计及发电机运行极限的电压稳定临界点计算

计及发电机运行极限的电压稳定临界点计算
颜廷鑫;刘光晔;谢冬冬
【摘要】为解决潮流雅可比矩阵在电压稳定临界点的奇异问题,在传统连续潮流PV-PQ转换逻辑的基础上,计及发电机定转子电流约束来表达发电机的无功动态特性.基于电力系统非线性等值泰勒级数,建立了计及发电机定转子电流约束的节点电压和负荷电流的非线性等值模型.在负荷功率因数任意变化的情形下,将节点电压和负荷电流展开为节点电压模的泰勒级数,能够较大范围地直接计算系统极限潮流和临界电压,加快了计算速度,同时也更加接近电力系统实际运行状态.IEEE典型系统的仿真结果,证明了所建模型的正确性和快速性.%In order to solve the singular problem of Jacobi matrix at the voltage stability critical point,the reactive pow-er dynamic characteristics of generator is expressed considering the stator and rotor current limits on the basis of the tra-ditional PV-PQ transformation logic. Based on the nonlinear equivalent Taylor series of power system,a nonlinear equivalent model of node voltage and load current is set up considering the stator and rotor current limits.Under any changes of load power factor,the node voltage and load current are expanded as the Taylor series of node voltage mode. The proposed method can directly calculate the limit power flows and critical voltages,and accelerate the calculation speed. Moreover,the actual operation state of power system can also be approximated more closely.The accuracy and quickness of the established model are proved by the simulation result of an typical IEEE system .
【期刊名称】《电力系统及其自动化学报》
【年(卷),期】2017(029)008
【总页数】7页(P119-125)
【关键词】电力系统;连续潮流;转子电流限制;定子电流限制;非线性等值;电压稳定【作者】颜廷鑫;刘光晔;谢冬冬
【作者单位】湖南大学电气与信息工程学院,长沙 410082;湖南大学电气与信息工
程学院,长沙 410082;湖南大学电气与信息工程学院,长沙 410082
【正文语种】中文
【中图分类】TM73
随着电网负荷强度的不断提高及规模的迅速扩大，电力系统经常运行在电压稳定边缘。

如何更贴近电网实际运行状态，准确地预测评估系统极限潮流和电压稳定临界点成为众多学者研究的热点。

连续潮流算法是近十几年来逐渐发展成熟的电力系统静态稳定分析方法。

传统连续潮流算法[1-3]中，计及发电机无功约束的PV-PQ双向转换技术[4]，把发电机视
为PV节点，将其无功输出的上下限设为恒定值，用无功出力最大值Qmax或最
小值Qmin表征发电机无功动态特性。

然而有学者提出，在发电机无功越限后，
不应采用恒定无功模型，而应考虑发电机安全运行极限[5-7]的约束，采用依从于
电压的无功注入模型更贴近电力系统实际运行状态。

连续潮流算法通过增加一个一维方程来解决潮流在电压临界点的奇异性问题[8-9]。

文献[10]在上述思想的基础上提出应用非线性等值原理解析计算电压稳定临界点，建立节点电压和负荷电流的泰勒级数非线性等值模型，在较大范围内直接计算负荷
极限功率和电压。

然而该文并未考虑发电机转子电流或者定子电流受约束的情形，计算出来的电压稳定临界点过于乐观，且负荷功率因数任意变化时，将节点电压和负荷电流展开为分散的负荷等值阻抗模的泰勒级数也不适用。

因此，本文在文献[10]的基础上，充分考虑发电机定子电流和转子电流约束的情形，对潮流计算的雅可比矩阵部分元素进行修正。

将电力系统非线性等值模型泰勒级数的参变量选为电压模Ui，适用于负荷功率因数任意变化的情形。

从而在计及发电
机转子电流或定子电流约束的情形下，建立了用泰勒级数表达的节点电压和负荷电流的非线性等值模型。

应用非线性等值模型，并结合电力系统极限功率传输判据[11]，可以在较大范围内直接计算电力系统极限潮流和电压稳定临界电压，得出的结果更符合系统实际运行状态。

发电机组在运行时会受到一定约束条件的限制，例如系统静态稳定极限、原动机功率、定子绕组温升及励磁绕组温升等。

所有这些约束条件均决定了发电机组的有功、无功功率也会有一定限额。

同步发电机的安全运行极限[7]如图1所示。

图1中，纵、横坐标分别表示发电机组的有功功率、无功功率；曲线1表示受转
子电流约束时的曲线，即以AC为半径、A为圆心的圆弧，AC的长度表示空载电
动势Eq；曲线2表示受定子电流约束时的曲线，以OC为半径、O为圆心的圆弧，C为额定运行点，OC的长度即为发电机的视在功率大小；曲线3表示受原动机出力限制的曲线。

图1表明，只有当发电机在额定电压、电流和功率因数运行时才
能使其容量充分利用。

当改变功率运行点时，发电机发出的有功功率和无功功率将受到定子电流、转子电流和原动机出力的限制[12]。

分析图1可得以下结论。

（1）发电机组的运行极限体现在图1中曲线段OB、BC、CF、FD、DO所包围的面积。

发电机组发出的有功和无功功率在这一面积内时，发电机组才能保证安全稳定运行。

（2）发电机组的无功输出能力受有功出力影响明显，传统潮流计算采用恒定无功
极限模型误差较大。

（3）发电机组有功出力能力的提高伴随着系统无功出力的下降，这样会明显降低系统的电压稳定裕度。

（4）发电机轻载时，曲线1即转子电流限制起主要作用。

随着有功出力的增加，一旦达到点C，即额定运行点，定子电流约束将起主要作用，且该趋势不会逆转。

连续潮流算法的参数化是区别于常规潮流算法的核心，局部参数化后的负荷及发电机功率为
式中：PLi0、QLi0和Pgi0分别为节点i的负荷初始有功、无功功率和发电机初始有功功率；kpi、kqi和kgi分别为节点i的负荷有功、无功和发电机有功增长系数；λ为功率负荷因数。

加入负荷参数后的连续潮流方程为
式中：D为负荷及发电机增长向量；F(x)为原潮流方程；上标j表示待求点；xk为被选参数的状态变量；Δs为计算步长。

不失一般性，本文所有公式采用凸极机推导，隐极机可看做是凸极发电机直轴电抗xd等于交轴电抗xq的特例。

忽略电枢绕组铜耗处理后，凸极机的有功与无功功
率为
式中：Pg、Qg为发电机的有功、无功出力；δ为功角；xd和xq分别为发电机直轴电抗和交轴电抗；U为机端电压；Eq为空载电动势，一般是由转子励磁电流确定。

存在的关系为
式中：Eqmax为正常运行时空载电动势的最大值；w0为同步角速度；Lad为直
轴与励磁绕组互感；Ilimfd 为转子电流上限。

在标幺值下，有
当转子电流运行在约束值内时，空载电动势也在允许的范围内。

而当转子电流运行于约束值时，空载电动势也处于最大值，即Eq=Eqmax。

因此，可以将发电机转
子电流约束条件的观测值指标转换为空载电动势。

结合式（3）和式（4）可以看
出，当发电机达到转子电流的最大约束值时，Eq为定值，无功功率会随着电压的变化而变化。

所以，不能简单地将不满足约束条件的PV节点转换为PQ节点，考虑转子电流约束是必须的。

发电机空载电动势表示为
式中：则不满足转子电流约束时无功随着电压变化为
为防止发电机定子电流过热，一些发电机上安装了定子电流限制器来限制电枢绕组过电流[14]。

它通过调节转子电流大小来降低空载电动势，减小发电机无功出力，使定子电流维持恒定。

容量计算公式为
式中，Iamax为发电机定子电流最大值。

在定子电流约束下，发电机无功出力极限为
式（7）和式（9）分别是考虑发电机转子电流和定子电流约束时的无功出力，可知无功出力Qg是机端电压U和功角δ的函数。

由式（3）可见，功角δ与有功功率Pg有关，而有功Pg又可以表示为含有功率负荷因数λ的函数。

则有
原雅可比矩阵中，需要对∂Qgi∂Ui和∂Qgi∂λ进行相应的修改。

具体修正方法，可参照文献[5，15]，此处不再赘述。

由文献[15]节点类型双向转换逻辑可知，当PV节点的电流模（电压模）一旦越过该节点定子电流上限（空载电动势上限）时，PV节点就会转换为PIamax（P-Eqmax）节点处理。

因此，可以构造预测PVPIamax和PV-PEqmax节点转换的预测方程分别为
式中：Iiamax和Eiqmax分别为节点i的定子电流上限和空载电动势上限；Iia和Eiq为节点i的定子电流和空载电动势，可分别通过式（9）和式（6）求得。

可通过α(λ) 和β(λ)的符号判断：当α(λ)>0时，PV节点定子电流满足约束条件；当α(λ)<0时，不满足定子电流约束条件；α(λ)=0则恰是PV-PIamax转换的关键
位置，由此方法可预测节点定子电流受约束的关键位置。

β(λ)判断方法类似。

特别需要说明的是，本文仅研究电压稳定崩溃点的计算。

对于PV节点恰好定子电流越限、恰好转子电流越限、恰好无功功率越限、PQ节点恰好电压越限这4种情形，因为潮流雅可比矩阵非奇异，不能应用极限判据[10]。

在连续潮流计算中，当接近电压稳定临界点时，潮流雅可比矩阵趋于奇异，潮流计算收敛速度慢，预测-校正过程计算量大。

潮流雅可比矩阵奇异与非线性综合动态等值电路负荷功率取极大值的必要条件是等价的，可以将电压稳定临界点的求取转化为综合动态等值电路极限功率的求取。

为了准确计算电力系统综合动态等值电路的极大传输功率，必须研究具有良好收敛性的泰勒级数，在较大范围内拟合该综合动态等值电路的非线性特性。

潮流方程是简单二次型方程，可以对注入系统负荷功率因数λ高阶求导。

求取电
压稳定临界点时，将系统功率参变量置换成节点电压模，把节点电压和负荷电流展开为电压模的泰勒级数。

结合电力系统极限传输功率判据[11]，可求得系统极限潮流和电压稳定临界点，加快了电压稳定域边界的计算速度。

直角坐标下，计及发电机安全运行极限时电力系统的潮流方程可表示为
式中：为平衡节点电压；
为表述发电机电流约束对潮流雅可比矩阵的具体影响，连续潮流方程表述为
式中：ΔPi、ΔQi分别为有功、无功功率不平衡量；Pis、Qis为节点i的注入功率；Pi、Qi为由节点电压求得的节点i注入功率。

设注入系统功率因数为λ，则注入节点功率为
由以上分析可知，考虑发电机电流约束条件时，注入无功功率Qis既与功率因数λ相关，也与节点电压U̇相关。

原PV节点的潮流方程要发生变化，修正方程中必须添加一行与i号发电机无功功率相关的平衡方程，此时功率平衡约束方程中须将与电压相关的分量移到等式右边。

经过移项后，方程左边的PQ节点注入功率相当
于仅含功率因数λ。

式（15）中初始值分别为λ=λ0及U=U0，式（13）对λ求1阶导数，则有
用雅可比矩阵表示为
式中：J为初始状态潮流计算收敛的雅可比矩阵，J=dFdU；J′为考虑发电机电流约束时修正后的广义雅可比矩阵；ΔJ表示受到发电机电流限制时雅可比矩阵的修正量。

继续对λ求2阶、3阶导数得
负荷为恒功率模型时，J′中各元素都与电压是线性相关的。

需将电压的导数dU/dλ与d2U/dλ2分别替换雅可比矩阵J′中的U0，就得到雅可比矩阵的1～2阶导数dJ′/dλ与d2J′/dλ2。

当系统发生变化时，雅可比矩阵进行自动修正，计算速度较快。

由式（17）和式（18）解得
计算式（19），只需用到在潮流计算时已经保存的雅可比矩阵分解因子表，迭代
次数少，可以很快收敛。

对PQ节点，有
式中，̇和̇分别为节点复功率和节点电压的共轭。

该式对负荷功率因子λ求1～3阶导数，其节点电压和负荷电流泰勒级数3阶导数分别为
可得
式中：分别为节点注入功率和节点电压的共轭；İ̇i为节点注入电流。

为了将系统功率参变量置换成节点电压模，对任意节点i，有
式（23）对λ求1～3阶导数可得
则根据复合函数求导的链式法则，结合式（19）和式（24）可得
结合式（22）和式（24），可得
在系统初始状态时，将节点电压和负荷电流分别展开为关于电压模U的泰勒级数，
即
式中，̇i0为初始状态节点i的电压。

采用节点电压模时，为简化计算用3阶泰勒级数计算极限功率和临界电压，一般能够满足计算速度和精度要求。

特别说明：文献[10]证明了在电力系统运行变化过程中，负荷静态等值阻抗模、负荷电压模均能唯一确定系统的运行状态，都适合于作为系统非线性等值泰勒级数的参变量。

以负荷阻抗模为参变量时，须使负荷的功率因数保持不变，实际负荷很难满足此条件。

本文以负荷电压模为参变量，适用于负荷功率因数任意变化的情形，且计算速度较快，具有明显的优势。

潮流计算中，发电机和负荷均采用注入功率模型，节点电压与功率因子λ密切相关，其他网络参数在潮流计算中不予考虑。

故本节所建立的系统非线性泰勒等值模型具有合理性。

式（27）对电压模求导可得
根据复合函数求导的链式法则，以电压模为参变量时，系统综合动态等值阻抗[11]为
根据式（27）可知负荷的静态等值阻抗为
根据电力系统极限传输功率判据[11]，令
式（31）是一个关于电压模Ui的方程，仅有一个Ui可使该方程成立。

逼近临界值迭代格式为
迭代格式的初始值为，可得到临界状态的Ui，进而可以求临界状态下的节点电压U̇icr和节点电流İ̇icr。

则负荷的极限功率可表示为
式中：Simax为负荷的极限功率；为临界状态下的节点电压；为临界状态下节点电流的共轭。

至此，考虑发电机安全运行极限约束时，应用非线性泰勒等值原理，建立了节点电压和负荷电流的非线性泰勒等值模型，最后通过迭代方式求得临界状态的极限潮流
和临界电压。

本文以IEEE典型系统为例，计算考虑发电机安全运行约束时的极限潮流和临界电压。

节点i的注入功率控制方程如下。

对于PQ节点有
式中：Pi0和Qi0为初始状态下的有功和无功功率；Qgi为定转子电流越限时发电机的无功出力；Qic为PV节点发出的无功功率；Qicmin和Qicmax为i号PV节点维持电压恒定的无功功率上限和下限。

以IEEE14节点系统为例，利用本文所建立的非线性泰勒等值模型，可以大大减少连续潮流在靠近电压稳定鞍结分岔点处的预测-校正次数。

取初始点λ0=1.70，预测计算负荷节点的极限潮流和临界电压如表1和图2所示。

表1中λmax0为未考虑发电机定转子电流约束，只考虑发电机无功上限恒定时的极限潮流；λmax1为文献[10]应用非线性等值原理解析计算的极限潮流；λmax2为本文考虑发电机定转子电流约束应用非线性等值原理解析计算的极限潮流；
Δλmax01=(λmax1-λmax0)λmax0，Δλmax02类似。

图2中临界电压各符号的意义以此类推。

分析表1和图2可知：未考虑发电机安全运行约束时的极限功率预测误差
Δλmax01≤0.61%，电压临界值预测误差ΔUcr01≤3.0%，说明非线性等值方法能够快速计算电压稳定临界点，精确度高。

充分考虑发电机定转子电流约束后，在功率因数任意变动的情形下，得到的极限功率和临界电压都比λmax0和Ucr0小，说明此时系统会更早地到达临界状态。

与只考虑发电机无功功率上限恒定时相比，Δλmax02≤0.55%，ΔUcr02≤6.31%，考虑发电机定转子电流约束的预测值更贴近电力系统实际运行情况。

为研究发电机转子电流和定子电流的约束强弱关系，在第1.4节的基础上，
IEEE39系统中节点34发电机在约束条件下的仿真数据如表3所示。

分析表3可知：在负荷功率因数较小时，没有发生任何越限，此时PV节点的电压可维持恒定。

当负荷功率因数λ增加到一定值时，该节点转子电流首先不满足约
束条件，发生PV-PEq转换。

当λ=3.080时，该节点为PEq节点，此时电压越限。

当负荷功率因数λ增加到3.430时，空载电动势Eq和定子电流Ia同时不满足约
束条件。

此时通过分别计算转子电流和定子电流越限时的无功功率，确定转子电流越限时的无功功率Qg小一些，故最终确定为转子电流越限。

继续增大负荷功率因数，发电机运行在重载情况下，此时发生PV-PIa转换。

结合图1，整体分析表3可发现：随着负荷功率因数λ的增加，无功功率Qg逐渐减小，发电机有功输出的增加是以牺牲无功储备为代价的。

发电机轻载时，发电机首先发生转子电流越限，说明此时转子电流约束强于定子电流约束。

一旦发电机的有功输出超过额定有功功率，定子电流约束强于转子电流约束，起主要限制作用。

传统潮流计算中，发电机节点采用无功上限模型，对发电机的无功支持能力评估过于乐观。

本文充分考虑发电机转子电流和定子电流约束，对潮流计算的雅可比矩阵进行修正。

以此为基础，考虑负荷功率因数任意变化的情形，运用非线性等值原理，建立了节点电压和负荷电流的非线性泰勒等值模型。

结合电力系统极限功率传输判据，在IEEE14和IEEE39节点典型系统的仿真计算表明：该模型能够在较大范围
内直接解析计算系统的极限潮流和临界电压，且更贴近电力系统实际运行状态，验证了该模型的有效性和快速性。

颜廷鑫（1990—），男，硕士研究生，研究方向为电力系统电压稳定性。

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