2018届高三高考数学中求轨迹方程的常见方法

2018届高三高考数学中求轨迹方程的常见方法
D
来得到轨迹方程，称之交轨法.
例6 如右图，垂直于x 轴的直线交双曲线12
2
22=-b y a x 于 M 、N 两点，2
1
,A A 为双曲线的左、右顶点，求直线
M A 1
与 N A 2
的交点P 的轨迹方程，并指出轨迹的形状.
解：设),(y x P 及),(),,(1
1
1
1
y x N y x M -，又)0,(),0,(2
1
a A a A -，可得
直线
M
A 1的方程为)(11
a x a
x y y ++=
①；直线
N
A 2的方程为
)(11
a x a
x y y -+-=
②.
①×②得)(2
22
21212
a x a
x y y ---=③. 又
,1221221=-b y a x )(212222
1x a a
b y -=-∴，代入
③得
)
(22
222
a x a
b y --=，化简得
122
22=+b
y a x ，此即点P 的轨迹方程. 当
b
a =时，点P 的轨迹是以原点为圆心、a 为半径的圆；当b
a ≠时，点P 的轨迹是椭圆.
高考动点轨迹问题专题讲解
（一）选择、填空题
1．（ ）已知1
F 、2
F 是定点，12
||8F F =，动点M 满足1
2
||||8MF MF +=，
则动点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段
2．（ ）设(0,5)M ，(0,5)N -，MNP ∆的周长为36，则MNP ∆的顶点P 的轨迹方程是 （A ）
22
125169
x y +=（0x ≠） （B ）
22
1144169
x y +=（0x ≠）
x A A O y N
M P
（C ）
22
116925
x y +=（0y ≠） （D ）
22
1169144
x y +=（0y ≠）
3．与圆2
240
x
y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方
程是 ； 4．P 在以1
F 、2
F 为焦点的双曲线
22
1169
x y -=上运动，则1
2
F F P ∆的
重心G 的轨迹方程是 ；
5．已知圆C ：22(3)16
x y +=内一点(
3, 0)
A ，圆C 上一动点
Q ， AQ 的垂直平
分线交CQ 于P 点，则P 点的轨迹方程为 ．
2
214
x y +=
6．△ABC 的顶点为(5, 0)A -、(5, 0)B ，△ABC 的内切圆圆心在直线3x =上，则顶
点C 的轨迹方程是 ；22
1916
x y -=（3x >）
变式：若点P 为双曲线22
1916x y -=的右支上一点，1
F 、2
F 分别
是左、右焦点，则△12
PF F 的内切圆圆心的轨迹方程是 ； 推广：若点P 为椭圆
22
1259
x y +=上任一点，1
F 、2
F 分别是左、
右焦点，圆M 与线段1
F P 的延长线、线段2
PF 及x 轴分别相切，则圆心M 的轨迹是 ；
7．已知动点M 到定点(3,0)A 的距离比到直线40x +=的距离少1，则点M 的轨迹方程是 ．2
12y
x
=
8．抛物线2
2y x =的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 ．
4
k x =
（
28
k y >
）
9．过抛物线2
4y
x
=的焦点F 作直线与抛物线交于P 、Q 两
点，当此直线绕焦点F 旋转时，
弦PQ 中点的轨迹方程为 ． 解法分析：解法1 当直线PQ 的斜率存在时， 设PQ 所在直线方程为
(1)
y k x =-与抛物线方程联立，
2
(1),4y k x y x
=-⎧⎨=⎩ 消去
y
得
2222(24)0
k x k x k -++=．
则
设1
1
(,)P x y ，2
2
(,)Q x y ，PQ 中点为(,)M x y ，有
21222,22(1).x x k x k y k x k ⎧++==⎪⎪⎨
⎪=-=⎪⎩
消k 得2
2(1)
y
x =-．
当直线PQ 的斜率不存在时，易得
弦
PQ
的中点为(1,0)F ，也满足所求方程．
F
1
A 2
A x
y
P
E O
故所求轨迹方程为2
2(1)
y
x =-．
解法2 设1
1
(,)P x y ，2
2
(,)Q x y ， 由
2112224,4.
y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得1
2
1
2
1
2
()()4()y y y y x x -+=-，设PQ 中点为(,)M x y ，
当1
2
x x ≠时，有12
1
2
24
y
y y x x
-⋅=-，又1
PQ
MF y k
k x ==
-，
所以，21
y y x ⋅=-，即2
2(1)
y
x =-．
当1
2
x x =时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程． 故所求轨迹方程为2
2(1)
y
x =-．
10．过定点(1, 4)P 作直线交抛物线:C 2
2y x =于A 、B 两点, 过A 、B 分别作抛物线C 的切线交于点M, 则点M 的轨迹方程为_________．44y x =-
（二）解答题
1．一动圆过点(0, 3)P ，且与圆2
2(3)100
x y ++=相内切，求该动
圆圆心C 的轨迹方程． （定义法）
2．过椭圆2
2
1
369
x y +=的左顶点1
A 作任意弦1
A E 并延长到F ，使
1||||EF A E =，2
A 为椭圆另一顶点，连结OF 交
2A E
于点P ，
求动点P 的轨迹方程．
3．已知1
A 、2
A 是椭圆
22
22
1x y a b +=的长轴端点，P 、Q 是椭圆上
关于长轴1
2
A A 对称的两点，求直线1
PA 和2
QA 的交点M 的轨迹．（交轨法）
4．已知点G 是△ABC 的重心，(0,1), (0,1)A B -，在x 轴上有一点M ，满足
||||
MA MC =， GM AB R λλ=(∈)．
（1）求点C 的轨迹方程；（2）若斜率为k 的直线l 与点C 的轨迹交于不同两点P 、Q ，且满足||||AP AQ =，试求k 的取值范围．
解：（1）设(,)C x y ，则由重心坐标公式可得(,)33
x y G ． ∵
GM AB λ=，点M 在x 轴上，∴
(,0)3
x
M ． ∵ ||||MA MC =，(0,1)A -，∴ 222()1()33
x x
x y +=-+，即
2
213
x y +=．
故点C 的轨迹方程为
2
213
x y +=（1y ≠±）．（直接法）
（2）设直线l 的方程为y kx b =+（1b ≠±），1
1
(,)P x y 、2
2
(,)Q x y ，PQ 的
中点为N ．
由2
2
,3 3.
y kx b x y =+⎧⎨
+=⎩
消y ，得2
22(13)63(1)0
k x kbx b +++-=．
∴ 22223612(13)(1)0
k b k b ∆=-+->，即2
2130
k
b +->． ①
又
122
613kb
x x k +=-
+，∴
2121222
62()221313k b b
y y k x x b b k k -+=++=+=
++，
∴
22
3(,)1313kb b
N k k
-
++．
∵ ||||AP AQ =，∴ AN PQ
⊥，∴
1AN k k
=-
，即 22
1113313b
k kb k k ++=--
+，
∴ 2
132k b
+=，又由①式可得 220
b b ->，∴
02
b <<且1b ≠．
∴
20134
k <+<且2
132
k
+≠，解得11k -<<且3k ≠．
故k 的取值范围是11k -<<且3k ≠±
．
5．已知平面上两定点(0,2)M -、(0,2)N ，P 为一动点，满足MP MN PN MN ⋅=⋅．
（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（直接法）
（Ⅱ）若A 、B 是轨迹C 上的两动点，且AN NB λ=．过A 、B 两点分别作轨迹C 的切线，设其交点为Q ，证明NQ AB ⋅为定值．
解：(Ⅰ)设(,)P x y ．由已知(,2)MP x y =+，(0,4)MN =，(,2)PN x y =--, 48
MP MN y ⋅=+．
22
4(2)PN MN x y ⋅=+-，……………………………………
………3分
∵MP MN PN MN ⋅=⋅，∴48y +22
4
(2)x y =+- 整理，得
28x y
=．
即动点P 的轨迹C 为抛物线，其方程为2
8x
y
=．
6．已知O 为坐标原点，点(1,0)E -、(1,0)F ，动点A 、M 、N 满足||||AE m EF =（1m >），0MN AF =⋅，1()2ON OA OF =+，//AM ME ．求点M 的轨迹W 的方程． 解：∵0MN AF ⋅=，1()2ON OA OF =+， ∴ MN 垂直平分AF ． 又//AM ME ，∴ 点M 在AE 上， ∴ ||||||||2AM ME AE m EF m +===，||||MA MF =， ∴ ||||2||ME MF m EF +=>，
∴ 点M 的轨迹W 是以E 、F 为焦点的椭圆，且半长轴
a m
=，半焦距1c =，
∴
22221
b a
c m =-=-．
∴ 点M 的轨迹W 的方程为22
2
211
x y m m +=-（1m >）．
7．设,x y R ∈，,i j 为直角坐标系内,x y 轴正方向上的单位向量，若向量(2)a xi y j =++，(2)b xi y j =+-， 且||||8a b +=． （1）求点(,)M x y 的轨迹C 的方程；（定义法）
（2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，
求出直线l 的方程，若不存在，试说明理由． 解：（1）
22
11216
x y +=；
（2）因为l 过y 轴上的点(0,3)．若直线l 是y 轴，则,A B 两点是椭圆的顶点．
OP OA OB =+=，所以P 与O 重合，与四边形OAPB 是矩
形矛盾．
故直线l 的斜率存在，设l 方程为3y kx =+，1
1
2
2
(,),(,)A x y B x y ．
由
22
3,
1,1216
y kx x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩ 消y 得2
2(43)18210,
k
x kx ++-=此时
22(18)4(43)(21)
k k ∆=-+-＞0恒成立，且1
2
2
1843k x x
k +=-
+，
122
2143x x k =-
+，
OP OA OB
=+，所以四边形OAPB 是平行四边形．
若存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形，则OA OB ⊥，即
OA OB ⋅=．
1122(,),(,)
OA x y OB x y ==， ∴
12120
OA OB x x y y ⋅=+=． 即2
1212(1)3()90
k
x x k x x ++++=． 222
2118(1)()3()4343k
k k k k +⋅-
+⋅-++
90
+=．2
516
k
=
，得5k =．
故存在直线l ：5
34
y x =±
+，使得四边形OAPB 是矩形．
8．如图，平面内的定点F 到定直线l 的距离为2，定点E 满足：||EF =2，且EF l ⊥于G ，点Q 是直线l 上一动点，点M 满足：FM MQ =，点P 满足：
//PQ EF
，0PM FQ ⋅=．
（I ）建立适当的直角坐标系，求动点P 的轨迹方程； （II ）若经过点E 的直线1
l 与点P 的轨迹交于相异两点A 、
B ，令AFB θ∠=，
当34
πθπ≤<时，求直线1
l 的斜率k 的取值范围． 解：（1）以FG 的中点O 为原点，以EF 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系xoy ，设点(,)P x y ， 则(0, 1)F ，(0, 3)E ，:1l y =-． ∵
FM MQ
=，//PQ EF ，∴(,1)Q x -，(, 0)2x
M ．
∵0PM FQ ⋅=，∴
()()(2)02
x
x y -⨯+-⨯-=，
即所求点P 的轨迹方程为2
4x y
=．
（2）设点)
)(,(),,(21
2
2
1
1
x x
y x B y x A ≠
设AF 的斜率为1
k ，BF 的斜率为2
k ，直线1
l 的方程为3+=kx y
由⎩⎨⎧=+=y
x kx y 432
…………6分
1242=--kx x 得
12
42121-==+∴x x k
x x …………7分
9
)4
(442212
22121==⋅=∴x
x x x y y
6
46)(22121+=++=+k x x k y y …………8分
)
1)(1()1,(),1,,(21212211--+=⋅∴-=-=y y x x FB FA y x FB y x FA
8
41649121)(22212121--=+--+-=++-+=k k y y y y x x
)1)(1(||||21++=⋅y y 又16
416491)(2
22121+=+++=+++=k k y y y y
4216
484||||cos 2
22
2++-=+--=⋅=∴k k k k FB FA θ…………10分
由于πθπ
<≤43 22
4
2122cos 12
2-
≤++-<--≤<-∴k
k
即θ…………11分
2
222
4
2222≥∴≥
++∴k k k 解得44
8
8-≤≥
k k 或…………13分
∴直线1
l 斜率k 的取值范围是}
8,8|{44
-≥≥
k k k 或
9．如图所示，已知定点(1, 0)F ，动点P 在y 轴上运动，过点
P
作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且0PM PF ⋅=，||||PM PN =．
（1）求动点N 的轨迹方程；
（2）直线l 与动点N 的轨迹交于A 、B 两点，若4OA OB ⋅=-，且6||430
AB ≤≤求直线l 的斜率k 的取值范
围．
解：（1）设(,)N x y ，由||||PM PN =得(,0)M x -，
(0, )
2
y
P ，(,)2
y PM x =--，(1,)2
y
PF =-， 又0PM PF ⋅=，∴
2
4
y x -+=，即动点N 的轨迹方程为2
4y
x
=．
10．已知点(0, 1)F ，点M 在x 轴上，点N 在y 轴上，P 为动点，满足0MN MF ⋅=，0MN MP +=．
x
y
o
M
N
P
F
O
A
P
B
x
y
（1）求P 点轨迹E 的方程；
（2）将（1）中轨迹E 按向量(0, 1)a =平移后得曲线E '，设Q 是E '上任一点，过Q 作圆2
2(1)1
x
y ++=的两条切线，分别交x 轴
与A 、B 两点，求||AB 的取值范围．
解：（1）设(, 0)M a 、(0, )N b 、(,)P x y ，则(,)MN a b =-、(, 1)MF a =-、
(, )
MP x a y =-．
由题意得
(, )(, 1)0,
(, )(,)(0, 0).
a b a a b x a y -⋅-=⎧⎨
-+-=⎩ ∴
20,, ,2
a b x a b y ⎧+=⎪⎨==-⎪⎩ ∴
2
14
y x =
，
故动点P 的轨迹方程为2
14y x =． 11．如图(3)
A m m 和(,3)
B n n 两点分别在射线OS 、OT 上移动，
且12
OA OB ⋅=-， O
为坐标原点，动点P 满足OP OA OB =+．
（1）求m n ⋅的值； （2）求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？
（3）若直线l 过点(2, 0)E 交（2）中曲线C 于M 、N 两点，且3ME EN =，求l 的方程． 解：（1）由已知得1
(3)(,3)22
OA OB m m n n mn ⋅=⋅=-=-， ∴ 14
mn =． （2）设P 点坐标为(,)x y （0x >），由
OP OA OB
=+得
(,)(3)(,3)x y m m n n =+(3())
m n m n =+-，
∴
,3()
x m n y m n =+⎧⎪⎨=-⎪⎩ 消去m ，n 可得
2
2
43
y x mn
-=，
又因
1
4
mn =，∴ P 点的轨迹方程为
2
2
1(0)
3
y x x -=>．
它表示以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线2
2
13y x -=的右支．
（3）设直线l 的方程为2x ty =+，将其代入C 的方程得
223(2)3
ty y +-= 即
22(31)1290
t y ty -++=，
易知2
(31)0
t
-≠（否则，直线l 的斜率为3行，不符合题意） 又2
2214436(31)36(1)0
t
t t ∆=--=+>，
设1
1
2
2
(,),(,)M x y N x y ，则12
1222129,3131
t y y
y y t t -+==--
∵ l 与C 的两个交点,M N 在y 轴的右侧
2
12121212(2)(2)2()4x x ty ty t y y t y y =++=+++2
2
22291234240313131
t t t t t t t -+=⋅+⋅+=->---，
∴
2310
t -<，即2
1
03
t
<<，又由1
2
x x
+>同理可得
21
03
t <<，
由3ME EN =得 1122(2,)3(2,)
x y x y --=-， ∴
1212
23(2)3x x y y -=-⎧⎨
-=⎩
由1
2
2222123231
t y y
y y y t +=-+=-=--得2
2631
t y
t =
-，
由2
12
2222
9(3)331
y y
y y y t =-=-=
-得22
2
3
31
y
t =-
-，
消去2
y 得
2222363(31)31
t t t =--- 解之得：2
1
15
t
= ，满足
21
03
t <<．
故所求直线l 存在，其方程为：1550
x y --=1550
x y +-=．
12．设A ，B 分别是直线25y x =和25y x =上的两个动点，并且||20
AB =
，动点P 满足OP OA OB =+．记动点P 的轨迹为C ．
（I ） 求轨迹C 的方程；
（II ）若点D 的坐标为（0，16），M 、N 是曲线C 上的
两个动点，且DM DN λ=，求实数λ的取值范围． 解：（I ）设(,)P x y ，因为A 、B 分别为直线55y x =和55y x =-上的点，故可设
115
(,
)5
A x x ，2
2
25(,)5B x x -．
∵OP OA OB =+， ∴1212,25
)x x x y x x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩
． ∴
1212,
5
2
x x x x x y +=⎧⎪⎨-=
⎪⎩．
又20
AB =， ∴2
21
2
124
()
()205
x x x x -++=．
∴
22
542045
y x +=． 即曲线C 的方程为22
12516
x y +=．
（II ） 设N （s ，t ），M （x ，y ），则由DN DM λ=，可得（x ，y-16）=λ (s ，t-16)． 故x s λ=，16(16)y t λ=+-．
∵ M 、N 在曲线C 上， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+ 1.16)1616t (25
s 1,16t 25s 2
222
2λλλ
消去s 得
1
16
)1616t (16)
t 16(2
22=+-+-λλλ．
l
x
y
C
G
F
O
P
M
由题意知0≠λ，且1≠λ，解得 17152t λλ
-=
． 又
4
t ≤， ∴4
215
17≤-λ
λ
． 解得
3
5
53≤≤λ（1≠λ）．
故实数λ的取值范围是3
5
53≤≤λ（1≠λ）．
13．设双曲线22
213
y x a -=的两个焦点分别为1
F 、2
F ，离心率为
2．
（1）求此双曲线的渐近线1
l 、2
l 的方程；（3
3
y x =±
）
（2）若A 、B 分别为1
l 、2
l 上的动点，且1
2
2||5||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明是什么曲线．（
22
317525
x y +=）
提示：()2
21212||10()10
AB x x y y =⇒-+-=，又1133
y
x =-
，2
233
y
x =
，
则1
2
213
)y y
x x +=
-，21123
)y
y x x -=
+．
又
12
2x x x =+，1
2
2y y y =+代入距离公式即可．
（3）过点(1, 0)N 是否存在直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且0OP OQ ⋅=，若存在，求出直线l 若不存在，说明理由．（不存在）
14．已知点(1, 0)F ，直线:2l x =，设动点P 到
直线l 的距离为d ，已知2||2PF d =，且23
32
d ≤≤． （1）求动点P 的轨迹方程；
15．如图，直线:1l y kx =+与椭圆2
2:2
C ax y +=（1a >）交于A 、B
两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB （O 为坐标原点）．
（1）若1k =，且四边形OAPB 为矩形，求a 的值；（3a =） （2）若2a =，当k 变化时（k R ∈），求点P 的轨迹方程．（2
2220
x y y +-=（0y ≠））
16．双曲线C ：
22
22
1x y a b -=（0a >，0b >）的离心率为2，其中
(0,)
A b -，(, 0)
B a ，且2
2224
||
||||||3
OA OB OA OB +=
⋅．（1）求双曲线C 的
方程；
（2）若双曲线C 上存在关于直线l ：4y kx =+对称的点，求
实数k 的取值范围． 解：（I ）依题意有：
22
22222c
2,a 4a b a b ,3a b c .⎧=⎪⎪
⎪+=⎨
⎪
⎪+=⎪⎩
解得：.
2,3,1==
=c b a
所
求双曲线的方程为
.
13
2
2
=-y x ………………………………………6分 （Ⅱ
）
当
k=0
时
，
显
然
不
存
在．………………………………………7分
当k≠0时，设双曲线上两点M 、N 关于直线l 对称．由
l ⊥MN ，直线MN 的方程为1y x b k =-+．则M 、N 两点
的坐标满足方程组 由
221y x b,k 3x y 3.⎧
=-+⎪
⎨
⎪-=⎩
消去y 得
2222(3k 1)x 2kbx (b 3)k 0
-+-+=．…………………9分 显然
23k 10
-≠，∴
2222
(2kb)4(3k 1)(b 3)k 0
∆⎡⎤=---+>⎣⎦．即
222k b 3k 10
+->． ①
设线段MN 中点D （0
x ,y ） 则
022
02
kb x ,3k 13k b y .3k 1-⎧
=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩
∵D （0
x ,y ）在直线l 上，∴
22223k b k b
43k 13k 1
-=+--．即
22k b=3k 1
- ②
把②带入①中得 222k b +bk 0
>，解得b 0>或b 1<-．
∴
22
3k 1
0k ->或
22
3k 1
<-1k -．即3k >或1k 2
<，且k≠0． ∴k
的取
值
范
围
是
3113
(,(,0)(0,)(,)22-∞-+∞．…………………14分
17．已知向量OA =(2，0)，OC =AB =(0，1)，动点M 到定直线y =1的距离等于d ，并且满足OM ·AM =K(CM ·BM -d 2)，其中O 为坐标原点，K 为参数.
（Ⅰ）求动点M 的轨迹方程，并判断曲线类型； （Ⅱ）如果动点M 的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e 满足3
3≤e ≤
2
2，求实数K 的取值范围.
18．过抛物线2
4y
x
=的焦点作两条弦AB 、CD ，若0AB CD ⋅=，
1
()
2
OM OA OB =+，1()2
ON OC OD =+． （1）求证：直线MN 过定点；（2）记（1）中的定点为Q ，求证AQB ∠为钝角；
（3）分别以AB 、CD 为直径作圆，两圆公共弦的中点为H ，求H 的轨迹方程，并指出轨迹是什么曲线．
19．（05年江西）如图，M 是抛物线上2
y
x
=上的一点，动
x
y
O
A
B
E
F M
弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA MB =．（1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；
（2）若M 为动点，且90EMF ∠=，求△EMF 的重心G 的轨迹． 思路分析：（1）由直线MF （或ME ）方程与抛物线方程组成的方程组解出点F 和点E 的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用M 点的坐标将E 、F 点的坐标表示出来，进而表示出G 点坐标，消去0
y 即得到G 的轨迹方程（参数法）.
解：（1）法一：设2
00(,)
M y y ，直线ME 的斜率
为k （0k >），
则直线MF 的斜率为k -，方程为2
0()
y y
k x y -=-．
∴由2
2
()
y y
k x y y x
⎧-=-⎪⎨
=⎪⎩，消x 得2
00(1)0
ky
y y ky -+-=，
解得01F ky y k
-=
，∴
2
02
(1)F ky x k -=
，
∴00220000
2
22
112
14(1)(1)2E F EF
E F ky ky y y k k k k
ky ky ky x x y k k k -+-
--===
=---+--(定值)．所以直线EF 的
斜率为定值．
法二：设定点0
(,)M x y ，1
1
(,)E x y 、2
2
(,)F x y ，
由
2
00211
,y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得
010101
()()y y y y x x -+=-，即01
1
ME
k
y y =
+；同理
02
1MF k y y =
+．
∵
MA MB
=，∴
ME MF
k k =-，即01
0211
y
y y y =-
++，∴
120
2y y y +=-．
所以，121222
1212120
11
2EF
y y y y k
x x y y y y y --=
===---+（定值）．
第一问的变式：过点M 作倾斜角互补的直线ME 、MF ，则直线EF 的斜率为定值；根据不同的倾斜角，可得出一组平行弦．
（2）90,45,1,EMF MAB k ∠=∠==当时所以直线ME 的方程为2
0()
y y k x y -=-
由
2
002y y x y y x
⎧-=-⎪⎨=⎪⎩得2
00((1),1)E y y --同理可得2
00
((1),(1)).F y y +-+
设重心G （x , y ），则有2222
00000000(1)(1)23333(1)(1)333M E F M E F y y y y x x x x y y y y x x x y ⎧+-+++++===⎪⎪⎨
+--+++⎪===-⎪⎩
消去参数0
y 得2
122
()9273
y
x x =
->．
20．如图，ABCD 是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B 都落在边AD 上，记为B '，折痕l 与AB 交于点E ，点M 满足关系式EM EB EB '=+．
（1）建立适当的直角坐标系，求点M 的轨迹方程； （2）若曲线C 是由点M 的轨迹及其关于边AB 对称的曲线组成的，F 是AB 边上的一点，4BA BF =，过点F 的直线交曲线C 于P 、Q 两点，且PF FQ λ=，求实数λ的取值范围．。