2022高三大一轮复习数学(文)课时规范训练：第八章 立体几何 8.2 Word版含答案

课时规范训练
(时间：40分钟)
1．已知命题p：a，b为异面直线，命题q：直线a，b不相交，则p是q的
( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.若直线a，b不相交，则a，b平行或异面，所以p是q的充分不必要条件，故选A.
2．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，aα，aβ，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( )
A．相交或平行B．相交或异面
C．平行或异面D．相交、平行或异面
解析：选D.依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，故选D.
3．用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
②若a∥b，a∥c，则b∥c；
③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；
④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.
其中真命题的序号是( )
A．①②B．②③
C．①④D．②④
解析：选D.若a⊥b，b⊥c，则a∥c或a与c相交或a与c异面，所以①是假命题；在空间中，平行于同始终线的两条直线平行，所以②是真命题；若a∥γ，b∥γ，则a∥b或a与b相交或a与b异面，所以③是假命题；若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以④是真命题，故选D.
4．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：
①若m⊥α，mβ，则α⊥β；
②若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥β；
③假如mα，nα，m，n是异面直线，那么n与α相交；
④若α∩β＝m，n∥m，且nα，nβ，则n∥α且n∥β.
其中正确的命题是( )
A．①②B．②③
C．③④D．①④
解析：选D.依据面面垂直的判定定理知①正确；②若m∥n，则得不出α∥β，错误；③n与α还可能平行，错误；易知④正确．
5.如图，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( )
A．A，M，O三点共线
B．A，M，O，A1不共面
C．A，M，C，O不共面
D．B，B1，O，M共面
解析：选A.连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C平面ACC1A1，由于M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线．
6．给出以下四种说法：(设α、β表示平面，l表示直线，A、B、C表示点)
①若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则lα；
②A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB；
③若lα，A∈l，则A∉α；
④若A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C不共线，则α与β重合．
则上述说法中正确的个数是________．
解析：①②④正确；如图所示，可知③错误．
答案：3
7．如图，正方体的底面与正四周体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．
解析：EF 与正方体左、右两侧面均平行．所以与EF 相交的侧面有4个． 答案：4
8.如图，三棱锥A －BCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是________．
解析：如图所示，连接DN ，取线段DN 的中点K ，连接MK ，CK .
∵M 为AD 的中点， ∴MK ∥AN ，
∴∠KMC 为异面直线AN ，CM 所成的角．
∵AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，N 为BC 的中点，由勾股定理求得AN ＝DN ＝CM ＝22， ∴MK ＝ 2. 在Rt △CKN 中，CK ＝
2
2
＋12
＝ 3.
在△CKM 中，由余弦定理，得 cos ∠KMC ＝2
2
＋222
－3
2
2×2×22
＝78
. 答案：78
9．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交的直线有________条．
解析：(方法一)在EF 上任意取一点M ，直线A 1D 1与M 确定一个平面，这个平面与CD 有且仅有1个交点N ，
M 取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD 有不同的交点N ，而直线MN 与这3条异面直线都有交点．如图
所示．
(方法二)在A 1D 1上任取一点P ，过点P 与直线EF 作一个平面α，因CD 与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q ，连接PQ ，则PQ 与EF 必定相交，即PQ 为所求直线．由点P 的任意性，知有很多条直线与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交．
答案：很多
10.如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 分别在AB 、BC 、CD 上，且满足AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝2∶1，CG ∶GD ＝3∶1，过E 、F 、G 的平面交AD 于点H .
(1)求AH ∶HD ；
(2)求证：EH 、FG 、BD 三线共点．
解：(1)∵AE EB ＝CF
FB
＝2，∴EF ∥AC ， ∴EF ∥平面ACD ，而EF 平面EFGH ， 平面EFGH ∩平面ACD ＝GH ， ∴EF ∥GH ，∴AC ∥GH . ∴
AH HD ＝CG
GD
＝3.∴AH ∶HD ＝3∶1. (2)证明：∵EF ∥GH ，且EF AC ＝13，GH AC ＝1
4
，
∴EF ≠GH ，∴四边形EFGH 为梯形． 令EH ∩FG ＝P ，则P ∈EH ，而EH 平面ABD ， 又P ∈FG ，FG 平面BCD ， 平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， ∴P ∈BD .
∴EH 、FG 、BD 三线共点．
(时间：20分钟)
11.如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE .若M 为线段A 1C
的中点，则在△ADE 翻折过程中，下面四个命题中不正确的是( )
A ．|BM |是定值
B ．点M 在某个球面上运动
C ．存在某个位置，使DE ⊥A 1C
D ．存在某个位置，使MB ∥平面A 1D
E 解析：选C.
取DC 中点F ，连接MF ，BF ，MF ∥A 1D 且MF ＝1
2A 1D ，FB ∥ED 且FB ＝ED ，所以∠MFB ＝∠A 1DE .由余弦定理可
得MB 2
＝MF 2
＋FB 2
－2MF ·FB ·cos∠MFB 是定值，所以M 是在以B 为圆心，MB 为半径的球上，可得A 、B 正确．由
MF ∥A 1D 与FB ∥ED 可得平面MBF ∥平面A 1DE ，可得D 正确；A 1C 在平面ABCD 中的射影与AC 重合，AC 与DE 不
垂直，可得C 不正确．
12．若α，β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为________．(写出全部真命题的序号) ①若直线m ⊥α，则在平面β内，肯定不存在与直线m 平行的直线； ②若直线m ⊥α，则在平面β内，肯定存在很多条直线与直线m 垂直； ③若直线m α，则在平面β内，不肯定存在与直线m 垂直的直线； ④若直线m α，则在平面β内，肯定存在与直线m 垂直的直线．
解析：对于①，若直线m ⊥α，假如α，β相互垂直，则在平面β内，存在与直线m 平行的直线，故①错误；
对于②，若直线m ⊥α，则直线m 垂直于平面α内的全部直线，在平面β内存在很多条与交线平行的直线，这很多条直线均与直线m 垂直，故②正确；
对于③，④，若直线m α，则在平面β内，肯定存在与直线m 垂直的直线，故③错误，④正确． 答案：②④
13.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，AC ＝BC ＝1，则异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值是________．
解析：由于AC ∥A 1C 1，所以∠BA 1C 1(或其补角)就是所求异面直线所成的角．在△BA 1C 1中，A 1B ＝6，A 1C 1
＝1，BC 1＝5，cos ∠BA 1C 1＝6＋1－526×1＝6
6
.
答案：
66
14.如图所示，等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝2，DA ⊥AC ，DA ⊥AB ，若DA ＝1，且E 为DA 的中点．求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值．
解：如图所示，取AC 的中点F ，连接EF ，BF ，
在△ACD 中，E 、F 分别是AD 、AC 的中点，∴EF ∥CD . ∴∠BEF 或其补角即为异面直线BE 与CD 所成的角． 在Rt △EAB 中，AB ＝AC ＝1，AE ＝12AD ＝1
2，
∴BE ＝
5
2
. 在Rt △EAF 中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝1
2
，
∴EF ＝
2
2
. 在Rt △BAF 中，AB ＝1，AF ＝1
2，
∴BF ＝
52
.
在等腰三角形EBF 中，cos ∠FEB ＝12EF BE ＝2452＝10
10
.
∴异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010
.。