2012-2013学年度第一学期期末考试试卷 高三数学 理科
甘肃省2013届高三数学上学期期末考试试题 理 新人教A版.doc
西和三中2012—2013学年度期末考试试卷 高三数学（理）命题： 审核;一、选择题（每题5分，共60分）1．设全集R =Y ，集合{}{}0log ,02>=>=x x B x x A ，则=B C A U I （ ） A ．{}10<≤x x B ．{}10≤<x x C ．{}0<x x D ．{}1>x x2．已知iiz +=12，是虚数单位，则=z （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．23．设数列{}n a 是等差数列，若++43a a 125=a ，则=+++721a a a Λ（ ） A ．14 B ．21 C ．28 D ．354．设0)1()12(:,134:2≤+++-≤-a a x a x q x p ，若非p 是非q 的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0 B ．)21,0( C ．(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+∞-,210,Y D ．),21()0,(∞+-∞Y5．个值是（ ） A 6．由直线x y 2=及曲线23x y -=围成的封闭图形的面积为（ ） A ．32 B ．329- C ．335 D ．3327．已知某程序框图如图所示，则输出的i 的值为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．108．设非零向量c b a ,,==，c b a =+，则b a ，的夹角为（ A ．︒150 B ．︒120 C ．︒60 D ．︒309是半圆O 的直径,点C 在半圆上,CD AB ⊥于点D ,且DB AD 3=,设COD θ∠=,( )A B D ．310A 、F ，点B （0，b ），若e 的值为（ ）A ．215+ C 11．点P 是曲线2ln 0x y x --=上的任意一点，则点P 到直线2-=x y 的最小距离为（ ）A ． 1B ．12．一个底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱内接于半径为3的球，则该棱柱体积的最大值为（ ） A ．332 B ．233 C ．33 D ．36 二、填空题（每题5分，共20分）13[)0](,>-t t t 上的最大值与最小值的和为 ．14．ABC ∆中，三边c b a ,,成等比数列，︒=60A ，则=cBb sin 15．若y x ,满足111≤-+-y x ，则x y x 422++的最小值为 。
北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理试题(word版)
东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测高三数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合{1,2}A =，则满足{1,2,3}A B = 的集合B 的个数是（A ）1 (B) 3 (C)4 (D)8 （2）已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于 （A ）1- （B ）1 （C（D）（3）已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（A ）1 （B ）53（C ）2 （D ）3 （4）执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（5）若a ，b 是两个非零向量，则“+=-a b a b ”是“⊥a b ”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）已知x ，y 满足不等式组0,0,,2 4.x y x y s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是（A ）[6,15]（B ）[7,15] （C ）[6,8] （D ）[7,8]（7）已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A在抛物线上且|||AK AF =，则△AFK 的面积为（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）32（8）给出下列命题：①在区间(0,)+∞上，函数1y x -=,12y x =,2(1)y x =-,3y x =中有三个是增函数；②若log 3log 30m n <<，则01n m <<<；③若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；④已知函数233,2,()log (1),2,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则方程1()2f x =有2个实数根，其中正确命题的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市西城区2012-2013学年度第一学期期末试卷高三数学(理科)
（A）充分而不必要条 （B）必要而不充分条
件
件
·3·
（C）充分必要条件
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（D）既不充分也不必 要条件
6．已知 a,b 是正数，且满足 2 a 2b 4．那么 a2 b2 的取 值范围是（ ）
（
( 4 ,16)
A
） （B） (4 ,16) 5
cos 3
4．执行如图所示的程序框图．若输出 S 15 ， 则框 图中
① 处可以填入（ ）
（A） k 2 （B） k 3 （C） k 4 （D） k 5
5 ． 已 知 函 数 f (x) x bcos x ， 其 中 b 为 常 数 ． 那 么
“b 0”是“ f (x) 为奇函数”的（ ）
55
（C） (1,16)
（D） (16 , 4) 5
7．某四面体的三视图如图所示．该四面体的 六条棱的长度中，最大的是（ ）
（A） 2 5 （B） 2 6 （C） 2 7 （D） 4 2
8．将正整数1,2,3,4,5,6,7 随机分成两组，使得每组至 少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是
·4·
（）
分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1．已知集合 A {x R | 0 x 1}， B {x R | (2x 1)(x 1) 0}，则
AB （ ）
（A） (0, 1) 2
（B） (1,1)
（C） (, 1) (1 , ) 2
（D） (, 1) (0, )
2．在复平面内，复数 5i 的对应点位于（ ） 2i
北 京 市 西 城 区 2012-2013 学 年 度第一学期期末试卷高三数学 (理科)
福建省福州市2012-2013高三数学第一学期期末考试卷 理
某某一中2012-2013学年第一学期期终考试高三理科数学试卷（完卷100分钟 满分100分）一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．当12a <<时，复数2(1)z a a i =-+-在复平面上对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2. 下列命题中错误．．的是 A ．命题“若2560,x x -+= 则2x =”的逆否命题是“若2,x ≠ 则2560x x -+≠”B.“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件C ．已知命题p 和,q 若p q ∨为假命题，则命题p 与q 中必一真一假D ．对于命题:,p x R ∃∈ 使得210,x x ++< 则¬p ：,x R ∀∈则210.x x ++≥3. 在平面直角坐标系中,若角α的顶点在坐标原点,始边在x 轴的非负半轴上,终边经过 点(3,4)P a a -(其中0a <),则cos α的值为 A.54-B.53- C.53 D.54 4. 已知集合{}{}22201220130,0,M x x x N x x ax b =-->=++≤若,MN R =(]2013,2014,MN =则A ．2013,2014a b ==- B. 2013,2014a b =-= C ．2013,2014a b ==D ．2013,2014a b =-=-5．若将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”.下列四个命题，其中是“可换命题”的是 ①垂直于同一平面的两直线平行②垂直于同一平面的两平面平行 ③平行于同一直线的两直线平行④平行于同一直线的两平面平行 A ．①② B ．①④ C ．①③ D ．③④ 6. 用反证法证明命题：“,,m n N mn ∈可被5整除，那么,m n 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为A ．,m n 都能被5整除B ．,m n 不都能被5整除C ．,m n 都不能被5整除D ．n 不能被5整除7. 已知函数()xf x a x b =+-的零点0(,1)(),x n n n Z ∈+∈其中常数,a b 满足23,a=32,b =则n 的值是 A.2- B.1- C.0 D .18. 设点,O F 分别是原点和抛物线24y x =的焦点，抛物线上的点A 在其准线上的射影为B ，且60,OFB ∠=︒则ABF ∆的面积为A．．．9．已知,,a R b R ∈∈且1,22b ab a b a ≥⎧⎪≤+⎨⎪≥-+⎩则229a b ab +A ．18B ．16C ．14D ．49410．已知函数()y f x =()y f x =的解析式应为A. 2ln )(x xx x f -= B. 2ln )(x xx x f += C. xx x x f ln )(2-= D. xx x x f ln )(+=二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12应位置.11. 函数32()1f x x x =-+在点(1,1)处的切线与函数2)(x x g =围成的图形的面积等于___.12．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，若要拼成一个棱长为1的正方体，则需要这样的几何体个.13．如图所示，由若干个点组成形如长方形的图形，每条边（包括两个端点）有(2)n n ≥个点，每个图形总的点数记为n a ， 则2334452012201316161616_____.a a a a a a a a ++++=14.把离心率相同的椭圆叫做“相似椭圆”，如图的两个相似椭圆,分别是同一个矩形的内切椭圆和外接椭圆，且(1)qq>是这两个椭圆长轴的长的比值，那么_____.q =2n = 3n = 4n =正视图 侧视图俯视图三、解答题:本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （本小题8分）已知数列{}n a 的首项12a =，且13,n n a a +=数列{}n n a b -是等差数列，其首项为3，公差为2 ,其中*∈N n .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n S .16.（本小题10分）已知(3sin ,2cos ),(2cos ,cos ),m x x n x x ==-函数()1f x m n =-． (Ⅰ)求函数)(x f 的最小正周期和对称轴的方程；(Ⅱ)设ABC ∆的角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且1,()0a f A ==，求c b +的取值X 围．17.（本小题10分）如图，四棱锥ABCD P -中，PD ⊥平面ABCD ,ABCD 是边长为2的菱形，,2(0),3BAD PD k k E π∠==>为AB 中点.(Ⅰ)求证：ED ⊥平面PDC ；(Ⅱ)当二面角P EC D --的大小为6π时，求k 的值； (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，求直线EC 与平面PAB 所成的角θ的正弦值．PAB CDE18. （本小题10分）已知双曲线2222:1x y E a b-=的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线0x y -=相切. (Ⅰ) 求双曲线E 的方程；（Ⅱ）已知点F 为双曲线E 的左焦点，试问在x 轴上是否存在一定点M ，过点M 任意作一条直线l 交双曲线E 于,P Q 两点，使FP FQ ⋅为定值？若存在，求出此定值和所有的定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．19．（本小题10分）已知函数()ln ,f x x =若存在函数()g x 使得()()g x f x ≤恒成立，则称()g x 是()f x 的一个“下界函数”. （I ） 如果函数()ln (ag x x a x=-为实数)为()f x 的一个“下界函数”，求a 的取值X 围；（Ⅱ）设函数1()(), 2.x mF x f x m e ex=-+> 试问函数()F x 是否存在零点，若存在，求出零点个数；若不存在，请说明理由.某某一中2012-2013学年第一学期期终考试高三理科数学试卷参考答案一、选择题： DCBDC CBCBA 二、填空题： 11. 16 12. 3 13. 20112012三、解答题：15. 解：（Ⅰ）由题可得：13n na a +=，∴ 数列{}n a 是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴123n n a -=⨯. ………………………………2分（Ⅱ）由题知：121,2321n n n n b a n b n --=+∴=⨯++， ……………………4分∴()()21232122323233212n nn n n S n n -++=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+=++-.…8分16. 解：（Ⅰ）2()22cos 12cos 22f x x x x x =--=--2sin(2) 2.6x π=--…………………………………2分故)(x f 的最小正周期为,π…………………………………3分 由262x k πππ-=+（Z k ∈）得对称轴的方程为1,.23x k k Z ππ=+∈……4分 （Ⅱ）由0)(=A f 得2sin(2)20,6A π--=即sin(2)1,6A π-=112,2,66662A A πππππ-<-<∴-=,3A π∴=…………………………6分 解法一：由正弦定理得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+=+)32sin(sin 32sin sin 32B B C B c b π）（ =)6sin(2π+B …………………………………8分25,(0,),(,),33666A B B πππππ=∴∈+∈ 1sin(),1,62B π⎛⎤∴+∈ ⎥⎝⎦b c ∴+的取值X 围为(]2,1. …………………………10分解法二：由余弦定理得222,1,a b c bc a =+-= 221,b c bc ∴+=+22()()1313,4b c b c bc +∴+=+≤+⋅解得2,b c +≤………………………8分又1>+c b ，所以c b +的取值X 围为(]1,2.…………………………10分 17.解：(Ⅰ)证明：连结,DB 由题知ABD ∆为正三 角形，,ED AB ∴⊥………………1分//,,AB DC ED DC ∴⊥又PD ⊥平面ABCD ,,ED PD ∴⊥ED ∴⊥平面PDC ；…………………………3分(Ⅱ)解法一：作DM EC ⊥于点,M 连结,PM DM 为斜线PM 在平面ABCD 的射影，,PM EC DMP ∴⊥∴∠为二面角P EC D --的平面角，故,6DMP π∠=……5分在直角三角形DEC 中，7DE DC DM EC ⋅==PABCDE因为,DM ==所以k =……………………………………7分解法二：以点D 为原点O ，射线,,DE DC DP 分别为Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴的正方向 建立空间直角坐标系O xyz -.则(0,2,0),(0,0,2),E C P k ……………4分 设平面PEC 的法向量为1111(,,),n x y z=111111(,,)(2,0)0,(,,)(0,2,2)0x y z x y z k ⎧⋅=⎪⎨⋅-=⎪⎩可得1(2n k =…………………………………………………5分 又平面DEC 的法向量可为2(0,0,1),n =由123cos ,2n n 〈〉=化简得271,k k =∴=………………………………………………7分 (Ⅲ) 解法一：设平面PBA 的法向量为3333(,,),n x y z=333333(,,)(0,2,0)0,(,,)07x y z x y z ⋅=⎧⎪⎨⋅-=⎪⎩可得3n=…………………………………………………8分 又(2,0),EC =-因此sin θ=32cos ,35EC n 〈〉=…………………10分 解法二：设点C 到平面PAB 的距离为,h 则,C PAB V-=…………………8分 又P ABC V -=因为,P ABC C PABV V --= 所以h =………………………9分 PABCD EM因此sin θ=35h EC =………………………………………………………10分18.解：(Ⅰ)2,1,c a b ==∴=………………………………………2分所以双曲线E 的方程为22:13x E y -=； ……………………3分（Ⅱ）解法一：当直线l 为0y =时，((2,0),P Q F -(2,0)2,0)1;FP FQ ∴⋅=-⋅=……………………4分当直线l 不是0y =时，可设:,l x ty m =+(t ≠代入22:13x E y -=整理得222(3)230(t y mty m t -++-=≠*……………………6分由0∆>得229,m t +>设方程*的两个根为12,,y y 满足212122223,,33mt m y y y y t t -+=-=-- 1122(2,)(2,)FP FQ ty m y ty m y ∴⋅=++⋅++22221212221215(1)(2)()(2),3t m m t y y t m y y m t ---=++++++=-………8分 当且仅当2212153m m ++=时，FP FQ ⋅为定值1，解得3m =-±3m =-+而且3m =-满足0∆>；综上得：过定点(3M -任意作一条直线l 交双曲线E 于,P Q 两点，使FP FQ ⋅为定值1.…………………………………………………………………10分解法二： 前同解法一，得FP FQ ⋅=22221215,3t m m t ----…………………8分 由222212151,3t m m t ---=- 得2212153m m ++=，解得3m =-±. …………………………………………………10分解法三： 当直线l 不垂直x 轴时，设:()(3l y k x m k =-≠±代入22:13x E y -=整理得22222(31)63(1)0(3k x mk x m k k --++=≠±*…………5分 由0∆>得222310,m k k -+>设方程*的两个根为12,,x x 满足222121222633,,3131mk m k x x x x k k ++==-- 1122(2,())(2,())FP FQ x k x m x k x m ∴⋅=+-⋅+-22222212122(21215)1(1)(2)()4,31m m k k x x mk x x m k k ++-=++-+++=-……7分 当且仅当2212153m m ++=时，FP FQ ⋅为定值1，解得3m =-±3m =-+而且3m =-满足0∆>； …………………………………………………8分当直线l x ⊥轴时，:3l x =-代入22:13x E y -=得1,2y =21212(1)(1)(11;FP FQ y y y y ∴⋅=-⋅-=-+=……………9分 综上得：（结论同解法一） ………………………………………10分 （注：第（II ）题有一般性结论） 19．解：（I ）解法一：由ln ln ax x x-≤ 得2ln ,a x x ≤………………………1分 记()2ln ,h x x x =则()2(ln 1),h x x '=+…………………………………2分当1(0,)x e∈时，()0,h x '< 所以()h x 在1(0,)e上是减函数，当1(,)x e ∈+∞时，()0,h x '> 所以()h x 在1(,)e+∞上是增函数， …………3分因此min 12()(),h x h e e ==- 即2.a e ≤-………………………………………5分解法二：由ln ln a x x x -≤ 得2ln 0,ax x -≤设()2ln ,a P x x x =-则22(),a xP x x --'=………………………………………1分（1）若0,a <由22()()2aP x x x '=-+知()P x 在(0,)2a -上是增函数，在(,)2a-+∞上是减函数， ………………………2分因为()0P x ≤恒成立，所以max ()()0,2a P x P =-≤解得2;a e ≤-……………3分（2）若0,a ≥当0x >且0x →时，()2ln ,aP x x x=-→+∞此与()0P x ≤恒成立矛盾，故舍去0a ≥； ……………………………………4分 综上得2.a e≤-……………………………………………………………………5分（Ⅱ）解法一：函数1()ln , 2.x mF x x m e ex=-+> 由（I ）知22ln ,x x e ≥-即1ln ,x ex≥-………………………………………6分111(1)(),x x x m m e exF x e ex xe+---≥-+=………………………………………7分 设函数()(1)(0),()(1),xxP x m e ex x P x m e e '=-->=-- （1）当21m e <<+时，()P x 在(0,ln)1e m -上是减函数，在(ln ,)1em +∞-上是增函数，故()(ln)ln ,11e e P x P e e m m ≥=--- 因为2,m > 所以ln ln 1,1ee m <=- 即()0;P x >………………………8分（2）当1m e ≥+时，()()0;xxP x e e ex e e x ≥⋅-=->……………………9分 综上知()0,F x > 所以函数()F x 不存在零点.……………………………10分解法二：前同解法一，1111()(),x x m m x F x e ex x e e--≥-+=-………………7分 记1(),x m x M x e e -=- 则1(),x x M x e-'=所以()M x 在(0,1)上是减函数，在(1,)+∞上是增函数， 因此min 2()(1)0,m M x M e-==>………………………………………9分 故2()0,m F x ex-≥> 所以函数()F x 不存在零点.……………………10分 解法三：前同解法一，因为2,m >故1(),x x e exF x xe +->………………………7分 设函数()(0),(),xxP x e ex x P x e e '=->=-因此()(1)0,P x P ≥=即10,x x e exxe +-≥…………………………………9分 故()0,F x > 所以函数()F x 不存在零点.…………………………………10分解法四：前同解法一，因为2,m >故1(),x x e exF x xe+->………………………7分 从原点O 作曲线:(0)xE y e x =>的切线,l 设切点为00(,)xA x e ，那么000:(),x x l y ee x x -=-把点(0,0)O 代入得01,x =所以:,l y ex =所以xe ex ≥（当且仅当1x =时取等号），即10,x x e exxe+-≥…………………9分 故()0,F x > 所以函数()F x 不存在零点.……………………………………10分。
2012-2013学年度第一学期期末试卷高三数学(理科)
北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2013.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x x x =∈-+>R ，则A B = （ ） （A ）1(0,)2（B ）(1,1)-（C ）1(,1)(,)2-∞-+∞（D ）(,1)(0,)-∞-+∞2．在复平面内，复数5i 2i-的对应点位于（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．在极坐标系中，已知点(2,)6P π，则过点P 且平行于极轴的直线的方程是（ ）（A ）sin 1=ρθ （B ）sin =ρθ（C ）cos 1=ρθ（D ）cos =ρθ4．执行如图所示的程序框图．若输出15S =， 则框图中① 处可以填入（ ） （A ）2k < （B ）3k < （C ）4k < （D ）5k <5．已知函数()cos f x x b x =+，其中b 为常数．那么“0b =”是“()f x 为奇函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件6．已知,a b 是正数，且满足224a b <+<．那么22a b +的取值范围是（ ） （A ）416(,)55（B ）4(,16)5（C ）(1,16) （D ）16(,4)57．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）8．将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（ ） （A ）221（B ）463（C ）121（D ）263第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线，则实数k =_____．10．如图，R t △A B C 中，90ACB ︒∠=，3A C =，4B C =．以A C 为直径的圆交AB 于点D ，则 BD = ；C D =______．11．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，63k S =，则k =______．12．已知椭圆22142xy+=的两个焦点是1F ，2F ，点P 在该椭圆上．若12||||2PF PF -=，则△12P F F 的面积是______．13．已知函数π()sin(2)6f x x =+，其中π[,]6x a ∈-．当3a π=时，()f x 的值域是______；若()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范围是______．14．已知函数()f x 的定义域为R ．若∃常数0c >，对x ∀∈R ，有()()f x c f x c +>-，则称函数()f x 具有性质P ．给定下列三个函数：①()2xf x =； ②()sin f x x =； ③3()f x x x =-．其中，具有性质P 的函数的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△ABC 21cos 2B B =-． （Ⅰ）求角B 的值； （Ⅱ）若2B C =，4A π=，求△ABC 的面积．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，PD PA =，⊥PA 平面PDC ，E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）求证：PB // 平面EAC ； （Ⅱ）求证：平面P A D ⊥平面A B C D ； （Ⅲ）求二面角B AC E --的余弦值．17．（本小题满分13分）生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 [70,76) [76,82) [82,88) [88,94) [94,100]元件A 8 1240 32 8 元件B71840296（Ⅰ）试分别估计元件A ，元件B 为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A ，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元 .在（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望；（ⅱ）求生产5件元件B 所获得的利润不少于140元的概率．18．（本小题满分13分）已知函数2()x f x x b=+，其中b ∈R ．（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设0b >．若13[,]44x ∃∈，使()1f x ≥，求b 的取值范围．19．（本小题满分14分）如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ．过点(2,0)P 的直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，直线A F ，BF 分别与抛物线交于点M ，N ．（Ⅰ）求12y y 的值；（Ⅱ）记直线M N 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k .证明：12k k 为定值．20．（本小题满分13分）如图，设A 是由n n ⨯个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,3,,)i j n = 表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.记(,)S n n 为所有这样的数表构成的集合．对于(,)A S n n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之积，()j c A 为A 的第j 列各数之积．令11()()()nniji j l A r A cA ===+∑∑．（Ⅰ）请写出一个(4,4)A S ∈，使得()0l A =； （Ⅱ）是否存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =？说明理由；（Ⅲ）给定正整数n ，对于所有的(,)A S n n ∈，求()l A 的取值集合．北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2013.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．C ； 6．B ； 7．C ； 8．B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1-； 10．165，125； 11．6；12． 13．1[,1]2-，[,]62ππ； 14．①③． 注：10、13题第一问2分，第二问3分;14题结论完全正确才给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）21cos 2B B =-，所以 2cos 2sin B B B =． ………………3分因为 0B <<π， 所以 sin 0B >，从而 tan B = (5)分所以 π3B =． (6)分解法二： 依题意得2cos 21B B +=， 所以 2sin(2)16B π+=， 即 1sin(2)62B π+=． (3)分因为 0B <<π， 所以 132666B πππ<+<，所以 5266B ππ+=． (5)分所以 π3B =． (6)分（Ⅱ）解法一：因为 4A π=，π3B =，根据正弦定理得sin sin A CB CB A=， (7)分所以 sin sin B C B A C A⋅==． (8)分因为 512C A B π=π--=， (9)分所以 5sin sinsin()12464C πππ==+=， (11)分所以 △ABC 的面积13sin 22S AC BC C +=⋅=． (13)分解法二：因为 4A π=，π3B =，根据正弦定理得sin sin A CB CB A=， (7)分所以 sin sin B C B A C A⋅==． (8)分根据余弦定理得 2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅， (9)分化简为 2220AB AB --=，解得 1AB =+ (11)分所以 △ABC 的面积1sin 22S AB BC B =⋅=………………13分16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接BD 与AC 相交于点O ，连结EO ．因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 因为 E 为棱PD 中点．所以 EO PB //． ………………3分 因为 ⊄PB 平面EAC ，⊂EO 平面EAC ，所以直线PB //平面EAC ． ………………4分（Ⅱ）证明：因为⊥PA 平面PDC ，所以CD PA ⊥． ………………5分因为四边形ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥，所以⊥CD 平面PAD ． (7)分所以平面PAD ⊥平面ABCD ． (8)分（Ⅲ）解法一：在平面PAD 内过D 作直线D z AD ⊥．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以D z ⊥平面ABCD ．由,,Dz DA DC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -． (9)分设4A B =，则(0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(2,0,2),(1,0,1)D A B C P E ． 所以 )1,0,3(-=EA ，)0,4,4(-=AC ．设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.E A A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n所以 ⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x 取1=x ，得(1,1,3)=n ． (11)分易知平面ABCD 的法向量为(0,0,1)=v ． (12)分所以 |||cos ,|||||11⋅==〈〉n v n v n v ． (13)分由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角， 所以二面角B AC E --的余弦值为11113-． (14)分解法二：取AD 中点M ，BC 中点N ，连结PM ，MN ． 因为ABCD 为正方形，所以CD MN //． 由（Ⅱ）可得⊥MN 平面PAD ． 因为PD PA =，所以⊥PM AD ．由,,MP MA MN 两两垂直，建立如图所示 的空间直角坐标系xyz M -． ………………9分设4=AB ，则(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,0,2),(1,0,1)A B C D P E ---． 所以 )1,0,3(-=EA ，)0,4,4(-=AC ．设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.E A A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以 ⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x 取1=x ，得=n )3,1,1(． (11)分易知平面ABCD 的法向量为=v )1,0,0(． (12)分所以|||cos,|||||11⋅==〈〉n v n v n v ． (13)分由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角， 所以二面角B AC E --的余弦值为11113-． (14)分17．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：元件A 为正品的概率约为4032841005++=． (1)分元件B 为正品的概率约为4029631004++=． (2)分（Ⅱ）解：（ⅰ）随机变量X 的所有取值为90,45,30,15-． ………………3分433(90)545P X ==⨯=； 133(45)5420P X ==⨯=；411(30)545P X ==⨯=； 111(15)5420P X =-=⨯=． (7)分所以，随机变量X 的分布列为:X 90 45 30 15- P3532015120 (8)分3311904530(15)66520520E X =⨯+⨯+⨯+-⨯=． (9)分（ⅱ）设生产的5件元件B 中正品有n 件，则次品有5n -件. 依题意，得 5010(5)140n n --≥， 解得 196n ≥．所以 4n =，或5n =． ………………11分设“生产5件元件B 所获得的利润不少于140元”为事件A ，则 445531381()C ()()444128P A =⨯+=． ………………13分18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：① 当0b =时，1()f x x=．故()f x 的单调减区间为(,0)-∞，(0,)+∞；无单调增区间． ………………1分② 当0b >时，222()()b xf x x b -'=+． (3)分令()0f x '=，得1x =，2x = ()f x 和()f x '的情况如下：)故()f x 的单调减区间为(,-∞，)+∞；单调增区间为(． (5)分③ 当0b <时，()f x 的定义域为{|D x x =∈≠R ．因为222()0()b xf x x b -'=<+在D 上恒成立，故()f x 的单调减区间为(,-∞，(，)+∞；无单调增区间． (7)分（Ⅱ）解：因为0b >，13[,]44x ∈，所以 ()1f x ≥ 等价于 2b x x ≤-+，其中13[,]44x ∈． (9)分设2()g x x x =-+，()g x 在区间13[,]44上的最大值为11()24g =． (11)分则“13[,]44x ∃∈，使得 2b x x ≤-+”等价于14b ≤．所以，b 的取值范围是1(0,]4． (13)分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，设直线AB 的方程为2x my =+． ………………1分将其代入24y x =，消去x ，整理得 2480y my --=． (4)分从而128y y =-． (5)分（Ⅱ）证明：设33(,)M x y ，44(,)N x y ．则221234341121222234123123444444y y y y y y k x x y y k x x y y y y y y y y ----+=⨯=⨯=---+-． (7)分设直线A M 的方程为1x ny =+，将其代入24y x =，消去x ，整理得 2440y ny --=． ………………9分所以 134y y =-． ………………10分 同理可得 244y y =-． ………………11分 故112121223412444k y y y y y y k y y y y ++===--+-+． (13)分由（Ⅰ）得122k k =，为定值． (14)分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求．1- 1- 1- 1- 1 1 1 1 1 1 1 1 1111………………3分（Ⅱ）解：不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =． ………………4分证明如下：假设存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =．因为(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}j c A ∈- (19,19)i j ≤≤≤≤，所以1()r A ，2()r A ， ，9()r A ，1()c A ，2()c A ， ，9()c A 这18个数中有9个1，9个1-．令129129()()()()()()M r A r A r A c A c A c A =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ． 一方面，由于这18个数中有9个1，9个1-，从而9(1)1M =-=-． ①另一方面，129()()()r A r A r A ⋅⋅⋅ 表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m ）；129()()()c A c A c A ⋅⋅⋅ 也表示m ， 从而21M m ==． ②①、②相矛盾，从而不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =． (8)分（Ⅲ）解：记这2n 个实数之积为p ．一方面，从“行”的角度看，有12()()()n p r A r A r A =⋅⋅⋅ ； 另一方面，从“列”的角度看，有12()()()n p c A c A c A =⋅⋅⋅ ．从而有1212()()()()()()n n r A r A r A c A c A c A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ． ③ ………………10分注意到(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}j c A ∈- (1,1)i n j n ≤≤≤≤．下面考虑1()r A ，2()r A ， ，()n r A ，1()c A ，2()c A ， ，()n c A 中1-的个数：由③知，上述2n 个实数中，1-的个数一定为偶数，该偶数记为2(0)k k n ≤≤；则1的个数为22n k -，所以()(1)21(22)2(2)l A k n k n k =-⨯+⨯-=-． ………………12分 对数表0A ：1ij a =(,1,2,3,,)i j n = ，显然0()2l A n =． 将数表0A 中的11a 由1变为1-，得到数表1A ，显然1()24l A n =-． 将数表1A 中的22a 由1变为1-，得到数表2A ，显然2()28l A n =-． 依此类推，将数表1k A -中的kk a 由1变为1-，得到数表k A ． 即数表k A 满足：11221(1)kk a a a k n ====-≤≤ ，其余1ij a =． 所以 12()()()1k r A r A r A ====- ，12()()()1k c A c A c A ====- ． 所以()2[(1)()]24k l A k n k n k =-⨯+-=-．由k 的任意性知，()l A 的取值集合为{2(2)|0,1,2,,}n k k n -= ． (13)分。
黑龙江省哈三中2013届高三上学期期末考试数学理
哈三中2012—2013学年度上学期 高三学年期末考试数学试卷（理科）考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷 （选择题， 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}2,3,4A =，{}2,4,6,8B =，{}(,),,log x C x y x A y B y N *=∈∈∈且，则C 中元素个数是A ． 2B ． 3C ． 4D ． 52．若变量,x y 满足约束条件30101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则24z x y =+-的最大值为A ． 5B ． 1C ．1-D ． 4- 3．下列说法正确的个数是①“在ABC ∆中，若sin sin A B >，则A B >”的逆命题是真命题；②“1m =-”是“直线(21)10mx m y +-+=和直线320x my ++=垂直”的充要条件； ③“三个数,,a b c 成等比数列”是“b =④命题“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“0x R ∃∈，320010x x -+>”． A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 44．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A ． 1B ． 13C ． 12D ． 325．首项为1，且公比为q (1≠q )的等比数列的第11项 等于这个数列的前n 项之积，则n 的值为A ．4B ． 5C ． 6D ． 7 6．下列函数中，既是偶函数，又在区间()21,内是增函数的是 A ．x cos y 2= B ． x log y 21= C ．32-=xy D ．2xx e e y -+=7．方程x ln ex=-的两个根为21x ,x ，则A ．021<x xB ．121=x xC ．121>x xD ．1021<<x x 8．已知)sin()(ϕω+=x x f ⎪⎭⎫⎝⎛<∈2||,πϕωR ，满足)2()(π+-=x f x f ，21)0(=f ，0)0(<'f ，则)cos(2)(ϕω+=x x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值与最小值之和为 A ．32- B ．23- C ．0 D ．1-9．已知椭圆方程为22182+=x y ，过椭圆上一点(2,1)P 作切线交y 轴于N ，过点P 的另一条直线交y 轴于M ，若∆PMN 是以MN 为底边的等腰三角形，则直线PM 的方程为A ．223-=x y B ．12y x = C ．52+-=x y D ．3132-=x y 10．直线13=+by ax 与圆222=+y x 相交于B ,A 两点（R b ,a ∈），且AOB ∆是直角三角形（O是坐标原点），则点)b ,a (P 与点()10,之间距离的最大值是 A ．417 B ．4 C ．2 D ． 3711．已知双曲线左右焦点分别为1F 、2F ，点P 为其右支上一点，1260∠=F PF ，且12∆=F PF S ，若1PF ，21214F F ，2PF 成等差数列，则该双曲线的离心率为 A ．3 B ． 32 C ． 2 D ． 212．数列{}n a 定义如下：11=a ，且当2≥n 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-为奇数为偶数n ,a n ,a a n n n 1211 ，若1119=n a ，则正整数=nA ．112B ．114C ．116D ．118第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上) 13．已知向量1=a ，2=b ，且a 与b 的夹角为60，若1λ+<a b ，则实数λ的取值范围是 ．14．抛物线28y x =的顶点为O ，()1,0A ，过焦点且倾斜角为4π的直线l 与抛物线交于 N ,M 两点，则AMN ∆的面积是 ．15．已知四棱锥ABCD P -的所有侧棱长都相等，底面ABCD 为正方形，若四棱锥的高为3，体积为6，则这个四棱锥的外接球的体积为 ． 16．设G 是ABC ∆的重心，且=++C sin B sin A sin 73370，则角B 的大小为 ．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本大题12分）如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75，距离为A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30，距离为A 处向正北方向航行到D 处，再看灯塔B 在北偏东120.（I ）求,A D 之间距离；（II ）求,C D 之间距离．18．（本大题12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点,n S n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线10x y -+=上，其中*n N ∈． （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设2n n n b a a +=⋅，求证：16311112121<+++≤n b b b ．19．（本大题12分）如图，四棱锥P ABCD -中，AD ∥BC ,,222,AD DC AD BC CD ⊥===侧面APD 为等腰直角三角形，90APD ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，若λ=，()10,∈λ．（I ）求证：PA DE ⊥；（II ）若二面角E BD A --的余弦值为3-求实数λ的值．20．（本大题12分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，直线4y x =+与以原点为圆心，短半轴长为半径的圆相切. （I ）求椭圆的方程；（II ）过左焦点1F 作不与x 轴垂直的直线l ，与椭圆交于,A B 两点，点(,0)M m 满足()()0=+⋅-MB MA MB MA .（ⅰ）求1MA MB MF-的值；（ⅱ）当=时，求直线l 的方程．21．（本大题12分）已知函数()()ax x x x x f -+++=1ln )3(212． （I ）设2=x 是函数()x f 的一个极值点，求函数()x f 在0=x 处的切线方程； （II ）若对任意()+∞∈,0x ，恒有()0>x f 成立，求a 的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号． 22．（本大题10分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，D 是BC 上一点，以BD 为直径的圆交AB 于点F ，连CF 交半圆于点E ，延长BE 交AC 于点G ．（I ）求证：BC BD BG BE ⋅=⋅； （II ）求证：A G E F 、、、四点共圆．23．（本大题10分）倾斜角为α的直线l 过点(8,2)P ，直线l 和曲线C :22(17sin)32ρθ+=交于不同的两点12M M 、.（I ）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程,并写出直线l 的参数方程； （II ）求12PM PM 的取值范围．24．（本大题10分）已知函数()21,()1f x x g x x a =+=+-． （I ）当1a =时，解不等式()()f x g x ≥；（II ）若存在x R ∈，使得()()f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围．哈三中2012—2013学年度上学期 高三学年期末考试数学试卷答案（理科）二、选择题1．C 2．B 3．C 4．B 5．B 6．D 7．D 8．A 9．B 10．C 11．A 12．D 二、填空题13．021<λ<-14． 15．332π 16．3π 三、解答题 17．（本大题12分）（I ）24=AD ； （II ）38=CD ． 18．（本大题12分）（I ）n a n 2=； （II ）略． 19．（本大题12分）（I ）证明：略； （II ）31=λ． 20．（本大题12分）（I ）1121622=+y x ； （II ）4； （III ）()225+±=x y ． 21．（本大题12分） （I ）x ln y ⎪⎭⎫⎝⎛+-=332； （II ）3≤a ． 22．（本大题10分）（I ）证明：略； （II ）证明：略．23．（本大题10分）（I ）143222=+y x ；8cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数） （II ）（649128,） 24．（本大题10分） （I ）(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-⋃-∞-,,311； （II ）21≥a ．。
即墨市2012-2013学年度第一学期期末考试_高三数理
高 三 教 学 质 量 检 测数学（理倾）试题 2013.01本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，将第Ⅰ卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡相应位置上，考试结束，将答题卡上交。
考试时间90分钟，满分100分。
注意事项：1.答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答案不能答在试题卷上。
3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用涂改液、胶带、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分。
1.已知),(2R b a i b ii a ∈+=+，其中i 为虚数单位，则=-a bA.-1B.1C.2D.32.设全集，}6,5,4,3,2,1{=U 集合=⋂==)(}5,4,3{},4,3,2,1{Q C P Q P U ，则， A.｛1，2，3，4，6｝ B.｛1，2，3，4，5｝ C.｛1，2，5｝ D.｛1，2｝3.设)sin()(2φπφφ+===x x f R ”是“，则“为偶函数”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是乙甲、x x ，则下列说法正确的是 A.乙甲x x >，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛 B.乙甲x x >，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛 C.乙甲x x <，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛 D.乙甲x x <，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛5.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-08010502y x y x y x ，则目标函数y x z 34-=的最小值和最大值分别为A.-6，11B.2，11C.-11，6D.-11，2 6.已知53)4sin(=+x π，则x 2sin 的值为 A.2524-B.2524 C.257-D.2577.设a,b 是不同的直线，βα、是不同的平面，则下列命题：①若βα//,//,b a b a 则⊥ ②若ββαα⊥⊥a a 则,,// ③若αβαβ//,,a a 则⊥⊥ ④若βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,b a b a 其中正确命题的个数是A.0B.1C.2D.38.已知偶函数)(x f 在R 上的任一取值都有导数，且),2()2(,1)1('-=+=x f x f f 则曲线)(x f y =在5-=x 处的切线的斜率为A.2B.-2C.1D.-1 9.如果执行下面的程序框图，输出的S=110，则判断框处为 A.10<k ? B.11≥k ？ C.10≤k ？ D.11>k ?10.函数x x y sin 3+=的图象大致是11.把5张座位编号为1，2，3，4，5的电影票发给3个人，每人至少1张，最多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是 A.360 B.60 C.54 D.18 12.过双曲线)0(12222>>=-a b by ax 的左焦点)0)(0,(>-c c F 作圆222a y x =+的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线cx y 42=于点O P ,为坐标原点，若1O E (O F O P )2=+, 则双曲线的离心率为 A.233+ B.231+ C.25 D.251+第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题4个小题，每小题4分，满分16分。
河南省漯河市2013届高三上学期期末统考数学(理)试题(扫描版).pdf
2012－2013学年上期期末考试 高三数学答案（理科） 一、选择题：CDDCB ADCDA DB 二、填空题：13 -10 14 78 15 5/2 16 1 三．解答题： 17 解 (1) C …………5分 (2) 可解得 A=所以正三角形ABC, …………12分 18 解 (1) 取PD中点E 易用面面垂直的性质得AE⊥PD ∴ AE⊥PDC ∴ABE⊥PCD …………4分 (2) 三垂线定理或向量法可求得余弦值为 …………8分 (3) 体积转换可得点D到面MAC的距离为 …………12分 19 解 (1) 由已知的 a=2 又据离心率得 c=∴b=1 ∴椭圆方程为 …………4分 (2) 1 若O为直角顶点时， 由 得m= …………9分 2 若A、B为直角顶点， 则OA(或OB)直线方程为y=-x ∴得A(或B)的坐标为 代入椭圆标准方程得m=∴m=或m= …………12分 20 解：（1）当，，时，， ① 用去代得，， ② ②-①得，，，在①中令得，，则0，∴， ∴数列是以首项为1，公比为3的等比数列，∴=。
当，，时，用去代得，， ， ⑤ 用去代得，，即， ∴数列是等数列，，∴公差，∴。
…………8分 （3）由（2）知数列是等数列，∴。
又是“封闭数列”，得：对任意，必存在使 ， 得，故是偶数， …………10分 又由已知， 一方面，当时， ，对任意，都有时，，， 则， 取，则，不合题意。
分别验证均符合题意[ ∴或 …………12分 21解：（1）由已知在上恒成立， 即，∵，∴， 故在上恒成立，只需， 即，∴只有，由知； ………………4分 （2）∵，∴，， ∴， 令，则， ∴函数的单调递增区间是，递减区间为， 有极大值； ……………………8分 （3）令， 当时，由有，且， ∴此时不存在使得成立； 当时，， ∵，∴，又，∴在上恒成立， 故在上单调递增，∴， 令，则， 故所求的取值范围为． ……………………12分 请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号 22解：（1）依题意，有 又，故 ，即 ∴ 而是圆的切线，故 所以，故┅┅5分 （2）连结因为，所以 由于四边形内接于圆，所以 所以 故四点共圆┅┅┅┅┅┅┅┅10分 23解：（1）圆直角坐标方程为，[ 展开得， …………………3分 化为极坐标方程为． …………………6分 （2）点Q的直角坐标为，且点Q在圆内， 因为，所以P，Q． …………10分 24 解：(I)所以的最小值为3．…………5分 (II) 由(I)可知，当时，，即，此时； 当时，，即，此时． 因此不等式的解集为为或． ……………10分 高考学习网： 高考学习网：。
20122013学年第一学期河北省保定市高三期末联考数学试题理科
2
2
x 8 设点 P 是椭圆 a 2
y b2
1( a
b 0) 上一点， F1, F2 分别是椭圆的左、右焦点，
I为
PF1 F2 的内心，若 S IPF 1 S IPF2 2S IF1F2 ，则该椭圆的离心率是
()
1
(A)
2
2
(B)
1
(A)
2
5．某程序 的值是
A. 5
3
(B)
2
开始
k=0
S = 100
i0
S> 0 ?
是
S = S－ 2k
k＝ k＋1
(C) 2
2
(D)
2
框图如图所示 , 该程序运行后输出的 k
(
)
B.6
C.7
D. 8
否
输出 k 结束
6.数列 { an} 满足 a1 1 ， a2 1， an 2 (1 sin 2 n ) an 4cos 2 n ，
．
4
三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. ( 本题满分 10 分 )
设 △ ABC 的内角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c ，且 a cos B b cos A 1 c ． 2
tan A
（Ⅰ）求
的值；
tan B
（Ⅱ）求 tan( A B) 的最大值，并判断当 tan( A B ) 取最大值时 △ABC 的形状．
2012-2013 学年第一学期河北省保定市高三期末联考
数学试题（理科）
广饶一中2013届高三2月份期末测试(数学理)
广饶一中2012—2013学年度第一学期期末教学质量检测高三数学试题（理科）（考试时间：120分钟 试卷分值：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设是实数，且a 等于（ ）A ．B ．1C ．2D ．2. 将4名同学录取到3所大学，每所大学至少要录取一名，则不同的录取方法共有（ ）A. 12B. 24C. 36D. 723.若x （小于55）为正整数，则(55-)(56-)(69-)x x x 等于（ ）A ．55-69-x x AB ．1569-x AC ．1555-x AD ．1469-x A4．若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积是（ A ．2 B ．4C ．6D ．125．已知椭圆2211664x y +=与双曲线22x y λ-=有共同的焦点，则λ的值为（ ） A ．50 B ．24 C ．-50 D ．-246．设A 为圆228x y +=上动点，B （2，0），O 为原点，那么OAB ∠的最大值为（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°7．已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，下列命题中正确命题是（ ） A ．若αβ⊥，l β⊥，则α//l B ．若l 上有两个点到α的距离相等，则α//l C ．若l α⊥，l ∥β，则βα⊥ D ．若αβ⊥，αγ⊥，则βγ⊥ 8.在20的展开式中系数是正有理数的项共有（ ） A.4项 B.5项 C.6项 D.7项 9．由曲线1xy =，直线,3y x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ．329B ．2ln3-C ．4ln3+D ．4ln3-10.一个家庭中有两个小孩（假定生男生女概率相等），已知其中有一个是女孩，则这时另一a 1-2-正视图侧视图俯视图个是女孩的概率是（ ）A ．14B ．13C ．34D ．1211．ABC ∆的外接圆圆心为O ,半径为2，=++,且||||=,在方向上的投影为（ ）A ．3-B ．3-C ． 3D ．312．如图，在长方形ABCD中，AB =1BC ，E 为线段DC 上一动点，现将AED ∆沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为( )AC D ．A ．B ．C ．2πD ． 3π二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置. 13．已知错误！未找到引用源。
广东省中山市2012-2013学年度第一学期期末统一考试高三数学试卷(理科)
（1） 求数列 a n ， bn 的通项公式； （2） 记 c n a n bn ,求证： c n 1 c n .
1 bn ( n N * ). 2
C1 A1 D B1
17． （ 本 小 题 满 分 14 分 ） 如 图 ， 三 棱 柱 ABC A1 B1C1 中 ，
2 2
3, 则
OA OB 的值是
14．如下图，对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次幂进行如下方式的“分裂”：
1
22
32
3 3
2
3
1 3 5
42
5 7
3
3
7 9 11 25 27 29
43
1 3 5 7 13 15 17 19
24
9
3
4
44
61 63 65 67
仿此， 6 的“分裂”中最大的数是
2
； 2013 的“分裂”中最大的数是
3
；
三、解答题：（本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（本小题满分 12 分）函数 f ( x) 2sin( x ) ( 0, 0 ) 的部分图象如下图所 2
示，该图象与 y 轴交于点 F (0,1) ，与 x 轴交于点 B, C ， M 为最高点，且三角形 MBC 的 面积为 ． （Ⅰ）求函数 f ( x) 的解析式；
4
]
B．
3 , 4
C． [0,
] ( 4 2 4
6．有编号分别为 1， 2， 3， 4， 5 的 5 个红球和 5 个黑球，从中取出 4 个，则取出的编号互不相同的概率为（ A． ）
北京市西城区2012-2013学年度第一学期期末试卷高三数学(理科)
北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷高三数学〔理科〕第Ⅰ卷〔选择题 共40分〕一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x x x =∈-+>R ，则A B =〔 〕〔A 〕1(0,)2〔B 〕(1,1)-〔C 〕1(,1)(,)2-∞-+∞ 〔D 〕(,1)(0,)-∞-+∞2．在复平面内，复数5i2i-的对应点位于〔 〕 〔A 〕第一象限 〔B 〕第二象限〔C 〕第三象限〔D 〕第四象限3．在极坐标系中，已知点(2,)6P π，则过点P 且平行于极轴的直线的方程是〔 〕〔A 〕sin 1=ρθ 〔B 〕sin =ρθ〔C 〕cos 1=ρθ〔D 〕cos =ρθ4．执行如下列图的程序框图．假设输出15S =， 则框图中① 处可以填入〔 〕 〔A 〕2k < 〔B 〕3k < 〔C 〕4k < 〔D 〕5k <5．已知函数()cos f x x b x =+，其中b 为常数．那么“0b =”是“()f x 为奇函数”的〔 〕 〔A 〕充分而不必要条件 〔B 〕必要而不充分条件 〔C 〕充分必要条件 〔D 〕既不充分也不必要条件6．已知,a b 是正数，且满足224a b <+<．那么22a b +的取值范围是〔 〕 〔A 〕416(,)55〔B 〕4(,16)5〔C 〕(1,16)〔D 〕16(,4)57．某四面体的三视图如下列图．该四面体的六条棱的长度中，最大的是〔 〕〔A 〕〔B 〕〔C 〕〔D 〕8．将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是〔 〕 〔A 〕221〔B 〕463〔C 〕121〔D 〕263第Ⅱ卷〔非选择题 共110分〕二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．9. 已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .假设向量c 与向量k +a b 共线，则实数k = _____．10．如图，Rt △ABC 中，90ACB ︒∠=，3AC =，4BC =．以AC 为直径的圆交AB 于点D ，则 BD = ；CD =______．11．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．假设11a =，34a =，63k S =，则k =______．12．已知椭圆 22142x y +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 在该椭圆上．假设12||||2PF PF -=，则△12PF F 的面积是______．13．已知函数π()sin(2)6f x x =+，其中π[,]6x a ∈-．当3a π=时，()f x 的值域是______；假设()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范围是______．14．已知函数()f x 的定义域为R ．假设∃常数0c >，对x ∀∈R ，有()()f x c f x c +>-，则称函数()f x 具有性质P ．给定以下三个函数：①()2x f x =； ②()sin f x x =； ③3()f x x x =-．其中，具有性质P 的函数的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．〔本小题总分值13分〕在△ABC 21cos2B B =-． 〔Ⅰ〕求角B 的值； 〔Ⅱ〕假设2BC =，4A π=，求△ABC 的面积．16．〔本小题总分值14分〕如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，PD PA =，⊥PA 平面PDC ，E 为棱PD 的中点．〔Ⅰ〕求证：PB // 平面EAC ； 〔Ⅱ〕求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； 〔Ⅲ〕求二面角B AC E --的余弦值．17．〔本小题总分值13分〕生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 [70,76) [76,82) [82,88) [88,94) [94,100]元件A 8 1240 32 8 元件B71840296〔Ⅰ〕试分别估计元件A ，元件B 为正品的概率；〔Ⅱ〕生产一件元件A ，假设是正品可盈利40元，假设是次品则亏损5元；生产一件元件B ，假设是正品可盈利50元，假设是次品则亏损10元 .在〔Ⅰ〕的前提下，〔ⅰ〕记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望；〔ⅱ〕求生产5件元件B 所获得的利润不少于140元的概率．18．〔本小题总分值13分〕已知函数2()xf x x b=+，其中b ∈R ． 〔Ⅰ〕求)(x f 的单调区间；〔Ⅱ〕设0b >．假设13[,]44x ∃∈，使()1f x ≥，求b 的取值范围．19．〔本小题总分值14分〕如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ．过点(2,0)P 的直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，直线AF ，BF 分别与抛物线交于点M ，N ．〔Ⅰ〕求12y y 的值；〔Ⅱ〕记直线MN 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k .证明：12k k 为定值． 20．〔本小题总分值13分〕如图，设A 是由n n ⨯个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,3,,)i j n =表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.记(,)S n n 为所有这样的数表构成的集合．对于(,)A S n n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之积，()j c A 为A 的第j 列各数之积．令11()()()n ni j i j l A r A c A ===+∑∑．〔Ⅰ〕请写出一个(4,4)A S ∈，使得()0l A =； 〔Ⅱ〕是否存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =？说明理由；〔Ⅲ〕给定正整数n ，对于所有的(,)A S n n ∈，求()l A 的取值集合．北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末高三数学〔理科〕参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.1．D ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．C ； 6．B ； 7．C ； 8．B ．二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9．1-； 10．165，125； 11．6；12 13．1[,1]2-，[,]62ππ； 14．①③．注：10、13题第一问2分，第二问3分;14题结论完全正确才给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.假设考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15．〔本小题总分值13分〕21cos2B B =-，所以 2cos 2sin B B B =． ………………3分 因为 0B <<π， 所以 sin 0B >，从而 tan B ………………5分所以 π3B =． ………………6分解法二： 依题意得2cos21B B +=，所以 2sin(2)16B π+=， 即 1sin(2)62B π+=． ………………3分因为 0B <<π， 所以 132666B πππ<+<，所以 5266B ππ+=． ………………5分所以 π3B =． ………………6分 〔Ⅱ〕解法一：因为 4A π=，π3B=，根据正弦定理得 sin sin AC BCB A =， ………………7分 所以 sin sin BC BAC A⋅==． ………………8分 因为512C AB π=π--=， ………………9分所以 5sin sinsin()12464C πππ==+=， ………………11分 所以 △ABC 的面积1sin 2S AC BC C =⋅=． ………………13分 解法二：因为 4A π=，π3B=， 根据正弦定理得 sin sin AC BCB A =， ………………7分 所以 sin sin BC BAC A⋅==． ………………8分 根据余弦定理得 2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅， ………………9分 化简为 2220AB AB --=，解得1AB = ………………11分 所以 △ABC 的面积1sin 2S AB BC B =⋅=． ………………13分 16．〔本小题总分值14分〕〔Ⅰ〕证明：连接BD 与AC 相交于点O ，连结EO ．因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 因为 E 为棱PD 中点．所以 EO PB //． ………………3分 因为 ⊄PB 平面EAC ，⊂EO 平面EAC ，所以直线PB //平面EAC ． ………………4分〔Ⅱ〕证明：因为⊥PA 平面PDC ，所以CD PA ⊥． ………………5分因为四边形ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥，所以⊥CD 平面PAD ． ………………7分所以平面PAD ⊥平面ABCD ． ………………8分 〔Ⅲ〕解法一：在平面PAD 内过D 作直线Dz AD ⊥．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以Dz ⊥平面ABCD ．由,,Dz DA DC 两两垂直，建立如下列图的空间直角坐标系xyz D -． …………9分设4AB =，则(0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(2,0,2),(1,0,1)D A B C P E ． 所以 )1,0,3(-=EA ，)0,4,4(-=AC ．设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.EA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以 ⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x取1=x ，得(1,1,3)=n ． ………………11分易知平面ABCD 的法向量为(0,0,1)=v ． ………………12分所以 |||cos ,|||||11⋅==〈〉n v n v n v ． ………………13分 由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角， 所以二面角B AC E --的余弦值为11113-． ………………14分 解法二：取AD 中点M ，BC 中点N ，连结PM ，MN ． 因为ABCD 为正方形，所以CD MN //． 由〔Ⅱ〕可得⊥MN 平面PAD ． 因为PD PA =，所以⊥PM AD ．由,,MP MA MN 两两垂直，建立如下列图 的空间直角坐标系xyz M -． ………………9分设4=AB ，则(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,0,2),(1,0,1)A B C D P E ---．所以 )1,0,3(-=EA ，)0,4,4(-=AC ．设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.EA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以 ⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x 取1=x ，得=n )3,1,1(． ………………11分易知平面ABCD 的法向量为=v )1,0,0(． ………………12分所以|||cos ,|||||⋅==〈〉n v n v n v ． ………………13分 由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角， 所以二面角B AC E --的余弦值为11113-． ………………14分17．〔本小题总分值13分〕 〔Ⅰ〕解：元件A 为正品的概率约为4032841005++=． ………………1分元件B 为正品的概率约为4029631004++=． ………………2分 〔Ⅱ〕解：〔ⅰ〕随机变量X 的所有取值为90,45,30,15-． ………………3分 433(90)545P X ==⨯=； 133(45)5420P X ==⨯=； 411(30)545P X ==⨯=； 111(15)5420P X =-=⨯=． ………………7分所以，随机变量X 的分布列为:X 90 45 30 15-P35 320 15 120………………8分3311904530(15)66520520EX =⨯+⨯+⨯+-⨯=． ………………9分 〔ⅱ〕设生产的5件元件B 中正品有n 件，则次品有5n -件.依题意，得 5010(5)140n n --≥， 解得 196n ≥． 所以 4n =，或5n =． ………………11分 设“生产5件元件B 所获得的利润不少于140元”为事件A ， 则 445531381()C ()()444128P A =⨯+=． ………………13分18.〔本小题总分值13分〕 〔Ⅰ〕解：① 当0b =时，1()f x x=． 故()f x 的单调减区间为(,0)-∞，(0,)+∞；无单调增区间． ………………1分② 当0b >时，222()()b x f x x b -'=+． ………………3分令()0f x '=，得1x =2x =()f x 和()f x '的情况如下：)故()f x 的单调减区间为(,-∞，)+∞；单调增区间为(．………………5分③ 当0b <时，()f x 的定义域为{|D x x =∈≠R ．因为222()0()b x f x x b -'=<+在D 上恒成立，故()f x 的单调减区间为(,-∞，(，)+∞；无单调增区间．………………7分〔Ⅱ〕解：因为0b >，13[,]44x ∈，所以 ()1f x ≥ 等价于 2b x x ≤-+，其中13[,]44x ∈． ………………9分设2()g x x x =-+，()g x 在区间13[,]44上的最大值为11()24g =．………………11分 则“13[,]44x ∃∈，使得 2b x x ≤-+”等价于14b ≤． 所以，b 的取值范围是1(0,]4． ………………13分 19．〔本小题总分值14分〕〔Ⅰ〕解：依题意，设直线AB 的方程为2x my =+． ………………1分将其代入24y x =，消去x ，整理得 2480y my --=． ………………4分 从而128y y =-． ………………5分 〔Ⅱ〕证明：设33(,)M x y ，44(,)N x y ．则 221234341121222234123123444444y y y y y y k x x y y k x x y y y y y y y y ----+=⨯=⨯=---+-． ………………7分 设直线AM 的方程为1x ny =+，将其代入24y x =，消去x ， 整理得 2440y ny --=． ………………9分所以 134y y =-． ………………10分 同理可得 244y y =-． ………………11分 故112121223412444k y y y y y yk y y y y ++===--+-+． ………………13分 由〔Ⅰ〕得 122k k =，为定值． ………………14分20．〔本小题总分值13分〕〔Ⅰ〕解：答案不唯一，如下列图数表符合要求．1- 1- 1- 1- 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1………………3分 〔Ⅱ〕解：不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =． ………………4分 证明如下：假设存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =．因为(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}j c A ∈- (19,19)i j ≤≤≤≤， 所以1()r A ，2()r A ，，9()r A ，1()c A ，2()c A ，，9()c A 这18个数中有9个1，9个1-．令129129()()()()()()M r A r A r A c A c A c A =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅．一方面，由于这18个数中有9个1，9个1-，从而9(1)1M =-=-． ① 另一方面，129()()()r A r A r A ⋅⋅⋅表示数表中所有元素之积〔记这81个实数之积为m 〕；129()()()c A c A c A ⋅⋅⋅也表示m ， 从而21M m ==． ②①、②相矛盾，从而不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =． ………………8分〔Ⅲ〕解：记这2n 个实数之积为p ．一方面，从“行”的角度看，有12()()()n p r A r A r A =⋅⋅⋅； 另一方面，从“列”的角度看，有12()()()n p c A c A c A =⋅⋅⋅．从而有1212()()()()()()n n r A r A r A c A c A c A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅． ③ ………………10分注意到(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}j c A ∈- (1,1)i n j n ≤≤≤≤． 下面考虑1()r A ，2()r A ，，()n r A ，1()c A ，2()c A ，，()n c A 中1-的个数：由③知，上述2n 个实数中，1-的个数一定为偶数，该偶数记为2(0)k k n ≤≤；则1的个数为22n k -，所以()(1)21(22)2(2)l A k n k n k =-⨯+⨯-=-． ………………12分对数表0A ：1ij a =(,1,2,3,,)i j n =，显然0()2l A n =．将数表0A 中的11a 由1变为1-，得到数表1A ，显然1()24l An =-． 将数表1A 中的22a 由1变为1-，得到数表2A ，显然2()28l A n =-． 依此类推，将数表1k A -中的kk a 由1变为1-，得到数表k A ． 即数表k A 满足：11221(1)kk a a a k n ====-≤≤，其余1ij a =．所以 12()()()1k r A r A r A ====-，12()()()1k c A c A c A ====-．所以()2[(1)()]24k l A k n k n k =-⨯+-=-．由k 的任意性知，()l A 的取值集合为{2(2)|0,1,2,,}n k k n -=．……………13分。
2013高三上册理科数学期末考试卷(附答案)
2013高三上册理科数学期末考试卷（附答案）东北育才学校2012-2013学年度上学期期末考试高三年级数学试题（理）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．设全集，集合,则（）A．{2,4}B．{2,4，6}C．{0，2,4}D．{0，2,4，6}2．若复数是纯虚数，则实数（）A．±1B．C．0D．13．已知为等比数列，若，则（）A．10B．20C．60D．1004．设点是线段BC的中点，点A在直线BC外，,,则（）A．2B．4C．6D．85．右图的算法中，若输入A=192，B=22，输出的是（）A．0B．2C．4D．66．给出命题p：直线互相平行的充要条件是；命题q：若平面内不共线的三点到平面的距离相等，则∥。
对以上两个命题，下列结论中正确的是（）A．命题“p且q”为真B．命题“p或q”为假C．命题“p且┓q”为假D．命题“p且┓q”为真7．若关于的不等式组表示的区域为三角形，则实数的取值范围是（）A．（-∞，1）B．（0,1）C．（-1,1）D．（1，+∞）8．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，不许有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的方法有（）A．36种B．45种C．54种D．84种9．设偶函数的部分图像如图所示，为等腰直角三角形，∠=90°，||=1，则的值为（）A．B．C．D．10．已知点,动圆C与直线切于点B，过与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为（）A．B．C．D．11．函数有且只有两个不同的零点，则b的值为（）A．B．C．D．不确定12．已知三边长分别为4、5、6的△ABC的外接圆恰好是球的一个大圆，P为球面上一点，若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥P-ABC的体积为（）A．5B．10C．20D．30第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2012-2013学年度第一学期第一次考理科试卷
2012－2013学年度第一学期第一次月考试题 高三数学（理）考生注意：本试卷分第1卷（选择题）和第2卷（非选择题）两部分，满分150 分，时间120分钟。
试卷所有内容必须答在答题卡上，否则算做0分！第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案填在答案栏内）1、设集合{|08}U x N x =∈<…，{1,2,4,5}S =，{3,5,7}T =，则()U S T =ð（ ） A ．{1,2,4}B ．{1,2,3,4,5,7}C ．{1,2}D ．{1,2,4,5,6,8}2、复数2(12)34i i +-的值是（ ）Ａ.－１ Ｂ.１ Ｃ.－i Ｄ.i3、某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。
为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（ ） （A ）9（B ）18（C ）27(D) 364、 “1x >”是“2x x >”的（ ）Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件5、已知函数22log (2)()24(22a x x f x x x x x +≥⎧⎪==⎨-<⎪-⎩当时在点处当时）连续， 则常数a 的值是（ ）Ａ.２ Ｂ.5 Ｃ.４ Ｄ.36、已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为( )(A)-1 (B)-2 (C) 1 (D)27、设随机变量ξ服从标准正态分布(01)N ，，已知( 1.96)0.025Φ-=， 则(|| 1.96)P ξ<=（ ） A ．0.025B ．0.050C ．0.950D ．0.9758、函数)(21R x y x ∈=+的反函数是（ ） A. )0(log 12>+=x x y B. )1)(1(log 2>-=x x y C. )0(log 12>+-=x x y D. )1)(1(log 2->+=x x y9、若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（ ） A ．1[,3]2 B ．10[2,]3 C ．510[,]23 D ．10[3,]310、已知函数()()21,1,log , 1.a a x x f x x x --⎧⎪=⎨>⎪⎩≤若()f x 在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()1,2B ．()2,3 C ． (]2,3 D ． ()2,+∞11、复数1ii +在复平面内的对应点到原点的距离为 （ ）A ．12B．2C ．1D12、若曲线321y 43x bx x c=+++上任意一点处的切线斜率恒为非负数，则b 的取值范围为（ ）A ．-2≤b≤2B ．-2<b≤2C ．-2≤b<2D ．-2<b<2第Ⅱ卷 （非选择题 90分 ）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13、某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E ξ________（结果用最简分数表示）. .14、211lim32x x x x →-=-+ .15、设函数()y f x =存在反函数1()y f x -=,且函数()y x f x =-的图象过点(1,2),则函数1()y f x x -=-的图象一定过点 . 16、函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__________。
北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学理试题(word版)
丰台区2012～2013学年度第一学期期末练习高三数学（理科）一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，5-a }， =M C U {5，7}，则实数a 的值为(A)2或－8 (B) －2或－8 (C) －2或8 (D) 2或8 2．“0x >”是“12x x +≥”的(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件 (C) 充分且必要条件 (D) 既不充分也不必要条件3．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是(A)13(B)12(C)23(D)564．如图，某三棱锥的三视图都是直角边为则该三棱锥的四个面的面积中最大的是(A)(B) (C) 1 (D) 25．函数2sin()y x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是(A) 2sin(2)4y x π=-(B) 2sin(2)4y x π=+(C) 32sin()8y x π=+(D) 72sin()216x y π=+6．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（[]x 表示不超过x 的最大整数）(A) 4(B) 5(C) 7(D) 97．在平面直角坐标系xOy 中，已知A(1,0)，B （0,1），点C 在第二象限内，56A O C π∠=，且|OC|=2，若O C O A O B λμ=+，则λ，μ的值是（ ）(A)1 (B) 1(C) -1，，18．已知函数f(x)=2ax bx c ++,且,0a b c a b c >>++=，集合A={m|f(m)<0}，则 (A) ,m A ∀∈都有f(m+3)>0 (B) ,m A ∀∈都有f(m+3)<0 (C) 0,m A ∃∈使得f(m 0+3)=0 (D) 0,m A ∃∈使得f(m 0+3)<0 二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．9．某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是 ______．10．已知直线y=x+b 与平面区域C:||2,||2x y ≤⎧⎨≤⎩的边界交于A ，B 两点，若b 的取值范围是________.11．12,l l 是分别经过A(1,1)，B(0,-1)两点的两条平行直线，当12,l l 间的距离最大时，直线1l 的方程是 ．12．圆22()1x a y -+=与双曲线221x y -=的渐近线相切，则a 的值是 _______. 13．已知A B C ∆中，BC=1，sinC=，则A B C ∆的面积为______． 14．右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i 行第j 列的数为ij a （*,,N j i j i ∈≥），则53a 等于 ，______(3)m n a m =≥.三、解答题：共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（本题共13分）函数2()lg(23)f x x x =--的定义域为集合A ，函数()2(2)x g x a x =-≤的值域为集合B ． （Ⅰ）求集合A ，B ；（Ⅱ）若集合A ，B 满足A B B = ,求实数a 的取值范围． 16．（本题共13分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．（Ⅰ）若点A 的横坐标是35，点B 的纵坐标是1213，求sin()αβ+的值；（Ⅱ） 若∣AB ∣=32, 求OA OB ⋅的值.17．（本题共14分）如图，在三棱锥P-ABC 中，PA=PB=AB=2，3B C =，90=∠ABC °,平面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点.（Ⅰ）求证：DE ‖平面PBC ; （Ⅱ）求证：AB ⊥PE ； （Ⅲ）求二面角A-PB-E 的大小. 18．（本题共14分）已知函数2()(0)xa xb x cf x a e++=>的导函数'()y f x =的两个零点为-3和0.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若f(x)的极小值为3e -，求f(x)在区间[5,)-+∞上的最大值. 19．（本题共13分）曲线12,C C 都是以原点O 为对称中心、离心率相等的椭圆．点M 的坐标是（0,1），线段MN 是1C 的短轴，是2C 的长轴.直线:(01)l y m m =<<与1C 交于A,D 两点（A 在D 的左侧），与2C 交于B,C 两点（B 在C 的左侧）．（Ⅰ）当m= 2， 54A C =时，求椭圆12,C C 的方程；（Ⅱ）若OB ∥AN ，求离心率e 的取值范围． 20．（本题共13分）已知曲线2:2(0)C y x y =≥，111222(,),(,),,(,),n n n A x y A x y A x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是曲线C 上的点，且满足120n x x x <<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅，一列点(,0)(1,2,)i i B a i =⋅⋅⋅在x 轴上，且10(i i i B A B B -∆是坐标原点）是以i A 为直角顶点的等腰直角三角形． （Ⅰ）求1A 、1B 的坐标； （Ⅱ）求数列{}n y 的通项公式；（Ⅲ）令1,2iy i i ib c a -==，是否存在正整数N ，当n≥N 时，都有11nni ii i b c==<∑∑，若存在，求出N 的最小值并证明；若不存在，说明理由．丰台区2012～2013学年度第一学期期末练习高三数学（理科）参考答案一、选择题二、填空题：9．20； 10.[-2,2] ； 11. x+2y-3=0； 12．只写一个答案给3分)；13．2； 14．5,1612n m + (第一个空2分，第二个空3分)三．解答题15．（本题共13分）函数2()l g (23)f x x x =--的定义域为集合A ，函数()2(2)xg x a x =-≤的值域为集合B ． （Ⅰ）求集合A ，B ；（Ⅱ）若集合A ，B 满足A B B = ,求实数a 的取值范围．解：（Ⅰ）A=2{|230}x x x -->={|(3)(1)0}x x x -+>={|1,3}x x x <->或，..………………………..……3分 B={|2,2}{|4}x y y a x y a y a =-≤=-<≤-． ………………………..…..7分 （Ⅱ）∵A B B = ，∴B A ⊆， ..……………………………………………. 9分 ∴41a -<-或3a -≥， …………………………………………………………...11分∴3a ≤-或5a >，即a 的取值范围是(,3](5,)-∞-+∞ ．…………………….13分 16．（本题共13分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点． （Ⅰ）若点A 的横坐标是35，点B 的纵坐标是1213，求s i n ()αβ+的值； （Ⅱ） 若∣AB ∣=32, 求OA OB ⋅的值.解：（Ⅰ）根据三角函数的定义得，3c o s 5α=， 12sin 13β=． ………………………………………………………2分∵α的终边在第一象限，∴4sin 5α=． ……………………………………………3分∵β的终边在第二象限，∴ 5c o s 13β=-．………………………………………4分∴sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+=455()13⨯-+351213⨯=1665．……………7分（Ⅱ）方法（1）∵∣AB ∣=|AB|=|OB OA - |, ……………………………………9分又∵222||222OB OA OB OA OA OB OA OB -=+-⋅=-⋅，…………………11分∴9224O A O B -⋅= ，∴18O A O B ⋅=- ．…………………………………………………………………13分方法（2）∵222||||||1cos 2||||8O A O B AB AO B O A O B +-∠==-， …………………10分∴OA OB⋅=1||||cos8O A O B A O B∠=-．………………………………… 13分17．(本题共14分)如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2，3B C=，90=∠ABC°,平面PAB⊥平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．（Ⅰ）求证：DE//平面PBC;（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求二面角A-PB-E的大小．解：（Ⅰ） D、E分别为AB、AC中点，∴DE//BC ．DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴DE//平面PBC ．…………………………4分（Ⅱ）连结PD，PA=PB，∴PD ⊥AB．…………………………….5分//D E B C，BC ⊥AB，∴DE ⊥AB．.... .......................................................................................................6分又 PD DE D=，∴AB⊥平面PDE．......................................................................................................8分 PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE ．..........................................................................................................9分（Ⅲ） 平面PAB⊥平面ABC，平面PAB 平面ABC=AB，PD ⊥AB，∴PD⊥平面ABC．................................................................................................10分如图,以D为原点建立空间直角坐标系∴B(1,0,0)，P(0,0,3)，E(0,32,0) ,∴PB=(1,0,)，PE=(0,32, ）．设平面PBE的法向量1(,,)n x y z=，∴0,30,2x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩令z =得1(3,2,n =． ............................11分DE ⊥平面PAB ，∴平面PAB 的法向量为2(0,1,0)n =．………………….......................................12分设二面角的A PB E --大小为θ，由图知，121212||1cos cos ,2n n n n n n θ⋅=<>==⋅，所以60,θ=︒即二面角的A PB E --大小为60︒． ..........................................14分18．（本题共14分）已知函数2()(0)xax bx cf x a e++=>的导函数'()y f x =的两个零点为-3和0.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若f(x)的极小值为3e -，求()f x 在区间[5,)-+∞上的最大值.解：（Ⅰ）222(2)()(2)()()x xx xax b e ax bx c eax a b x b cf x e e+-++-+-+-'==．.......2分令2()(2)g x ax a b x b c =-+-+-，因为0xe >，所以'()yf x =的零点就是2()(2)g x ax a b x b c =-+-+-的零点，且()f x '与()g x 符号相同.又因为0a >，所以30x -<<时，g(x)>0,即()0f x '>， ………………………4分 当3,0x x <->时,g(x)<0 ,即()0f x '<， …………………………………………6分所以()f x 的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3），（0，+∞）．……7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x =-3是()f x 的极小值点，所以有3393,0,93(2)0,a b c e eb c a a b b c --+⎧=-⎪⎪-=⎨⎪---+-=⎪⎩解得1,5,5a b c ===， …………………………………………………………11分所以255()xx x f x e++=.()f x 的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3）,（0，+∞）， ∴(0)5f =为函数()f x 的极大值, …………………………………………………12分∴()f x 在区间[5,)-+∞上的最大值取(5)f -和(0)f 中的最大者. …………….13分而555(5)5f e e--==>5，所以函数f(x)在区间[5,)-+∞上的最大值是55e ．.…14分19．（本题共13分）曲线12,C C 都是以原点O 为对称中心、离心率相等的椭圆 . 点M 的坐标是（0,1）,线段MN 是1C 的短轴，是2C 的长轴 . 直线:(01)l y m m =<<与1C 交于A,D 两点（A 在D 的左侧），与2C 交于B,C 两点（B 在C 的左侧）．（Ⅰ）当m= 254A C =时，求椭圆12,C C 的方程；（Ⅱ）若OB ∥AN ，求离心率e 的取值范围． 解：（Ⅰ）设C 1的方程为2221x y a+=,C 2的方程为2221x y b+=,其中1,01a b ><<．..2分C 1 ,C 2的离心率相同，所以22211a b a-=-,所以1ab =，……………………….…3分∴C 2的方程为2221a x y +=．当m=2时，A (,22a -,C 1(,22a ． .………………………………………….5分又 54A C =,所以，15224a a+=，解得a=2或a=12(舍)， ………….…………..6分∴C 1 ,C 2的方程分别为2214xy +=，2241x y +=．………………………………….7分（Ⅱ）A(-． …………………………………………9分OB ∥AN,∴O B AN k k =,∴1m m +=-∴211m a =- ． …………………………………….11分2221a e a-=，∴2211a e=-，∴221e m e-=． ………………………………………12分01m <<，∴22101e e-<<，∴12e <<．........................................................13分20.（本题共13分）已知曲线2:2(0)C y x y =≥，111222(,),(,),,(,),n n n A x y A x y A x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是曲线C 上的点，且满足120n x x x <<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅，一列点(,0)(1,2,)i i B a i =⋅⋅⋅在x 轴上，且10(i i i B A B B -∆是坐标原点）是以i A 为直角顶点的等腰直角三角形． （Ⅰ）求1A ，1B 的坐标； （Ⅱ）求数列{}n y 的通项公式；（Ⅲ）令1,2iy i i ib c a -==，是否存在正整数N ，当n≥N 时，都有11nni ii i b c==<∑∑，若存在，写出N 的最小值并证明;若不存在，说明理由． 解：（Ⅰ） ∆B 0A 1B 1是以A 1为直角顶点的等腰直角三角形， ∴直线B 0A 1的方程为y=x ．由220y x y x y =⎧⎪=⎨⎪>⎩得112x y ==，即点A 1的坐标为（2，2），进而得1(4,0)B ．…..3分（Ⅱ）根据1n n n B A B -∆和11n n n B A B ++∆分别是以n A 和1n A +为直角顶点的等腰直角三角形可得11n n n n n n a x y a x y ++=+⎧⎨=-⎩ ，即11n n n n x y x y +++=- ．（*） …………………………..5分 n A 和1n A +均在曲线2:2(0)C y x y =≥上，∴22112,2n n n n y x y x ++==， ∴2211,22n n n n y y x x ++==，代入（*）式得22112()n n n n y y y y ++-=+，∴*12()n n y y n N +-=∈， ………………………………………………………..7分∴数列{}n y 是以12y =为首项，2为公差的等差数列，∴其通项公式为2n y n =(*n N ∈)． ……………………………………………....8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，2222n n y x n ==，∴2(1)n n n a x y nn =+=+， ……………………………………………………9分 ∴12(1)i b i i =+，1122iy i i c -+==．∴11112(12)2(23)2(1)ni i b n n ==+++⨯⨯+∑=111111(1)22231n n -+-++-+ =11(1)21n -+．….……………..…………10分231111(1)1111142(1)12222212nni n ni c +=-=+++==--∑． ……………………….11分（方法一）1n i i b =∑-1ni i c =∑=1111111112(1)-(1)()21222212(1)nnnn n n n n ++---=-=+++．当n=1时11b c =不符合题意，第11页当n=2时22b c <，符合题意，猜想对于一切大于或等于2的自然数，都有11nni ii i b c==<∑∑．（*）观察知，欲证（*）式，只需证明当n≥2时，n+1<2n 以下用数学归纳法证明如下：(1)当n=2时，左边=3，右边=4，左边<右边； (2)假设n=k （k≥2）时，(k+1)<2k ,当n=k+1时，左边=（k+1）+1<2k +1<2k +2k =2k+1=右边,∴对于一切大于或等于2的正整数，都有n+1<2n，即1n i i b =∑<1ni i c =∑成立．综上，满足题意的n 的最小值为2. ……………………………………………..13分（方法二）欲证11nni ii i b c==<∑∑成立，只需证明当n≥2时，n+1<2n ．()12323211...1...nnnnnnnnnnnnC C C C C n C C C =+=+++++=+++++ ， 并且23...0nn n n C C C ++>，∴当2n ≥时，21nn ≥+.。
广东省肇庆市2013届高三上学期期末数学试题(理)
肇庆市中小学2012—2013学年第一学期统一检测题高三数学（理科）注意事项：1. 答卷前考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡的密封线内.2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.参考公式：1、锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设1z i =-（i 是虚数单位），则2z z+= ( ) A ．2 B ．3 C ．22i - D ． 22i + 2．已知集合{}1,2,A m =，{}3,4B =，{}1,2,3,4A B =则m =（ ）A. 0B. 3C. 4D. 3或43．已知向量(1,cos ),(1,2cos )θθ=-=a b 且⊥a b ，则cos2θ等于 （ ）A.1-B.0 C .12D.2 4．已知变量,x y 满足约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则23z x y =+的取值范围是（ ）A. [8,4]-B. [8,2]-C. [4,2]-D. [4,8]--5．图1是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是27，则判断框①处应填入的条件是 ( )A.2n >B. 3n >C. 4n >D. 5n >6．已知某个几何体的三视图如图2所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），则这个几何体的体积是( ).A. 38cmB. 312cmC. 324cmD. 372cm7．101x x ⎫⎪⎭的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是( ) A.0 B.2 C.4 D.68.定义空间两个向量的一种运算sin ,⊗=⋅<>a b a b a b ，则关于空间向量上述运算的以下结论中，①⊗=⊗a b b a ，②()()λλ⊗=⊗a b a b ，③()()()+⊗=⊗+⊗a b c a c b c ， ④若1122(,),(,)x y x y ==a b ，则1221x y x y ⊗=-a b .恒成立的有A ．1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.（一）必做题（9～13题）9．不等式3|52|9x <-≤的解集是 .10．等比数列{n a }中，123420,40a a a a +=+=，则56a a +等于11．函数321()2323f x x x x =-+-在区间[0,2]上最大值为 12．圆心在直线270x y -+=上的圆C 与x 轴交于两点(2,0)A -、(4,0)B -，则圆C 的方程为__________.13．某班有学生40人，将其数学期中考试成绩平均分为两组，第一组的平均分为80分，标准差为4，第二组的平均分为90分，标准差为6， 则此班40名学生的数学期中考试成绩平均分 方差为（ ） ▲14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系(),ρθ（0,02πρθ>≤<）中，曲线2sin ρθ=与2cos ρθ=的交点的极坐标为_____15.（几何证明选讲选做题）如图3,△ABC 的外角平分线AD 交外接圆于D,4BD =，则CD = .三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）已知向量sin ,cos ,cos ,sin 3366x x A A ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b ，函数()f x =a b （0,A x R >∈），且(2)2f π=.（1）求函数()y f x =的表达式；（2）设,[0,]2παβ∈， 16(3),5f απ+= 5203213f πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭；求cos()αβ+的值 17.（本小题满分12分）2012年“双节”期间，高速公路车辆较多。
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2012-2013学年度第一学期期末考试试卷高三数学 理科一、 选择题（每小题5分，共60分）1．复数32iz i+=-的虚部为（ ）A.1B.1-C.iD.i -2．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且11635S S =+,则11S 的值为（ ）A.117B.118C.119D.1203．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn nm =”类比得到“a b b a =”； ②“()m n t mt nt +=+”类比得到“()a b c a c b c +=+”； ③“()()m n t m n t = ”类比得到“()()a b c a b c =”； ④“0,t mt xt m x ≠=⇒=”类比得到“0,p a p x p a x ≠=⇒=”；⑤“||||||m n m n = ”类比得到“||||||a b a b =”； 以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是（ ）A.1B.2C.3D.44．已知函数()sin cos f x x a x =+的图像的一条对称轴是53x π=，则函数()sin cos g x a x x =+的最大值是（ ）A.B. C.43D.5．已知O 是坐标原点，点(1,1)A -，若点(,)M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM的取值范围是（ ）A.[1,0]-B.[0,1]C.[0,2]D.[1,2]- 6．下列有关命题的说法不正确的是（ ）A.命题“若sin sin x y ≠，则x y ≠”的逆否命题是假命题；B.若“p ⌝”和“p q ∨”均为真命题，则q 是真命题；C.“2560x x --=”是“1x =-”的必要而不充分条件D.命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++≥” 7．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半个圆，则该几何体的表面积为（ ）A.32πB.πC.32π+D.52π+8．某单位有六个科室，现从人才市场招聘4名新毕业的大学生，要安排到其中的两个科室且每个科室2名，则不同的安排方案种数为（ ）A.2264A CB.2264A AC.262A D.226412A C 9．已知曲线221x y a b+=和直线10ax by ++=（,a b 为非零实数），在同一坐标系中，它们的图形可能是（ ）A. B. C. D.10．有一动圆P 恒过定点(,0)(0)F a a >且与y 轴相交于点,A B ,若ABP ∆为正三角形，则点P 的轨迹为（ ）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆11．已知1x 是方程23x x = 的根，2x 是方程2log 3x x = 的根，则12x x 的值为（ ）A.2B.3C.6D.1012．(),()(()0)f x g x g x ≠分别是定义域在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，'()()()'(f x g x f x g x -<，且(2)0f -=，则不等式()0()f xg x <的解集为（ ）A.(2,0)(2,)-+∞B.(2,0)(0,2)-C.(,2)(2,-∞-+∞D.(,2)(0,2-∞-二、 填空题（每小题5分，共20分）13．已知数列{}n a 满足111,n n a a a n +==+，则2013a = 202507914．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为T ，且TF 与x15．执行如图所示的程序框图，输出的T = 3016．设,,,A B C D 是半径为2的球面上的四个不同的点，且满足0,0,0,AB AC AC AD AD AB ===用123,,S S S 分别表示,,ABC ACD ABD ∆∆∆的面积，则123S S S ++的最大值是 8三、 解答题（共70分） 17．（本小题满分12分）在ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，274sin cos 222B C A +-=（1）求角A 的度数；（2）若3a b c =+=，求,b c 的值。
解：（1）在ABC 中有A B C π++=所以274sin cos 222B C A +-= 可化为2-74sin cos 222A A π-=化简得1cos 2A = 所以60A =︒ （2）由（1）可知22222()2bc b c a b c bc a =+-=+--因为3a b c =+= 所以22222()2923bc b c a b c bc a bc =+-=+--=-- 即 2bc =又因为3b c +=联立方程组解得：1,22,1b c b c ====或 18．（本小题满分12分）某中学高三年级开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响。
已知某学生选修甲而不选修乙和丙的概率为0.08，选修甲和乙而不选修丙的概率为0.12，至少俯视图侧视图正视图选修一门的概率是0.88，用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积。
（1）记“函数2()f x x x ξ=+ 为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率； （2）求ξ 的分布列和数学期望。
解：设该学生只选修甲、只选修乙、只选修丙的概率分别为,,x y z 依题意得(1)(1)0.08(1)0.121(1)(1)(1)0.88x y z xy z x y z --=⎧⎪-=⎨⎪----=⎩ ，解得 0.40.60.5x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩（1）因为函数2()f x x x ξ=+ 为R 上的偶函数，所以0ξ= 当0ξ=时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选．()(1)(1)(1)0.24P A xyz x y z ∴=+---=∴ 事件A 的概率为0.24（2）依题意知ξ 的取值为0和2由（1）所求可知(0)0.24P ξ== ，(2)1(0)0.76P P ξξ==-==则ξ 的分布列为∴ξ的数学期望为00.2420.76 1.52E ξ=⨯+⨯=19．（本小题满分12分）已知在四棱锥E ABCD -中，其中四边形ABCD 是矩形，ABE ∆ 为等边三角形，且2,AB AD DE ==，F 是棱BE 上的动点。
（1）若//DE 平面AFC ，试确定点F 的位置；（2）在（1）的条件下，求二面角E DC F --的余弦值。
解：（1）连接BD 交AC 于点G ，连接FG ，因为//DE 平面AFC ，平面AFC ∩平面BDE =GF所以//GF DE ，而在矩形ABCD 中点G 为BD 中点所以在BDE ∆中有//GF DE ，G 为BD 中点，所以F 为BE 中点.20．（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率12e =，连接椭圆的四个顶点所得菱形的面积为1）求椭圆的方程；（2）设F 是椭圆的右焦点，P 是椭圆上一动点，且PF 与x 轴不垂直，经过,P F 的直线与椭圆的另一个交点为Q ，P 关于x 轴的对称点为R ，试证直线RQ 经过x轴上一个定点，并求出这个定点的坐标。
解：（1）由题意得222121222c e a a b c a b ⎧==⎪⎪⎪⨯⨯=⎨⎪⎪=-⎪⎩解得： 2243a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆的方程为 22143x y += （2）设点1122(,),Q(,),P x y x y 则11(,)R x y -，设直线PQ的直线方程为(1)y k x =-联立直线和椭圆方程有：22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简得：2222(34)84120k x k x k +-+-=解得：12x x == 直线RQ 的直线方程为121121y y y y x x x x ++=-- 即：121121(1)(1)(1)y k x k x k x x x x x +--+-=-- 将12x x ==0y = 化简得 直线RQ 与x 轴的焦点的横坐标为 4x =所以直线RQ 经过x 轴上一个定点，这个定点的坐标为(4,0) 。
21．（本小题满分12分）已知函数1()()ln f x a x x x=--。
（1）若1a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在其定义域内为增函数，求a 的取值范围；（3）设函数()eg x x=，若在[1,]e 至少存在一点0x ，使得00()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围。
请考生在第22、23、24题中任选一道题作答，如果多做，则按所做的第一道题几分。
作答是请写清题号。
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两边上的高交与H ，边BC 的中点为D ，（1）求证：2AH OD =；（2）若OA OB OC OH λ++=，求实数λ的值。
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x O y 中，已知曲线1C 的参数方程为112x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩()t 为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线1C 与曲线2C 相交于,A B 两点， （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）求线段AB 的中点M 的直角坐标和AB 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x a x =++-（1）若不等式()3f x ≥的解集为R ，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a 使不等式()4f x x ≤-的解集包含[2,2]-？若存在，求出满足条件的实数a 的集合；若不存在，请说明理由。
22.解：作,AH BH 中点,E F ，直线BH 交AC 于点M ，过点O 作AC 的垂线交AC 于点N ，连接,EF ND 如右图（1）O ABC ∆ 为的外心, D 为BC 的中点,,ON AC ⊥N ∴为AC 的中点，,OD BC ⊥ 1//2DN AB ∴ ,E F 为,AH BH 中点,E F 1//2EF AB ∴ //EF DN ∴ ,;,A G B C O D B C A M A C O N A C⊥⊥⊥⊥ //,//A G O DB M O N ∴//EF DN 由等角补角定理得 ,,,EFH DNO FEH NDO FHE NOD ∠=∠∠=∠∠=∠所以EFH DNO ∆∆ //EF DN ∴ 所以EFH DNO ∆≈∆所以EH DO =而2AH EH =所以2AH OD =（2）+++2,2OA OB OC OA OD OD AH ==+++OA OB OC OA AH OH ∴== 而OA OB OC OH λ++= 所以=1λ23.解：（1）对于1122x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩()t 为参数消去参数t得：y即曲线1C的普通方程为y 将等式2sin ρθ=两边同时乘以ρ 得22sin ρρθ= 将222=+sin =x y yρρθ⎧⎨⎩ 代入得22+=2x y y化简得 22+(1)=1x y -即曲线2C 的直角坐标方程为22+(1)=1x y -H ODCBA（2）将112x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22+(1)=1x y -得：21)10t t -+=所以有12121,1t t t t +==所以12||||AB t t =-==AB 的中点M的横坐标和纵坐标分别为12121312243224t t x t t y ⎧+=-+=⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩ 所以AB 的中点M的坐标为⎝⎭24.解：（1）因为()2f x x a x =++- 所以①当2a -< 即2a >- 时22()222x a f x a x a -+-⎧⎪=+⎨⎪+-⎩,,2,2x aa x x <--≤≤>此时max ()()(2)2f x f a f a =-==+ 要使不等式()3f x ≥的解集为R 则23a +≥ 解得 1a ≥ ②当2a -≥ 即2a ≤- 时22()222x a f x a x a -+-⎧⎪=+⎨⎪+-⎩,2,2,x x a x a <≤≤->-此时max ()()(2)2f x f a f a =-==+ 要使不等式()3f x ≥的解集为R 则23a +≥ 解得 1a ≥ 而2a ≤- 所以a ∈∅综上所述 ：实数a 的取值范围为{|1}a a ≥（2）①当2a >-时，要使不等式()4f x x ≤-的解集包含[2,2]-则有2|24|a +≤- 解得 0a ≤ 所以20a -<≤②当2a ≤-时，要使不等式()4f x x ≤-的解集包含[2,2]-则有2|24|a +≤- 解得 0a ≤ 所以2a ≤-综上所述 ：存在实数a 使不等式()4f x x ≤-的解集包含[2,2]-？若存在，实数a 的取值范围为(,0]-∞。