高三数学矩阵行列式试题

高三数学矩阵行列式试题
1.（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换已知矩阵的逆矩阵.
（I）求矩阵；
（II）求矩阵的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.
【答案】（I）参考解析;（II）参考解析
【解析】（I）由于,所以矩阵的逆矩阵及矩阵A,可根据逆矩阵的公式求得矩阵A.
（II）求矩阵的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量,由矩阵的特征多项式为
.即可得到两个特征值,再根据特征值与特征向量间的关系
即可得到结论.
试题解析：（I）因为矩阵A是矩阵的逆矩阵,且,所以
.
（II）矩阵的特征多项式为,令,得矩阵的特征值为或,所以是矩阵的属于特征值的一个特征向量. 是矩阵
的属于特征值的一个特征向量.
【考点】1.逆矩阵.2.特征至于特征向量.
2.已知矩阵A＝，向量β＝.求向量α，使得A2α＝β.
【答案】
【解析】A2＝＝.
设α＝，由A2α＝β，得＝，
从而解得所以α＝.
3.对于任意一个非零实数，它的倒数的倒数是它的本身．也就是说，连续施行两次倒数变换后又回到施行变换前的对象，我们把这样的变换称为回归变换．在中学数学范围内写出这样的变换（写对一个变换给2分，最多得4分）．
【答案】相反数的相反数是它本身，集合A的补集的补集是它本身，一个复数的共轭的共轭是它本身，等等.
【解析】一个非零向量的反向量的反向量是它本身；一个命题的否命题的否命题是它本身；
一个函数的反函数的反函数是它本身。

4.选修4—2：矩阵与变换
【答案】解：设是直线上任一点，点在矩阵对应的变换作用下变为
则
所以
因为点在直线：上，所以，
将代入上式得：
即：
因为点在直线：上，
所以
所以，和表示同一条直线。

所以，，得：
【解析】略
5.如图，矩形和平行四边形的部分顶点坐标为：
．
（1）求将矩形变为平行四边形的线性变换对应的矩阵；
（2）矩阵是否存在特征值？若存在，求出矩阵的所有特征值及其对应的一个特征向量；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）不存在
【解析】(1)矩阵，是线性代数中的基本概念之一,一个的矩阵就是个数排成行列的一个数阵．由于它把许多数据紧凑的集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型．矩阵乘法看起来很奇怪，但实际上非常有用，应用也十分广泛，，掌握相乘
，列方程组求得；
（2）先根据特征值的定义列出特征多项式，令解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．
试题解析：（1）解：设，依题意得
依题意得 2分
即，所以
所以 4分
（2）因为矩阵的特征方程无解， 6分
所以矩阵没有特征值也没有特征向量 7分
【考点】1、矩阵的乘法；2、特征矩阵和特征值．
6.设△的内角,,所对的边长分别为,,，若，则角_________.【答案】
【解析】由，得，即，
则，又,.
【考点】行列式、余弦定理.
7.定义行列式运算：.若将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，向左平移个单位后得到函数，由于是奇函数，因此，得，
当时，的最小值是，故答案为A.
【考点】1、三角函数的化简；2、奇函数的应用.
8.（选修４－２：矩阵与变换）已知矩阵，其中均为实数，若点在矩阵的变
换作用下得到点，求矩阵的特征值.
【答案】
【解析】利用待定系数法由矩阵变换得，再根据特征多项式求特征值
试题解析：由条件可知，所以，
则．
矩阵的特征多项式为
令,得两个特征值分别为．
【考点】矩阵变换，矩阵特征值
9.（选修4-2：矩阵与变换）
若点在矩阵对应变换的作用下得到点，求矩阵的逆矩阵．
【答案】
【解析】先由矩阵对应关系求出，再根据逆矩阵公式求逆矩阵
试题解析：，即，解得，，
解法一：，.
解法二:设，由，得
解得．
【考点】逆矩阵
10.（本小题满分14分）已知线性变换是按逆时针方向旋转的旋转变换，其对应的矩阵为
，线性变换：对应的矩阵为．
（Ⅰ）写出矩阵、；
（Ⅱ）若直线在矩阵对应的变换作用下得到方程为的直线，求直线的方程．
【答案】（1）（Ⅰ），．（Ⅱ）．
【解析】（1）（Ⅰ），．（Ⅱ）由于, 进一步
由得, 根据即得．
试题解析：（1）（Ⅰ）， 2分
． 3分
（Ⅱ）, 4分
由得, 5分
由题意得得，所以直线的方程为． 7分
【考点】矩阵与变换．
11.变换T
1是逆时针旋转角的旋转变换，对应的变换矩阵是M
1
；变换T
2
对应的变换矩阵是M
2
＝．
（1）点P(2，1)经过变换T
1
得到点P'，求P'的坐标；
（2）求曲线y＝x2先经过变换T
1，再经过变换T
2
所得曲线的方程.
【答案】（1）P'(-1,2).（2）y－x＝y2.
【解析】（1）先写出旋转矩阵M
1
＝，再利用矩阵运算得到点P'的坐标是P'(-1,2).（2）先
按序确定矩阵变换M＝M
2M
1
＝，再根据相关点法求曲线方程：即先求出对应点之间关系，
再代入已知曲线方程，化简得y－x＝y2. 试题解析：解：(1)M
1
＝，
M
1＝．所以点P(2,1)在T
1
作用下的点P'的坐标是P'(-1,2).
(2)M＝M
2M
1
＝，
设是变换后图象上任一点,与之对应的变换前的点是,
则M＝,也就是即
所以,所求曲线的方程是y－x＝y2.
【考点】旋转矩阵，矩阵变换
12.已知曲线C：x2＋2xy＋2y2＝1，矩阵A＝所对应的变换T把曲线C变成曲线C
，求曲
1的方程．
线C
1
【答案】x2＋y2＝2
【解析】由矩阵变换得相关点坐标关系x＝y′，y＝，再代入已知曲线C方程，得x2＋y2＝2．试题解析：解：设曲线C上的任意一点P(x，y)，P在矩阵A＝对应的变换下得到点Q(x′，y′)．
则，即x＋2y＝x′，x＝y′，
所以x＝y′，y＝．
代入x2＋2xy＋2y2＝1，得y′2＋2y′＋2()2＝1，即x′2＋y′2＝2，
的方程为x2＋y2＝2．
所以曲线C
1
【考点】矩阵变换，相关点法求轨迹方程
13.已知矩阵的一个特征值所对应的一个特征向量，求矩阵的逆矩阵．【答案】．
【解析】运用矩阵的运算法则及特征向量的概念求解即可．
试题解析：解：由题意：，∴，
，
∴，∴
【考点】1、矩阵及逆矩阵的概念及求解方法；2、矩阵的特征向量及有关概念和求解方法．
14.设，，试求曲线在矩阵变换下得到的曲线方程．
【答案】
【解析】先借助已知条件求出矩阵，再用矩阵变换求解即可获解.
试题解析：，
设是曲线上的任意一点，在矩阵变换下对应的点为，
则，
所以，，且，，
代入，得，即．
即曲线在矩阵变换下的曲线方程为．
【考点】矩阵的乘法运算及变换的运用.
15. B.选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵的一个特征值及对应的特征向量.
求矩阵的逆矩阵.
【答案】
【解析】由特征值及特征向量定义得，解得，，再根据逆矩阵公式求逆矩阵.
试题解析：B.解：由题知，
，，.
，
.
16.（选修４－２：矩阵与变换）在平面直角坐标系xOy中，直线在矩阵A＝对应的变换作用下得到的直线仍为，求矩阵A的逆矩阵．
【答案】.
【解析】利用题意列方程组可得矩阵A的逆矩阵.
试题解析：
设P是直线上任意一点，其在矩阵A＝对应的变换下
得到=仍在直线上，
所以得，
与比较得，解得，故A＝，
求得逆矩阵．
17.选修4－2：矩阵与变换
已知矩阵，A的逆矩阵，求A的特征值．
【答案】的特征值为3和1
【解析】
利用题意得到特征多项式，据此即可求得相应的特征值为3和1
试题解析：
则解之得
的特征多项式
令，解之得
的特征值为3和1
18.运用旋转矩阵,求直线2x+y-1=0绕原点逆时针旋转45°后所得的直线方程.【答案】x+y-1=0
【解析】旋转矩阵=.
直线2x+y-1=0上任意一点(x
0,y
)旋转变换后为(x'
,y'
),得=,
∴
即
直线2x+y-1=0绕原点逆时针旋转45°后所得的直线方程是x+y-x+y-1=0,即x+y-1=0. 19.2×2矩阵M对应的变换将点(1,-1)与(-2,1)分别变换成点(-1,-1)与(0,-2).
(1)求矩阵M.
(2)设直线l在矩阵M对应的变换作用下得到了直线m:x-y=4.求直线l的方程.
【答案】(1) (2) x+y+2=0
【解析】(1)设M=,
则有=,
=,
所以且
解得所以M=.
(2)设直线l上一点为(x,y)在矩阵M对应的变换作用下变为(x',y'),
因为==且直线m:x'-y'=4,所以(x+2y)-(3x+4y)=4,
即x+y+2=0为直线l的方程.
20.[选修4-2：矩阵与变换]已知：点在变换：作用后，再绕原点逆时针转90°，
得到点，若点的坐标为（-3,4），求点的坐标.
【答案】.
【解析】在变换作用后，再绕原点逆时针旋转90°后对应的矩阵为：
，设，求A点在此矩阵的作用下变换后的点，代入已知条件即
可求得所求点A的坐标．
试题解析：
根据题意知，在变换作用后，再绕原点逆时针旋转90°后对应的矩阵为：
，设，则由，得，∴，即.。