北师版初中数学九年级下册第期中测试卷1及答案.doc

期中数学试卷（一）
一、填空题
1．在等腰三角形ABC 中，底边上的高是，这条高与一腰的夹角为60°，则这个三角形的面积是（）
A． B． C．2D．3
2．如下图，以下说法：① B 在 A 的东北方向， A 在的北偏东 75°方向；③ C 在 B 的南偏东 30°方向；④ B 在B 的西南方向；② C 在 A
C 的北偏西 30°方向，其
中正确的有（）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
3．如下图，在△ ABC中，已知 c=，∠ A=45°，∠ B=60°，则 a 的值是（）A．3﹣ B．3﹣3C．﹣ 1 D．5﹣
．二次函数2+2x﹣5 有（）
4y=x
A．最大值﹣ 5 B．最小值﹣ 5C．最大值﹣ 6 D．最小值﹣ 6
5．若二次函数 y=﹣ x2 +bx+c 的图象的最高点是（﹣ 1，﹣3），则 b、c 的值分别是（）
A．b=2， c=4 B．b=﹣2，c=﹣ 4 C．b=2，c=﹣ 4 D．b=﹣2，c=4
6．以下函数中，图象张口最大的是（）
A．y=5x2B．y=﹣ 3x2 C．y=﹣ x2D．y=x2
7．二次函数 y=ax2+bx+c 与一次函数 y=ax+c，它们在同向来角坐标系中的图象大
致是（）
A． B． C． D．
8．已知二次函数 y=ax2+bx+c（ a≠0），当 x=1 时，函数 y 有最大值，设（ x1，y1），（ x2，y2）是这个函数图象上的两点，且1＜ x1＜x2，那么（）
A．a＞0，y1＞ y2B． a＞ 0， y1＜y2C．a＜0，y1＞y2D． a＜ 0， y1＜y2
二、填空题
9．在△ ABC中，∠ C=90°， a=9，c=15，则 sinB=，b=．
10．在锐角三角形 ABC中，∠B=60°，AD⊥BC于 D，AD=3，AC=5，则 AB=．11．已知 a＜﹣ 1，点（a﹣1，y1），（a，y2），（ a+1，y3）都在函数 y=x2的图象上，则 y1，y2， y3的大小关系是．
12．(1)若cos α=，α为锐角，
则
sinα=；
(2)若 tan α =2，则 =．
13．如下图，某水库大坝的横断面是梯形
斜坡 BC的坡度 i=1：3，B，C间的水平距离为坝底宽 AB=m．
ABCD，坝顶宽 CD=3m，斜坡
12m，则斜坡 AD 的坡角∠ A=
AD=8m，，
14．已知抛物线甲： y=﹣2x2﹣1 和抛物线乙的形状相同，且两条抛物线的对称轴
均为 y 轴，两点距离 5 个单位长度，它们的图象如下图，则抛物线乙的分析式
为．
．已知二次函数2﹣ 6x+n 的最小值为 1，那么 n 的值是．
15y=x
16．将抛物线 y=x2﹣2 向右平移一个单位后，获取一条新抛物线，则新的抛物线
的极点坐标是．
三、解答题
17．如图，在 Rt△ ABC中，∠ C=90°，AC=8，∠A 的均分线 AD=，求∠B 的度数及
边 BC、 AB 的长．
18．如下图，已知两山脚 B，C 相距 1 500m，在距山脚 B 500m 的 A 处测得山BD，CE的山顶 D，E 的仰角分别为 45°，30°，求两山的高．（精准到 1m）
19．如图，在亚丁湾一海疆履行护航任务的我海军某军舰由东向西行驶．在航行到 B 处时，发现灯塔 A 在我军舰的正北方向 500 米处；当该军舰从 B 处向正西方向行驶至达C 处时，发现灯塔A 在我军舰的北偏东60°的方向．求该军舰行驶的行程．（计算过程和结果均不取近似值）
20．已知，二次函数y=ax2﹣ 5x+c 的图象如图．
(1)求这个二次函数的分析式和它的图象的极点坐标；
(2)察看图象，回答：何时y 随 x 的增大而增大；何时y 随 x 的增大而减小．
21．已知抛物线的极点坐标是（﹣3，﹣ 2），它与直线 y=2x+m 的交点是（ 1，6），求抛物线和直线所对应的函数关系式．
22．已知一个二次函数的图象经过点A（﹣ 1，0）、B（ 3， 0）和 C（0，﹣ 3）三点；
(1)求此二次函数的分析式；
(2)对于实数 m，点 M（ m，﹣ 5）能否在这个二次函数的图象上？说明原因．
23．某工艺厂为迎接建厂 60 周年，设计了一款成本为 20 元 / 件的工艺品投放市场进行试销．经过检查，此中工艺品的销售单价 x（元 / 件）与每日销售量 y（件）之间知足关系式 y=﹣10x+800，若物价部门规定，该工艺品销售单价最高不可以超
过 45 元/ 件，那么，销售单价定为多少元时，工艺厂试销该工艺品获取的收益
最大？最大收益是多少？
24．改革开放后，许多乡村用上了自动喷灌设施．如下图，AB 表示水管，在
B处有一个自动旋转的喷水头，一瞬时喷出的水是抛物线状，成立如下图的直角
坐标系后，抛物线的表达式为 y=﹣ x2+2x+．
(1)当 x=1 时，喷出的水离地面多高？
(2)你能求出水的落地址距水管底部 A 的最远距离吗？
(3)水管有多高？
25．如图，自来水厂 A 和乡村 B 在小河 l 的双侧，现要在A，B 间铺设一条输水
管道．为了搞好工程估算，需测算出A， B 间的距离．一小船在点P 处测得 A 在正北方向， B 位于南偏东 24.5 °方向，前行 1200m，抵达点 Q 处，测得 A 位于北偏西 49°方向， B 位于南偏西 41°方向．
(1)线段 BQ 与 PQ 能否相等？请说明原因；
(2)求 A，B 间的距离．（参照数据 cos41 °≈0.75）
参照答案与试题分析
1．在等腰三角形ABC 中，底边上的高是，这条高与一腰的夹角为60°，则这个三角形的面积是（）
A． B． C．2D．3
【考点】 T7：解直角三角形； KH：等腰三角形的性质．
【专题】选择题
【剖析】画出图形，求出∠ B=30°，求出 AB、BD，依据等腰三角形性质或同理求
出 CD，得出 BC的长，依据三角形面积求出即
可．【解答】
解：∵ AD⊥BC，
∴∠ ADB=90°，
∵∠ BAD=60°，
∴∠ B=30°，
∴AB=2AD=2，
在 Rt△BDA 中，由勾股定理得： BD=3，
同理可求 CD=3，
∴ BC=6，
∴△ ABC的面积是× BC× AD=×6×=3，
应选 D．
【评论】本题考察了等腰三角形性质，直角三角形性质，三角形的面积的应用，重点是求出 BC的长．
2．如下图，以下说法：① B 在 A 的东北方向， A 在 B 的西南方向；② C 在 A 的北偏东 75°方向；③ C 在 B 的南偏东 30°方向；④ B 在 C 的北偏西 30°方向，其
中正确的有（）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【考点】 IH：方向角．
【专题】选择题
【剖析】依据方向角的定义对每一个选项进行逐个的判断，找出正确的选项即可．【解答】解：① B 在 A 的东北方向， A 在 B 的西南方向，此说法正确；
②C 在 A 的北偏东 75°方向，此说法正确；
③ C 在 B 的南偏东 30°方向，此说法正确；
④ B 在 C 的北偏西 30°方向，此说法正确；
正确的有①②③④，
应选 D．
【评论】本题主要考察方向角的知识点，熟知方向角的描绘方法是解答本题的重点，本题基础题，比较简单．
3．如下图，在△ ABC中，已知 c=，∠ A=45°，∠ B=60°，则 a 的值是（）
A．3﹣ B．3﹣3C．﹣ 1 D．5﹣
【考点】 T7：解直角三角形
【专题】选择题．
【剖析】过 C 作 CD⊥ AB 于 D，求出∠ BCD=30°，AD=DC，设 BD=x，则 AD=DC=x，BC=2x，得出方程 x+x=，求出即可．
【解答】解：
过 C作 CD⊥AB 于 D，
∵∠ A=45°，
∴∠ ACD=∠A=45°，
∴ CD=AD，
设 BD=x，
∵∠CDB=90°，∠B=60°，
∴∠ BCD=30°，
∴ BC=a=2x，由勾股定理得： CD=x=AD，
∵ AB=c=，
∴ BD=，
即 x+x=，
x=
∴a=2x=3﹣，
应选 A．
【评论】本题考察认识直角三角形，含 30 度角的直角三角形性质，等腰三角形的性质和判断，勾股定理的应用，解本题的重点是得出对于x 的方程．
．二次函数2+2x﹣5 有（）
4y=x
A．最大值﹣ 5 B．最小值﹣ 5C．最大值﹣ 6 D．最小值﹣ 6
【考点】 H7：二次函数的最值．
【专题】选择题
【剖析】先依据二次函数的分析式判断出函数的张口方向，再由其极点式求出其
最值即可．
【解答】解：∵二次函数 y=x2+2x﹣5 中 a=1＞0，
∴此函数有最小值，
∴y 最小 ===﹣6．
应选： D．
【评论】本题考察的是二次函数的最值问题，即二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）中，当 a＞0 时，函数有最小值最低点，所以函数有最小值，当x=时， y=．
5．若二次函数 y=﹣ x2 +bx+c 的图象的最高点是（﹣ 1，﹣3），则 b、c 的值分别是（）
A．b=2， c=4 B．b=﹣2，c=﹣ 4 C．b=2，c=﹣ 4 D．b=﹣2，c=4
【考点】 H7：二次函数的最值．
【专题】选择题
【剖析】依据二次函数 y=﹣x2+bx+c 的二次项系数﹣ 1 来确立该函数的图象的张
口方向，由二次函数 y=﹣x2+bx+c 的图象的最高点是（﹣ 1，﹣ 3）确立该函数的
极点坐标，而后依据极点坐标公式解答b、c 的值．
【解答】解：∵二次函数 y=﹣ x2+bx+c 的二次项系数﹣ 1＜0，
∴该函数的图象的张口方向向下，
∴二次函数 y=﹣ x2+bx+c 的图象的最高点坐标（﹣1，﹣ 3）就是该函数的极点坐标，
∴﹣ 1=﹣，即 b=﹣2；①
﹣3=，即 b2+4c﹣12=0；②由
①②解得， b=﹣2， c=﹣4；
应选 B．
【评论】本题考察了二次函数的最值．解答本题时，弄清楚“二次函数 y=﹣ x2+bx+c 的图象的最高点坐标（﹣ 1，﹣ 3）就是该函数的极点坐标”是解题的重点．
6．以下函数中，图象张口最大的是（）
A．y=5x2B．y=﹣ 3x2 C．y=﹣ x2D．y=x2
【考点】 H3：二次函数的性质．
【专题】选择题
【剖析】依据二次函数中二次项系数的绝对值越小，张口越大能够获取答案．
【解答】解：四个选项中 C 选项中的二次函数的二次项系数的绝对值最小，其开口最大，
应选 C．
【评论】本题考察了二次函数的性质，解题的重点是记着二次项系数的绝对值越小，张口越大．
7．二次函数 y=ax2+bx+c 与一次函数 y=ax+c，它们在同向来角坐标系中的图象大
致是（）
A． B． C． D．
【考点】 H2：二次函数的图象； F4：正比率函数的图象．
【专题】选择题
【剖析】依据二次函数的张口方向，与 y 轴的交点；一次函数经过的象限，与 y 轴的交点可得有关图象．
【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y 轴上的（ 0， c），
∴两个函数图象交于y 轴上的同一点，清除B、C；
当a＞0 时，二次函数张口向上，一次函数经过一、三象限，清除D；当
a＜0 时，二次函数张口向下，一次函数经过二、四象限，A 正确；应选
A．
【评论】考察二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y 轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，
图象张口向上；二次项系数小于0，图象张口向下．
8．已知二次函数 y=ax2+bx+c（ a≠0），当 x=1 时，函数 y 有最大值，设（ x1，y1），（ x2，y2）是这个函数图象上的两点，且1＜ x1＜x2，那么（）
A．a＞0，y1＞ y2B． a＞ 0， y1＜y2C．a＜0，y1＞y2D． a＜ 0， y1＜y2【考点】 H5：二次函数图象上点的坐标特点．
【专题】选择题
【剖析】由当 x=1 时，函数 y 有最大值，依据抛物线的性质得a＜0，抛物线的对称轴为直线 x=1，当 x＞1 时， y 随 x 的增大而减小，所以由1＜x1＜x2获取 y1＞ y2．
【解答】解：∵当 x=1 时，函数 y 有最大值，
∴ a＜ 0，抛物线的对称轴为直线 x=1，
∵ 1＜ x1＜2，
x
∴ y1＞y2．
应选 C．
【评论】本题考察了二次函数图象上点的坐标特点：二次函数图象上的点知足其
分析式．也考察了二次函数的性质．
9．在△ ABC中，∠ C=90°， a=9，c=15，则 sinB=，b= 12 ．
【考点】 T1：锐角三角函数的定义； KQ：勾股定理．
【专题】填空题
【剖析】依据题意作出图形，利用勾股定理求出 b 的值，而后依据锐角三角函数
的定义求出 sinB 即可．
【解答】解：依据题意作出图形，
在 Rt△ABC中， b==12，
∴sinB===．
故答案为：， 12．
【评论】本题考察了锐角三角函数的定义，重点是利用勾股定理求出 b 的长度，
难度一般．
10．在锐角三角形 ABC中，∠B=60°，AD⊥ BC于 D，AD=3，AC=5，则 AB= 2．【考点】 T7：解直角三角形； KQ：勾股定理．
【专题】填空题
【剖析】求出∠ ADB=90°，经过解直角三角形得出 sin∠ABD=，推出 AB=，代入
求出即可．
【解答】解：
∵AD⊥BC，
∴∠ ADB=90°，
∵sin∠ABD=，AD=3，
∴ AB==2，
故答案为： 2．
【评论】本题考察认识直角三角形的应用，注意：在△ ADB中， Rtsin∠ABD=．11．已知 a＜﹣ 1，点（a﹣1，y1），（a，y2），（ a+1，y3）都在函数 y=x2的图象上，
则 y1，2， 3 的大小关系是
y 1＞2＞3 ．
y y y y
【考点】 H5：二次函数图象上点的坐标特点．
【专题】填空题
【剖析】抛物线 y=x2的对称轴为 y 轴，即直线 x=0，图象张口向上，当a＜﹣ 1时，a﹣ 1＜ a＜ a+1＜0，在对称轴左边， y 随 x 的增大而减小，由此可判断 y1，2，
y
y3的大小关系．
【解答】解：∵当 a＜﹣ 1 时， a﹣1＜a＜a+1＜0，
而抛物线 y=x2的对称轴为直线 x=0，张口向上，∴三
点都在对称轴的左边， y 随 x 的增大而减小，
∴y1＞y2＞y3．
故本题答案为： y1＞y2＞y3．
【评论】本题考察了二次函数的增减性．当二次项系数a＞0 时，在对称轴的左边， y 随 x 的增大而减小，在对称轴的右边，y 随 x 的增大而增大； a＜ 0 时，在
对称轴的左边， y 随 x 的增大而增大，在对称轴的右边，y 随 x 的增大而减小．
12． (1)若 cos α=，α为锐角，则 sin α=；
(2)若 tan α =2，则 =．
【考点】 T3：同角三角函数的关系．
【专题】填空题
【剖析】 (1)依据 sin2α+cos2α =1，可求出 cos α的值．
(2)化简可得 =，代入即可得出答案．
【解答】解： (1)∵sin2α2α，α=，
+cos =1 cos
∴ sin2α=，
又∵ α为锐角，
∴ sin α=．
(2)==（）2=．
故答案为：、．
【评论】本题考察了同角三角函数的关系，注意掌握据sin2α2α，α=．
+cos =1 tan
13．如下图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽CD=3m，斜坡AD=8m，斜坡 BC的坡度 i=1：3，B，C 间的水平距离为 12m，则斜坡 AD 的坡角∠ A= 30°，坝底宽 AB= 15+4 m．
【考点】 T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】填空题
【剖析】过 D 点作 DE⊥AB 于点 E，过 C 点作 CF⊥ AB 于点 F，获取两个直角三角
形和一个矩形，在Rt△ BCF、Rt△AED 中已知坡度和一边，或两边的比，知足解
直角三角形的条件，可求出 CF的长度和，既而依据 AD=8m，可求得∠ A 的度数，
而后解直角三角形可求得AE 的长，既而也可求得AB 的长度．
【解答】解：过 D 点作 DE⊥ AB 于点 E，过 C 点作 CF⊥ AB 于点 F，
则四边形 CDEF是矩形，
∴CD=FE=3m， DE=CF，
∵斜坡 BC的坡度 i=1： 3，BF=12m，
∴CF：BF=1：3，
则CF=×12=4m，
∵ AD=8m，
∴sinA=DE：AD=4：8=1： 2，∴∠
A=30°，AE=ADcos30°=4（m），
∴AB=AE+EF+FB=4+3+12=15+4．
故答案为： 30°、（ 15+4）．
【评论】本题考察坡度、坡角的知识，解答本题的重点是理解掌握坡度、坡角的
定义，能正确解直角三角形．
14．已知抛物线甲： y=﹣2x2﹣1 和抛物线乙的形状相同，且两条抛物线的对称轴均为 y 轴，两点距离 5 个单位长度，它们的图象如下图，则抛物线乙的分析式
为 y=﹣2x2+4 ．
【考点】 H6：二次函数图象与几何变换．
【专题】填空题
【剖析】设抛物线乙的分析式为y=ax2+bx+c，先抛物线甲： y=﹣2x2﹣1 和抛物线乙的形状相同，且两条抛物线的对称轴均为 y 轴，得出 a=﹣2，b=0，再由两点距离5 个单位长度，联合图形得出 c﹣（﹣ 1）=5，求出 c=4．进而确立抛物线乙的分析式．
【解答】解：设抛物线乙的分析式为y=ax2+bx+c．
∵抛物线甲： y=﹣ 2x2﹣ 1 和抛物线乙的形状相同，且两条抛物线的对称轴均为y 轴，
∴a=﹣2，b=0，
又∵两点距离 5 个单位长度，
∴c﹣（﹣ 1）=5，
∴c=4．
即 y=﹣2x2+4．
故答案为 y=﹣2x2+4．
【评论】本题考察二次函数图象与几何变换，难度中等．用到的知识点：两条抛物线的形状相同，则 | a| 相同，当 a＞ 0 时，张口向上； a＜0 时，张口向下；抛物线y=ax2+bx+c 的对称轴为直线 x=﹣．
．已知二次函数2﹣ 6x+n 的最小值为 1，那么 n 的值是 10 ．
15y=x
【考点】 H7：二次函数的最值．
【专题】填空题
【剖析】将二次函数化为极点式，即可成立对于m 的等式，解方程求出m 的值即可．
【解答】解：原式可化为： y=（ x﹣3）2﹣9+n，
∵函数的最小值是1，
∴﹣ 9+n=1，
n=10．
故答案为： 10．
【评论】本题考察了二次函数的最值，会用配方法将原式化为极点式是解题的重点．
16．将抛物线 y=x2﹣2 向右平移一个单位后，获取一条新抛物线，则新的抛物线
的极点坐标是（1，﹣ 2）．
【考点】 H6：二次函数图象与几何变换．
【专题】填空题
【剖析】先获取原抛物线的极点坐标，让横坐标加 1，纵坐标不变即为新抛物线的极点坐标．
【解答】解：∵抛物线y=x2﹣2 的极点坐标为（0，﹣2），
向右平移 1 个单位获取新抛物线的分析式，∴所得抛物线的
极点坐标是（ 1，﹣ 2）．故答案为：（ 1，﹣ 2）．
【评论】本题考察二次函数图象与几何变换的知识，议论两个二次函数的图象的
平移问题，只要看极点坐标的平移即可．
17．如图，在 Rt△ ABC中，∠ C=90°，AC=8，∠A 的均分线 AD=，求∠B 的度数及
边 BC、 AB 的长．
【考点】 T7：解直角三角形．
【专题】解答题
【剖析】在三角形 ACD 中，斜边以及直角边已见告，依据锐角三角函数的观点
解直角三角形即可得∠ CAD以及∠ B，进而解直角三角形求出其他结果．【解
答】解：在 Rt△ACD中
∵cos∠ CAD===，∠ CAD为锐角．
∴∠ CAD=30°，∠ BAD=∠CAD=30°，即∠ CAB=60°．
∴∠ B=90°﹣∠ CAB=30°．
∵sinB=，∴
AB===16．
又∵ cosB=，
∴ BC=AB?cosB=16?=8．
【评论】考察综合应用解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运
算能力．
18．如下图，已知两山脚 B，C 相距 1 500m，在距山脚 B 500m 的 A 处测得山BD，CE的山顶 D，E 的仰角分别为 45°，30°，求两山的高．（精准到 1m）
【考点】 TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解答题
【剖析】由在 Rt△ABD 中， BD=AB?tan45°，即可求得 BD 的长，既而求得AC的长，而后由在 Rt△ACE中， EC=AC?tan30°，求得两山的高．
【解答】解：∵在 Rt△ ABD中， BD=AB?tan45°=500× 1=500（m），
∴AC=BC﹣AB=1500﹣ 500=1000（m），
∴在 Rt△ ACE中， EC=AC?tan30°=1000×≈ 577（ m）．
答：两山的高为： 577m．
【评论】本题考察了仰角的定义．注意能借助仰角结构直角三角形并解直角三角
形是解本题的重点．
19．如图，在亚丁湾一海疆履行护航任务的我海军某军舰由东向西行驶．在航行到 B 处时，发现灯塔 A 在我军舰的正北方向 500 米处；当该军舰从 B 处向正西方向行驶至达C 处时，发现灯塔A 在我军舰的北偏东60°的方向．求该军舰行驶的行程．（计算过程和结果均不取近似值）
【考点】 TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】解答题
【剖析】易得∠ A 的度数为 60°，利用 60°正切值可得 BC的值．
【解答】解：∵ CE∥AB，
∴∠ ECB=90°
∴∠ A=∠ ECA=60°，
∴BC=AB×tan60 °=500×=500m．
答：该军舰行驶的行程为 500m．
【评论】考察解直角三角形的应用；用∠ A 的正切值表示出所求线段长是解决本
题的重点．
20．已知，二次函数y=ax2﹣ 5x+c 的图象如图．
(1)求这个二次函数的分析式和它的图象的极点坐标；
(2)察看图象，回答：何时y 随 x 的增大而增大；何时y 随 x 的增大而减小．
【考点】 H8：待定系数法求二次函数分析式；H2：二次函数的图象； H3：二次函数的性质．
【专题】解答题
【剖析】 (1)由图知，该二次函数经过（1， 0）、（4，0），可将这两点坐标代入抛
物线的分析式中，即可求出待定系数的值；而后将所得函数分析式化为极点式，
进而求出其极点坐标；
(2)依据 (1)得出的抛物线的对称轴及张口方向，分段议论抛物线的增减性．
【解答】解： (1)依据二次函数 y=ax2﹣5x+c 的图象可得
（2 分）
解得 a=1， c=4；（4 分）
所以这个二次函数的分析式是y=x2﹣5x+4；（ 5 分）
y=x2﹣5x+4
=﹣
=，（7 分）
它的图象的极点坐标（）；（8 分）
(2)当 x＞， y 随 x 的增大而增大；（10 分）
当 x＜， y 随 x 的增大而减小．（12 分）
注：①极点坐标如用公式得出相同给分；
②对第（ 2）小题，如回答，函数 y=x2﹣5x+4 的图象在对称轴右边部分， y 随 x
的增大而增大；在对称轴的左边部分， y 随 x 的增大而减小；也视为正确，相同
给分．
【评论】本题考察了用待定系数法确立二次函数分析式的方法及二次函数的图象
与性质；在议论二次函数的增减性时要考虑到两点：①抛物线的张口方向，②抛物线的对称轴．
21．已知抛物线的极点坐标是（﹣3，﹣ 2），它与直线 y=2x+m 的交点是（ 1，6），求抛物线和直线所对应的函数关系式．
【考点】 H8：待定系数法求二次函数分析式；FA：待定系数法求一次函数分析式．
【专题】解答题
【剖析】依据题意可设二次函数的分析式为 y=a（ x+3）2﹣2，将点（ 1，6）代入得 a=，求得抛物线的分析式；
将点（ 1，6）代入直线 y=2x+m 得 m=4，求得直线所对应的函数关系式．
【解答】解：设二次函数的分析式为y=a（ x+3）2﹣ 2
将点（ 1，6）代入得 a=
∴抛物线的分析式为y=（x+3）2﹣2
将点（ 1，6）代入直线 y=2x+m
得 m=4
∴直线所对应的函数关系式为y=2x+4．
【评论】本题考察了用待定系数法求函数分析式的方法，注意当二次函数的极点坐标已知时，可设极点式．
22．已知一个二次函数的图象经过点A（﹣ 1，0）、B（ 3， 0）和 C（0，﹣ 3）三点；
(1)求此二次函数的分析式；
(2)对于实数 m，点 M（ m，﹣ 5）能否在这个二次函数的图象上？说明原因．【考点】 H8：待定系数法求二次函数分析式； H5：二次函数图象上点的坐
标特点．
【专题】解答题
【剖析】 (1)本题可直接用待定系数法求出二次函数的分析式；
(2)依据 (1)得出的二次函数分析式，可将 M 点坐标代入抛物线的分析式中，即可判断出M 能否在二次函数的图象上．（因为本题中，M 点的纵坐标小于抛物线的最小值，可据此判断 M 点不在二次函数的图象上）．
【解答】解： (1)设二次函数的分析式为y=a（ x+1）（ x﹣ 3），因为抛物线的图象经过 C（0，﹣ 3），则有：
﹣3=a（0+1）（0﹣3），解得 a=1．
∴二次函数的分析式为 y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣ 3；
(2)由(1)可知： y=x2﹣2x﹣ 3=（x﹣1）2﹣4．
所以抛物线的最小值为﹣4＞﹣ 5．
所以不论 m 取何值，点 M 都不在这个二次函数的图象上．
【评论】本题主要考察了用待定系数法求二次函数分析式的方法以及二次函数
图象上点的坐标特点等知识点．
23．某工艺厂为迎接建厂 60 周年，设计了一款成本为 20 元 / 件的工艺品投放市场进行试销．经过检查，此中工艺品的销售单价 x（元 / 件）与每日销售量 y（件）之间知足关系式 y=﹣10x+800，若物价部门规定，该工艺品销售单价最高不可以超
过 45 元/ 件，那么，销售单价定为多少元时，工艺厂试销该工艺品获取的收益
最大？最大收益是多少？
【考点】 HE：二次函数的应
用．【专题】解答题
【剖析】设销售单价定为 x，则此时的销量为：﹣ 1Ox+800，依据收益 =销量×单
件收益，即可得出收益表达式，利用配方法求最值即可．
【解答】解：设工艺厂试销该工艺品每日获取的收益是W 元，
由题意得： W=（x﹣2）?y=（x﹣20）（﹣ 10x+800）=﹣10（x﹣50）2+9000，
∵﹣ 10＜ 0，
∴函数图象张口向下，对称轴为x=50，
又∵ 20＜ x≤45，在对称轴的左边， W 的值跟着 x 值的增大而增大，
∴当 x=45 时， W 取最大值，
W max=﹣10（ 45﹣50）2+9000=8750．
答：销售单价定为 45 元时，工艺厂试销该工艺品获取的收益最大为 8750 元．【评论】本题考察了二次函数的应用，解答本题的重点是认真审题，得出收益表达式，同学们注意配方法求二次函数最值的应用．
24．改革开放后，许多乡村用上了自动喷灌设施．如下图，AB 表示水管，在
B处有一个自动旋转的喷水头，一瞬时喷出的水是抛物线状，成立如下图的直角
坐标系后，抛物线的表达式为 y=﹣ x2+2x+．
(1)当 x=1 时，喷出的水离地面多高？
(2)你能求出水的落地址距水管底部 A 的最远距离吗？
(3)水管有多高？
【考点】 HE：二次函数的应用．
【专题】解答题
【剖析】 (1)把 x=1 代入分析式求得y 的值即可；
(2)当 y=0 时，水的落地址距水管底部 A 的最远距离，求出此时x 的值即可；
(3)当 x=0 时，求出 y 的值即是水管的高度．
【解答】解： (1)当 x=1 时， y=﹣× 12+2× 1+=3，
故当 x=1 时，喷出的水离地面的高度为3；
(2)当 y=0 时，﹣ x2+2x+=0，
解得 x1=2+， x2=2﹣＜ 0（舍去），
所以水的落地址距 A 的最远距离为 2+；
(3)当 x=0 时， y=1.5，
所以水管的高度为 1.5．
【评论】本题考察了二次函数的应用，解答本题的重点是读懂题意，理解点的横、纵坐标代表的实质含义．
25．如图，自来水厂 A 和乡村 B 在小河 l 的双侧，现要在 A，B 间铺设一条输水管道．为了搞好工程估算，需测算出 A， B 间的距离．一小船在点 P 处测得 A 在正北方向， B 位于南偏东 24.5 °方向，前行 1200m，抵达点 Q 处，测得 A 位于北偏西49°方向， B 位于南偏西 41°方向．
(1)线段 BQ 与 PQ 能否相等？请说明原因；
(2)求 A，B 间的距离．（参照数据 cos41 °≈0.75）
【考点】 TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】解答题
【剖析】 (1)第一由已知求出∠ PBQ和∠ BPQ 的度数进行比较得出线段 BQ 与 PQ 能否相等；
(2)先由已知求出∠ PQA，再由直角三角形PQA 求出 AQ，由(1)得出 BQ=PQ=1200，又由已知得∠ AQB=90°，所以依据勾股定理求出A， B 间的距离．
【解答】解： (1)线段 BQ 与 PQ 相等．
证明：∵∠ PQB=90°﹣41°=49°，
∠BPQ=90°﹣ 24.5 °=65.5 °，
∴∠ PBQ=180°﹣ 49°﹣ 65.5 °=65.5 °，
∴∠ BPQ=∠PBQ，
∴BQ=PQ；
(2)∠AQB=180°﹣ 49°﹣41°=90°，
∠PQA=90°﹣49°=41°，
∴ AQ===1600，
BQ=PQ=1200，
∴AB2=AQ2+BQ2=16002+12002，
∴AB=2000，
答： A、B 的距离为 2000m．
【评论】本题考察的知识点是解直角三角形的应用，解题的重点是经过角的计算得出 BQ=PQ，再由直角三角形先求出AQ，依据勾股定理求出AB．。