高考数学复习：你出过这样的错吗？

你出过这样的错吗？
利用图形解题，往往会由于各种原因得出错误结论.现举几例，希望同学们警钟常鸣！
一、引用不可靠结论
例1 已知在△ABC 中，∠ACB =90°，BC =3，AC =4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值是______.
错解：如图1，过P 作PM ⊥AC ，PN ⊥BC ，则当四
边形PMCN 为正方形时，点P 到AC 、BC 的距离乘积取最
大值，此时可设PM =PN =x .
由PM ∥BC ，得 434x x -=， 解得 127x =. 故所求最大值为14449. 分析：默认四边形PMCN 为正方形时得出本题的结论，只是从“形”的角度的猜想，并没有足够的理论依据.事实上，设P 到AC 、BC 的距离分别为x （x ≥0）和y （y ≥0），则434
x y -=，即43122123x y xy xy +=⇒≥≤. 当322
x y ==，时，xy 取得最大值3. 评注：在利用图形的直观性的同时，不能忽视必要的逻辑分析，必须有足够的理论依据才能确保结论的可靠性.
二、对基本概念理解不透彻 例2 已知平面上三点A 、B 、C 满足345AB BC CA ===u u u r u u u r u u u r ，
，，则AB BC BC CA CA AB ++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g 的值等于______.
错解：如图2，由条件知△ABC 中，4390cos cos 55
B C A ===o
，，. ∴AB BC BC CA CA AB ++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g cos cos BC CA C CA AB A =+u u u r u u u r u u u r u u u r
4345352555=⨯⨯+⨯⨯=. 分析：虽然这是一道基础题，但出错率相当高.究其原因是误以为BC uuu r 与CACA
u u u r u u u r ，与AB u u u r 的夹角就是三角形的内角C 、A . 事实上，由向量夹角的定义应有 AB BC BC CA CA AB ++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g
cos()cos()43453525.55BC CA C CA AB A =π-+π-⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r .
评注：在转换过程中，倘若对一些基本概念理解不够深刻，就难免出错.
三、考虑图形不完备
例3 若关于x 的不等式222(0)a x x a a ->+≠，则x 的取值范围是_______.
错解：如图3（1），在同一坐标系内，分别作半椭圆22:2C y a x =-，即2222(0)x y a y +=≥和直线:l y x a =+.
由2222x y a y x a ⎧+=⎨=+⎩，，
，得12203x a x =-=，. ∴原不等式的解集为203a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，. 分析：错解在作图时，受椭圆中长半轴长a 的影响，默认a >0，遗漏了a <0的情形.当
a <0时，如图3（2），x 的取值范围是22a a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，.综上可知，a ＞０时，x 的取值范围是203a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，；0a <时，x 的取值范围是22a a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，
评注：利用数形结合解题，有些情况下，符合题意的图形不止一个，作图过程中，极易只画出自己最习惯最熟悉的图形，从而导致作图不完备，考虑问题不周，以致求解出错.。