最速降线方程的推导

寻找一种平面曲线，若按这种曲线的形状做成光滑的轨道，那么从轨道上不同位置处同时静止释放的小球，会同时下滑到轨道底部，如图所示。

A 、
B 、
C 同时静止释放，同时下滑到最低点O 。

分析：由于简谐运动的周期与振幅无关，因此，只要物体沿着轨道的方向上做简谐运动，即可使不同位置同时静止释放的小球同时到达平衡位置Ｏ。

这里所述的简谐运动，并不是严格意义上的简谐运动，因为运动不在同一直线上，而是沿着轨道表面。

设曲线方程为，且最低点位于y 轴上。

那么当质量为m 的物体运动到曲线上的点（x ，ｆ（ｘ））时，所受下滑力
F = -mg·sin θ
其中
是（x ，ｆ（ｘ））处的切线的倾角。

由于所以
物体从点（x ，
ｆ（ｘ））下滑到最低点（０，ｆ（０））所要走过的路程这里的路程相当于简谐运动的位移。

．．．．．．①
．．．．．．②
简谐运动的回复力Ｆ与位移Ｓ之间满足Ｆ　＝　－ｋＳ
（ｋ　＞　０）
将①、②代入上式得
设
∈[0,1)z （），则，上式化为
等号两边对x 求导得
β
β
y=f(x)
即
等号两边积分得为了去掉上式等号右边的反正弦和根号，设 z = sin α，α∈（0，π/2），得到
由于当x=0时，回复力
所以当x=0时，z=0。

将x = 0，z = 0代入③得，
C = 0
所以
．．．．．．③
令θ
＝２α，代入上式得由
若能求出y 与 θ
的关系ｙ＝ｙ（θ），便能得到曲线的参数方程上式为ｘ与θ的关系，⎩⎨⎧y x =x(θ)=y(θ)可知。

根据复合函数求导法则：．．．．．．④
由④得．．．．．．⑤．．．．．．⑥
⑥代入⑤得
上式等号两边积分得
若曲线经过原点，则积分常数，此时。

所以所求曲线的参数方程为
θ
，∈[0,π/2]。

利用曲线的参数方程不难看出所求曲线是摆线的一段。