湖北省长阳县高二9月月考数学(理)试题Word版含答案

长阳一中2017-2018学年度第一学期九月考试
高二数学（理）试卷
本试卷全卷满分150分,考试时间120分钟。

一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的
代号填在题后的括号内，12道小题，每题5分，共60分）
1．若三点A(3,1)，B(－2, b)，C(8,11)在同一直线上，则实数b 等于( )
A ．2
B ．3
C ．9
D ．－9 2．过点P(－1,3)，且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( )
A ．2x ＋y －1＝0
B ．2x ＋y －5＝0
C ．x ＋2y －5＝0
D ．x －2y ＋7＝0
3．已知点A （2，－1，－3），点A 关于x 轴的对称点为B,则|AB|的值为( )
A ．4
B ．6 C
． 4．设α、β是两个不同的平面，给出下列命题：
①若平面α内的直线l 垂直于平面β内的任意直线，则α⊥β； ②若平面α内的任一直线都平行于平面β，则α∥β； ③若平面α垂直于平面β，直线l 在平面α内，则l ⊥β； ④若平面α平行于平面β，直线l 在平面α内，则l ∥β. 其中正确命题的个数是( )
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
5．等差数列{a n }共有2n+1项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则n 的值是（ ）
A ．3
B ．5
C ．7
D ．9
6．直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M(1，－
1)，则直线l 的斜率为( )
A.32
B.23 C ．－32 D ．－2
3
7．设点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l 过点P(1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( )
A ．k ≥34或k ≤－4
B ．－4≤k ≤34
C ．－3
4≤k ≤4 D ．以上都不对
8. 某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300米和500米，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30°，灯塔B 在观察站C 正西方向，则两灯塔A 、B 间的距离为（ ）
A ．500米
B ．600米
C ．700米
D ．800米
9.设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，
x ≥0，y ≥0.若目标函数z ＝ax ＋by(a ＞0，b ＞0)的最
大值为12，则3a ＋2
b
的最小值为( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
10．已知数列{a n }为等差数列，若
a 11
a 10＜－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使得
S n ＞0的n 的最大值为（ ）
A ．11
B ．19
C ．20
D ．21
11．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容
器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( ) A.500π3 cm 3 B.866π3
cm 3
C.
1 372π3 cm 3 D.
2 048π3
cm 3
12．定义
12n
n p p p ++
+为n 个正数n p p p ,,,21 的“均倒数”，已知数列{}n a 的前n
项的“均倒数”为
121+n ，又41+=n n a b ，则 ++32211
1b b b b =+11
101b b （ ） A ．
111 B ．109 C ．1110 D ．12
11
二、填空题（把正确答案填在横线位置，共4小题，每小题5分，共20分）
13．若圆C : x 2＋y 2－4x ＋2y ＋m ＝0与y 轴交于A ，B 两点，且∠ACB ＝90º，则实数m 的值为__________．
14．某几何体的三视图如图所示,其底面为菱形,该几何体的体积是 _______． 15．若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，则实数m 的
取值范围是________________．
16．若圆B : x 2＋y 2＋b ＝0与圆C : x 2＋y 2－6x ＋8y ＋16＝0没有公共点，则b 的
取值范围是________________． 三、解答题（共6道大题，共70分）
17．（本小题满分10分）已知向量(cos ,sin )a x x =，向量
(cos ,sin )b x x =-，()f x a b =⋅
(1)求函数 ()()sin 2g x f x x =+的最小正周期和对称轴方程； (2)若x 是第一象限角且3()4sin 2f x x =,求tan()4
x π
+的值.
18．（本小题12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝1，S 11＝33． （1）求{a n }的通项公式；
（2）设b n ＝( 1 4)n
a ，求证：数列{
b n }是等比数列，并求其前n 项和T n ．
19．（本小题12分）已知圆心为C 的圆过点A(0,－6)和B(1,－5)，且圆心在直线l ：
10x y -+=上.
（1）求圆心为C 的圆的标准方程；
（2）过点M （2，8）作圆的切线，求切线方程. 20．(本小题满分12分)
已知圆C 经过点A(1,3)、B(2,2)，并且直线m ：3x －2y ＝0平分圆C. (1)求圆C 的方程；
(2)若过点D (0,1)，且斜率为k 的直线l 与圆C 有两个不同的交点M 、N. (ⅰ)求实数k 的取值范围； (ⅱ)若OM →·ON →
＝12，求k 的值．
21．(本小题12分) 如图所示，正四棱锥P －ABCD 中，O 为底面正方形的中心，侧棱PA 与
底面ABCD 所成的角的正切值为2
6．
(1)求侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角的大小；
(2)若E 是PB 的中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值； (3)问在棱AD 上是否存在一点F ，使EF ⊥侧面PBC ，若存在，
试确定点F 的位置；若不存在，说明理由．
22．（本小题12分）已知圆42
2
=+y x O ：，直线01:=---k y kx l
（1）判断直线l 和圆O 的位置关系。

（2）求圆心到直线l 的距离的最大值。

（3）如图所示，圆O 与y 轴的正方向交于A 点，点B 在直线
2=y 上运动，过B 做圆O 的切线，切点为C ，求ABC ∆垂
心
H 的轨迹方程．
B
P
长阳一中2017-2018学年度第一学期九月考试
高二数学（理）试卷(答案)
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的
代号填在题后的括号内，12道小题，每题5分，共60分） 1---12: DADBA DACBB AC
二、填空题（把正确答案填在横线位置，共4小题，每小题5分，共20分）
13．－3 14.4
3 15．2222=<≤-m m 或 16．－4＜b ＜0或b ＜－64．
三、解答题（共6道大题，共70分）
17．解:(1
)∵22
()cos sin sin 2cos 2sin 2)4
g x x x x x x x π
=-+=+=
+ …
..3分
∴最小正周期22T ππ== ; 对称轴方程为()28
k x k Z ππ=+∈……………5分
(2)由3()4sin 2f x x =,得3cos 24sin 2x x =…………………………………6分 又x 是第一象限角
∴cos 3sin x x =,故1
tan 3
x =…………………………………………………8分
∴11tan tan
34tan()2141tan tan 143
x x x π
ππ+++=
==--……………………………………10分
18．解：（1）211133a S =⎧⎨=⎩，111
1110
11332
a d a d +=⎧⎪
∴⎨⨯+=⎪⎩，解得112a =，12d =， 111
(1)222
n a n n ∴=
+-=； …………6分 （2）
2111()()()442n n a n n b ===， 112
n n b b +∴=，
于是数列{}n b 是以11
2
b =
为首项，12q =为公比的等比数列；
其前n 项的和 11[1()]
12211212
n n n T -==--． ……12分 19．解：（1）设所求的圆的方程为()()2
2
2
x a y b r -+-=
依题意得:()()()()222
222
061510a b r a b r a b ⎧-+--=⎪⎪-+--=⎨⎪-+=⎪⎩ …………………………………………
3分
解得:23,2,25a b r =-=-= 所
以
所求的圆的方程为:
()
()2
2
3225x y +++=………………………………6分
（2）设所求的切线方程的斜率为k ，则切线方程为()28-=-x k y ，即
082=+--k y kx
又圆心C （-3，-2）到切线的距离1
1051
8
2232
2
+-=
++-+-=
k k k k k d
又由r d =，即
51
1052=+-k k ，解得4
3
=
k …………………………………………8分
∴所求的切线方程为02643=+-y x (10)
分
若直线的斜率不存在时，即2=x 也满足要求.
∴综上所述，所求的切线方程为2=x 或02643=+-y x (12)
分
20．解：(1)线段AB 的中点E ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，52，k AB ＝3－21－2＝－1，故线段AB 的中垂线方程为y －52＝x －32
， 即x －y ＋1＝0.
因为圆C 经过A 、B 两点，故圆心在线段AB 的中垂线上． 又因为直线m ：3x －2y ＝0平分圆C ，所以直线m 经过圆心．
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －y ＋1＝03x －2y ＝0解得，⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2
y ＝3，即圆心的坐标为C(2,3)，而圆的半径r ＝|CB|＝
(2－2)2
＋(2－3)2
＝1，
所以圆C 的方程为：(x －2)2＋(y －3)2
＝1………………………………………4分 (2)直线l 的方程为y ＝kx ＋1.
圆心C 到直线l 的距离d ＝|2k －3＋1|
1＋k
2
， (ⅰ)由题意得d ＝|2k －3＋1|1＋k 2
<1，两边平方整理得：3k 2
－8k ＋3<0， 解之得：4－73<k<4＋7
3
…………………………………………………….7分
(ⅱ)将直线l 的方程与圆C 的方程联立得，⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋1 ①
(x －2)2＋(y －3)2
＝1 ②
将①代入②得：(1＋k 2
)x 2
－4(1＋k)x ＋7＝0，………………………………10分
设M(x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，则由根与系数的关系可得：
x 1＋x 2＝4(1＋k)1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2，而y 1y 2＝(kx 1＋1)·(kx 2＋1)＝k 2
x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1，
所以OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2
)x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1
＝(1＋k 2
)·71＋k 2＋k·4(1＋k)1＋k 2＋1＝4k(1＋k)1＋k
2
＋8，……………………………12分 故有4k(1＋k)1＋k
2
＋8＝12，整理k(1＋k)＝1＋k 2
，解得k ＝1.经检验，此时有Δ>0， 所以k ＝1…………………………………………………………………………12分
21．解：(1)取AD 中点M ，连接MO ，PM ，
依条件可知AD ⊥MO ，AD ⊥PO ，
则∠PMO 为所求二面角P －AD －O 的平面角． ∵ PO ⊥面ABCD ，
∴∠PAO 为侧棱PA 与底面ABCD 所成的角． ∴tan ∠PAO ＝
2
6． 设AB ＝a ，AO ＝2
2
a ， ∴ PO ＝AO ·tan ∠POA ＝2
3
a ， tan ∠PMO ＝MO
PO
＝3．
∴∠PMO ＝60°．
(2)连接AE ，OE ， ∵OE ∥PD ， ∴∠OEA 为异面直线PD 与AE 所成的角．
M
D
B
C
O
E
P
(第21题(1))
M
D
B
A
C
O E
P
(第21题(2))
∵AO ⊥BD ，AO ⊥PO ，∴AO ⊥平面PBD ．又OE ⊂平面PBD ，∴AO ⊥OE ． ∵OE ＝
21
PD ＝2
122 ＋ DO PO ＝
4
5
a ， ∴tan ∠AEO ＝
EO
AO ＝5102．
(3)延长MO 交BC 于N ，取PN 中点G ，连BG ，EG ，MG ． ∵BC ⊥MN ，BC ⊥PN ，∴BC ⊥平面PMN ． ∴平面PMN ⊥平面PBC ．
又PM ＝PN ，∠PMN ＝60°，∴△PMN 为正三角形．∴MG ⊥PN ．又平面PMN ∩平面PBC ＝PN ，∴MG ⊥平面PBC ．
取AM 中点F ，∵EG ∥MF ，∴MF ＝
2
1
MA ＝EG ，∴EF ∥MG ． ∴EF ⊥平面PBC ．点F 为AD 的四等分点．
22．解：（1）∵01=---k y kx
∴1)1(--=x k y
∴直线l 经过定点P （1，-1）………………………………………………1分
又∵12+12
<4
∴（1，-1）在圆的内部………………………………………………………2分 ∴直线l 与圆O 相交。

…………………………………………………………3分 （2）由（1）知圆心到直线l 的最大距离为2|OP |=
………………………6分
（3）设),(y x H ，),('
'
y x C ，连结AH ，CH ，………………………… 7分 则BC AH ⊥，AB CH ⊥，BC 是切线BC OC ⊥， 所以AH OC //，OA CH //，OC OA =，
所以四边形AOCH 是菱形． ……………………………………………………8分
所以2==OA CH ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.
,
2''x x y y (1)………………………………………10分
又),('
'y x C 满足42
'2'=+y x ，(2)
将(1)代入(2)得)0(4)2(2
2
≠=-+x y x 即是所求轨迹方程．…………………12分
M D
B
A
C
O E P
N G F
(第21题(3))。