2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市木兰高级中学高一数学文测试试卷含解析

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市木兰高级中学高一数
学文测试试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设，则( )
A．B． C. D．
参考答案：
A
2. （5分）已知cos（60°+α）=，且α为第三象限角，则cos（30°﹣α）+sin （30°﹣α）的值为（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
考点：两角和与差的余弦函数．
专题：三角函数的求值．
分析：由题意和同角三角函数基本关系可得sin（60°+α）=﹣，由诱导公式可得原式=cos+sin=sin（30°﹣α）+cos（30°﹣α），代值计算即可．
解答：∵cos（60°+α）=，且α为第三象限角，
∴sin（60°+α）=﹣=﹣，
∴cos（30°﹣α）+sin（30°﹣α）
=cos+sin
=sin（30°﹣α）+cos（30°﹣α）=
故选：C
点评：本题考查三角函数求值，涉及同角三角函数基本关系和诱导公式，属基础题．
3. 等于( )
A .1 B. C .0 D.
参考答案：
C
4. 下列各式中成立的一项是()
A．B．C．D．
参考答案：
D
5. 如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形为正方形，，，
，为全等的等边三角形，、分别为、的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（）
A．平面平面B．直线与直线是异面直线
C．直线与直线共面D．面与面的交线与平行
参考答案：
A
由展开图恢复原几何体如图所示：
折起后围成的几何体是正四棱锥，每个侧面都不与底面垂直，A不正确；
由点不在平面内，直线不经过点，根据异面直线的定义可知：
直线与直线异面，所以B正确；在中，由，，
根据三角形的中位线定理可得，又，，
故直线与直线共面，所以C正确；，面，
由线面平行的性质可知面与面的交线与平行，D正确，故选A．
6. 三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a
参考答案：
C
【考点】指数函数单调性的应用．
【分析】将a=0.32，c=20.3分别抽象为指数函数y=0.3x，y=2x之间所对应的函数值，利用它们的图象和性质比较，将b=log20.3，抽象为对数函数y=log2x，利用其图象可知小于零．最后三者得到结论．
【解答】解：由对数函数的性质可知：b=log20.3＜0，
由指数函数的性质可知：0＜a＜1，c＞1
∴b＜a＜c
故选C
【点评】本题主要通过数的比较，来考查指数函数，对数函数的图象和性质．
7. 圆x2+y2+2x+6y+9=0与圆x2+y2﹣6x+2y+1=0的位置关系是（）
A．相交B．外切C．相离D．内切
参考答案：
C
【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心的距离d，然后求出R﹣r和R+r的值，判断d与R﹣r及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系．
【解答】解：把圆x2+y2+2x+6y+9=0与圆x2+y2﹣6x+2y+1=0的分别化为标准方程得：（x+1）2+（y+3）2=1，（x﹣3）2+（y+1）2=9，
故圆心坐标分别为（﹣1，﹣3）和（3，﹣1），半径分别为r=1和R=3，
∵圆心之间的距离d==2，R+r=4，R﹣r=2，
∵，∴R+r＜d，
则两圆的位置关系是相离．
故选：C．
8. 过点且与原点的距离最大的直线方程是（）．
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
9. 如果，那么=（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
10. 已知两条直线m,n，两个平面，给出下面四个命题：①；
②③④
其中正确命题的序号是（）
A. ①③
B. ②④
C. ①④
D. ②③
参考答案：
C
解：m∥n，m⊥α?n⊥α；这是线与面垂直中出现的定理，故①正确，
α∥β，m?α，n?β?m∥n或m，n异面，故②不正确，
m∥n，m∥α?n∥α或n?α，故③不正确，
α∥β，m∥n，m⊥α可以先得到n⊥α进而得到n⊥β，故④正确，
综上可知①④正确，
故答案为：C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 下列命题中
①若log a3＞log b3，则a＞b；
②函数f（x）=x2﹣2x+3，x∈[0，+∞）的值域为[2，+∞）；
③设g（x）是定义在区间[a，b]上的连续函数．若g（a）=g（b）＞0，则函数g（x）无零点；
④函数既是奇函数又是减函数．
其中正确的命题有．
参考答案：
②④
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】根据对数函数的图象和性质，可判断①；根据二次函数的图象和性质，可判断②；根据函数零点的定义，可判断③；分析函数的奇偶性和单调性，可判断④．
【解答】解：若log a3＞log b3＞0，则a＜b，故①错误；
函数f（x）=x2﹣2x+3的图象开口朝上，且以直线x=1为对称轴，
当x=1时，函数取最小值2，无最大值，故函数f（x）=x2﹣2x+3，x∈[0，+∞）的值域为[2，+∞）；
故②正确；
g（x）是定义在区间[a，b]上的连续函数．若g（a）=g（b）＞0，
则函数g（x）可能存在零点；
故③错误；
数满足h（﹣x）=﹣h（x），故h（x）为奇函数，
又由=﹣e x＜0恒成立，故h（x）为减函数
故④正确；
故答案为：②④．
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了对数函数的图象和性质，函数的值域，函数的零点，函数的奇偶性和函数的单调性等知识点，难度中档．
12. 在半径为6cm的圆中，某扇形的弧所对的圆心角为，则该扇形的周长是cm，该扇形的面积是cm2．
参考答案：
，
【考点】扇形面积公式．
【分析】求出扇形的弧长，即可求出扇形的周长及面积．
【解答】，；解：由题意，扇形的弧长l=6×=πcm，
∴扇形的周长为cm，扇形的面积S==cm2
故答案为：，．
【点评】此题主要考查了弧长公式，扇形的面积公式的应用，正确记忆弧长公式是解题关键，属于基础题．
13. （5分）已知圆C：x2+y2+4y﹣21=0，直线l：2x﹣y+3=0，则直线被圆截的弦长
为．
参考答案：
4
考点：直线与圆相交的性质．
专题：计算题；直线与圆．
分析：把圆的方程化为标准方程，可得圆心坐标与圆的半径，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理计算直线l：2x﹣y+3=0被圆C所截得的弦长．
解答：圆的标准方程为：x2+（y+2）2=25，
∴圆的圆心为（0，﹣2），半径为R=5；
∴圆心到直线的距离d==，
∴直线l：2x﹣y+3=0被圆C所截得的弦长为2=4．
故答案为：4．
点评：本题考查了直线与圆的相交弦长问题及点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．
14. 已知直线l过点（1，﹣1），且在y轴上的截距为，则直线l的方程为．
参考答案：
5x+2y﹣3=0
【考点】直线的两点式方程．
【分析】由题意可得直线过点（0，）和（1，﹣1），可得斜率，进而可得斜截式方程，化为一般式即可．
【解答】解：∵直线在y轴上截距为，
∴直线过点（0，），
∴直线的斜率k==﹣，
∴直线的方程为：y=﹣x+，
化为一般式可得：5x+2y﹣3=0，
故答案为：5x+2y﹣3=0．
【点评】本题考查直线的方程，涉及直线的截距，属基础题．
15. 已知为定义在上的奇函数，当时，；
（1）求在上的解析式；
（2）试判断函数在区间上的单调性，并给出证明.
参考答案：
解：(1)当时,，
所以，
又6分
(2)函数在区间上为单调减函数.
证明如下:
设是区间上的任意两个实数，且，
则8分
，
因为,
所以即.
所以函数在区间上为单调减函数. 12分
16. 已知数列{ a n}满足，若数列{}单调递增，数列{}单调递减，数列{ a n}的通项公式为____.
参考答案：
【分析】
分别求出{}、{}的通项公式，再统一形式即可得解。

【详解】解：根据题意，
又单调递减，{}单调递减增
…①
…②
①+②,得，
故
代入，有成立，
又…③
…④
③+④，得，
故
代入，成立。

，
综上，
【点睛】本题考查了等比数列性质的灵活运用，考查了分类思想和运算能力，属于难题。

17. 给出下列五个命题：
①函数f（x）=2a2x-1-1的图象过定点（，-1）；
②已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x（x+1），若f（a）=-2则实数a=-1或2．
③若log a＞1，则a的取值范围是（，1）；
④若对于任意x∈R都f（x）=f（4-x）成立，则f（x）图象关于直线x=2对称；
⑤对于函数f（x）=ln x，其定义域内任意x1≠x2都满足f（）≥
其中所有正确命题的序号是______．
参考答案：
③④⑤
【分析】
由指数函数的图象的特点解方程可判断①；由奇函数的定义，解方程可判断②；由对数不等式的解法可判断③；由函数的对称性可判断④；由对数函数的运算性质可判断⑤．
【详解】解：①函数，则，故①错误；
②因为当时，，且，所以由函数f（x）是定义在R上的奇函数得，故②错误；
③若，可得，故③正确；
④因为，则f（x）图象关于直线x=2对称，故④正确；
⑤对于函数
当且仅当取得等号，其定义域内任意都满足，故⑤正确．
故答案为：③④⑤．
【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性和对称性、凹凸性，以及函数图象，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题满分13分）设函数是实数集上的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）判断在上的单调性并加以证明；
（3）求函数的值域．
参考答案：
解：（1）是R上的奇函数，------1分
即，即
即∴ ---------------------------3分
（或者是R上的奇函数
解得，然后经检验满足要求。

------------------3分）
（2）判断为增函数--------------------------------------------------------4分
证明：由（1）得
设，则
，
，又
所以，即
故在上是增函数 ------------8分
（3），
的值域为(-1，1) ------------------13分略
19. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量
，且. （1）求角C的大小；
（2）求的取值范围.
参考答案：
解：（1）∵∴
∴
∴
∴又
∴
（2）
∵∴
∴
∴的取值范围是.
20. 已知函数，且，f（0）=0
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的值域；
（3）求证：方程f（x）=lnx至少有一根在区间（1，3）．
参考答案：
【考点】函数解析式的求解及常用方法；根的存在性及根的个数判断．
【分析】（1）根据f（1）和f（0）列方程，求出a，b；
（2）由y=，分离2x=＞0，求得值域；
（3）构造函数g（x）=f（x）﹣lnx，运用函数零点存在定理，确定函数在（1，3）存在零点．
【解答】解：（1）由已知可得，
，
解得，a=1，b=﹣1，所以，；
（2）∵y=f（x）=，∴分离2x得，2x=，
由2x＞0，解得y∈（﹣1，1），
所以，函数f（x）的值域为（﹣1，1）；
（3）令g（x）=f（x）﹣lnx=﹣lnx，因为，
g（1）=f（1）﹣ln1=＞0，
g（3）=f（3）﹣ln3=﹣ln3＜0，
根据零点存在定理，函数g（x）至少有一零点在区间（1，3），
因此，方程f（x）﹣lnx=0至少有一根在区间（1，3）上．
21. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且.
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若，△ABC的面积为，求.
参考答案：
（Ⅰ）（Ⅱ）8.
【分析】
（Ⅰ）利用正弦定理化简即得角B的大小；（Ⅱ）先求出
ac=15,再利用余弦定理求出a+c的大小即得解.
【详解】（Ⅰ）由题得,
因为,所以.
（Ⅱ）由题得.
由，
所以.
【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
22. 随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图．
（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
（2）计算甲班的样本方差；
（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．
参考答案：
【考点】茎叶图；极差、方差与标准差；等可能事件的概率．
【分析】本题中“茎是百位和十位”，叶是个位，从图中分析出参与运算的数据，代入相应公式即可解答．
【解答】解：（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160～169之间，而乙班身高集中于170～180之间．
因此乙班平均身高高于甲班
（2），
甲班的样本方差为
+（170﹣170）2+（171﹣170）2+（179﹣170）2+（179﹣170）2+（182﹣170）2]=57．
（3）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A；
从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：（181，173）（181，176）
（181，178）（181，179）（179，173）（179，176）（179，178）（178，173）
（178，176）（176，173）共10个基本事件，而事件A含有4个基本事
件．∴．
【点评】茎叶图的茎是高位，叶是低位，所以本题中“茎是百位和十位”，叶是个位，从图中分析出参与运算的数据，代入相应公式即可解答．从茎叶图中提取数据是利用茎叶图
解决问题的关键．。