充要条件学案高一上学期数学人教A版
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例2.已知p：1≤x≤a(a≥1)，q：1≤x≤2.
(1)当a为何值时，p是q的充分不必要条件？
(2)当a为何值时，p是q的必要不充分条件？
(3)当a为何值时，p是q的充要条件？
变式训练：请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．已知集合A＝{x|－2≤x≤6}，B＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}．探究：
(3)A B=A是B⊆A的必要不充分条件;
(4)x或y为有理数是xy为有理理数的既不充分也不必要条件.
10.求证:关数根的充要条件是0<m< .
B组
6.(多选)下列结论中正确的是()
A．“x2＞4”是“x＜－2”的必要不充分条件
B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件
C．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件
D．“x2为无理数”是“x为无理数”的充分不必要条件
7.若A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件,
二、数学定义与充要条件的关系
3.我们知道平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，显然“四边形的两组对边分别平行”是“四边形是平行四边形”的一个。由此可得到一个结论：数学中的每一个定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件．
4．根据上节课的学习，请给出平行四边形的其他定义形式：
，，
，。
(4)若AUB是空集，则A与B均是空集.
2．一般地，如果“若p，则q”和它的逆命题“”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
p与q互为充要条件
p q，且q p
p是q的条件
【典型例题】
例1.下列各题中，判断p是q的什么条件?
(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)
(1)p:四边形是正方形，q:四边形的)对角线互相垂直且平分;
(2)p: xy>0，q: x>0，y>0;
(3)p: x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根，q: a+b+c=0(a≠0);
①充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；
②必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.
变式训练：设a，b，c∈R.证明:a²+b²+c²=ab+bc+ac的充要条件是a=b=c.
【达标检测】
A组
1.命题p：x≤1，命题q： ≥1，则q是p的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
若x∈A是x∈B成立的________条件，判断实数m是否存在？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
例3.求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
充要条件的证明思路
根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明．
一般地，证明“p成立的充要条件为q”：
则C是A的条件，D是A的条件。
8.若集合A＝{x|x＞－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，试写出：
(1)A∪B＝R的一个充要条件；
(2)A∪B＝R的一个必要不充分条件；
(3)A∪B＝R的一个充分不必要条件．
9.判断下列命题的真假:
(1)点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在圆O外的充要条件;
(2)两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件;
【新知探究】
一、充要条件的定义
1．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题?
(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等;
(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的两边和其中一边所对的角分别相等;
(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则-ac>0;
2.已知实数a，b满足ab＞0，则“ ＜ 成立”是“a＞b成立”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3.设全集为U，在①A∪B＝A，②(∁UA)∩B＝∅，③∁UA⊆∁UB，④A∪∁UB＝U这四个条件中，
是B⊆A的充要条件的有()
A．1个B．2个C．3个D．4个
章节
课题
充要条件
教
学
目
标
1.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，以及理解数学定义与充要条件的关系．
2．通过具体情景，使学生理解充要条件的概念，以及充要条件的证明与应用，从而培养他们的抽象概括能力和逻辑推理的核心素养．
教学重点
充要条件的判断；利用充分、必要条件求参数．
教学难点
充要条件的证明与探究．
类似地，请同学们利用“两个三角形全等”的充要条件，给出“三角形全等”的其他定义形式。
请同学们利用“两个三角形相似”的充要条件，给出“相似三角形”的其他定义形式。
三、条件p与结论q的关系与充分、必要条件
条件p与结论q的关系
结论
p⇒q，但q p
p是q的充分不必要条件
q⇒p，但p q
p是q的条件
p⇒q且q⇒p，即p⇔q
(4)p: xy为无理数，q: x，y均为无理数.
变式训练：下列各题中，判断p是q的什么条件?
(1)p:三角形是等腰三角形，q:三角角形是等边三角形;
(2)p:一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，q:b2-4ac≥0(a≠0);
(3)p: ，q: ;
(4)p: ，q: ;
(5) p:x>y，q: x²>y².
4.已知集合A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，则A∩B＝∅的充要条件是________．
5.下列各题中，判断p是q的什么条件．
(1)p：a＜b，q： ＜1；(2)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；
(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；(4)p：x＞1，q：x2＞1.
(1)当a为何值时，p是q的充分不必要条件？
(2)当a为何值时，p是q的必要不充分条件？
(3)当a为何值时，p是q的充要条件？
变式训练：请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．已知集合A＝{x|－2≤x≤6}，B＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}．探究：
(3)A B=A是B⊆A的必要不充分条件;
(4)x或y为有理数是xy为有理理数的既不充分也不必要条件.
10.求证:关数根的充要条件是0<m< .
B组
6.(多选)下列结论中正确的是()
A．“x2＞4”是“x＜－2”的必要不充分条件
B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件
C．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件
D．“x2为无理数”是“x为无理数”的充分不必要条件
7.若A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件,
二、数学定义与充要条件的关系
3.我们知道平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，显然“四边形的两组对边分别平行”是“四边形是平行四边形”的一个。由此可得到一个结论：数学中的每一个定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件．
4．根据上节课的学习，请给出平行四边形的其他定义形式：
，，
，。
(4)若AUB是空集，则A与B均是空集.
2．一般地，如果“若p，则q”和它的逆命题“”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
p与q互为充要条件
p q，且q p
p是q的条件
【典型例题】
例1.下列各题中，判断p是q的什么条件?
(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)
(1)p:四边形是正方形，q:四边形的)对角线互相垂直且平分;
(2)p: xy>0，q: x>0，y>0;
(3)p: x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根，q: a+b+c=0(a≠0);
①充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；
②必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.
变式训练：设a，b，c∈R.证明:a²+b²+c²=ab+bc+ac的充要条件是a=b=c.
【达标检测】
A组
1.命题p：x≤1，命题q： ≥1，则q是p的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
若x∈A是x∈B成立的________条件，判断实数m是否存在？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
例3.求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
充要条件的证明思路
根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明．
一般地，证明“p成立的充要条件为q”：
则C是A的条件，D是A的条件。
8.若集合A＝{x|x＞－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，试写出：
(1)A∪B＝R的一个充要条件；
(2)A∪B＝R的一个必要不充分条件；
(3)A∪B＝R的一个充分不必要条件．
9.判断下列命题的真假:
(1)点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在圆O外的充要条件;
(2)两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件;
【新知探究】
一、充要条件的定义
1．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题?
(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等;
(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的两边和其中一边所对的角分别相等;
(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则-ac>0;
2.已知实数a，b满足ab＞0，则“ ＜ 成立”是“a＞b成立”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3.设全集为U，在①A∪B＝A，②(∁UA)∩B＝∅，③∁UA⊆∁UB，④A∪∁UB＝U这四个条件中，
是B⊆A的充要条件的有()
A．1个B．2个C．3个D．4个
章节
课题
充要条件
教
学
目
标
1.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，以及理解数学定义与充要条件的关系．
2．通过具体情景，使学生理解充要条件的概念，以及充要条件的证明与应用，从而培养他们的抽象概括能力和逻辑推理的核心素养．
教学重点
充要条件的判断；利用充分、必要条件求参数．
教学难点
充要条件的证明与探究．
类似地，请同学们利用“两个三角形全等”的充要条件，给出“三角形全等”的其他定义形式。
请同学们利用“两个三角形相似”的充要条件，给出“相似三角形”的其他定义形式。
三、条件p与结论q的关系与充分、必要条件
条件p与结论q的关系
结论
p⇒q，但q p
p是q的充分不必要条件
q⇒p，但p q
p是q的条件
p⇒q且q⇒p，即p⇔q
(4)p: xy为无理数，q: x，y均为无理数.
变式训练：下列各题中，判断p是q的什么条件?
(1)p:三角形是等腰三角形，q:三角角形是等边三角形;
(2)p:一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，q:b2-4ac≥0(a≠0);
(3)p: ，q: ;
(4)p: ，q: ;
(5) p:x>y，q: x²>y².
4.已知集合A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，则A∩B＝∅的充要条件是________．
5.下列各题中，判断p是q的什么条件．
(1)p：a＜b，q： ＜1；(2)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；
(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；(4)p：x＞1，q：x2＞1.