2018-2019学年人教A版必修一1.1.3.2补集及综合应用学案

第2课时 补集及综合应用
学习目标 1.理解全集、补集的概念.2.准确翻译和使用补集符号和Venn 图.3.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题．
知识点一 全 集
定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． 记法：全集通常记作U . 知识点二 补 集
思考 实数集中，除掉大于1的数，剩下哪些数？ 答案 剩下不大于1的数，用集合表示为{x ∈R |x ≤1}． 梳理 补集的概念
1．根据研究问题的不同，可以指定不同的全集．(√) 2．存在x 0∈U ，x 0∉A ，且x 0∉∁U A .(×)
3．设全集U ＝R ，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1x >1，则∁U A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
1x ≤1.(×) 4．设全集U ＝{}(x ，y )|x ∈R ，y ∈R ，A ＝{}
(x ，y )|x >0且y >0，则∁U A ＝
{}(x ，y )|x ≤0且y ≤0.(×)
类型一 求补集
例1 (1)已知全集U ＝{}a ，b ，c ，集合A ＝{}a ，则∁U A 等于( ) A.{}a ，b B.{}a ，c C.{}b ，c D.{}a ，b ，c 考点 补集的概念及运算 题点 有限集合的补集 答案 C
解析 ∁U A ＝{}x |x ∈U 且x ∉A ＝{}
b ，
c .
(2)若全集U ＝{x ∈R |－2≤x ≤2}，A ＝{x ∈R |－2≤x ≤0}，则∁U A 等于( ) A ．{x |0<x <2} B ．{x |0≤x <2} C ．{x |0<x ≤2} D ．{x |0≤x ≤2}
考点 补集的概念及运算 题点 无限集合的补集 答案 C
解析 ∵U ＝{x ∈R |－2≤x ≤2}， A ＝{x ∈R |－2≤x ≤0}， ∴∁U A ＝{x |0<x ≤2}，故选C.
(3)设全集U ＝{x |x 是三角形}，A ＝{x |x 是锐角三角形}，B ＝{x |x 是钝角三角形}，求A ∩B ，∁U (A ∪B )． 考点 题点
解 根据三角形的分类可知A ∩B ＝∅， A ∪B ＝{x |x 是锐角三角形或钝角三角形}， ∁U (A ∪B )＝{x |x 是直角三角形}．
反思与感悟 求集合的补集，需关注两处：一是确认全集的范围；二是善于利用数形结合求其补集，如借助Venn 图、数轴、坐标系来求解．
跟踪训练1 (1)设集合U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，则∁U A ＝________. 考点 补集的概念及运算 题点 有限集合的补集
答案{3,4,5}
(2)已知集合U＝R，A＝{x|x2－x－2≥0}，则∁U A＝________.
考点补集的概念及运算
题点无限集合的补集
答案{x|－1<x<2}
(3)已知全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合A＝{(x，y)|xy>0}，则∁U A＝________.
考点补集的概念及运算
题点无限集合的补集
答案{(x，y)|xy≤0}
类型二补集性质的应用
命题角度1补集性质在集合运算中的应用
例2已知A＝{0,2,4,6}，∁U A＝{－1，－3,1,3}，∁U B＝{－1,0,2}，用列举法写出集合B.
考点补集的概念及运算
题点有限集合的补集
解∵A＝{0,2,4,6}，∁U A＝{－1，－3,1,3}，
∴U＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}．
而∁U B＝{－1,0,2}，
∴B＝∁U(∁U B)＝{－3,1,3,4,6}．
反思与感悟从Venn图的角度讲，A与∁U A就是圈内和圈外的问题，由于(∁U A)∩A＝∅，(∁
A)∪A＝U，所以可以借助圈内推知圈外，也可以反推．
U
跟踪训练2如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合．若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，则A*B＝________________.
考点补集的概念及运算
题点无限集合的补集
答案{x|0≤x≤1或x＞2}
解析A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝{x|x≥0}，
由图可得A*B＝∁(A∪B)(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x＞2}．
命题角度2补集性质在解题中的应用
例3关于x的方程：x2＋ax＋1＝0，①
x 2＋2x －a ＝0， ② x 2＋2ax ＋2＝0，
③
若三个方程至少有一个有解，求实数a 的取值范围． 考点 补集的概念及运算 题点 无限集合的补集
解 假设三个方程均无实根，则有
⎩⎪⎨⎪
⎧
Δ1＝a 2－4<0，
Δ2＝4＋4a <0，Δ3
＝4a 2
－8<0，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
－2<a <2，
a <－1，－2<a < 2.
解得－2<a <－1，
∴当a ≤－2或a ≥－1时，三个方程至少有一个方程有实根， 即a 的取值范围为{a |a ≤－2或a ≥－1}．
反思与感悟 运用补集思想求参数取值范围的步骤(1)把已知的条件否定，考虑反面问题； (2)求解反面问题对应的参数的取值范围； (3)求反面问题对应的参数的取值集合的补集．
跟踪训练3 若集合A ＝{x |ax 2＋3x ＋2＝0}中至多有一个元素，求实数a 的取值范围． 考点 补集的概念及运算 题点 无限集合的补集
解 假设集合A 中含有2个元素， 即ax 2＋3x ＋2＝0有两个不相等的实数根，
则⎩⎪⎨⎪⎧
a ≠0，Δ＝9－8a >0，
解得a <9
8
，且a ≠0，
则集合A 中含有2个元素时，实数a 的取值范围是
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a ⎪⎪
a <98且a ≠0. 在全集U ＝R 中，集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪
a <9
8且a ≠0的补集是 ⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a ⎪⎪
a ≥9
8或a ＝0，
所以满足题意的实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a ⎪⎪
a ≥9
8或a ＝0.
类型三 集合的综合运算
例4 (1)(2016·浙江)已知全集U ＝{}1，2，3，4，5，6，集合P ＝{}1，3，5，Q ＝
{}1，2，4，则(∁U P )∪Q 等于(
)
A.{}1
B.{}3，5
C.{}1，2，4，6
D.{}1，2，3，4，5
考点 交并补集的综合问题 题点 有限集合的交并补运算 答案 C
解析 ∵∁U P ＝{}
2，4，6， ∴(∁U P )∪Q ＝{}
1，2，4，6.
(2)已知集合A ＝{x |x ≤a }，B ＝{x |1≤x ≤2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是________． 考点 交并补集的综合问题
题点 与交并补集运算有关的参数问题 答案 {a |a ≥2}
解析 ∵∁R B ＝{x |x <1或x >2}且A ∪(∁R B )＝R ， ∴{x |1≤x ≤2}⊆A ，∴a ≥2.
反思与感悟 解决集合的混合运算时，一般先计算括号内的部分，再计算其他部分．有限集合混合运算可借助Venn 图，与不等式有关的可借助数轴．
跟踪训练4 (1)已知集合U ＝{x ∈N |1≤x ≤9}，A ∩B ＝{2,6}，(∁U A )∩(∁U B )＝{1,3,7}，A ∩(∁
U B )＝{4,9}，则
B 等于( )
A ．{1,2,3,6,7}
B ．{2,5,6,8}
C ．{2,4,6,9}
D ．{2,4,5,6,8,9}
考点 交并补集的综合问题 题点 有限集合的交并补运算 答案 B
解析 根据题意可以求得U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，画出Venn 图(如图所示)，可得B ＝{2,5,6,8}，故选B.
(2)已知集合U ＝{x |x ≤4}，集合A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |－3≤x ≤2}，求A ∩B ，(∁U A )∪B ，
A∩(∁U B)．
考点交并补集的综合问题
题点无限集合的交并补运算
解如图所示．
∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，
∴∁U A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
∁U B＝{x|x<－3或2<x≤4}．
A∩B＝{x|－2<x≤2}，
∴(∁U A)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，
A∩(∁U B)＝{x|2<x<3}．
1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁U M等于()
A．U B．{1,3,5} C．{3,5,6} D．{2,4,6}
考点补集的概念及运算
题点有限集合的补集
答案 C
2．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于() A．{1,3,4} B．{3,4} C．{3} D．{4}
考点交并补集的综合问题
题点有限集合的交并补运算
答案 D
3．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁R S)∪T等于()
A．{x|－2<x≤1} B．{x|x≤－4}
C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}
考点交并补集的综合问题
题点无限集合的交并补运算
答案 C
4．设全集U＝R，则下列集合运算结果为R的是________．(填序号)
①Z∪∁U N; ②N∩∁U N；
③∁U(∁U∅); ④∁U Q.
考点交并补集的综合问题
题点无限集合的交并补运算
答案①
5．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则A∩(∁U B)＝________.
考点交并补的综合问题
题点有限集合的交并补运算
答案{1}
解析∵∁U B＝{1,5,6}，∴A∩(∁U B)＝{1}．
1．全集与补集的互相依存关系
(1)全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集．因此，全集因研究问题而异．
(2)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．
(3)∁U A的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系．
2．补集思想
做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁U A，再由∁U(∁U A)＝A，求A.。