广东省潮州市德芳中学2021年高三数学理联考试题含解析

广东省潮州市德芳中学2020-2021学年高三数学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知x，y满足，则目标函数z=3x+y的最小值是（）
A．4 B．6 C．8 D．10
参考答案：
B
【考点】简单线性规划．
【分析】画出可行域，求出A，B坐标，利用角点法求解即可．
【解答】解：画出可行域如图1所示，当目标函数y=﹣3x+z经过点A（1，3）时，z的值为6；当目标函数y=﹣3x+z经过点B（2，2）时，z的值为8，
故选：B．
【点评】本题考查线性规划的简单应用，角点法求法具体目标函数的最值的求法的应用，考查数形结合思想以及计算能力．
2. 函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）的图象关于原点对称的充要条件是（）
A．φ=2kπ﹣，k∈Z B．φ=kπ﹣，k∈Z C．φ=2kπ﹣，k∈Z D．φ=kπ
﹣，k∈Z
参考答案：
D
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】先利用辅助角公式对函数化简可得，f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=2sin （2x+φ+），由函数的图象关于原点对称可知函数f（x）为奇函数，由奇函数的性质可得，f
（0）=0代入可得sin（φ）=0，从而可求答案．
【解答】解：∵f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=2sin（2x+φ+）的图象关于原点对称
∴函数f（x）为奇函数，由奇函数的性质可得，f（0）=0
∴sin（φ）=0
∴φ=kπ
∴φ=
故选：D
【点评】本题主要考查了利用辅助角公式把不同名的三角函数化为y=Asin（x+）的形式，进而研究函数的性质；还考查了奇函数的性质（若奇函数的定义域内有0，则f（0）=0）的应用，灵活应用性质可以简化运算，减少运算量．
3. 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且其图象向右平移
个单位后得到函数g（x）=sinωx的图象，则φ等于（）
A．﹣B．﹣C．D．
参考答案：
C
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；H2：正弦函数的图象．
【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性，求得φ的值．
【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为=π，∴ω=2，
其图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sin（2x﹣+φ）=sin2x的图象，∴﹣+φ=2kπ，k∈Z，
则φ=，
故选：C．
4. 若不等式对一切恒成立，则
的取值范围
是（）
A． B．
C． D．
参考答案：
【知识点】函数恒成立问题．B14
【答案解析】A 解析：①当a=2时，不等式恒成立．故a=2成立
②当a≠2时，要求,解得：a∈（﹣2，2）
综合①②可知：a∈（﹣2，2],故选A．
【思路点拨】二次不等式在x∈R恒成立求参数的问题，应首先考虑a﹣2是否为零．
5. 对于函数：①；②；③.有如下两个命题：命题甲：是偶函数命题乙：在上是减函数，在上是增函数.能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是
①②.①③.②.③.参考答案：
C
6. 如图，正方形的边长为，延长至，使，连接，则
A．B．C．D．
参考答案：
B
略
7. 设命题p：“若对任意，｜x＋1｜＋｜x－2｜＞a，则a＜3”；命题q：“设M为平面内任意一点，则A、B、C三点共线的充要条件是存在角，使
”，则
A、为真命题
B、为假命题
C、为假命题
D、为真命题参考答案：
C
8. 的值等于
(A)(B)(C) (D)
参考答案：
C
，选C.
9. 已知展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则：
(A) (B) (C (D)
参考答案：
A
略
10. 已知三个数a=0.60.3，b=log0.63，c=lnπ，则a，b，c的大小关系是（）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c
参考答案：
D
【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：三个数a=0.60.3∈（0，1），b=log0.63＜0，c=lnπ＞1，
∴c＞a＞b．
故选：D．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若直线经过原点，且与直线的夹角为300，则直线方程为___________参考答案：
略
12. 给出下列命题中
①向量的夹角为；
②为锐角的充要条件；
③将函数的图象按向量平移，得到的图象对应的函数表达式为；
④若为等腰三角形；
以上命题正确的是（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
参考答案：
3 ; 4
略
13. 函数的最小值为________．
参考答案：
【分析】
结合换元法以及利用导数求得的最小值.
【详解】令，函数变为，
，
所以在上递减，在上递增，
所以，
也即函数的最小值为. 故答案为：
【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的最值，属于中档题.
14. 设抛物线C：y2=3px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为．
参考答案：
y2=4x或y2=16x
【考点】圆的一般方程；抛物线的简单性质．
【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据抛物线方程算出|OF|=，设以MF为直径的圆过点A（0，2），在Rt△AOF中利用勾股
定理算出|AF|=，再由直线AO与以MF为直径的圆相切得到∠OAF=∠AMF，Rt△AMF中利用
∠AMF的正弦建立关系式，从而得到关于p的方程，解之得到实数p的值，进而得到抛物线C的方程．
【解答】解：因为抛物线C方程为y2=3px（p＞0）所以焦点F坐标为（，0），可得|OF|=
因为以MF为直径的圆过点（0，2），所以设A（0，2），可得AF⊥AM
Rt△AOF中，|AF|=，
所以sin∠OAF==
因为根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，
所以∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF==，
因为|MF|=5，|AF|=，
所以=，整理得4+=，解之可得p=或p=
因此，抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．
故答案为：y2=4x或y2=16x．
【点评】本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF，以MF为直径的圆交抛物线于点（0，2），求抛物线的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题．
15. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，，过直线的平面平面，则平面截该正
方体所得截面的面积为
．
参考答案：
16. 已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是．参考答案：
；
，．
17. 在的展开式中，常数项为；（用数字作答）
参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知曲线C的参数方程：（α为参数），曲线C上的点M（1，）对应的参数
α=，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点P的极坐标是（，
），直线l过点P，且与曲线C交于不同的两点A、B．（1）求曲线C的普通方程；
（2）求|PA|?|PB|的取值范围．
参考答案：
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（I）由椭圆参数方程可得，解得a，b．可得曲线C的参数方程，化为直角坐标方程，再利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，可化为极坐标方程．
（II）写出直线l的参数方程，代入曲线C的方程，利用根与系数的关系可得：|PA|?|PB|=﹣t1t2，进而得出．
【解答】解：（I）由椭圆参数方程可得，解得a=，b=1．∴曲线C的参数方程为，其直角坐标方程为：，可得ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ=2．
（II）点P的极坐标是（，）化为直角坐标为（0，），直线l的参数方程为
，代入曲线C的方程可得：（1+sin2θ）t2+4sinθt+2=0，
∴|PA|?|PB|=﹣t1t2=∈[1，2]
19. 己知长方体的三条棱长分别为a、b、c，其外接球的半径为
(I)求长方体体积的最大值：
(II)设，求的最大值
参考答案：
解(1)由题意可知，
由三个正数的基本不等式可得 ，
即
，所以
长方体体积的最大值;
(2)
，根据柯西不等式，有
，
， 当且仅当“”即“
”时，
取得最大值12
略
20. (本小題满分12分）如图，在三棱锥
中，，
，
°，平面
平面，
、
分别为
、
中点．
（1）求证：∥平面
；
（2）求证：；
（3）求二面角的大小．
参考答案：
21. 某校为了解学生对正在进行的一项教学改革的态度，从500名高一学生和400名高二学生中按分层抽样的方式抽取了45
名学生进行问卷调查，结果可以分成以下三类：支持、反对、无所谓，调查
结果统计如下：
（ii）从反对的同学中随机选取2人进一步了解情况，求恰好高一、高二各1人的概率；
（2）根据表格统计的数据，完成下面的2×2的列联表，并判断是否有90%的把握认为持支持与就读年级有关．（不支持包括无所谓和反对）
附：，其中n=a+b+c+d．
【考点】独立性检验．
【分析】（1）（i）由题可得x=5，y=4；
（ii）利用列举法确定基本事件，即可求恰好高一、高二各1人的概率；
（2）根据表格统计的数据，完成下面的2×2的列联表，求出K2，与临界值比较，即可判断是否有90%的把握认为持支持与就读年级有关．
【解答】解：（1）（ i）由题可得x=5，y=4．
（ ii）假设高一反对的编号为A1，A2，高二反对的编号为B1，B2，B3，B4，
则选取两人的所有结果为：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，
B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4）．
∴恰好高一、高二各一人包含8个事件，
∴所求概率．
（2
）如图列联表：∴没有90%
的把握认为持支持与就读年级有关．
22. （12分）如图，圆C与y轴相切于点T（0，2），与x轴正半轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧），且|MN|=3．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆Γ：=1相交于两点A、B，连接
AN、BN，求证：∠ANM=∠BNM．
参考答案：
【考点】：直线和圆的方程的应用．
【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】：（Ⅰ）设圆C的半径为r（r＞0），由|MN|=3可得，从而求圆C的方程；
（Ⅱ）求出点M（1，0），N（4，0），讨论当AB⊥x轴时与AB与x轴不垂直时∠ANM是否相等
∠BNM，从而证明．
解：（Ⅰ）设圆C的半径为r（r＞0），则圆心坐标为（r，2）．
∵|MN|=3，
∴，解得．
∴圆C的方程为．
（Ⅱ）证明：把y=0代入方程，解得x=1，或x=4，
即点M（1，0），N（4，0）．
（1）当AB⊥x轴时，由椭圆对称性可知∠ANM=∠BNM．
（2）当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为y=k（x﹣1）．
联立方程，消去y得，（k2+2）x2﹣2k2x+k2﹣8=0．
设直线AB交椭圆Γ于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则，．∵y1=k（x1﹣2），y2=k（x2﹣2），
∴=
．
∵，∴k AN+k BN=0，∠ANM=∠BNM．
综上所述，∠ANM=∠BNM．【点评】：本题考查了圆的方程的求法及圆锥曲线与直线的交点问题，化简比较复杂，通过根与系数的关系简化运算，要细心，属于中档题．。