2016一模理数

2016高三一模汇编【理科】
1、海淀一模（试卷+答案）
2、西城一模（试卷+答案）
3、东城一模（试卷+答案）
4、朝阳一模（试卷+答案）
5、石景山一模（试卷+答案）
6、丰台一模（试卷+答案）
北京市海淀区2015-2016学年度第二学期高三综合练习（一）
数学试卷（理科）2016.4
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1
、函数()
f x=
A．[0,)
+∞B．[1,)
+∞C．(,0]
-∞D．(,1]
-∞
2、某程序的框图如图所示，若输入的z i=(其中i为虚数单位)，
则输出的S=
A．1-
B．1
C．i-
D．i
3、若x，y满足
20
40
x y
x y
y
-+≥
⎧
⎪
+-≤
⎨
⎪≥
⎩
，则1
2
z x y
=+的最大值为
A．5
2
B．3
C．7
2
D．4
4、某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为
A
．
3B
．
2
C
．
3
D
．
3
5、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 为常数列”是“*
,n n n N S na ∀∈=”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
6、在极坐标系中，圆1:2cos C ρθ=与圆2:2sin C ρθ=相交于,A B 两点，则AB =
A ．1
B
C D ．2
7、已知函数sin()0()cos()
x a x f x x b x +≤⎧=⎨
+>⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是
A ．,4
4
a b π
π
=
=-
B ．2,36a b ππ=
=
C ．,3
6
a b π
π
=
=
D ．52,63
a b ππ=
= 8、某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的收益如
右表所示，若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则
下列叙述正确的是 A ．甲只能承担第四项工作 B ．乙不能承担第二项工作 C ．丙可以不承担第三项工作
D ．丁可以承担第三项工作
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9、已知向量(1,),(,9)a t b t ==，若//a b ，则t =_________．
10、在等比数列{}n a 中,22,a =且
13115
4
a a +=，则13a a +=_________． 11、在三个数1
231,2,log 22
-中，最小的数是_________．
12、已知双曲线2222:1x y C a b -=的一条渐近线l 的倾斜角为3
π
，且C 的一个焦点到l 的距离
，则C 的方程为_______________．
13、如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3中的一个. （1）当每条边上的三个数字之和为4时，不同的填法有种; （2）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有种.
14、已知函数()f x ，对于实数t 若存在0,0a b >>，满足[,]x t a t b ∀∈-+，使得
()()2f x f t -≤，则记a b +的最大值为().H t
（1）当()2f x x =时，(0)H =;
（2）当2
()f x x =且[1,2]t ∈时，函数()H t 的值域是.
三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

A
B
如图, 在ABC ∆中, 点D 在边AB 上，且1
.3
AD DB =记ACD α∠=, .BCD β∠= （Ⅰ）求证：sin 3sin AC BC β
α
=
; （Ⅱ）若6
π
α=, 2
π
β=
,AB =求BC 的长.
16、
（本小题满分13分） 2004年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广. 2015年12月10日, 我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的
贡献获得诺贝尔医学奖. 目前, 国内青蒿人工种植发展迅速.
某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响, 在山上和山下的试验田中分别种植了100株青蒿进行对比试验. 现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株青蒿作为样本, 每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：
（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量;
（Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为21s , 2
2s , 根据样本数据, 试
估计2
1s 与2
2s 的大小关系（只需写出结论）;
（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1株, 记这2株的产量总和为ξ, 求随机变量
ξ的分布列和数学期望.
B
D
如图, 在四棱锥P ABCD -中, PA ABCD ⊥平面, 四边形ABCD M ,N 分别为线段,PB PC 上的点, .MN PB ⊥
（Ⅰ）求证: BC PAB ⊥平面;
（Ⅱ）求证: 当点M 不与点P ,B 重合时，M ,N ,D ,A 四个点在
同一个平面内;
（Ⅲ）当2PA AB ==, 二面角C AN D --的大小为
3
π
时, 求PN 的长.
18、（本小题满分14分）
已知函数1()ln 1f x x x =+
-, 1
()ln x g x x
-=
. （Ⅰ)求函数()f x 的最小值; （Ⅱ）求函数()g x 的单调区间;
（Ⅲ）求证: 直线y x =∙
∙
不是曲线()y g x =的切线.
已知椭圆2222:+1(0)x y C a b a b
=>>，椭圆C 与y 轴交于,A B 两点，
且2AB =.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上的一个动点，且点P 在y 轴的右侧，直线PA ，PB 与直线4
x =分别交于,M N 两点，若以MN 为直径的圆与x 轴交于两点,E F ,求点P 横坐标的取值范围及EF 的最大值.
20、（本小题满分13分）
给定正整数(3)n n ≥，集合{}1,2,,n U n =.若存在集合,,A B C ，同时满足下列条件:
①n U A
B C =, 且A B B C ==∅；
②集合A 中的元素都为奇数，集合B 中的元素都为偶数，所有能被3整除的数都在集合C 中
（集合C 中还可以包含其它数）；
③集合,,A B C 中各元素之和分别记为,,A B C S S S ，有A B C S S S ==；
则称集合n U 为可分集合.
（I ）已知n U 为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合,,A B C ； （II ）证明：若n 是3的倍数，则n U ∙
∙
不是可分集合；
（III ）若n U 为可分集合且n 为奇数，求n 的最小值.
海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案
一、选择题
二、填空题
三、解答题
15、
（Ⅰ）由正弦定理, 在ACD 中sin ,sin AC ADC
AD α
∠= 在BCD 中
sin .sin BC BDC
BD β
∠= 1
.3
AD DB =且sin sin()sin ADC ADC BDC π∠=-∠=∠ ∴AC AC BD AD BC AD BC BD =⋅⋅ sin sin 1sin sin 3ADC BDC βα∠=⋅⋅
∠ sin sin 1sin sin 3ADC BDC βα∠=⋅⋅∠ sin 3sin βα=
（Ⅱ）由（Ⅰ）
sin
sin 223sin 3
3sin 6
AC BC π
βπα==
= ∴2
.3
AC BC =
在ABC 中, 应用余弦定理, 有
2222cos AC BC AB AC BC ACB +-=⋅⋅∠
将2,3AC BC
=
AB =2
623
ACB πππ∠=+=带入上式，得到 222422192cos 933BC BC BC π+-=⋅⋅ 219
199
BC = 3BC = 16、
（I ）由题可知，选取四株青蒿的平均产量为 3.6 4.4 4.4 3.6
44
P +++=
=（克），因此山下
试验田青蒿素的总产量约为1004400⨯=（克）。

（II ）2212S S >
（III ）ξ的可能取值为7.2,7.4,8.0,8.2,8.6,9.4，所以
1122114441(7.2)164C C P C C ξ====；111211
4421
(7.4)168C C P C C ξ====； 1122114441(8.0)164C C P C C ξ====；111211
4421
(8.2)168C C P C C ξ====； 1112114421(8.6)168C C P C C ξ====；111211
4421
(9.4)168
C C P C C ξ====。

所以ξ的分布列为
所以，数学期望11
()(7.28.0)(7.48.28.69.4)848
E ξ=+⨯
++++⨯=（克） 17、
（I ）,PA ABCD BC ABCD ⊥⊂面面，PA BC ∴⊥。

ABCD 是正方形，AB BC ∴⊥。

在面PAB 内，PA AB A =，所以BC PAB ⊥面。

（II ）由（I ）知，当点M 不与点,P B 重合时，
BC PAB ⊥面，MN PAB ⊂面，∴BC PB ⊥。

在PBC ∆内，MN PB ⊥，所以//MN BC 。

又//BC AD ，所以//MN AD ，所以
,,,M N D A 四点在同一个平面内。

（Ⅲ）因为PA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ， 所以PA AB ⊥,PA AD ⊥.
又AB AD ⊥,如图，以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系
A xyz -,
所以(2,2,0),(0,2,0),(2,0,0),(0,0,2)C D B P . 设平面DAN 的一个法向量为(,,)n x y z =， 平面CAN 的一个法向量为(,,)m a b c =, 设PN PC λ=, [0,1]λ∈，
因为(2,2,2)PC =-，所以(2,2,22)AN λλλ=-，
又(0,2,0)AD =，所以0
AN n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22(22)020x y z y λλλ++-=⎧⎨=⎩，
取1z =, 得到1
(
,0,1)n λλ
-=, 因为(0,0,2)AP =，(2,2,0)AC =
所以00
AP m AC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220c a b =⎧⎨+=⎩，
取1a =得, 到(1,1,0)m =-, 因为二面C AN D --大小为
3π, 所以π1
|cos ,|cos 32
m n <>==,
所以1|cos ,|2||||
m n
m n m n
⋅<>=
=
= 解得
1
2λ=
, 所以PN =
18、
（I ）211
'()(0)f x x x x
=
-> 令'()0f x =，解得1x =。

则()f x 在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数 所以()f x 在1x =时取得最小值min (1)ln1110f =+-=。

（II ）2
22
11
ln (1)ln 1
()'()(0,1)(ln )(ln )(ln )x x x f x x x g x x x x x x --⨯
+-=
==>≠
因为()0f x >，所以'()0g x >，则()g x 在(0,1)和(1,)+∞上为增函数。

（Ⅱ）证明：2
1ln 1'()(ln )x x g x x +
-=
假设直线y x =是曲线()g x 的切线.
设切点为00(,)x y ，则0'()1g x =，即
00
2
1ln 11ln x x x +
-= 又000001,ln x y y x x -=
=，则000
1
ln x x x -=. 所以0000
11
ln 1x x x x -=
=-, 得0'()0g x
=，与0'()1g x =矛盾 所以假设不成立，直线y x =不是曲线()g x 的切线.
19、
（I ）由题意可知22e b =
=
由2221b c a
a b c =⎧⎪
⎪=⎨⎪⎪=+⎩
可得：22
2,1a b ==，椭圆方程为2214x y += （II ）设00(,)P x y ，直线PA 斜率为1k ，直线PB 斜率为2k ，
由题意可知1k ，2k 都存在，且令A(0，1),B(0，-1)
直线PA 和PB 的方程分别为：12:1,:1PA y k x PB y k x -=+= 由111(4,41)4y k x M k x -=⎧⇒+⎨
=⎩，由221(4,41)4
y k x
N k x +=⎧⇒-⎨=⎩
记MN 的中点为,Q x y （）,
因为以MN 为直径的圆与x 轴交于两点E,F ，所以y r <
12414122
MN k k ++-<即
，MN =2212124()(221)k k k k +<-+化简得：，
001200
11,y y k k x x -+=
= 代入可得：2
2
00016168y x x -+<，又因为220014x y +=，22
0014
x y =- 代入可得：2
00580x x ->，008
2025
x x ∴-≤<<≤或
P y 又
点在轴右侧，08
2
5x ∴<≤
12222
MN
EF r y k k ==
==+ 001200
11
,y y k k x x -+=
= 代入化简得：EF =02x =时，EF 最大，最大值为2
20、
(1)
C集合中至少包括3、6，和为9，还差3，且只能从1-8中选择不重复的数字，因此，AB集合分别为剩下的奇数和偶数，即：
(2)当时，若是可分集合，
则
而C集合包括所有3的倍数，则其和符合：
矛盾，因此是3的倍数时，是不可分集合。

(3)因为n为奇数，且由(2)，n不为3的倍数，所以n=6k+1或者n=6k+5,
当时，不为3的倍数，不可分
当时，，
而C集合中包括所有的3的倍数，
因此除了所有3的倍数之外，还需要补充总和为的数
而所有非3倍数的奇数之和为：
设所有非3倍数的奇数不在A集合中的数为，其和为k+1
而所有非3倍数的偶数不在B集合中的数为，其和为
故必为偶数，且需要由若干个不同的非3倍数的奇数或偶数组成。

K=1时，k+1=2=1+1=2，无法分成不同的奇数之和
K=3时，k+1=4=1+3=2+2，无法分成不同的非3倍数的奇数之和，也无法分成不同的偶数之和
K=5时，k+1=6=1+5=2+4，符合要求。

因此n最小为6*5+5=35。

其A、B、C为：
北京市西城区2016年高三一模试卷
数 学（理科）2016.4
一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1、设集合A={}
2
|40x x x +<，集合B={}|21,n n k k Z =-∈，则A
B =
A ．{}
1,1-
B ．{}
1,3
C ．{}
3,1--
D ．{}3,1,1,3--
2、在平面直角坐标系xOy 中,曲线C
的参数方程为2x y θ
θ
⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则曲线
C 是
A ．关于X 轴对称的图形
B ．关于Y 轴对称的图形
C ．关于原点对称的图形
D ．关于直线y=x 对称的图形
3、如果()f x 是定义在R 上的奇函数，那么下列函数中一定为偶函数的是
A ．()y x f x =+
B ．()y xf x =
C ．()2
y x f x =+
D ．()2
y x f x =
4、在平面直角坐标系xOy 中，向量()1,2OA =-,()2,OB m =，若O,A,B 三点能构成三角
形，则 A ．4m =-
B ．4m ≠-
C ．1m ≠-
D ．m R ∈
5、执行如图所示的程序框图，若输入的A,S 分别为0,1. 则输出的S=
A ．4
B ．16
C ．27
D ．36
6、设10,
2x ⎛
⎫
∈ ⎪⎝⎭，则“(),0a ∈-∞”是12
log x x a >+的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
7、设函数()()sin f x A x ωϕ=+，（,,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）,且函数()f x 的部分
图形如图所示，则有 A ．357436f f f π
ππ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
B ．375463f f f πππ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
C ．57336
4
f f f πππ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<<
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
D ． 5373
46f f f πππ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
8、如图，在棱长为a(a>0)的正四面体ABCD 中，点111,,B C D 分别在棱AB,AC,AD 上，且
平面111B C D 平面BCD ，1A 为ABC 内一点，记三棱锥1111A B C D -的体积为V ，设
1
AD x AD
=，对于函数()V f x =，则 A ．当2
3
x =，函数()f x 取得最大值
B ．函数()f x 在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
上是减函数 C ．函数()f x 的图像关于直线1
2
x =
对称 D ．存在0x ，使得()f x 13
A BCD V ->(其中A BCD V -为四面体ABCD 的体积)
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9、在复平面内，复数z 1与z 2对应的点关于虚轴对称，且11z i =-+，则
z 1
z 2
=______. 10、已知等差数列{a n }的公差d >0，33a =-，a 2a 4=5，则a n =______；记{a n }的前n
项和为S n ，则S n 的最小值为______.
11、若圆2
2
(2)1x y -+=与双曲线22
2:1x C y a
-=(a >0)的渐近线相切，则a =______；
双曲线C 的渐近线方程是______.
12、一个棱长为4的正方体，被一个平面截去一部分
后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面的 面积是______.
13、在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A ，B ，C 三个项目的志愿者工作，
因工作需要，每个项目仅需要1名志愿者，且甲不能参加A ，B 项目，乙不能参加B ， C 项目，那么共有______种不同的志愿者分配方案.（用数字作答）
14、一辆赛车在一个周长为3km 的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反
映了赛车在“计时赛”整个第二圈行驶速度与行驶路程之间的关系.
根据图1，有以下四个说法：
① 在这第二圈的2.6km 到2.8km 之间，赛车速度逐渐增加； ② 在整个跑道中，最长的直线路程不超过0.6km ；
③ 大约在这第二圈的0.4km 到0.6km 之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶； ④ 在图2的四条曲线（注：s 为初始记录数据位置）中，曲线B 最能符合赛车的运动轨迹. 其中，所有正确说法的序号是______.
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a ，b ，c.设A=3
π
,sinB=3sinC. （Ⅰ）若7=
a ，求
b 的值；
（Ⅱ）求tanC 的值.
16、（本小题满分13分）
某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）.
（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”。

已知该校高一年级有1000
名学生，试估计高一全年级中“体育良好”的学生的人数；
（Ⅱ）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在[60,70)和[80,90)的样本学生中随
机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60,70)的概率； （Ⅲ）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a ，b ，c ，且分别在[70,80),[80,90),[90,100]
三组中，其中a ，b ，c ∈N 。

当数据a ，b ，c 的方差2s 最小时，写出a ，b ，c 的值.（结论不要求证明） （注：])()()[(1
222212x x x x x x n
s n -++-+-=
，x 为数据n x x x ，，
， 21的平均数）
如图，四边形ABCD 是梯形，//AD BC ，90BAD ∠=，四边形11CC D D 为矩形，已知1AB BC ⊥，4AD =，2AB =，1BC =. (Ⅰ) 求证：1//BC 平面1ADD ；
(Ⅱ) 若12DD =，求平面11AC D 与平面1ADD 所成的锐二面角的余弦值；
(Ⅲ) 设P 为线段1C D 上的一个动点（端点除外），判断直线1BC 与直线CP 能否垂直？并说
明理由.
18、（本小题满分13分）
已知函数1
()x
x f x xe ae
-=-，且'
(1)f e =.
(Ⅰ) 求a 的值及()f x 的单调区间；
(Ⅱ) 若关于x 的方程2
()2(2)f x kx k =->存在两个不相等的正实数根12,x x ，证明：
124
ln x x e
->.
19、（本小题满分14分）
已知椭圆C ：22
31(0mx my m +=＞）的长轴长为62，O 为坐标原点.
（1）求椭圆C 的方程和离心率；
（2）设点A （3,0），动点B 在y 轴上，动点P 在椭圆C 上，且P 在y 轴的右侧，若|BA|=|BP|,
求四边形OPAB 面积的最小值.
20、（本小题满分13分）
设数列{}n a 和{}n b 的项数均为m ，则将数列{}n a 和{}n b 的距离定义为1
n
i i
i a b
=-∑。

（Ⅰ）给出数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离. （Ⅱ）设A 为满足递推关系111n
n n
a a a ++=
-的所有数列{}n a 的集合，{}n b 和{}n c 为A 中的两个元素，且项数均为m ，若12b =，13c =，{}n b 和{}n c 的距离小于2016，求m 的最大值.
(Ⅲ)记S 是所有7项数列{|17,01}n n a n a ≤≤=或的集合，T S ⊆，且T 中任何两个元素
的距离大于或等于3，证明：T 中的元素个数小于或等于16.
北京市西城区2016年高三一模数学理科试卷答案
数 学（理科）2016.4
一．选择题 二．填空题
三．解答题
15、（Ⅰ）解：因为sinB=3sinC ，
由正弦定理
c
c
b b a a sin sin sin =
=， 得c 3b =，
由余弦定理73
A A cos 222==
-+=a bc c b a ，及π
，
得bc c b -+=2
27，
所以7332
2
2
=-⎪⎭
⎫ ⎝⎛+b
b b ，
解得3=b . （Ⅱ）解：由A=
3π，得C -=3
2B π
所以C C sin 3)3
2sin(
=-π
， 即
C C C sin 3sin 21
cos 23=+， 所以
C C sin 2
5
cos 23=， 所以5
3
tan =
C . 16、（Ⅰ）解：由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人，
所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有人75040
30
1000=⨯. （Ⅱ）解：设“至少有1人体育成绩在[60,70)”为事件A ，
由题意，得107
10311)(25
23=-=-=C C A P ,
因此至少有1人体育成绩在[60,70)的概率是
10
7
. （Ⅲ）解：a ，b ，c 的值分别是为79,84,90；或79,85,90. 17、(Ⅰ)证明：由11CC D D 为矩形，得11//CC DD .
又因为1DD ⊂平面1ADD ，1CC ⊄平面1ADD ， 所以1//CC 平面1ADD ， 同理//BC 平面1ADD ， 又因为1BC CC C ⋂=， 所以平面1//BCC 平面1ADD ， 又因为1BC ⊂平面1BCC ， 所以1//BC 平面1ADD .
(Ⅱ) 解：由平面ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=，得AB BC ⊥，
又因为1AB BC ⊥，1BC BC B ⋂=，
所以AB ⊥平面1BCC ， 所以1AB CC ⊥，
又因为四边形11CC D D 为矩形，且底面ABCD 中AB 与CD 相交一点， 所以1CC ⊥平面ABCD ， 因为1//CC 1DD ， 所以1DD ⊥平面ABCD .
过D 在底面ABCD 中作DM AD ⊥，所以1,,DA DM DD ，两两垂直，以
1,,DA DM DD 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系，
则11(0,0,0),(4,0,0),(4,2,0),(3,2,0),(3,2,2),(0,0,2)D A B C C D , 所以11(1,2,2),(4,0,2)AC AD =-=-. 设平面11AC D 的一个法向量为(,,)x y z =m ， 由110,0AC AD ⋅=⋅=m m ，得220,420,x y z x z -++=⎧⎨-+=⎩
令2=x ，得(2,3,4)=-m .
易得平面1ADD 的法向量(0,1,0)=n .
所以cos 29
⋅=
=-⋅m n m,n m n .
即平面11AC D 与平面1ADD (Ⅲ) 结论：直线1BC 与CP 不可能垂直.
证明：设1(0)DD m m =>，1((0,1))DP DC λλ=∈， 由1(4,2,0),(3,2,0),(3,2,),(0,0,0)B C C m D ，
得111(1,0,),(3,2,),(3,2,),(3,2,0)BC m DC m DP DC m CD λλλλ=-====--，
(33,22,)CP CD DP m λλλ=+=--.
若1BC CP ⊥，则2
1(33)0BC CP m λλ⋅=--+=，即2(3)3m λ-=-，
因为0λ≠，所以23
30,m λ
=-
+>解得1,λ>这与01λ<<矛盾.
所以直线1BC 与CP 不可能垂直.
18、(Ⅰ) 解：对()f x 求导，得()'
1
()1x
x f x x e ae
-=+-，
所以'
(1)2f e a e =-=，解得a e =. 故()x
x
f x xe e =-，'
()x
f x xe =.
令'
()0f x =，得0x =.
当x 变化时，'
()f x 与()f x 的变化情况如下表所示：
所以函数()f x 的单调减区间为(,0)-∞，单调增区间为(0,)+∞. (Ⅱ) 解：方程2
()2f x kx =-，即为2
(1)20x
x e kx --+=，
设函数2
()(1)2x
g x x e kx =--+. 求导，得'
()2(2)x
x
g x xe kx x e k =-=-. 由'
()0g x =，解得0x =，或ln(2)x k =.
所以当(0,)x ∈+∞变化时，'
()g x 与()g x 的变化情况如下表所示：
所以函数()g x 在(0,ln(2))k 单调递减，在(ln(2),)k +∞上单调递增.
由2k >，得ln(2)ln 41k >>.
又因为(1)20g k =-+<， 所以(ln(2))0g k <.
不妨设12x x <（其中12,x x 为2
()2f x kx =-的两个正实数根），
因为函数)(x g 在(0,ln(2))k 单调递减，且01)0(>=g ，02-)1(<+=k g ， 所以101x <<.
同理根据函数)(x g 在(ln(2),)k +∞上单调递增，且(ln(2))0g k <， 可得2ln(2)ln 4x k >>.
所以12214
ln 41ln x x x x e
-=->-=， 即124ln
x x e
->. 19、（Ⅰ）解：由题意，椭圆C ：
所以m 1a 2=
，m
31b 2= 3
62c 1
26x 6
1m ,6212
a 2222
2==
=-==+===a c e b a y C m 所以离心率因为的方程为所以，椭圆，解得 （Ⅱ）解：设线段AP 的中点为D ， 因为|BA|=|BP|,所以BD ⊥AP ，
由题意，直线BD 的斜率存在，设点P （）（0)(,x 000≠y y
33||23||2223)||23||2(23|)232||(|23
|232|321
|y |32100000
2
0002
00=+⨯≥+=--+=--⨯⨯+⨯⨯=y y y y y y y y y
00032y ,y [2y OPAB =
=当且仅当即时等号成立所以四边形面积最小值为
20、（Ⅰ）解：由题意，数列1,3,5,6和数列2,3,10,7的距离为7.
（Ⅱ）解：设1a p =，其中0,p ≠且1p ≠±.
由111n
n n a a a ++=
-，得2345111,,,11
p p a a a a p p p p +-=
=-==-+， 所以15a a =，
由此A 中数列的项周期性重复，且每隔4项重复一次.
所以{}n b 中，()*434241411
2,3,,23
k k k k b b b b k N ---==-=-=∈， 所以{}n c 中，()*434241411
3,2,,32
k k k k c c c c k N ---==-=-=∈.
由
+11
1
k k
i
i
i
i
i i b c b c
==-≥-∑∑，得项数m 越大，数列{}n b 和{}n c 的距离越大
.
由4
1
7=3i i i b c =-∑， 得34564864
117
=864=20163i i i i i i b c b c ⨯==-=-⨯∑∑.
所以当3456m <时，
1
2016m
i i
i b c
=-<∑，
故m 的最大值为3455.
（Ⅲ）证明：假设T 中的元素个数大于或等于17个.
因为数列{}n a 中，0i a =或1，
所以仅由数列前三项组成的数组()123,,a a a 有且只有8个：
()()()()()()()()0,0,01,0,00,1,00,0,11,1,01,0,10,1,11,1,1.，，，，，，，
那么这17个元素（即数列）之中必有三个具有相同的123,,a a a .
设这三个数列分别为{}{}12345671234567:,,,,,,;
:,,,,,,;n n c c c c c c c c d d d d d d d d
{}1234567:,,,,,,n f f f f f f f f ，其中111222333,,c d f c d f c d f ==
====.
因为这三个数列中每两个的距离大于或等于3，
所以{}n c 与{}n d 中，()4,5,6,7i i c d i ≠=中至少有3个成立. 不妨设445566,,.c d c d c d ≠≠≠
由题意，得44,c d 中一个等于0，而另一个等于1.
又因为40f =或1，所以44f c =和44f d =中必有一个成立，
同理，得55f c =和55f d =中必有一个成立，66f c =和66f d =中必有一个成立， 所以“()4,5,6i i f c i ==中至少有两个成立”或“()4,5,6i i f d i ==中至少有两个成立”中必有一个成立.
所以
7
1
2i i i f c =-≤∑
和7
1
2i i i f d =-≤∑中必有一个成立，这与题意矛盾，
所以T 中的元素个数小于或等于16.
北京市东城区2015-2016学年度第二学期
高三年级第一次统一考试(理工类)
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分) 1、已知复数(1)i ai +为纯虚数，那么实数a 的值为
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
2、集合{}|A x x a =≤，{}
2|50B x x x =-<，若A
B B =，a 的取值范围是
A ．a ≥5
B ．a ≥4
C ．a ＜ 5
D ．a ＜4
3、某单位共有职工150 名，某中高级职称45 人，中级职称90 人，初级职称15 人，现
采用分层抽样方法从中抽取容量为30 的样本，则各职称人数分别为 A ．9，18，3 B ．10，15，5 C ．10，17，3
D ．9，16，5
4、执行如图所示的程序框图，输出的S 值为
A ．
1
2
B ．1
C ．2
D ．4 5、极坐标系中，直线sin cos 1ρθρθ-=被曲线ρ=1截得的线段长为
A ．
1
2
B C ．1 D
6、一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的最长棱长为
A ．2
B ．
C ．3 D
7、已知三点P （5，2），F 1（－6，0），F 2 （6，0 ），那么以F 1，F 2 为焦点且过点P 的椭
圆的短轴长为
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
8、已知1e ，2e 为平面上的单位向量， 1e 与2e 的起点均为坐标原点O ，1e 与2e 的夹角为
3π，平面区域D 由所有满足12OP e e λμ=+的点P 组成，其中1
00
λμλμ+≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
，那么平面 区域D 的面积为 A ．1
2
B
C
D
二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分) 9、在5
1(2)4x x
+
的展开式中，3x 项的系数为 （用数字作答） 10、已知等比数列{}n a 中，2342,32a a a ==，那么a 8的值为 ．
11、如图，圆O 的半径为1， A ， B ，C 是圆周上的三点，过点A 作圆O 的切线与OC 的
延长线交于点P ．若CP ＝AC ，则∠COA ＝ ；
AP ＝ ．
12、若sin (
)4π
α-＝35，且(0,)4
π
α∈，则sin 2α的值为 ． 13、某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如
下表：
在最合理的安排下，获得的最大利润的值为 ．
14、已知函数 ()f x lnx ＝｜｜
，关于x 的不等式()()00()f x f x c x x ≥－－的解集为(0,)+∞，c 为常数．当01x ＝
时，c 的取值范围是 ；当01
2
x =时，c 的值是 ．
三、解答题(共6小题,共80分) 15、（本小题满分13分）
在△ABC 中，BC ＝， AC ＝2，且 cos( A ＋B) 。

（Ⅰ）求AB 的长度；
（Ⅱ）若 f (x ) ＝sin(2x ＋C )，求 y ＝ f (x )与直线y 相邻交点间的最小距离．
已知三棱柱ABC－A1B1C1中，A1 A⊥底面ABC ，∠BAC＝90°，AA1＝1，AB ，AC ＝2，E ，F 分别为棱C 1C ，BC 的中点．
（1）求证：AC ⊥A 1B；
（2）求直线EF 与A1B 所成的角；
（3）若G 为线段A1A 的中点，A1在平面EFG 内的射影为H ，求∠HA 1A．
17．（本小题共13 分）
现有两个班级，每班各出4 名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打（混双）比赛（注：每名选手打且只打一场比赛）．根据以往的比赛经验，各项目平均完成比赛所需时间如图表所示，现只有一块比赛场地，各场比赛的出场顺序等可能．
（1）求按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率；
（2）设随机变量X 表示第三场比赛开始时需要等待的时间，求X的数学期望；
（3）若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少，应该怎样安排比赛顺序（写出结论即可）．
设函数 ()1x
f x ae x ＝－－，a ∈R ．
（1）当a ＝1时，求()f x 的单调区间；
（2）当(0,)x ∈+∞时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围；
（3）求证：当(0,)x ∈+∞时，1ln 2
x e x x ->
19．（本小题共13 分）
已知抛物线C : y 2 ＝2 px （p ＞ 0），其焦点为F ，O 为坐标原点，直线 AB （不垂直于
x 轴）过点F 且抛物线C 交于 A ，B 两点，直线OA 与OB 的斜率之积为－p ．
（1）求抛物线C 的方程；
（2）若M 为线段AB 的中点，射线OM 交抛物线C 于点 D ，求证：
||
||
OD OM ＞2
20．（本小题共13 分）
数列{}n a 中， 给定正整数m （m ＞1），V （m ）＝
1
1
1
||m i i i a
a -+=-∑．
定义：数列{}n a 满足1i i a a +≤（i ＝1，2，…，m －1），称数列{}n a 的前m 项单调不增．
（1）若数列{}n a 的通项公式为(1),(*)n n a n N =-∈，求V （5）．
（2）若数列{}n a 满足：1,,(1,*,)m a a a b m m N a b ==>∈>，求证：V （m ）＝a －b 的充分必要条件是数列{}n a 的前m 项单调不增．
（3）给定正整数m （m ＞1），若数列{}n a 满足：0n a ≥，（n ＝1，2，…，m ），且数列{}n a 的前m 项和为m 2，求V （m ）最大值与最小值．（写出答案即可）
北京市东城区2015-2016学年度第二学期
高三年级统一考试数学答案（理工类）
一、选择题：（满分40分）
二、填空题：（满分30分）
三、解答题：（满分80分） 15、
（1）由A B C π++=，得()()cos cos 2
A B C π+=-=-
，
所以cos cos()2
C C π=--=
由余弦定理2222cos AB BC AC BC AC C =+-⋅⋅，
代入BC
==2AC ，cosC 2
=
，得2AB =
（Ⅱ）在ABC 中，cosC 2
=，可得4C π=，则()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
令
()sin 242f x x π⎛
⎫=+=
⎪⎝
⎭
解得224
3
x k π
π
π+=
+或2224
3
x k π
π
π+
=
+，k Z ∈. 解得24x k π
π=
+或524
x k π
π=
+，k Z ∈.
所以，相邻交点间的距离为6π或56π，得到最小距离为6
π
.
16、
（1）因为1A A ⊥底面ABC ，AC ⊂底面ABC ，所以1A A ⊥
AC .
90BAC ∠=，即AB ⊥AC .
1A A ⊂平面11ABB A ,AB ⊂平面11ABB A ,1A A AB A =，所以AC ⊥平面11ABB A .
而1A B ⊂平面11ABB A ,所以1AC A B ⊥
（Ⅱ）如图，以A 为原点，AB 、AC 、1AA 分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系A
xyz .
有
()
10,0,1A
，
)
B
,()0,2,0C ,()10,2,1C ,10,2,2E ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
,
E ⎫⎪⎪⎝⎭. 得(
)
13,0,1A B =
-，311,22EF ⎛⎫
=-- ⎪ ⎪⎝⎭
. 得1112cos ==
2A B EF A B EF A B EF
⋅⋅，
.即1=4
A B EF π
，. 异面直线所成的角的取值范围为0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
，
得直线EF 与1A B 所成的角为
4
π （Ⅲ）10,0,2G ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，得()0,2,0GE =，311,2EF ⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭
. 平面EFG 的法向量记做(),,n x y z =，所以n GE n EF ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，则有00
n GE n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，
即201
02
y x y z =⎧--=.
令z =1x =-，0y =.
得(1,0,n =-. 1A 在平面EFG 内的射影为H ，得1A H 与n 同向共线.
()1
0,0,1A A =-,则11113
cos HA A =cos ==
n A A n A A n A A
⋅∠⋅，
. 所以16
HA A π
∠=.
17、
设男单比赛为事件a,女单比赛为事件b ，混双比赛为事件c.
（1）设 按女单、混双、男单的顺序进行比赛为事件A,三场比赛共有6场比赛方式，情况如下：abc 、acb 、bac 、bca 、cab 、cba ，其中按女单、混双、男单的顺序进行比赛的情
况只有一种情况：bca ，所以P(A)=.
（2）由（1）知，三场比赛共有6种比赛方式，且每种比赛情况相互独立，属等可能事件，情况如下：abc 、acb 、bac 、bca 、cab 、cba 。

若按abc 顺序进行比赛，则X=25+20=45分钟；若按acb 顺序进行比赛，则X=25+35=60分钟；
若按bac 顺序进行比赛，则X=20+25=45分钟；若按bca 顺序进行比赛，则X=20+35=55分钟；
若按cab 顺序进行比赛，则X=35+25=60分钟；若按cba 顺序进行比赛，则X=35+20=55分钟； P （X=45）== ；P （X=55）== ；P （X=60）== .
X 的数学期望如下表：
1
61+16131+16131+161
3
X 45 55 60
P
（3）、按照混双、女单、男单的顺序参加比赛，可使等待的总时间最少。

18、
解：（1）当1=a 时， 1)(--=x e x f x
∴
1)(-='x
e x f
令0)(='x f ，则0=x
x
)0,(-∞
),0(+∞
)(x f ' — 0 ﹢ )(x f
极小值
∴)(x f 的单调增区间为),0(+∞，单调减区间为)0,(-∞ （2） ∵ 01)(>--=x ae x f x
∴ x e x a 1
+>
在
),0(+∞∈x 上恒成立 令x e
x x g 1
)(+=，),0(+∞∈x ，
∴0)1()(2<-=+-='x x x x e
x
e e x e x g
∴)(x g y =在),0(+∞单调递减 ∴ 1)0()(=<g x g ∴
1≥a ∴[)+∞∈,1a
（3） 要证 21ln x x e x >-，只需要证21
x
x e x
e >-，即证21x x xe e >-，即证012>--x x xe e
令2
1)(x
x
xe e x h --=，只需要证0)(>x h 恒成立。

131313
∵ )2
1
1(21)(2222
x e e xe e e x h x x x x x
--=--='
又（2）可知，取1=a 时，01)(>--=x e x f x
恒成立，所以02
1
12
>-
-x e x
恒成立 所以0)2
1
1()(2
2
0>-
-='x e e x h x ∴ )(x h y =在),0(+∞∈x 上恒增 易知，0)0(=h
∴当),0(+∞∈x 时，0)0()(=>h x h ∴ 012>--x
x xe e
∴ 2
1ln x x e x >-
19、
（Ⅰ）由题意，设直线AB 方程为()2
p
y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y 与抛物线2
:2(0)C y px p =>联立：
2
22222
2(0)(2)04()
2y px p p k k x k px p y k x ⎧=>⎪⇒-++=⎨=-⎪⎩(0)>2122
2
12
(2)4
k p
x x k p x x ⎧++=⎪⎪⇒⎨⎪⋅=⎪⎩ 因为，22222
12121222221212124OA OB
y y y y p x x k k p p p p x x x x x x ⋅=-⇒=-⇒=⇒=，将2124
p x x ⋅=代入
得：2
164p p =⇒=，即抛物线C 的方程为2
8y x =。

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，21224(2)k x x k ++=所以，M 点的横坐标为22
2(2)
k k +
易得，4(2)M M M y k x y k
=-⇒=
（或运用点差法211
222
88y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩两式相减得，1212
128()8()x x y y y y k -+==-）
射线OM 的直线方程为222422(2)2
k k
y x y x k k k =⋅
⇒=++，与抛物线联立，易得： D 点的横坐标为222
2(2)k k
+，如图2
22D M OD x k OM x ==+>（k 不为0），得证。

20、
（Ⅰ）数列}{n a 的前５项为1,1,1,1,1---，则
4
11
21324354(5)=1(1)111(1)118
+==--+-+-+-=--+--+--+--=∑i i
i V a a a a a a a a a a
（Ⅱ）充分性： 因为数列
}
{n a 的前m 项单调不增，那么
121
-≤≤≤m m a a a a ，所以此时
必要性： 用反证法证明， 假设数列
}
{n a 的前m 项不是单调不增，那么肯定存在(11)≤≤-i i m 使得
1+>i i
a a ，则
111
1
1
1111
1
111111()=2()
2()
-+=--+++==+++++=--+-+-=-+-+-=-+-=-+-∑∑∑m i i
i i m i i i i i i
i i i i i i i m m i i i i V m a a a a a a a a a a a a a a a a a a a b a a
111
2132431211223342111()=-+=------=--+-+-++-+-=-+-+-++-+-=-=-∑m i i
i m m m m m m m m
m V m a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a b
因为1+>i i a a ，所以10+->i i a a ，从而
1()2()+=-+->-i i V m a b a a a b
这与已知()=-V m a b 相矛盾，数列}{n a 的前m 项单调不增不成立 所以数列}{n a 的前m 项单调不增。

综上可证，()=-V m a b 的充分必要条件是数列}{n a 的前m 项单调不增。

（Ⅲ）当}{n a 为常数列时，()V m 取最小值为0.
最大值为242
()=2,2
，=⎧⎨>⎩m V m m m ，可证明如下
（ⅰ） 当=2m 时，最大值为2
12+=2=4a a ，
21212024,(0,0)-=-=≥≥a a a a
（ⅱ）2>m 时，数列}{n a 的前m 项和为2m
1
11
1
11
2
1
()22（+）
-+=-+===-≤≤=∑∑∑m i i
i m i i i m
i i V m a a a a a m
北京市朝阳区2015-2016学年度第二学期
高三年级第一次统一考试(理工类)
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分) 1． i 为虚数单位，复数
2i 1i
+= A ．1i - B ．1i -- C ．1i -+ D ．1i +
2． 已知全集U =R ，函数ln(1)y x =-的定义域为M ，集合{}
2
0N x x x =-<，则下列结
论正确的是 A ．M N N = B ．()U
M
N =∅ð
C ．M
N U = D ．()U M N ⊆ð
3．
>e e a
b
>”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 4． 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A ．42 B ．19 C ．8
D ．3
5．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,.a b c 若
222()tan a c b B +-=，则角B 的值为
A ． 3
π
B ． 6
π
C ．
233
ππ或
D ． 566
ππ或
(第4题图)
6．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误．．
的是 A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1 B ．结余最高的月份是7月
C ．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D ．前6个月的平均收入为40万元 （注：结余=收入-支出）
7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是
A ．13
B ．
12 C ．1 D ．32
8．若圆222(1)x y r +-=与曲线(1)1x y -=的没有公共点，则半径r 的取值范围是
A
．0r <<
B
．0r <<
C
．0r << D
．0r <<
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9． 二项式251
()x x
+的展开式中含4
x 的项的系数是 （用数字作答）．
10．已知等差数列}{n a (n *
∈N )中，11=a ，47a =，则数列}{n a 的通项公式n a = ；
2610410n a a a a +++++=______．
11．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为22
2x y +=，曲线2C 的参数方程为
万元 月
O
30 10 240 60 570 90 8收入 支出
2,
(x t t y t =-⎧⎨
=⎩
为参数)．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲 线1C 与2C 的交点的极坐标．．．
为 ． 12．不等式组0,
,290x y x x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+-≤⎩
所表示的平面区域为D ．若直线(1)y a x =+与区域D 有公
共点，则实数a 的取值范围是 ． 13．已知M 为ABC ∆所在平面内的一点，且1
4
AM AB nAC =
+．若点M 在ABC ∆的内部(不 含边界)， 则实数n 的取值范围是____．
14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的
第i （1,2,,12i =）项能力特征用i x 表示，0,1i i x i ⎧=⎨
⎩如果某学生不具有第项能力特征，
，如果某学生具有第项能力特征.
若学生,A B 的十二项能力特征分别记为1212(,,,)A a a a =，1212(,,,)B b b b =，则,A B
两名学生的不同能力特征项数为 （用,i i a b 表示）．如果两个同学不 同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学 生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）
已知函数21()sin 222
x f x x ωω=
-，0ω>． （Ⅰ）若1ω=，求()f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）若()13
f π
=，求()f x 的最小正周期T 的表达式并指出T 的最大值．
为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表．
（Ⅰ）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为4
的概率？
（Ⅱ）若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X ，求随机变
量X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）试判断男学生阅读名著本数的方差2
1s 与女学生阅读名著本数的方差2
2s 的大小（只需
写出结论）． 17．（本小题满分14分）
如图，在直角梯形11AA B B 中，190A AB ∠=︒，11//A B AB ，11122AB AA A B ===．直角梯形11AAC C 通过直角梯形11AA B B 以直线1AA 为轴旋转得到，且使得平面11AA C C ⊥平面11AA B B ．M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 上的动点．
（Ⅰ）求证：11A C AP ⊥；
（Ⅱ）当点P 是线段1BB 中点时，求二面角P AM B --的余
弦值；
（Ⅲ）是否存在点P ，使得直线1A C //平面AMP ？请说明理由．
A
M
P
C
B
A 1
C 1
B 1
已知函数()f x =ln ,x a x a +∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）当[]1,2x ∈时，都有()0f x >成立，求a 的取值范围；
（Ⅲ）试问过点(13)P ，可作多少条直线与曲线()y f x =相切？并说明理由．
19．（本小题满分14分）
已知点P 和椭圆:C 22
142
x y +=． （Ⅰ）设椭圆的两个焦点分别为1F ，2F ，试求12PF F ∆的周长及椭圆的离心率；
（Ⅱ）若直线:
l 20(0)y m m -+=≠与椭圆C 交于两个不同的点A ，B ，直线PA ，
PB 与x 轴分别交于M ，N 两点，求证：PM PN =．
20．（本小题满分13分）
已知等差数列}{n a 的通项公式31()n a n n *
=-∈N .设数列{}n b 为等比数列,且n n k b a =.
（Ⅰ）若11=2b a =,且等比数列{}n b 的公比最小， （ⅰ）写出数列{}n b 的前4项； （ⅱ）求数列{}n k 的通项公式；
（Ⅱ）证明：以125b a ==为首项的无穷等比数列{}n b 有无数多个.。