四川省成都市大弯中学2022年高二数学理模拟试卷含解析

四川省成都市大弯中学2022年高二数学理模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知为R上的可导函数，且均有′（x），则有（）
A．
B．
C．
D．
参考答案：
D
2. 设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则f（1）=（）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3
参考答案：
B
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】利用奇函数性质把f（1）转化到已知范围内借助已知表达式可求．
【解答】解：由f（x）为奇函数及已知表达式可，得
f（1）=﹣f（﹣1）=﹣[2×（﹣1）2﹣（﹣1）]=﹣3，
故选B．
3. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为( )
参考答案：
C
4. 已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．y2﹣x2=50 D．x2﹣y2=10
参考答案：
C
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据渐近线的方程和焦点坐标，利用a、b、c的关系和条件列出方程求出a2、b2，代入双曲线的方程即可．
【解答】解：由题意得，，
解得a2=50，b2=50，
∴双曲线的方程是y2﹣x2=50，
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及简单几何性质的应用，属于基础题．
5. 某单位拟安排6位员工在今年6月4日至6日(端午节假期)值班，每天安排2人，每人值班1天，若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有() A．30种 B．36种 C．42种 D．48种
参考答案：
C
略
6. 已知随机变量X的分布如下表所示，则等于（）
参考答案：
B
【分析】
先根据题目条件求出值，再由离散型随机变量的期望公式得到答案。

【详解】由题可得得，
则由离散型随机变量的期望公式得
故选B
【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和期望公式，属于一般题。

7. 已知点、、、,则向量在方向上的投影为（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
略
8. 直线与直线和直线分别交于，两点，且的中点坐标为，则直线的方程为
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
9. 给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导函数，f″（x）是函数f′（x）的导函数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．已知函数f（x）
=3x+4sinx﹣cosx的拐点是M（x0，f（x0）），则点M（）
A．在直线y=﹣3x上B．在直线y=3x上
C．在直线y=﹣4x上D．在直线y=4x上
参考答案：
B
【考点】63：导数的运算．
【分析】求出原函数的导函数，再求出导函数的导函数，由导函数的导函数等于0，即可得到拐点，问题得以解决．
【解答】解：f'（x）=3+4cosx+sinx，f''（x）=﹣4sinx+cosx=0，4sinx0﹣cosx0=0，
所以f（x0）=3x0，
故M（x0，f（x0））在直线y=3x上．
故选：B．
【点评】本题是新定义题，考查了函数导函数零点的求法；解答的关键是函数值满足的规律，是中档题．
10. 函数有（）
A．极大值5，极小值-27 B．极大值5，极小值-11
C．极大值5，无极小值 D．极小值-27，无极大值
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 给出下列命题：
①用反证法证明命题“设为实数，且则”时，要给出的假设是：都不是正数；
②若函数在处取得极大值，则；
③用数学归纳法证明，在验证成立时，不等式的左边是
；
④数列{a n}的前n项和S n=3n－c，则c=1是数列{a n}成等比数列的充分必要条件；
上述命题中，所有正确命题的序号为 .
参考答案：
③④
12. 已知，用数学归纳法证明时，f（2k+1）﹣f（2k）等于
．
参考答案：
【考点】L@：组合几何体的面积、体积问题；RG：数学归纳法．
【分析】首先由题目假设n=k时，代入得到f（2k）=1+++…+，当n=k+1时，f（2k+1）
=1+++…+++…+，由已知化简即可得到结果．
【解答】解：因为假设n=k时，f（2k）=1+++…+，
当n=k+1时，f（2k+1）=1+++…+++…+，
∴f（2k+1）﹣f（2k）=，
故答案为．
13. 某公园现有甲、乙、丙三只小船，甲船可乘3人，乙船可乘2人，丙船可乘1人，今有三个成人和2个儿童分乘这些船只(每船必须坐人)，为安全起见，儿童必须由成人陪同方可乘船，则分乘这些船只的方法有______种（用数字作答）.
参考答案：
18
【分析】
将问题分成两类：一类是一个大人带两个儿童，一类是两个大人各带一个儿童.分别计算出方法数然后相加，得到总的方法数.
【详解】一个大人带两个儿童时，大人的选法有种，故方法数有种. 两个大人各带一个儿童时，先排好大人，再排小孩，方法数有种.故总的方法数有种.
【点睛】本小题主要考查分类加法计数原理、分步乘法计数原理，考查排列数的计算，属于基础题.
14. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于
参考答案：
15. 正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD1的中点，点F在AB上．若EF⊥平面AB1C，则线段EF 的长度等于．
参考答案：【考点】直线与平面所成的角．
【分析】如图所示，由正方体的性质可得：AO⊥平面BDD1．可得AC⊥BD1，可得BD1⊥平面ACB1．由EF⊥平面AB1C，可得EF∥BD1，可得EF为△ABD1的中位线，即可得出．
【解答】解：如图所示．
由正方体的性质可得：AO⊥平面BDD1．
∴AC⊥BD1，
同理可得BD1⊥AB1，又AC∩AB1=A，
∴BD1⊥平面ACB1．
又EF⊥平面AB1C，
∴EF∥BD1，又点E为AD1的中点，
∴点F为AB的中点，
而AB，
∴EF==×=．
故答案为：．
【点评】本题考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质定理、三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中点题．
16. 如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线
所成的角的大小是
参考答案：
略
17.
参考答案：
0 略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 求函数 f (x) =︱sinx + cosx +tanx + cotx + secx + cscx ︱ 的最小值 . 其中 secx=
, cscx=
.
参考答案：
解析：设 u = sin x + cos x , 则 sin x cos x = ( u 2
－ 1 ) .
sin x + cos x + tan x + cot x + sec x + csc x = u + , ( 5 分 )
当 u > 1 时 , f ( x ) = 1 + u －1 + 1 +
2
. ( 5 分 )
当 u < 1 时 , f ( x ) = －1 + 1－u +
2－1 ( u = 1－时等号成立 ) . ( 5 分)
因此, f ( x ) 的最小值是 2－
1 . ( 5 分 )
19. （14分）已知函数f （x ）=a （x ﹣）﹣2lnx （a∈R）． （1）若a=2，求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；
（2）求函数f （x ）的单调区间；
（3）设函数g （x ）=﹣．若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f （x 0）＞g （x 0）成立，求实数a 的取值范围．
参考答案：
（1）函数的定义域为，. ……1分
当时，函数
，
，， ……2分 所以曲线在点处的切线方程为，即
.…3分
（2）函数的定义域为
. ①当时，
在上恒成立，则在
上恒成立，此时
在上单调递减.
……4分
②当
时，
.
（i ）若
，由
，即
，得
或
.……5分
由
，即
，得
.
……6分
所以函数
的单调递增区间为
，
，
单调递减区间为.
……7分
（ii ）若
，在
上恒成立，则在上恒成立，此时在
上
单调递增.
……8分
（3）因为存在一个使得，则，等价于.
……9分令，等价于“当时，”.……11分
对求导，得. ……12分因为当时，，所以在上单调递增. ……13分
所以，因此.
……14分
20. （本小题满分13分）某单位要在甲、乙、丙、丁人中安排人分别担任周六、周日的值班任务（每人被安排是等可能的，每天只安排一人）．
（Ⅰ）写出所有的基本事件；
（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人被安排的概率是多少？
参考答案：
（1）基本事件有
（甲、乙）；（甲、丙）；（甲、丁）；（乙、丙）；（乙、丁）；（丙、丁）（乙、甲）；
（丙、甲）；（丁、甲）；（丙、乙）；（丁、乙）；（丁、丙）共12个基本事件---------6分（2）记事件A={甲、乙两人中至少有一人被安排}，则由（1）可知A不发生的基本事件有（丁、丙）（丙、丁）------------------------------8分
由古典概型概率公式得P（A）=------------------------------12分
答：甲、乙两人中至少有一人被安排的概率是．-----------------------------13分
21. 在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四边形ADEF是正方形，，
，，，
（I）求证：平面平面；
（II）设M为线段EC上一点，，求二面角的平面角的余弦值. 参考答案：
（1）因为，，，
所以为直角三角形，且
同理因为，，
所以为直角三角形，且，
又四边形是正方形，所以
又因为，所以.
在梯形中，过点作作于，
故四边形是正方形，所以.
在中，，∴.，
∴，∴∴.
∵，,.平面，平面.
所以平面,
又因为平面，所以
因为，平面，平面.
∴平面，平面，∴平面平面
（2）以为原点，，，所在直线为轴建立空间直角坐标系(如图)则
.令，则，因为，∴
∴.因为平面，∴，取是平面的一个法向量.
设平面的法向量为.
则，即即.
令，得，
∴，
22. 已知p：函数y=x2+mx+1在（﹣1，+∞）上单调递增，q：函数y=4x2+4（m﹣2）x+1大于0恒成立．若p∨q为真，p∧q为假，求m的取值范围．
参考答案：
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】计算题；探究型．
【分析】本题是一个由命题的真假得出参数所满足的条件，通过解方程或不等式求参数范围的题，宜先对两个命题p，q进行转化得出其为真时参数的取值范围，再由p∨q为真，p∧q为假的关系求出参数的取值范围，在命题p中，用二次函数的性质进行转化，在命题q中，用二次函数的性质转化．
【解答】解：若函数y=x2+mx+1在（﹣1，+∞）上单调递增，则﹣≤﹣1，
∴m≥2，即p：m≥2…若函数y=4x2+4（m﹣2）x+1大于0恒成立，则△=16（m﹣2）2﹣16＜0，
解得1＜m＜3，
即q：1＜m＜
3 …
∵p∨q为真，p∧q为假，∴p、q一真一假…
当p真q假时，由得m≥3…
当p 假q真时，由得1＜m＜2 …
综上，m的取值范围是{m|m≥3或1＜m＜2} …
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，解题关键是理解p∨q为真，p∧q为假，得出两命题是一真一假，再分两类讨论求出参数的值，本题考查了转化化归的思想及分类讨论的思想。