人教新课标版数学高二B必修5学案 数 列

2.1.1数列
明目标、知重点 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.了解数列与函数的关系，会根据数列的前几项写出它的通项公式．
1．数列的概念
按照一定次序排列起来的一列数叫做数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．
2．数列的表示
数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，….其中a n是数列的第n项，叫做数列的通项，常把一般形式的数列简记作{a n}．
3．数列的通项
如果数列的第n项a n与n之间的关系可以用一个函数式a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
4．数列与函数的关系
数列可以看作一个定义域为正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数．数列的通项公式也就是相应函数的解析式．它的图象是相应的曲线上横坐标为正整数的一群孤立的点．5．数列的分类
(1)数列按项数可分为有穷数列和无穷数列，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．
(2)按后一项和前一项的大小关系可分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列．
(3)从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列，叫做递增数列；从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列，叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列．
“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，如果把木棒每天的长度记录下来，就会得到无穷多个数，这无穷多个数就组成了本节要研究的一个数列． 探究点一 数列的概念及通项公式 思考1 下面的几列数有什么特点？ (1)全体自然数按从小到大排成一列数； 0,1,2,3,4，…；
(2)正整数1,2,3,4,5的倒数排成一列数： 1，12，13，14，15
； (3)π精确到1,0.1,0.01,0.001，…的不足近似值排成一列数： 3,3.1,3.14,3.141，…； (4)无穷多个1排成一列数： 1,1,1,1,1，…；
(5)当n 分别取1,2,3,4,5，…时，(－1)n 的值排成一列数： －1,1，－1,1，－1，…. 答 都是按一定的顺序排列的．
思考2 思考1的每一列数都是一个数列，由此你能尝试给数列下个定义吗？ 答 按照一定次序排列起来的一列数叫做数列．
思考3 观察数列1，12，13，14，1
5，…，数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？
这一关系能否用一个公式来表示？
答 该数列的对应关系为数列的每一项为这一项序号的倒数，通项公式a n ＝1
n 来表示这个数
列．
小结 (1)数列的第n 项a n 叫做数列的通项； 如果数列的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个函数式a n ＝f (n )来表示，那么这个公式称为数列的通项公式．
(2)并不是所有的数列都有通项公式，有些数列的通项公式不唯一．(3)通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是不是该数列中的项． 例1 根据下面数列{a n }的通项公式，写出它的前5项： (1)a n ＝n 2－12n －1
；(2)a n ＝sin n π
2.
解 (1)在通项公式中依次取n ＝1,2,3,4,5，得到数列{a n }的前5项为0,1，85，157，8
3；
(2)在通项公式中依次取n ＝1,2,3,4,5，得到数列{a n }的前5项为1,0，－1,0,1.
反思与感悟 (1)数列的通项公式反映了第n 项a n 与它的位置序号n 之间的关系，只要用序号代替公式中的n ，就可以求出数列的相应项．
(2)判断某数是否为该数列的项，需假定它是数列中的项，列方程，若方程解为正整数则是数列的项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的项．
跟踪训练1 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋2)(n ∈N ＋)，那么1120是这个数列的第______
项． 答案 10
解析 ∵1n (n ＋2)＝1
120
，∴n (n ＋2)＝10×12，∴n ＝10.
例2 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各题中的数： (1)1,3,5,7； (2)0,2,0,2；
(3)－23，－415，－635，－863
.
解 (1)这个数列的前4项1,3,5,7都是序号的2倍减去1，因此它的一个通项公式是a n ＝2n －1；
(2)这个数列的前4项是0,2交错，因此它的一个通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
0，n 为奇数2，n 为偶数
或a n ＝1＋(－
1)n .
(3)分别观察这个数列的前4项的分子和分母，分子为偶数列{2n }，分母为1×3,3×5,5×7,7×9，因此它的一个通项公式是a n ＝－2n
(2n －1)(2n ＋1)
.
反思与感悟 要由数列的若干项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中的项的构成规律，将项表示为项数的函数关系．具体可参考以下几个思路： (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等．
(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的关系式． (3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(－1)k 处理符号． 跟踪训练2 写出下列数列的一个通项公式： (1)3,5,9,17,33，…；
(2)12，34，78，1516，31
32
，…； (3)23，－1，107，－179，2611，－37
13
，…. 解 (1)3可看作21＋1,5可看作22＋1,9可看作23＋1,17可看作24＋1,33可看作25＋1，…，所以a n ＝2n ＋1.
(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21，22，23，24，…，所以a n ＝2n －12n .
(3)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式(－1)n ＋1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可知，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，按照这样的规律第1、2两项可改写成12＋12＋1，－22＋1
2×2＋1，
所以
a n ＝(－1)n ＋1
n 2＋1
2n ＋1
.
探究点二 数列与函数的关系
思考1 数列中的每一个数都对应着一个序号，反过来，每个序号也都对应着一个数，那么数列与集合的映射有什么关系？与函数又有什么关系？
答 数列可以看成序号集合到另一个数的集合的映射，数列可以看作一个定义域为正整数集N ＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n })的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．
思考2 数列可看作函数，类比函数的表示方法，你认为数列除了通项公式表示法之外，还可以怎样表示？
答 数列也可以用图象、列表等方法来表示．
思考3 以数列：1，12，13，14，1
5，…为例，你能用几种方法表示这个数列？
答 (1)通项公式法：a n ＝1
n ，n ∈N ＋.
(2)用列表法表示为
(3)用图象表示为(
思考4 数列中的项与集合中的元素进行对比，有什么相同点和不同点？
答 (1)确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性； (2)可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元集不能重复出现(即互异性)；
(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)；
(4)数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物． 例3 已知函数f (x )＝x －1
x ，设a n ＝f (n )(n ∈N ＋)：
(1)求证：a n <1；
(2){a n }是递增还是递减数列？为什么？
(1)证明 因为a n ＝n －1n ＝1－1
n ，又因为n ∈N ＋，
所以1≥1
n >0.因此a n <1.
(2)解 {a n }是递增数列． 因为a n ＋1－a n ＝(1－
1n ＋1
)－(1－1n )＝1n (n ＋1)，
又因为n ＋1>n ≥1， 所以a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n . 所以{a n }是递增数列．
反思与感悟 数列是一种特殊的函数，可以用函数的知识求解数列中的最值，但要注意它的定义域是N ＋或它的子集{1,2，…，n }这一约束条件．
跟踪训练3 数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)·(10
11)n (n ∈N ＋)，写出数列的第7项，第8项，第
10项，并求出数列中的最大项． 解 ∵a n ＝(n ＋1)·(1011)n ，∴a 7＝8·(10
11
)7，
a 8＝9·(1011)8，a 10＝11·(1011
)10.
∴{a n }中每一项都是正数．令a n
a n －1≥1(n ≥2)，
即(n ＋1)·(10
11
)n
n ·(1011)n －1≥1，整理得n ＋1n ≥1110，解得n ≤10，
即a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10.
令a n
a n ＋1≥1，即(n ＋1)·(10
11)n
(n ＋2)·(1011)n ＋1≥1，整理得n ＋1n ＋2≥1011，
解得n ≥9，
∴a 9＝a 10>a 11>a 12>…，
∴从第1项到第9项递增，从第10项起递减，
即数列{a n }先递增，后递减．∴可知a 9＝a 10＝1010
11
9最大．
1．下列叙述正确的是( )
A ．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列
B ．数列0,1,2,3，…可以表示为{n }
C ．数列0,1,0,1，…是常数列
D ．数列{n
n ＋1}是递增数列
答案 D
解析 由数列的通项a n ＝n n ＋1知，当n 的值逐渐增大时，n n ＋1的值越来越接近1，即数列{n
n ＋1}
是递增数列，故选D.
2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n B ．a n ＝n ＋1 C ．a n ＝n ＋2 D ．a n ＝2n
答案 B
解析 这个数列的前4项都比序号大1，所以，它的一个通项公式为a n ＝n ＋1.
3．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)1，－3,5，－7,9，…； (2)12，2，92，8，25
2，…； (3)9,99,999,9 999，…； (4)0,1,0,1，….
解 (1)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，考虑(－1)n ＋1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)，n ∈N ＋.
(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，252，…，
所以，它的一个通项公式为a n ＝n 2
2
，n ∈N ＋.
(3)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，此数列的通项公式为10n ，可得原数列的一个通项公式为a n ＝10n －1，n ∈N ＋.
(4)a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
0 (n 为奇数)1 (n 为偶数)或a n ＝1＋(－1)n 2 (n ∈N ＋)或a n ＝1＋cos n π2
(n ∈N ＋)．
4．已知数列{a n }的通项为a n ＝－2n 2＋29n ＋3，求数列{a n }中的最大项．
解 由已知，得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2(n －294)2＋10818.由于n ∈N ＋，故当n 取距离29
4最近
的正整数7时，a n 取得最大值108.
∴数列{－2n 2＋29n ＋3}中的最大项为a 7＝108.
1．数列的概念的理解
(1)数列是一种特殊的函数，其特殊性主要表现在定义域和值域上．数列可以看成是以正整数集N ＋或它的有限子集{1,2,3，…，n }为定义域的函数，即自变量的取值必须是正整数，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．
(2)数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f (n )，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f (n )中的n .
(3)与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：
①确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的． ②可重复性：数列中的数可以重复．
③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关． 2．数列的通项公式
(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N ＋或它的有限子集{1,2，…，n }为定义域的函数的表达式；
(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1,2,3，…去替代公式中的n 就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是不是某数列中的一项，如果是的话，是第几项；
(3)像所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． (4)有的数列的通项公式，形式上不一定唯一．
(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列的通项公式并不唯一．
一、基础过关
1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(－1)n ＋
12，则该数列的前4项依次为( )
A ．1,0,1,0
B ．0,1,0,1 C.12，0，1
2，0 D ．2,0,2,0
答案 A
解析 当n 分别等于1,2,3,4时，a 1＝1，a 2＝0，a 3＝1，a 4＝0.
2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，则－8是该数列的( ) A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项 D ．非任何一项 答案 C
解析 n 2－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)． 3．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )
A ．a n ＝n 2－n ＋1
B ．a n ＝n (n －1)
2
C ．a n ＝n (n ＋1)
2
D ．a n ＝n 2＋1
答案 C
解析 令n ＝1,2,3,4，代入A 、B 、C 、D 检验即可．排除A 、B 、D ，从而选C. 4．数列23，45，67，8
9，…的第10项是( )
A.1617
B.1819
C.2021
D.2223 答案 C
解析 由数列的前4项可知，数列的一个通项公式为a n ＝2n 2n ＋1，当n ＝10时，a 10＝
2×102×10＋1＝20
21
. 5．观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，3，5，7，________，11，…. 答案 3
解析 由于数列的前几项的根号下的数都是由小到大的奇数，所以需要填空的数为9＝3. 6．写出下列数列的一个通项公式：(可以不写过程) (1)3,5,9,17,33，…； (2)23，415，635，8
63
，…； (3)1,0，－13，0，15，0，－1
7，0，….
解 (1)a n ＝2n ＋1. (2)a n ＝2n
(2n －1)(2n ＋1)
.
(3)把数列改写成11，02，－13，04，15，06，－17，0
8，…分母依次为1,2,3，…，而分子1,0，－1,0，…
周期性出现，因此，我们可以用sin n π
2表示，故a n ＝sin
n π
2n (n ∈N ＋)．
7．已知数列{n (n ＋2)}：
(1)写出这个数列的第8项和第20项；
(2)323是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ 解 (1)a n ＝n (n ＋2)＝n 2＋2n ，
∴a 8＝80，a 20＝440.
(2)由a n ＝n 2＋2n ＝323，解得n ＝17(负值舍去)． ∴323是数列{n (n ＋2)}中的项，是第17项． 二、能力提升
8．数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的一个通项公式a n 等于( ) A.1
9
(10n －1) B.1
3
(10n －1) C.13(1－110n ) D.3
10
(10n －1) 答案 C
解析 代入n ＝1检验，排除A 、B 、D ，故选C.
9．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N ＋)，那么a n ＋1－a n 等于( )
A.1
2n ＋1
B.12n ＋2
C.12n ＋1＋12n ＋2
D.12n ＋1－12n ＋2 答案 D
解析 ∵a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1
2n
∴a n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋1
2n ＋2，
∴a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－1
2n ＋2.
10．已知数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n (n ＋1)
(2n －1)(2n ＋1).
(1)写出它的第10项；
(2)判断2
33是不是该数列中的项．
解 (1)a 10＝(－1)10×1119×21＝11
399.
(2)令n ＋1(2n －1)(2n ＋1)＝2
33
，
化简得：8n 2－33n －35＝0，解得n ＝5(n ＝－7
8
，舍去)．
当n ＝5时，a 5＝－233≠233.∴233
不是该数列中的项． 11．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．
(1)－1,7，－13,19，…；
(2)0.8,0.88,0.888，…；
(3)12，14，－58，1316，－2932，6164
，…； (4)32，1，710，917
，…. 解 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)．
(2)将数列变形为89(1－0.1)，89
(1－0.01)， 89(1－0.001)，…，∴a n ＝89⎝
⎛⎭⎫1－110n . (3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项
变为－2－32，至此原数列已化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…， ∴a n ＝(－1)n ·2n －32n . (4)将数列统一为32，55，710，917
，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，
∴可得原数列的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1
. 12．在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式a n 是n 的一次函数．
(1)求{a n }的通项公式；
(2)88是否是数列{a n }中的项？
解 (1)设a n ＝kn ＋b ，
则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝k ＋b ＝2a 17＝17k ＋b ＝66，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝4b ＝－2
. ∴a n ＝4n －2.
(2)令a n ＝88，即4n －2＝88，解得n ＝22.5∉N ＋. ∴88不是数列{a n }中的项．
三、探究与拓展
13．已知数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1： (1)求这个数列的第10项；
(2)98101
是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；
(4)在区间⎝⎛⎭⎫13，23内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．
(1)解 设f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1
＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1
. 令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831
. (2)解 令3n －23n ＋1＝98101
，得9n ＝300. 此方程无正整数解，所以98101
不是该数列中的项． (3)证明 ∵a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1
， 又n ∈N ＋，∴0<33n ＋1
<1，∴0<a n <1. ∴数列中的各项都在区间(0,1)内．
(4)解 令13<a n ＝3n －23n ＋1<23
， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3n ＋1<9n －6
9n －6<6n ＋2，∴⎩⎨⎧ n >76n <83.∴76<n <83
. ∴当且仅当n ＝2时，上式成立，故区间⎝⎛⎭⎫13，23上有数列中的项，且只有一项为a 2＝47.。