平面几何的几个重要定理

并且当且仅当四边形 ABCD
内接于圆时,等号成立.
定理证明
2答案
广义的托勒密定理:在四边形 ABCD 中,有:
ABCD AD BC ≥ AC BD , 并且当 且仅当 四边形 ABCD 内接于圆时,等号成立.
证明:四边形 ABCD 内取点 E,
使BAE CAD，ABE ACD,ABE和ACD相似
平面几何的几个重要的定理
托勒密定理：
圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角
所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对
所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积
和)．即：若四边形 ABCD 内接于圆,
则有 AB CD AD BC AC BD.
广义的托勒密定理
在四边形 ABCD 中,
有: ABCD AD BC ≥ AC BD ,
平面几何──平面几何的几个重要定理
引入
梅涅劳斯定 理
托勒密定 理
塞瓦定理
课外思考
平面几何──平面几何的几个重要定理
平面几何是培养严密推理能力的很好数学分支，且因其证 法多种多样：除了几何证法外，还有三角函数法、解析法、复 数法、向量法等许多证法，这方面的问题受到各种竞赛的青睐， 现在每一届的联赛的第二试都有一道几何题.
BA1 BP cosPBC , CB1 CP cosPCA , CA1 CP cosPCB AB1 AP cosPAC
AC1 AP cosPAB BC1 PB cosPBA
由上面的三个式子相乘 且 PAC PBC,PAB PCB,PCA PBA 180
可得 BA1 CB1 AC1 ＝1 ， CA1 AB1 BC1
平面几何的知识竞赛要求：三角形的边角不等关系;面积 及等积变换;三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性 质; 四个重要定理;几个重要的极值：到三角形三顶点距离之 和最小的点--费马点,到三角形三顶点距离的平方和最小的点 --重心,三角形内到三边距离之积最大的点-----重心;简单的 等周问题:
在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。 在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。 在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。 在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
应用1(可证西姆松定1 理）1
2
2
2
2
证明:由 A 、B 、C 应用1(可证西姆松定理）
应用1(可证西姆松定理2） 2
2
分别是
直线
BC
和B1C1，
AC
和A1C1，
的交点,对所得 AB和A B 应用1(可证西姆松定理）
应用1(可证西姆1松定1理）
的三角形和它们
边上的点：OAB和( 应用1(可证西姆松定理）
平面几何的几个重要的定理 梅涅劳斯定理及其逆定理
若一条直线截△ABC 的三条边 AB、BC、CA （或他们的延长线），所得交点分别为 X、Y、Z ， 则有 AX BY CZ 1.
XB YC XX
结论反过来 也成立.
应用1(可证西姆松定理）
应用2
(西姆松定理及其逆定理) 练习 1.点 P 位于 ABC 的处接圆上, A1、B1、C1 是从 点 P 向 BC、CA、AB引的垂线的垂足, 求证:点 A1、B1、C1 共线. 证:易得
练习 2:已知直线 AA1，BB1，CC1 相交于点 O,直线 AB 和
A B 的 交 点 为 应用1(可证西姆松定理）
应用11(可证1西姆松定理）
C2
,直线
BC与B1C1
的交点为
A2
,直线
AC与A C 的交点为 B ,试证: A 、B 、C 三点共线. 应用1(可证西姆松定理）
应用1(可证西姆松定理）
应用1(可证西姆松定理） 应用1(可证西姆松定理）
A1，B1
,
C
2
),
OBC
和(
B1
,
C1
,
A2
),
OAC和( A ,C 应用1(可证西姆松定理）
应用1(可证西姆松定理1 ） 1
,
B2
)
应用梅涅劳斯定
理有:
应用1(可证西姆松定理）
应用1(可证西姆松定理）
AA OB BC 应用1(可1 证西姆松1定理） 2
平面几何的几个重要的定理
西姆松定理及其逆定理: 若从△ABC 外接圆上一点作 BC、AB、AC 的垂线，
垂足分别为 D、E、F ，则 D、E、F 三点共线. 反过来也成立.
这条直线叫西姆松线.
练习 1.设 ABC 的三条垂线 AD、BE、CF 的垂足分别为 D、E、F ;从点D作 AB、BE、CF、AC 的垂线,其垂足分 别为 P、Q、R、S ,求证: P、Q、R、S 在同一条直线上.
平面几何的几个重要的定理
塞瓦定理：
设 P、Q、R 分 别 是 ABC的BC、CA、AB 边 上 的 点 , 则
AP、BQ、CR 三线共点的充要条件是:
BP PC
CQ QA
AR RB
1.
A
R M
Q
B
PC
应用
西姆松
定理
西姆松定理应用
练习 1.证明:三角形的三条中线交于一点. 练习 2.证明:三角形的三条角平分线交于一点. 练习 3.证明:锐角三角形的三条高交于一点.
AB BE AB CD AC BE又 AB AE
AC CD
AC AD
且BAC EAD ABC和AED相似
BC ED AD BC AC ED AC AD
AB CD AD BC AC (BE ED)
AB CD AD BC ≥ AC BD
且等号当且仅当 E 在 BD 上时成立,即当且仅当四
1,
OC1 BB1 CA2
1,
OA BB AC 应用1(可证西姆松定理）
应用1(可1 证西姆松1定理） 2
CC1 OB1 BA2
应用1(可证西姆松定理）
OA CC AB 应应用用11((可可证证1 西西姆姆松松定定理理1 ））
2
1,将上面的三条式子
AA OC CB 应用1(可证西姆松定理）
边形 ABCD 内接于圆时,等号成立.
练习 1.如图 2，P 是正△ABC 外接圆的劣弧BC 上
任一点(不与 B、C 重合),求证:PA=PB＋PC．
练习 2.（第 21 届全苏数学竞赛） 已知正七边形 A1A2A3A4A5A6A7 , 求证： 1 1 1 .
A1 A2 A1 A3 A1 A4
应用1(可证1 西姆松定理1 ）
2
应用1(可证西姆松定理）
BC AB CA 应用1(可证西姆松定理） 2
2
2
相乘可得 1 应用梅涅 应用1(可证西姆松定理）
AC CB BA 应用1(可证西姆松定理）
应用1(可证西姆松定理）
2
2
2
应劳用1斯(可证定西姆理松定可理）知 A2 , B2 , C2 共线.