ ABE 是等腰三角形，∴
AB =AE ， ∠BAE=90°.
∴∠BAG +∠EAP =90°.∵AG ⊥BC ，∴∠
BAG +∠ABG =90°，∴∠ ABG =∠EAP . ∵EP ⊥AG ，∴∠ AGB =∠ EPA =90°，∴ Rt △ABG ≌Rt △
EAP . ∴ AG =EP
. 同理 AG =FQ . ∴EP =FQ . 拓展延伸 结论： H E=H F. 理由：过点 E 作 EP ⊥GA ，FQ ⊥GA ，垂足分别为
P 、Q. ∵四边形 ABME 是矩形，∴∠ BAE =90°， ∴∠ BAG +∠EAP =90° ∴∠ ABG =∠EAP .
. AG ⊥BC ，∴∠ BAG +∠ ABG =90°，
，∴△ ABG ∽△ EAP ， AG AC ∴ FP = FA. AB AC
∵AB= k AE ， AC= k AF ，∴ EA = FA
=
EP =FQ . ∵∠ AGB =∠EPA =90° 同理△ ACG ∽△
FAQ ， k ， AG AB EP
= EA. ∴A E G
P = A F G P. ∵∠ EHP =∠FHQ ，∴Rt △EPH ≌Rt △FQH . ∴HE =HF
得 x =7．∴ B （7，0） .
（ 2 ）①当 P 在 OC 上运动时，
COBA -S △AC P-S△ POR -S △
ARB =8，得 1 1 1
2(3+7) × 4- 2× 3×(4- t)- 2t(7- t)- 2t× 4=8 整理, 得 2 t 2
-8 t +12=0,
解之得 t 1 =2, t 2=6(舍) 当 P 在 CA 上运动， 4≤t
<7. 由 S △
APR = 当 整
理
0≤ t < 4. 由 S △APR =S
梯 形
21×(7- t ) × 4=8，得 t =3(舍) 当
②当
当
当 AQ=PQ 时， 2（ 4- t ） （舍） 当 P 在 CA 上运动时， 设直线 l 交 AC 于 E ， 由 cos∠ OAC=
A A Q E
41 解得 t = 8 .
t =2 时，以 A 、 P 、 R 为顶点的三角形的面积为 8. P 在 OC 上运动时，0≤t <4. ∴AP=，AQ= AP =AQ 时， ( 4- t ) 2
+32=2(4- t )2,整 理得，t 2-8t +7=0. ∴t
=1, t =7(舍) AP=PQ 时，( 4- t ) 2+32
=(7- t )2
, 得， 6t =24. ∴t =4(舍去 ) 2
=(7- t )2 整理得， t 2-2t -17=0 ∴t =1±3
4≤t < 7. 过 A 作 AD ⊥ OB 于 D , 则 AD =BD =4. 则 QE ⊥AC ，AE =RD=t -4 ，AP =7- t.
AC 5 5 = AO ，得 AQ = 3( t -4) ．当 AP=AQ 时， 7- t = 3( t-4) ，
11
当AQ=PQ时，AE＝PE，即AE= 2AP 得t-4= 2(7-
t ) ，解得 t =5.
1 1 5 当AP=PQ时，过P作PF⊥AQ于F AF= 2AQ = 2×3( t -4). ∴ DN= = ∴ AN 2=AD2-
DN2=
△ AMN ∽△
ABP
在Rt△ APF 中，由
AF
cos∠PAF ＝AP
＝
，得AF
＝
即 21×53( t -4)= 35×(7- t)，解得t= 24236.
∴综上所述， t=1 或481或 5 或24236时，△ APQ是等腰三角形8分
14、、解：( 1)∵ y轴和直线 l都是⊙ C的切线∴OA⊥AD B D⊥AD 又∵ OA⊥OB ∴∠ AOB= ∠OAD= ∠ADB=90 ° ∴四边形 OADB 是矩形
∵⊙ C的半径为 2 ∴AD=OB=4 ∵点P在直线 l上∴点 P的坐标为(4， p)
又∵点 P 也在直线 AP 上∴p=4k+3
(2)连接 DN ∵AD 是⊙C的直径∴ ∠AND=90 ° ∵ ∠AND =90° -∠DAN ，∠ ABD=90 °-∠DAN ∴∠AND =∠ABD
又∵∠ A DN=∠AMN ∴∠ABD=∠AMN ∵∠ MAN= ∠ BAP ∴△ AMN
∽△当点 P在 B 点上方时，
ABP
(3) 存在。

理由：把x=0 代入y=kx+3 得y=3 ，即OA=BD=3 ∵ AP 2=AD2+PD2 = AD2+(PB-BD)2
2 2 2 =42+(4k+3-3) 2 =16(k
2+1) 或 AP2=AD2+PD2 = AD2+(BD-PB)2
2 2 2 =42+(3-4k-3) 2 =16(k
2+1)
S△ ABP= PB·AD= (4k+3) ×4=2(4k+3)
AB= ∵S△ABD= AB·DN= AD· DB 2
整理得 k2-4k-
2=0 解得 k1 =2+ k 2=2- 当点 P在 B 点下方
时，
∵AP2=AD2+PD2 =4 2+(3-4k-3) 2 =16(k 2+1)
(1， ），
S △ ABP= PB AD= [-(4k+3)] 又 ， 易知 ， 又
4=-2(4k+3) 化简，得 k 2
+1=- ( 4k+3) 解得 k=-2 △ ∽△ ，
或 k=-2 时，△ AMN 的面积等于
综合以上所得，当 k=2± 分 15、解：（ 1）设线段 与 轴的交点为 ，由抛物线的对称性
可得 ⋯10
中点， ， ， ，
将 （ ， ） 代入抛物线 得， . 2）解法 一：过点 作 轴于点 ， 点 的横坐标为 ， 设点 （ ， ）（ ），则 ，
知
）
，
，即点 的横坐标为
，设点（ - ，）（），则，
，
，即点的横坐标为 .
解得：，即点的横坐标为 .
3）解法一：设（，）
，
解析式
解法三：过点作轴于点，点的横坐标为，（1 ，
-，
7
分
），
则得，
)⋯⋯⋯ 10 分
说明：写出定点的坐标就给 2 分）
解法二：设（，）（），（，）（），直线与轴的交点为，根据由前可知，，，
，
由，得：，化简，得.
15 、 27. 解⑴在 Rt △ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB 上的中线，
又易知△ ∽△ ，，，
⋯⋯⋯ 9 分化
简，
又易知△ ∽△ ，，
9 分为固定值 . 故直线
. 由此可知不论为何值，直
线
恒过点（，恒过其与轴的交点（ , ）
，可
得
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，∴ CD=BD．
∴∠ BCE ＝∠ ABC ．∵ BE ⊥CD ，∴∠ BEC ＝90°， △ABC ． ∴E 是△ ABC 的自相似点． ⑵①作图略． 作法如下：（ i ）在∠ ABC 内，作∠ CBD ＝∠ A ； ＝∠ ABC ；BD 交CE 于点 P ． 则 P 为△ ABC 的自相似点．
∴∠ BEC ＝∠ ACB ．∴△ BCE ∽ ii ）在∠ ACB 内，作∠ BCE ② 连 接 PB 、 PC ． ∵ P 为 △ ABC 的 内 心 ， ∵P 为△ ABC
的自相似点，∴△ BCP ∽△ ABC ． ∠ABC=2∠ PBC =2∠A ， ∠ACB ＝ 2∠BCP=4∠A ．∵∠ A +∠ABC+∠ACB ＝ 180°． ∴∠ A +2∠ A+4∠A ＝ 180°．
∴∠ PBC ＝∠ A ，∠ BCP ＝ 当 时, 随 增大而增大； 当 时函数
当 =0 ，即 时，函数
的最小值
16、 28. 解
⑴① ∴该三角形三个内角的度数分别为
， ， 2， ， ， 函数 的图象如图． ②当 时， 随 增大而减小；
的最小值为
2．
⑵当该矩形的长为 时，它的周长最小，最小值为 17、
（1）解法 1：由题意易知：△ BOC ∽△ COA
抛物线的函数解析式为
，即
∴点 C 的坐标是 （0， ） 由
题意， 可设
把 A （1 ， 0），B （ ， 0）的 坐标 分 别代 入
（2） 解法 1：截得三条线段的数量关系为 KD=DE=EF 理由如下：
，得
可求得 直线 的解析 式为 ，直线 的解 析式为
解这个方程组，得 ∴抛物线的函数解析式为
抛物线的对称轴为直线 由此可求得点 K 的坐标为 （ ，
），
点 D 的坐标为 （ ， ） ，
解 法 2 ： 由
又∵ OB=3 ，OA=1 ，
股定理，
E 的坐标为 （ ， ） ，点
F 的坐标为 （ ， 0） ∴ KD= ，
AB=4 ∴ ∴点 C 的坐标是 （0， ） 由题意可设抛物线的函数
解析式 为， DE= ， EF= 解法 2：截得三条线段的数量关系为 由题意可知 Rt △ ABC 中， ∴KD=DE=EF
KD=DE=EF 理由如下：
∠ ABC=30 °，∠ CAB=60 °，则
可得
，
把 C （0， ） 代入函数解析式得 所以，抛物线的函数解析式为
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综上所述，当点 M 的坐标分别为（，），
（，
时，△ MCK 为等腰三角形。

当点 M 的坐标分别为（，），（，）时，△ MCK
为
的坐标为（，），此时△为等腰三角形
当以点 C 为圆心，线段 CK 长为半径画圆弧时，与
抛物线
交点为点
成三角形
作线段 KC 的中垂线 l ，由点 D 是 KE 的中点，且，可知 l 经过点 D ，∴KD=DC 此时，有点即点 D 坐标为（，），使△ 为等腰三角形；
又∵点 C 的坐标为（0，），则 GC∥AB
∵可求得 AB=BK=4 ，且∠ ABK=60 °，即△ ABK 为正三角形∴
△ CGK 为正三角形
∴当与抛物线交于点 G，即∥AB 时，符合题意，此时点
的坐标为（，）
（ii）连接 CD，由 KD= ， CK=CG=2 ，∠ CKD=30 °，易知△
KDC 为等腰三角形
（3）解法1：（i）以点 K 为圆心，线段 KC 长为半径画圆弧，
交抛物线于点
等腰三角
形。

由抛物线对称性可
知点
为点 C 关于直线的对称点理由如下：（i）连接 BK ，交抛物线于点 G，易知点 G 的
坐标为（，
，由顶点 D 坐标（，）得
KD=DE=EF= 解法 2：
∴点
(ii)
和点 A ，而三点 A 、C、K 在同一直线上，不能构(iii)
∴当过抛物线顶点 D 时，符合题意，此时点坐标为（，
）
（iii）当点 M 在抛物线对称轴右边时，只有点 M 与点 A 重合时，满足 CM=CK ，但点
A、C、 K 在同一直线上，不能构成三角形
综上所述，当点 M 的坐标分别为（，），（，）时，△ MCK 为等腰三角形。

18、（1）∵，∴ ，。

∴ ，
又∵抛物线过点、、，故设抛物线的解析式为，
将点的坐标代入，求得。

2）设点的坐标为（， 0），过点作轴于点（如图
1））。

∵点的坐标为（，0），点的坐标为（ 6， 0），
∴ ，。

∵ ，∴ 。

∴，
∴
∴当时，有最大值 4。

此时，点的坐标为（ 2，0）
（ 3∵点（4，）在抛物
线
上，
∴点的坐标是（ 4，）。

② 如图（ 2），当为平行四边形的边时，，
∵ （4，），∴错误！链接无效。

∴ ，。

③ 如图（ 3），当为平行四边形的对角线时，设，
则平行四边形的对称中心为（， 0）。

∴ 的坐标为（， 4）。

把（， 4 ）代入，得。

解得。

，。

且点 A 的坐
标为（0 ，3），
点的坐标为（3 ， 0）。

所以抛物线过点
（3，0）设抛物线的解析式为，可得
解得
∴过点 C， A，的抛物线的解析式为。

(2) 因为 AB∥ CO，所以∠ OAB=∠ AOC=90°。

∴, 又. = 因为，所以当时，。

, ∴又 ,
∴, 又△ ABO的周长为。

的周长为。

（3）连接 OM，设 M点的坐标为，∵点 M在抛物线上，。

△AMA'的面积有最大值所以当点 M的坐标为（）时，△ AMA'的面积
有最大值，且最大
值为
20、(1)提示：∵ PQ∥ FN ，PW∥ MN ∴∠QPW = ∠ PWF ，∠ PWF =∠MNF
∴∠QPW =∠MNF
同理可得：∠PQW =∠NFM 或∠PWQ =∠NFM
∴△ FMN ∽△
QWP。