云南省玉溪第一中学高二数学上学期期中试卷 理(含解析)

1
2018—2019学年云南省玉溪第一中学高
二上学期期中考试数学（理）试题
注意事项:
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、单选题 1．已知集合M={x ｜2
x
1｝，N=｛x|﹣2x 2｝，则
R
M)∩N= A ．[﹣2，1] B ．［0，2］ C ．（0，2] D ．[﹣2，2]
2．“x
2”是“x 2
+x ﹣6
0"的
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知a=log 20.3，b=20。

3
,c=0。

32
，则a ，b ，c 三者的大小
关系是
A ．b
c
a B ．b
a c C ．a
b
c D ．c b a
4．路公共汽车每分钟发车一次，小明到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过两分钟的概率是
A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知高一（1）班有48名学生,班主任将学生随机编号为01，02，……，48，用系统抽样方法,从中抽8人，若05号被抽到了,则下列编号的学生被抽到的是
A ．16
B ．22
C ．29
D ．33
6．直线2x +3y –9=0与直线6x +my +12=0平行，则两直线间的距离为
A ．
B ．
C ．21
D ．13
7．某几何体的三视图如图所示，图中每一个小方格均为正方形，且边长为1，则该几何体的体积为
只
装
订
不密封
准考证号 考场号 座位号
A ．
B ．
C ．
D ．
8．在中，，，则
A ．
B ．
C ．
D ．
9．已知m,n R，且m﹣2n+6=0，则的最小值为
A ． B．4 C ． D．3
10．已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是
A．求首项为1,公差为2的等差数列前2017项和
B．求首项为1，公差为2的等差数列前2018项和
C．求首项为1，公差为4的等差数列前1009项和
D．求首项为1，公差为4的等差数列前1010项和
11．已知四棱锥的顶点都在球O的球面上，底面ABCD
是边长为2的正方形，且面ABCD，若四棱锥的体积为，则该球的体积为
A ．
B ．
C ．
D ．
12．定义在R上的函数f（x)满足:f（x—2）的对称轴为x=2，
f（x+1）=（f（x)≠0）,且f(x）在区间(1，2）上单调递增，已知α，β是钝角三角形中的两锐角，则f(sinα）和f（cosβ）的大小关系是
A ．
B ．
C ． D．以上情况均有可能
二、填空题
13．在等比数列{a n ｝中，已知=8，则=__________
14．已知变量x,y 满足约束条件，则目标函数
z=2x-y的最大值是________
15．将函数f(x）=sin （2x)的图象向左平移个长度单位，得到函数g（x)的图象,则函数g（x）的单调递减区间是__________
2
16．由直线x+2y﹣7=0上一点P引圆x2+y2﹣2x+4y+2=0的一条切线,切点为A，则｜PA｜的最小值为__________
三、解答题
17．已知△ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b,c，
2acosC=bcosC+ccosB．
（1）求角C的大小；
（2）若c =，a2+b2=10，求△ABC的面积．
18．对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
分组频数频率
[10,15）100。

25
［15，20)25n
［20,25)m p
[25，30）20。

05
合计M1
（1）求出表中M，p及图中a的值；
(2）若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[15，20）内的人数；
(3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，请列举出所有基本事件，并求至多1人参加社区服务次数在区间[20,25)内的概率．
19．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AD=AA1=AB=1,点E在棱AB上移动．
（1）证明: B1C⊥平面D1EA；
3
（2）若BE =，求二面角D1﹣EC﹣D的大小．
20．设数列｛a n｝的前n项和S n满足：S n=na n﹣2n（n﹣1），
首项=1．
（1）求数列{a n｝的通项公式；
(2）设数列的前n项和为M n ，求证：M n ．
21．已知圆C经过原点O（0，0)且与直线y=2x﹣8相切于点
P(4，0）．
(1）求圆C的方程；
（2）已知直线l经过点（4, 5)，且与圆C相交于M，N两点,
若｜MN|=2，求出直线l的方程．
22．已知函数(k R），且满足f（﹣
1）=f（1）．
(1）求k的值;
(2）若函数y=f(x ）的图象与直线没有交点，求a
的取值范围；
（3）若函数,x［0，log23]，
是否存在实数m使得h（x）最小值为0，若存在，求出m的值；
若不存在,请说明理由．
4
2018—2019学年云南省玉溪第一中学
高二上学期期中考试数学（理)试题
数学答案
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
先解指数不等式得集合M，再根据补集以及交集定义求结果。

【详解】
M=｛x|2x1｝，所以R M ,R M）∩N=(0，2] ,选C。

【点睛】
本题考查指数不等式、集合补集与交集定义，考查基本求解能力,属基础题.
2．B
【解析】
【分析】
解出不等式“x2+x﹣60”的范围，再根据必要条件和充分条件的定义判断。

【详解】
由x2+x﹣60解得x2或x〈—3,
故“x2”是“x2+x﹣60”的充分而不必要条件，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查必要条件和充分条件的定义，及必要条件,充分条件的判断，属于基础题.
3．A
【解析】
故选:A．
点睛：本题考查三个数的大小的比较，则基础题，解题时要认真审题,注意对数函数、指数函数的单调性的合理运用．4．A
【解析】分析：根据已知中某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过，我们可以计算出两辆车间隔的时间对应的几何量长度为5，然后再计算出乘客候车时间不超过2分钟的几何量的长度,然后代入几何概型公式,即可得到答案
详解：：∵公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过
当乘客在上一辆车开走后3分钟内到达候车时间会超过2分钟
∴乘客候车时间不超过2分钟的概率为．
故选A .
点睛:本题考查的知识点是几何概型,其中计算出所有事件和满足条件的事件对应的几何量的值是解答此类问题的关键5．C
【解析】
【分析】
根据系统抽样的定义求出样本间隔即可。

【详解】
样本间隔为48÷18=6，则抽到的号码为5+6（k﹣1)=6k﹣1，当k=2时，号码为11，
当k=3时，号码为17,
当k=4时,号码为23，
当k=5时，号码为29，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于简单题．
6．B
【解析】
分析：先根据两直线平行，算出m的值，然后利用两平行直线间距离公式进行计算
详解:∵与平行，
∴，
∴m=9.
将直线化为2x+3y+4=0，
故其距离。

故选B.
点晴:两直线平行于垂直的关系需要求掌握，另外在两平行直线间距离公式的运算过程中首先确保相应的x和y的系数需相等”
7．B
【解析】几何体为半个圆锥与半个圆柱的组合体，如图，体积为选B。

8．C
【解析】
【分析】
利用平面向量基本定理分析求解即可.
【详解】
由已知可得点是靠近点的三等分点,又点是的中点.
故选
【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用,属基础题.
9．A
【解析】
【分析】
根据基本不等式求最小值。

【详解】
，当且仅当时取等号，所以选A.
【点睛】
本题考查基本不等式求最值,考查基本分析求解能力,属基础题.
10．C
【解析】
由题意可知，为求首项为1，公差为4的等差数列的前1009项和。

故选C.
点睛：算法与流程图的考查,侧重于对流程图循环结构的考查。

先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律,明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
11．B
【解析】
【分析】
把四棱锥P—ABCD扩展为长方体，则长方体的对角线的长是外接球的直径，求出外接球的半径R，再计算外接球的体积．【详解】
四棱锥扩展为长方体，则长方体的对角线的长是外接球的直径，
由四棱锥的体积为,解得；
，解得；
∴外接球的体积为．故选：B．
【点睛】
本题考查了四棱锥的结构特征与其外接球的应用问题,是基
础题．
12．B
【解析】
的对称轴为，可得的对称轴为，即有，又，可得，即为，函数为最小正周期为2的偶函数，
在区间上单调递减，可得在上递增，由是钝角三角形中两锐角，可得，即有，则
，即为，则
，故选.
13．4
【解析】
【分析】
利用等比数列通项公式得a2a4a6==8，求出a4=2，再由
a3a5=，能求出结果．
【详解】
∵在等比数列{a n｝中,a2a4a6=8，∴a2a4a6==8，
解得a4=2，∴a3a5==4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查等比数列的等比中项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，是基础题．
14．2
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【详解】
由约束条件,作出可行域如图,
联立，解得B（1,0），
化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知,当直线y=2x﹣z 过点B时，
直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2×1﹣0=2．
故答案为;2．
【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
15．
【解析】
【分析】
由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，求得函数g(x）的单调递减区间，注意x前面的系数为负数，平移时要提出来．
【详解】
将函数f（x）= sin(2x ）的图象向左平移个长度单位,得到函数g（x）=sin（—2x-）=-sin（2x+)的图象，令
2kπ—≤2x+≤2kπ+求得kπ—≤x≤kπ+
故g（x ）的单调减区间为,k∈Z，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，平移时注意自变量x的系数，再利用正弦函数的单调性求出新函数的单调区间，属于基础题．
16．
【解析】
【分析】
先根据切线长公式表示|PA｜，再根据二次函数性质求最小值。

【详解】
由题意得
，当且仅当时取等号，即｜PA ｜的最小值为。

【点睛】
本题考查切线长公式以及二次函数最值，考查基本分析求解能力，属基础题.
17．（1)；(2）
【解析】
【分析】
（1)由正弦定理得2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB，由
A+B+C=π，求出cosC=，由此求出∠C．（2）由余弦定理得7=10﹣ab，从而ab=3,由此能求出△ABC的面积．
【详解】
（1）∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，
2acosC=bcosC+ccosB，
∴2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB，
∵A+B+C=π，∴2sinAcosC=sin（B+C)=sinA,
∴cosC=，∵0＜C＜π，∴∠C=．
（2）∵c=,a2+b2=10,，
∴由余弦定理得:c2=a2+b2﹣2abcosC，
即7=10﹣ab,解得ab=3，
∴△ABC的面积S===．
【点睛】
本题考查三角形角的大小的求法,三角形面积的公式等基础知识的求法,利用正弦定理、余弦定理，运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
18．(1）0。

125；(2)5;（3)
【解析】
【分析】
(1）由频率=，能求出表中M、p及图中a的值．（2）由频数与频率的统计表和频率分布直方图能求出参加社区服务的平均次数．（3）在样本中，处于[20，25）内的人数为3，可分别记为A，B，C，处于［25,30］内的人数为2,可分别记为a，b，由此利用列举法能求出至少1人参加社区服务次数在区间[20，25）内的概率．
【详解】
（1）由分组[10，15）内的频数是10,频率是0.25
知,，所以M=40．
因为频数之和为40,所以
．
因为a是对应分组［15，20)的频率与组距的商，所以
．
（2）因为该校高三学生有360人，分组[15，20）内的频率是0.625，
所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为360×0.625=225人．
（3）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有3+2=5人
设在区间［20,25）内的人为｛a1，a2，a3｝，在区间[25,30)内的人为｛b1，b2｝．
则任选2人共有（a1,a2)，（a1，a3)，（a1，b1），（a1，b2），(a2,a3)，（a2，b1）,(a2，b2），（a3,b1），（a3,b2），（b1，b2)10种情况,（9分)
而两人都在［20，25）内共有(a1，a2），(a1，a3）,(a2，a3）3种情况，
至多一人参加社区服务次数在区间[20，25）内的概率为
．
【点睛】
本题考查频率分布表和频率分布直方图的应用，考查概率的求法,是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
19．（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）根据性质得，再根据长方体性质得，最后根据线面垂直判定定理证结论，（2）
根据线面垂直可得
,最后根据解三角形得结果.
【详解】
【点睛】
本题考查线面垂直判定定理与二面角求法，考查基本分析求解与论证能力，属中档题。

20．（1）a n=4n﹣3；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1)根据和项与通项关系得a n=a n-1+4，再根据等差数列定义以及通项公式得结果,(2）先根据裂项相消法得M n，再根据n范围以及单调性得结果.
【详解】
解：（1）S n=na n﹣2n（n﹣1)，
当n≥2时，S n—1=（n﹣1）a n—1﹣2（n﹣1）(n﹣2），
相减可得a n=na n﹣2n（n﹣1）﹣（n﹣1）a n-1+2（n﹣1)(n﹣2），
化为a n=a n-1+4，
则｛a n}为首项为1,公差为4的等差数列,
即有a n=1+4（n﹣1）=4n﹣3；
（2）证明：,前n项和为
M n
由在自然数集上递增,可得n=1时取得最小值，且，
则M n
【点睛】
裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形
如（其中是各项均不为零的等差数列，c为常数）的数列. 裂项相消法求和,常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.
21．(1）；（2)或
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由已知得圆心经过点P（4，0）、且与y=2x﹣8垂直的直线上，它又在线段OP的中垂线x=2上,求得圆心C（2，1)，半径为，可得圆C的方程．（2)把圆的弦长转化为圆心到直线的距离,讨论k存在和不存在两种情况.
【详解】
（1)由已知，得圆心在经过点P(4,0）且与y=2x﹣8垂直的直线上,它又在线段OP的中垂线x=2上,
所以求得圆心C（2，1），半径为．
所以圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1)2=5．
（2）①当直线l的斜率存在时,
设直线l 的方程为,即.
因为｜MN|=2,圆C 的半径为，所以圆心到直线的距离d=2
，解得，所以直线,
②当斜率不存在时，即直线l：x=4，符合题意
综上直线l 为或x=4
【点睛】
本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用直线和圆的弦长求直线的方程，注意讨论k存在和不存在两种情况,属于中档题．
22．（1)（2）（﹣∞，0］（3）存在m=﹣1得h（x）最小值为0
【解析】
【分析】
(1）化简f（﹣1）=f（1)，即得k的值；（2)先化简方程
,再研究函数单调性，最后根据单调性求函数值域即得a的取值范围；（3)先化简函数h（x)=4x+m×2x，再换元转化为二次函数，最后根据二次函数性质求最小值，由最小值为0解得结果.
【详解】
解：(1)∵f（﹣1）=f（1），
即
∴
(2）由题意知方程即方程
无解，
令，则函数y=g（x）的图象与直线y=a 无交点
∵
任取x1、x 2R,且x1＜x2，则，
∴．∴
,∴g（x）在(﹣∞，+∞）上是单调减函数．
∵，∴．
∴a的取值范围是（﹣∞，0]．
(3）由题意h(x）=4x+m×2x,x [0,log23],
令t=2x［1,3],φ(t)=t2+mt,t [1，3］,
∵开口向上，对称轴．
当，，m=﹣1
当，
，m=0（舍去）
当，即m＜﹣6，φ（t）min=φ（3）=9+3m=0，m=﹣3（舍去)
∴存在m=﹣1得h（x)最小值为0
【点睛】
研究二次函数最值或单调性，一般根据对称轴与定义区间位置关系进行分类讨论；研究二次方程在定义区间有解，一般从开口方向，对称轴位置，判别式正负,以及区间端点函数值正负四个方面进行考虑.。