30道数学大题

30道数学大题
1. (2021春·道里区期末)如图, 点A, C在EF上,AD∥BC, DE∥BF,AE=CF.
(1)求证: △ADE≌△CBF;
(2)直接写出图中所有相等的线段(AE=CF除外).
2. (2021春·宁德期末)如图, AB, CD交于点O, AC=DB, ∠ACD=∠DBA.
(1) 说明△AOC≌△DOB的理由;
(2)若∠ACD=94° , ∠CAO=28° , 求∠OCB的度数.
3. (2021春•沙坪坝区校级期末)如图, 在△ABC中, AC=BC, 点D在AB边上, 点E在 BC边
上, 连接 CD, DE. 已知∠ACD=∠BDE, CD=DE.
(1)猜想AC与BD的数量关系，并证明你的猜想；
(2)若AD=3, BD=5, 求CE的长.
4. (2021春•渝中区校级期末)如图, 点E在△ABC的边AC上,且∠ABE=∠C,AF平分∠BAE交
BE于F, FD∥BC交AC于点D.
(1)求证:△ABF≌△ADF;
(2)若BE=7, AB=8, AE=5, 求△EFD的周长.
5. (2021春•北碚区校级期末)如图, 已知D 是 AC 上一点, AB=DA,AB+DC=ED,AE=BC.
(1)求证: △ABC≌△DAE,
(2)若∠BAE=125° , 求∠DCB的度数.
(1) 求证: △ABM≌△DCN;
(2)试猜想 OA 与OD 的大小关系，并说明理由.
(1)AD 和BC 相等吗?为什么?
(2) BF 和BD 相等吗?为什么?
6.(2021春·莱芜区期末)如图,已知AD 、BC 相交于点 O, AB=CD, AM⊥BC于点 M, DN⊥BC 于点 N, BN=CM.
7. (2021春·静安区期末)如图, 已知四边形ABCD 中, AB∥CD, AD∥BC. E为BD 上一点, 且BE=AD, ∠DEF=∠ADC, EF交BC 的延长线于点 F.
(1)求证: AE=AF;
(2)求∠EAF的度数.
9. (2021春·铁岭月考) 已知: 如图, AB=AC, ∠1=∠2.
(1)找出图中的所有全等三角形(直接写出)；
(2)求证: AD=AE.
10. (2021·南岗区模拟)已知: 在△ABC和△DBE中,AB=DB,BC=BE,其中∠ABD=∠CBE.
(1)如图1, 求证: AC=DE;
(2)如图2, AB=BC, AC 分别交 DE, BD 于点 F, G, BC 交DE 于点H,在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四对全等三角形.
8.(2021春·沙坪坝区校级月考)如图,△ABC中,CD⊥AB,垂足为D. BE⊥AC,垂足为G, AB=CF, BE=AC.
(1)求证△AMB≌△CNA;
(2)求证∠BAC=90° .
(1)求证: △BCE≌△CAD;
(2) 若BE=5, DE=7, 则△ACD的周长是 .
求证: (1)∠BAN=∠CAM;
(2)∠ODA=∠OEA.
11.(2021·三水区一模)如图, AB=AC,直线l 过点A,BM⊥直线 l, CN⊥直线l, 垂足分别为M 、N, 且BM=AN.
12. (2021·广州模拟)如图, 在△ABC中, ∠ACB=90° ,AC=BC, 点E 是∠ACB内部一点, 连接CE, 作AD⊥CE, BE⊥CE, 垂足分别为点 D, E.
13. (2020春·越秀区校级期中)已知: △ABN和△ACM的位置如图所示, ∠1=∠2,AB=AC, AM=AN.
14. (2020·江北区模拟)如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AB边上一点,过点C作CF∥AB,交ED的延长线于点F.
(1)求证: △BDE≌△CDF;
(2)当AD⊥BC, AE=2, CF=1时, 求AC的长.
15.(2020秋•萧山区月考) 如图,已知在△ABC中,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E, F是 BD上一点, BF=AC, G是CE延长线上一点, CG=AB, 连接AG, AF.
(1)试说明∠ABD=∠ACE;
(2) 探求线段 AF，AG 有什么关系?并请说明理由.
16. (2021·张家界模拟)如图, 四边形ABCD中,AB=BC=2CD,AB∥CD, ∠C=90° , E是BC 的中点, AE与BD相交于点F, 连接DE
(1) 求证:△ABE≌△BCD;
(2)判断线段 AE与BD的数量关系及位置关系，并说明理由；
(3) 若CD=1, 试求△AED的面积.
17. (2020秋•台江区校级期中)如图,A, B, C三点共线,D, C, E三点共线, ∠A=∠ DBC, EF⊥AC于点 F, AE=BD.
(1) 求证: C是DE的中点;
(2)求证: AB=2CF.
18. (2021春•铁岭月考)如图,△AOC和△BOD中,OA=OC, OB=OD,∠AOC=∠BOD=α(0<α<90° ) ,AD与BC交于点P.
(1)求证: △AOD≌△COB;
(2)求∠APC(用含α的式子表示);
(3)过点O分别作OM⊥AD, ON⊥BC, 垂足分别为点 M、N, 请直接写出OM和 ON 的数量
关系.
19. (2020秋•花都区月考)如图所示, BD、CE是△ABC的高, 点P在BD的延长线上, CA=BP, 点Q在CE上, QC=AB.
(1) 探究PA与AQ之间的关系;
(2)若把(1)中的△ABC改为钝角三角形, AC>AB, ∠A是钝角,其他条件不变,上述结论
是否成立?画出图形并证明你的结论.
20. (2020春·萍乡期末)在△ABC中, AB=AC, D是直线BC上一点, 以AD为一边在 AD的右
侧作△ADE, 使AE=AD, ∠DAE=∠BAC, 连接CE, 设∠BAC=∠1, ∠DCE=∠2.
(1)如图①, 当点D在线段 BC上移动时,试说明: ∠1+∠2=180° ;
(2)如图②，当点D在线段BC的延长线上移动时，请猜测∠1与∠2有怎样的数量关系?
并说明理由.
21. (2020春·揭阳期末)已知△ABC, 点D、F分别为线段AC、AB上两点, 连接BD、CF
交于点E.
(1)若BD⊥AC, CF⊥AB,如图1所示, 试说明∠BAC+∠BEC=180° ;
(2)若BD平分∠ABC, CF平分∠ACB,如图2所示,试说明此时∠BAC与∠BEC的数量关系；
(3)在(2)的条件下,若∠BAC=60° , 试说明: EF=ED.
22. (2020秋•淇滨区校级期中) (1)如图1所示,△ACB和△ECD都是等腰三角形, A、 C、
D三点在同一直线上，连接BD、AE，并延长AE交BD于点F，试判断AE与BD的数量关系及位置关系，并证明你的结论.
(2)若△ECD绕顶点 C顺时针转任意角度后得到图2，图1中的结论是否仍然成立?请说
明理由.
23. (2020秋·蒙阴县期中)在△ABC中, ∠ACB=90° , AC=BC, 直线MN经过点C,且
AD⊥MN于点D, BE⊥MN于点E.
(1)当直线MN绕着点C旋转到如图1所示的位置时，
求证: ①△ADC≌△CEB;
②DE=AD+BE;
(2)当直线MN绕着点 C旋转到如图2所示的位置时，
①找出图中一对全等三角形；
②DE、AD、BE之间有怎样的数量关系，并加以证明.
24. (2020秋·环翠区期末) (1)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90° , E、F分别是边 BC、CD上的点, 若∠EAF=1
∠BAD,可求得 EF、BE、FD之间的数量关系为 . (只思考解题思路，完成填
2
空即可，不必书写证明过程)
(2)如图2, 在四边形 ABCD中,AB=AD, ∠B+∠ADC=180° ,E、F分别是边 BC、 CD延长线上的
点，若∠EAF=1
∠BAD,判断EF、BE、FD之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不
2
成立，请说明理由. 【可借鉴第(1)问的解题经验】
25. (2021春·和平区期末)如图, 在△ABC中, AC=BC, 点 D在边AB上, AB=4BD,连接CD, 点E, F
在线段 CD上, 连接BF, AE, ∠BFC=∠AEC=180° -∠ACB.
(1) ①∠FBC与∠ECA相等吗?说明你的理由;
②△FBC与△ECA全等吗?说明你的理由;
(2)若AE=11, EF=8, 则请直接写出BF的长为 ;
(3)若△ACE与△BDF的面积之和为 12, 则△ABC的面积为 .
26. (2020·岱岳区一模) 已知∠ABC=90° , 点D是直线AB边上的点,AD=BC.
(1)如图1,点D在线段AB上,过点A作AF⊥AB,且AF=BD,连接DC、DF、CF,试判断△CDF的
形状并说明理由；
(2)如图2，点D在线段AB的延长线上，点F在点A的左侧，其他条件不变，以上结论
是否仍然成立?请说明理由.
27. 如图(1), 线段AD∥BC, 连接AB、 CD, 取CD中点E, 连接AE, AE平分∠BAD.
(1)线段AB与AD、BC之间存在怎样的等量关系?请说明理由.
(2)如果点C在AB的左侧，其他条件不变，如图(2)所示，那么(1)中的结论还成立吗?
如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出新的结论，并说明理由.
28. (2021春·章丘区期末)如图, CD是经过∠BCA顶点 C的一条直线, CA=CB, E、F分别
是直线 CD上两点, 且∠BEC=∠CFA=α.
(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E、F在射线CD上.
①如图1, 若∠BCA=90° , α=90° , 则BE CF;
②如图2, 若0° <∠BCA<180° , 请添加一个关于α与∠BCA关系的条件 , 使
①中的结论们然成立，并说明明理由；
(2)如图3, 若线 CD经过∠BCA的外部, a=∠BCA, 请提出关于EF,BE,AF三条线段数量
关系的合理猜想，并简述理由.
29. (2020春·南岸区期末)在∠MAN内有一点D,过点D分别作DB⊥AM, DC⊥AN,垂足分别
为B, C. 且BD=CD, 点E, F分别在边AM和AN上.
(1)如图1, 若∠BED=∠CFD, 请说明DE=DF;
(2)如图2, 若∠BDC=120° , ∠EDF=60° , 猜想EF,BE, CF具有的数量关系,
并说明你的结论成立的理由.
30. (2021春·揭东区期末)已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧
作△ACD和△BCE, 且CA=CD, CB=CE, ∠ACD=∠BCE, 直线AE与BD交于点F.
(1) 如图1, 求证: △ACE≌△DCB.
(2)如图1, 若∠ACD=60° , 则∠AFB= ; 如图2, 若∠ACD=90° , 则∠ AFB= ;
(3)如图3,若∠ACD=β, 则∠AFB= (用含β的式子表示)并说明理由.。