植树问题

《植树问题（两端要栽）》教学设计
【教学内容】
义务教育课程标准实验教材五年级上册106页例1及相关练习。

教材分析：
“植树问题”是人教版五年级上册数学广角中的一个教学内容，解决植树问题的
思想方法是实际生活中应用比较广泛的数学思想方法。

植树问题通常是指沿着一定的路线植树，这条路线的总长度被树平均分成若干段（间隔），由于路线的不同、植树要求的不同，路线被分成的段数（间隔数）和植树的棵数之间的关系就不同。

在现实生活中类似的问题还有很多，比如公路两旁安装路灯、花坛摆花、站队中的方阵，等等，它们中都隐藏着总数和间隔数之间的关系问题，
我们就把这类问题统称为植树问题。

在植树问题中“植树”的路线可以是一条线
段，也可以是一条首尾相接的封闭曲线，比如正方形、长方形或圆形等等。

即使是关于一条线段的植树问题，也可能有不同的情形，例如，两端都要栽，只在一端栽另一端不栽，或是两端都不栽。

教材编排中，例1是探讨关于一条线段的植树问题并且两端都要栽树的情况，
让学生先通过画线段图来发现栽树的棵数和间隔数之间的关系，再用发现的规律解决实际问题。

例1是探讨关于一条线段的植树问题并且两端都要栽的情况，根据教材的意图，
要让学生经历猜想、试验、推理等数学探索的过程，从简单的情况入手解决复杂的问题，让学生选用自己喜欢的方法来探究栽树的棵树和间隔数之间的关系，并启发学生透过现象发现规律，让学生初步体会解决植树问题的思想方法以及这种方法在解决实际问题中的应用。

学生分析：
学生在学这个内容之前，已经初步积累了一些探索规律的经验，由于这种规律在日常生活中常见，学生容易在生活中找到相关的原型，因而也比较容易体会到探索规律的乐趣和成功感。

设计理念：
结合新课标的要求，本课安排“猜谜引入，导入新课——解题设疑提出问题——自主探究，发现规律——活用规律，解决问题——全课总结，理顺知识——布置作业，延伸课外。

”六大环节。

先向学生提出解决问题后要想方设法验证，以此为起点，启发学生在遇到比较复杂问题的时候，可以用比较简单的例
子来分析、研究，从简单的事例中发现规律，然后应用找到的规律来解决原来的问题。

通过“数学广角”来进一步渗透数学学习的思想、方法，加强学生综合运用知识的技能，逐步提高解决问题的能力。

【教学目标】
知识目标：
1、利用学生熟悉的生活素材、通过动手操作等实践活动，让学生感悟间隔数与棵数之间的关系。

2、让学生自主探索、讨论、交流，使学生发现并理解植树问题（两端要种）的解题规律，并利用规律解决一些实际问题。

能力目标：
1、让学生经历分析、思考、解决问题的整个探究过程，并从中学习一些解决问题的方法和策略。

2、通过探索间隔数与植树棵数之间的规律，初步体会化复杂为简单和一一对应的数学方法。

情感目标：
培养学生的分析意识，养成良好的交流习惯，感悟日常生活中处处有数学，体验学习的成功喜悦。

【教学重点】
引导学生发现棵数与间隔数的关系。

【教学难点】
理解间隔与棵树之间的规律并运用规律解决问题。

【教具准备】：课件、学生用纸条、小圆片学具等。

教学方法：
结合新课标的要求，本课安排“谜语引入，导入新课——解题设疑提出问题——合作探究，发现规律——活用规律，解决问题——全课总结，理顺知识”五大环节。

先向学生提出解决问题后要想方设法验证，以此为起点，启发学生
在遇到比较复杂问题的时候，可以用比较简单的例子来分析、研究，从简单的事例中发现规律，然后应用找到的规律来解决原来的复杂问题。

通过“数学广角”来进一步渗透数学学习的思想、方法，加强学生综合运用知识的技能，逐步提高解决问题的能力。

教学过程：
一、猜谜引入，导入新课。

同学们喜欢猜谜语吗？（喜欢）
好，那么在上新课之前我们来猜个谜语。

（课件出示谜面）（第二张幻灯片）
两棵小树十个杈，
不长叶子不开花，
能写会算还会画，
天天干活不说话。

现在学生用你们好听的声音一起大声读出谜面的内容。

你猜到这个谜语的谜底了吗？（学生举手回答）
学生猜出谜底是手。

同学们真棒。

现在同学们看着老师的手，你能由此想到几个数字呢？
学生回答。

（有的说5，代表五个手指，有的说4，表示有四个间隔）(课件出示”五个手指之间有四个间隔。

）（第三张幻灯片）
师生一起数数。

依次4、3、2、
你发现手指数和间隔数之间的关系吗？
学生表达。

（课件出示）（第四张幻灯片）
我们在哪里之间还见过间隔。

出示生活中的间隔问题，（课件出示）（第五张幻灯片）
是呀，在我们生活中，有很多的间隔问题，在数学上我们把这些与间隔有关的问题称为植树问题。

导入新课。

（板书课题）（第六张幻灯）
今天我们就来研究植树问题的第一种情况。

（设计意图：从我们熟悉的手中寻找数学问题，用意在于先突破教学中的知识点，理解间隔，间隔数，初步感知间隔数与物体个数的关系，并且起到规范学生语言的作用，使学生在轻松的活动中为新课的学习作铺垫，同时渗透数学从生活中来，数学离不开我们生活的道理。

）
二、解题设疑提出问题。

1、环保教育，导入新课。

师说：每年3月12日是植树节，植树造林，保护环境，人人有责，光明小学的学生在植树节组织了植树活动，现在让我们一起去看看吧！
2、尝试解题，制造悬念。

课件出示：例：同学们在全长20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽）。

一共需要栽多少棵树苗？（第七张幻灯片）
（1）指名读题，从题中你知道了哪些数学信息？（学生说）
（2）谁能说一说：“一边”、的意思？学生说。

教师用数学书演示指出一边的意思。

只在上边、下边、左边或者右边。

从题目中我们就知道了只栽一边。

我们要在全长20米的小路，一边植树，20米指的是？（这条小路的总长）很好，那每隔5米指什么呢？（两棵小树之间的距离）
对，每课树之间的距离都是5米。

“两端要栽”的含义？（板：两端要栽）
学生回答：起点和终点都要栽。

（课件演示三种情况，让学生理解三种不同的栽树情况）（第八张幻灯片）
（3）小结、分析题意。

“全长20米”是指小路的总长；“一边”是小路的一侧，指左边或右边；“每隔5米栽一棵” 是每两棵树之间的距离，简称“间距”。

“两端要栽”指起点与终点处都要栽。

让学生进一步感知“两端要栽”、“间距”、“间隔数”和“植树棵数（间隔点）”的含义。

?棵……棵数
5米……间距
（起点与终点处都要栽）
20米……总长
【设计意图：化抽象为具体，帮助学生理解题中信息，进一步明白“两端要栽”、“间距”、“间隔数”和“植树棵数（间隔点）的意思。

】
（4）那么这道题你会解答吗？请同学们先自主尝试解答方法。

（第九张幻灯片）
（教师行间巡视）
（5）反馈学生的做法：
叫几个学生发表自己不同的算法。

方法1：20÷5＝4（棵）
方法2：20÷5＝4（段）4+1=5（棵）
（6）师提出疑问：现在我们来看着两种答案，都有一个算式，20÷5＝4，现在出现了两种答案，到底哪种答案是正确的呢？用什么方法来验证呢？
（设计意图：先让学生自主尝试解答，交流算法时出现了两种情况，从而因势利导通过探究发现哪种方法正确）
三、合作探究，发现规律。

1、小组合作探究。

一共要栽多少棵树？请同学们拿出你的学具摆一摆。

用手中的纸条代表20米的小路，用小圆片代表树，现在请同学们在路上摆一摆。

看这20米长的小路到底可以栽种几棵树呢？学生小组内摆一摆。

（教师行间巡视）
（1）展示学生的摆法。

叫一个学生上台展示，并说明理由。

（2）归纳算法，小结规律。

那是不是在20米的小路上栽5棵呢？看着学生的摆法，说，一个5米，两个5米，3个5米，4个5米，4个5米就是？，4个5米就是20米。

在看学生的两种算法，那么哪种算法是正确的呢？
第一种方法是正确的。

那么，你们觉得这20÷5=4,4表示什么呢？（4指的是4个间隔）是用什么除以什么得到的呢？20÷5，也就是用这条路的总长除以间距等于间隔数。

用间隔数加上1就可以求出总的棵树。

（课件出示规律）学生看着课件一起读。

（播放幻灯片第十张）
我们刚才已经验证了有4个间隔那就有5棵树。

师指着手中的一个长条，说这5米长的小路有几个间隔，要栽几棵树呢？10米长的小路有几个间隔，要栽几棵树？15米呢？如果现在有100米的小路，有几个间隔，该栽几棵树呢？如果有N个间隔那么要栽几棵树呢？学生回答（N+1棵）（播放第十一张幻灯片）
同学们认真观察间隔数和要栽的树，你们发现了什么？（植树的棵树比间隔数
多1，）或者说（间隔数比植树的棵树少1）用算式表示就是？（播放第十二
张幻灯片）
3、小组讨论：总长、间距和间隔数之间有什么关系？间隔数和棵数之间呢？
4、教师小结。

同学们非常能干，通过猜测、验证、讨论发现了植树问题中一个非常重要的规律，那就是如果在一条路上植树，两端都要栽的话，栽树的棵数比平均分的份
数也就是间隔数多1，而总长除以间距等于间隔数。

（课件出示规律）
（播放课件第十三张课件）
同学们一起读，把规律书写到书上。

【设计意图：数学活动是学生自己建构数学知识的活动。

本环节教学中我先向学生渗透解决问题的常用方法：在遇到比较复杂问题的时候，可以用比较简单的例子来分析、研究，再为学生创设了一种民主、宽松、和谐的学习氛围，给了学生充分的时间与空间，充分发挥学生学习主动性和探究性，放手让学生在操作中感知，在观察中比较、发现、总结出数学规律，这样学生可以学会学习，使学生的创新精神的培养得到落实。

】
四、活用规律，解决问题
（一）回归例题，初用规律。

1、课件出示例题1：读完题后，学生自主尝试解答。

（第十四张幻灯片）叫一个学生说出自己的算法。

并陈述理由。

（课件出示学生的算法）
那么以后在碰到这种两边都要栽的问题，你们会解决了吗？
【设计意图：由简单到复杂，学生利用探索出的规律解决新的复杂问题，符合学生的认知发展规律。

所有的学生都会应用规律解决问题，豁然开朗。

】
（二）基础练习，再用规律。

师：同学们真会动脑筋！通过简单的例子，发现了规律，应用这个规律解决了复杂的问题。

以后遇到“两端要种，求棵树”的植树问题，知道该怎么做了吗？准备好了吗？我们来闯关有信心吗？
1、运用拓展，第一关，课件出示，并让学生口答填空。

（播放第十六张幻灯片）
2、第二关，课件出示，学生看图口答。

并说明理由。

（播放第十七张幻灯片）（三）深化练习，拓展规律。

师：同学们真能干！其实我们的生活中还存在着许多类似植树问题的现象。

1、说一说，生活中有哪些情况类似植树问题的呢？
2、课件依次演示：（18、19张）
看得见的“假” 的树，不容易看见却能“想象”的树，还有一些看不见却能“听得见”的树，所以植树问题是一个非常广泛的数学概念。

3、巧用规律，解决生活中类似问题。

（1）在一条全长2千米的街道两旁安装路灯（两端也要安装），每隔50米安装一座。

一共要安装多少座？
（2）学校准备在校门前的公路一侧植树，每隔6米种一棵，一共种36棵。

从第一棵到最后一棵的距离有多少米？
（3）课件出示，刘翔图片。

刘翔共要跨过10个栏，栏间距离约是9米,你们知道刘翔从第一个栏到最后一个栏跑了多少米吗？
（学生自主解答，而后集体订正）
教育学生向奥运健儿学习
让我们在数学的天空里
飞得更高
（设计意图：让学生感受生活中处处有数学，体验学习数学的成功喜悦。

同时利用奥运健儿刘翔激励学生奋发向上）
五、全课总结，理顺知识。

1、今天我们学了什么？你有哪些收获？
2、教师总结延伸：同学们这节课中运用化复杂为简单的数学思想方法发现了两端都栽的植树问题中的规律，并能利用规律解决生活中类似的实际问题。

其
实，植树问题还有封闭图形（如正方形、圆形花坛…）等的情况，这些都需要同
学们在以后的学习中开动脑筋，积极思考才能找到解决问题的好方法。

继续努力吧！
六、布置作业，延伸课外。

练习二十四第2、3、4题
板书设计
植树问题——两端都栽
20米——总长总长 ÷间距=间隔数棵树=间隔数+1
每隔5米——间距间隔数=棵树-1
？棵——棵树
七、教学反思：
通过本次做这个公开课，准备课程的过程中，我觉得又是一次成长，学到了很多！
一、数学方法的渗透
作为一名数学教师，一直以来一直在思考一个问题：在数学课堂上，我们到底能让学生留下些什么？是让学生掌握知识的结果，能够单纯的解题重要还是经历知识的探索过程，在这个过程中形成数学思想方法，更为重要。

我想每位老师都能得出一个正确的解答：结果固然重要，但过程与方法更为重要。

（1）在本节课的教学中，主要渗透了两个数学思想：化复杂为简单和一一对
应的数学思想，在遇到比较复杂的问题时，我们可以先用比较简单的例子来研究、验证。

在例题中数字100米较大，我们可以转化为较简单的数字去探究规律。

（2）“植树问题”的本质就是对应问题，只要明确了“间隔”与“树”这两者之间的对应关系，突出“一一对应”的思想，再以此为基础并通过适当变化就可以应
对各种变化了的情况。

因此，在此真正重要的应是“一一对应”的数学思想，应该用对应思想统领课堂。

从而，在此真正需要的也就并非“规律的应用”，而是思维的灵活性，即如何能够依据基本模式并通过适当变化以适应变化了的情况。

对于“两端都种”“只种一端”与“两端都不种”这样三种情况的区分则不必过于
强调，更不必将相应的计算法则看成是重要的规律乃至要求学生牢牢地去记住并能不假思索地加以应用。

二、植树问题在生活中的应用
无论是“植树问题”，还是“路灯问题”、“排队问题”、“爬楼问题”，抑或“锯木问题”、“敲钟问题”等等，都有着相同的数学结构，即可以被归结为同一个数学模式，可以统称为“植树问题”。

因此，尽管“植树问题”可以被看成提供了一个很好的“现实原型”，但在教学中我们还需要超出这一特定情境，设法帮助学
生清楚地认识到所有这些具体问题事实上都有着相同的数学结构，帮助学生建构普遍的数学模式，以提升学生的思维水平。

“授之以鱼”不如“授之以渔”。

另外，让学生体会数学在生活中无处不在！。