高考数学母题题源系列专题17直线与椭圆、抛物线的位置关系(2021年整理)

（浙江专版）2018年高考数学母题题源系列专题17 直线与椭圆、抛物线的位置关系
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专题十七直线与椭圆、抛物线的位置关系
【母题原题1】【2018浙江，17】已知点P(0，1），椭圆+y2=m(m>1）上两点A，B满足=2，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．
【答案】5
【解析】分析:先根据条件得到A,B坐标间的关系，代入椭圆方程解得B的纵坐标，即得B的横坐标关于m的函数关系,最后根据二次函数性质确定最值取法.
详解：设，由得
因为A,B在椭圆上,所以
,
与对应相减得，当且仅当时取最大值。

点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现,求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中,抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决。

【母题原题2】【2018浙江，21】如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x 上存在不同的两点A，B满足PA,PB的中点均在C上．
(Ⅰ)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
(Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x〈0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ)
详解：（Ⅰ）设,，．
因为，的中点在抛物线上,所以，为方程
即的两个不同的实数根．
所以．
因此，垂直于轴．
（Ⅱ）由（Ⅰ)可知
所以,．
因此，的面积．
因为，所以．
因此，面积的取值范围是．
点睛：求范围问题，一般利用条件转化为对应一元函数问题，即通过题意将多元问题转化为一元问题，再根据函数形式,选用方法求值域，如二次型利用对称轴与定义区间位置关系，分式型可以利用基本不等式，复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性，再根据单调性确定值域。

【母题原题3】【2017浙江，20】如图，已知抛物线。

点A，抛物线上的点P（x，y)，过点B作直线AP的垂线,垂足为Q
(I)求直线AP斜率的取值范围；
（II)求的最大值
【答案】(I）（—1，1）；（II).
【解析】试题分析：本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.满分15分。

（Ⅰ）由斜率公式可得AP的斜率为,再由，得直线AP的斜率的取值范围;(Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程，得Q的横坐标，进而表达与的长度，通过函数
求解的最大值．
试题解析：
(Ⅰ）设直线AP的斜率为k,
，
因为，所以直线AP斜率的取值范围是．
（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程
解得点Q的横坐标是．
因为｜PA|==，
|PQ｜= ，
所以．
令，
因为，
所以 f(k）在区间上单调递增，上单调递减,
因此当k=时，取得最大值．
【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达与的长度，通过函数求解的最大值．
【母题原题4】【2016浙江,理19】如图,设椭圆
2
2
2
1
x
y
a
+=(a＞1）。

（Ⅰ）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；
（Ⅱ）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.
【答案】（Ⅰ）
2
2
22
2
1
1
a k
k
a k
+
+
(Ⅱ）
2
2
e
<≤．
【解析】
试题分析：（Ⅰ)先联立1y kx =+
和2
221x y a
+=,可得1x ，2x ，再利用弦长公式可得直线1y kx =+被
椭圆截得的线段长；（Ⅱ）先假设圆与椭圆的公共点有4个,再利用对称性及已知条件可得任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点时，a 的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围．
（Ⅱ)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足
AP AQ =．
记直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ,且1k ，20k >，12k k ≠． 由(Ⅰ)知，22
111
21a k k AP +=
22
22
2
21a k k AQ +=
，
22
22
1122
12
2121a k k a k k ++=
,
所以()()22222222
121212120k k k k a a k k ⎡⎤-+++-=⎣⎦．
由于12k k ≠，1k ，20k >得()222222
1212120k k a a k k +++-=，
因此222212
11
(
1)(1)1(2)a a k k ++=+-， ① 因为①式关于1k ，2k 的方程有解的充要条件是221(2)1a a +->， 所以2a >
因此，任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为12a <≤，
由21c a e a a -==得，所求离心率的取值范围为202
e <≤．
【考点】弦长，圆与椭圆的位置关系，椭圆的离心率．
【思路点睛】(Ⅰ）先联立1y kx =+和2
221x y a
+=，可得交点的横坐标,再利用弦长公式可得直
线1y kx =+被椭圆截得的线段长;（Ⅱ)利用对称性及已知条件任意以点()0,1Α为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求得a 的取值范围,进而可得椭圆离心率的取值范围．
【命题意图】考查圆锥曲线的标准方程及几何性质,考查数学式子变形能力、运算求解能力、分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想及分析问题与解决问题的能力．
【命题规律】纵观近几年的高考试题，考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查椭圆、双曲线的方程及几何性质为主,离心率问题居多，难度在中等以下；大题则是对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，较多的考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题；有时，先求轨迹方程，再进一步研究直线与曲线的位置关系。

命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”,结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”,结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题,综合性较强,往往与向量(共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等。

【答题模板】求解直线圆锥曲线位置关系问题的一般思路： 第一步：依题意确定圆锥曲线方程.
第二步：联立直线方程与圆锥曲线方程，通过消元，应用韦达定理，构建目标关系式。

第三步：针对目标关系式的特点，选择利用函数、不等式、导数等知识，按要求运算求解.
【方法总结】
1。

涉及直线与椭圆的基本题型有: (1)位置关系的判断 （2）弦长、弦中点问题 （3）轨迹问题
（4）定值、最值及参数范围问题 （5）存在性问题
2．常用思想方法和技巧有：
（1）设而不求（2）坐标法(3）根与系数关系
3。

若直线与椭圆有两个公共点1122()()M x y N x y ，，，，可结合韦达定理，代入弦长公式MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-或MN ＝2
121221(1)[(y )4]y y y k
+
+-，求距离． 2.(1)凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用韦达定理，避免求交点坐标的复杂运算．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．
（2)对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以及定值、存在性问题的处理，最好是作出草图，由图象结合几何性质做出解答．并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用．
3。

圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法
（1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决； (2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；
③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
④利用基本不等式求出参数的取值范围；
⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
4．求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值,再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
5．定点的探索与证明问题:
（1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y kx m
=+,然后利用条件建立,k m等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．
(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．
6.解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，解决这类问题需要正确运用转化思想、函数与方程思想、数学结合思想，其中运用最多的是利用方程根与系数关系构造等式或者函数关系式,注意根的判别式来确定或者限制参数的范围．
1．【浙江省湖州、衢州、丽水三地市2017-2018学年高二上学期期末】已知抛物线2
=的
:2
E x y
焦点为F, ,A B是E上两点,且AF BF m
+=.
（1）若4
m=，求线段AB中点M到x轴的距离；
（2)若线段AB的垂直平分线与y轴仅有一个公共点()
C,求m的值。

0,2
【答案】(1）3
2
M y =
.（2）3m =.
试题解析：
（1）设()11,A x y , ()22,B x y ，由抛物线定义可知:
1234232
M M y y p y y ++=⇒=⇒=。

（2）设:AB l y kx n =+(显然斜率存在），联立2
2
{ 2202y kx n x kx n x y
=+⇒--==, 所以122x x k +=，得()2,M k k n +,
又1212121y y m kx kx n m ++=⇒+++=，得2221k n m ++=（＊）， 又212MC
k n k k k +-=-⇒ 21
1k n k
=-⇒=-，
代入（＊）式，得： 3m =。

2。

【2018届浙江省杭州市第二中学6月热身】如图,已知圆
,抛物线的顶点为
，准线的方程为
，
为抛物线上的动点,过点作圆的两条切线与轴交于。

（Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）若，求△
面积的最小值。

【答案】(1)。

（2)32。

【解析】分析：（Ⅰ）根据抛物线的准线方程可得，故抛物线的方程可求出.
（Ⅱ)求出过的圆的切线的方程后可得两点的横坐标，它们可用及其相应的斜率表示，因此也与这三者相关.再利用圆心到直线的距离为半径得到斜率满足的方程，利用韦达定理和消元后可用关于的函数表示，求出该函数的最小值即可.
详解：(Ⅰ）设抛物线的方程为,
则,∴，所以抛物线的方程是。

（Ⅱ)设切线，即，
切线与轴交点为，圆心到切线的
距离为，化简得
设两切线斜率分别为，则
=，当且仅当时取等号。

所以切线与轴围成的三角形面积的最小值为32。

3．【腾远2018年（浙江卷）红卷】如图，直线与抛物线相交于两点，是抛物线的焦点，若抛物线上存在点,使点恰为的重心。

（1)求的取值范围；
(2）求面积的最大值.
【答案】（1)；（2).
【解析】分析：（1)设，联立方程组，求得，进而利用重心的坐标公式，求得,由题意得不等式组，即可求解；
详解：（1)设，
由，得,
由,得①,
则，
所以，
由点为的重心可得,
则，且②，
而，即，
代入①②得，解得,
所以的取值范围为。

（2）原点到直线的距离，
，
设,
则，
由得或，
则在上递增，在上递减，即在或处取得最大值，
而，所以,
所以.
点睛:本题主要考直线与抛物线的位置关系的应用问题，解答此类题目，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式,确定函数的性质进行求解,此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 4．【2018届浙江省教育绿色评价联盟5月适应性考试】已知椭圆:的左，右焦点分别是,点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，设的内角平分线交的长轴于点．
（1）求实数的取值范围；
（2）求的最大值．
【答案】(1);（2）
【解析】分析：（1)设，则，求出的方程，利用角平分线的性质，由点到直线距离公式可得，，结合，可得结果;（2），设，利用导数研究函数的单调性,结合单调性可得，从而可得结果。

详解：（1)设，则。

又，所以直线的方程分别为：
．
因为．
所以．因为，
可得,所以，
因此．
(2）．
．
所以．
设，
则．
所以，
所以．当且仅当时取到等号．
另解：
．
当且仅当时取到最大值．
所以．
点睛：解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义
和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路,利用均值不等式法求三角形面积最值的.
5．【天津市部分区2018年质量调查（二）】已知抛物线的焦点与椭圆：的一个顶点重合,且这个顶点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为。

（1）求椭圆的方程；
(2）若椭圆的上顶点为,过作斜率为的直线交椭圆于另一点，线段的中点为，为坐标原点，连接并延长交椭圆于点，的面积为，求的值.
【答案】(1)；(2).
【解析】分析:（1)根据抛物线的性质可得椭圆中的,再根据三角形的面积求出，根据，即可求出椭圆方程，
（Ⅱ）过点的直线方程为，代入到由得，可求出点的坐标,再求出的坐标和的坐标，以及|和点到直线的距离，根据三角形的面积求出的值．
详解:
（2）由题意设直线的方程为，设点
由得
解得
∴，
∴
直线斜率,直线的方程为，
由得
点到直线：的距离为
∵，∴，又，
∴
令，则，解得
，∴，解得或(舍)
∴的值为.
6．【2017年天津卷】设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,右顶点为A ，离心率为1
2
.已知
A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点， F 到抛物线的准线l 的距离为
1
2
. (I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；
(II)设l 上两点P ， Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B (B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD 的面积为
6
2
,求直线AP 的方程。

【答案】（Ⅰ）2
2
413
y x +=， 24y x =.(Ⅱ）3630x y +-=，或3630x y --=。

【解析】试题分析：由于A 为抛物线焦点, F 到抛物线的准线l 的距离为12，则1
2
a c -=，又椭
圆的离心率为1
2
,求出,,c a b ,得出椭圆的标准方程和抛物线方程;则()1,0A ，设直线AP 方程为
设()10x my m =+≠，解出P Q 、两点的坐标，把直线AP 方程和椭圆方程联立解出B 点坐标，写出BQ 所在直线方程,求出点D 的坐标，最后根据APD 的面积为
6
2
解方程求出m ，得出直线AP 的方程.
试题解析：（Ⅰ）解：设F 的坐标为(),0c -。

依题意，
12c a =, 2p a =, 1
2
a c -=，解得1a =， 12c =
， 2p =,于是2223
4
b a
c =-=。

所以,椭圆的方程为2
2
413
y x +=，抛物线的方程为24y x =。

（Ⅱ）解:设直线AP 的方程为()10x my m =+≠,与直线l 的方程1x =-联立，可得点21,P m ⎛⎫--
⎪⎝⎭
，故21,Q m ⎛⎫- ⎪⎝
⎭.将1x my =+与22
413y x +=联立，消去x ,整理得()
223460m y my ++=,解得0y =，或2634m y m -=+。

由点B 异于点A ，可得点222
346,3434m m B m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭。

由21,Q m ⎛
⎫- ⎪⎝⎭,可得直线BQ 的方程为()222
623421103434m
m x y m m m m ⎛⎫--+⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令0y =,解得222332m x m -=+故22
23,032m D m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭
.
所以222223613232m m AD m m -=-=++。

又因为APD
的面积为6
2，故2216262322
m m m ⨯⨯=+，整理得232620m m -+=，解得6
3
m =
,所以63m =±。

所以，直线AP 的方程为3630x y +-=,或3630x y --=。

7．【2018年浙江省模拟】设抛物线24y x =的焦点为F ,过点1,02⎛⎫ ⎪⎝
⎭
的动直线交抛物线于不同两
点,P Q ,线段PQ 中点为M ,射线MF 与抛物线交于点A .
（1)求点M 的轨迹方程； (2）求APQ ∆面积的最小值. 【答案】（1）221y x =-；（2）
36
4
详解：(1）设直线PQ 方程为1
2
x ty =+，代入24y x =得2420.y ty --=
设()()1122,,P x y Q x y ，则124y y t +=， 122y y =-, 21241x x t +=+. ∴212,22
M t t ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭。

设(),M x y ，由21
2,{ 22,
x t y t =+=消去t 得中点M 的轨迹方程为2
2 1.y x =-
（2）设()0
0(0),FA FM A x y λλ=<，。

∵()1,0F ， 212,22
M t t ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭
∴2001
21,
{ 2
2.
x t y t λλλ=-+= 由A 点在抛物线24y x =上，得()221
212
t λλλ-=-+.
又∵0λ< ∴21
2t λ=-
，点A 到直线PQ 的距离2121d t
λ-=+
又2121PQ t y y =+- ()()222142t t =++。

所以， APQ ∆面积1
2
S PQ d =⋅⋅= ()
3
212221122t λλλ
-+-=
设()()3
1,0f λλλλ-=<,有()()()2
2
121'f λλλλ-+=，故()f λ在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上是减函数，在1,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上是增函数，因此，当1
2
λ=-时()f λ取到最小值.
所以, APQ ∆面积的最小值是
36
4
. 8．【浙江省金华十校2018年4月高考模拟】已知抛物线和:，过抛物线
上的一点
，作
的两条切线，与轴分别相交于，两点.
(Ⅰ）若切线过抛物线的焦点，求直线斜率；
（Ⅱ）求面积的最小值。

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）。

【解析】试题分析:
（Ⅰ）由抛物线的焦点坐标设切线的方程为：。

利用圆心到直线的距离等于半径解方程可得，结合图形可知直线斜率。

（Ⅱ）设切线方程为,由点在直线上，则，直线与圆相切，则，据此可得，则，，而
，。

令，则，故，的最小值为.
试题解析：
（Ⅰ)抛物线的焦点为，设切线的斜率为，
则切线的方程为：,即.
∴，解得：.
∵，∴.
（Ⅱ）设切线方程为，由点在直线上得：①
圆心到切线的距离，整理得：②
将①代入②得：③
设方程的两个根分别为，，由韦达定理得：，，
从而,
.
记函数，则，
，的最小值为，当取得等号.
9．【2018届浙江省镇海中学高三上学期期末】如图，已知椭圆：的左、右顶点分别为，是椭圆上异于的两点,直线交于点,且P位于第一象限．
(Ⅰ）若直线MN与x轴垂直,求实数t的值；
（Ⅱ）记的面积分别是,求的最小值．
【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ)时，。

【解析】试题分析:（Ⅰ）第一问，联立直线AM和BN的方程得到它们的交点P的坐标，由题得，得到的值，得到t的值. （Ⅱ)第二问,先算出的表达式，再得到
的解析式，再利用导数或二次函数求它的最小值.
(Ⅱ）直线的方程为，代入椭圆的方程并整理得： 解得
直线的方程为，代入椭圆的方程并整理得： 解得
所以
当，即时，.
10．【2018届浙江省嵊州市高三上期末】如图，已知抛物线2y x =，点()11A ，， ()42B -，，抛物线上的点()P x y ， (1)y >，直线AP 与x 轴相交于点Q ，记PAB ， QAB 的面积分别是1S ，
2S 。

（1)若AP PB ⊥，求点P 的纵坐标; （2）求125S S -的最小值. 【答案】（1）15
2
y +=
;(2）24-。

【解析】
试题分析：（1)由斜率公式可得2111111AP y y k x y y --=
==--+ 2221
442
AP y y k x y y ++===---。

由AP BP ⊥，得11112
AP BP k k y y ⋅=
⋅=-+-即210y y --=，得15
2y +=;(2)设直线AP ：
()11y k x -=-，则110Q k ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，，联立()2
11{ y k x y x -=-=，消去x 得2
10ky y k -+-=，则1P k y k -=， 211k k P k k ⎛⎫
--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，由弦长公式及点到直线距离公式可得2
12151531532422222S S AP d AQ d AP AQ d k ⎛⎫⎛⎫
-=-=-==-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,利用二次函数的性质可得结
果.
试题解析:（1）因为2111
111
AP y y k x y y --=
==--+， 2221
442
AP y y k x y y ++=
==---. 由AP BP ⊥，得11112
AP BP k k y y ⋅=
⋅=-+-
即210y y --=，得15
2
y +=
（2)设直线AP ： ()11y k x -=-,则110Q k ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
，,由1y >，知102
k <<。

联立()211{
y k x y x
-=-=，消去x 得2
10ky y k -+-=，则1P k y k -=， 2
11k k P k k ⎛⎫--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，. 所以()
2
22
2
11111P k AP k x k k -=+-=+- ()22
121k k k -=
⋅
+，
22111111Q AQ k x k k ⎛⎫
=+-=+-- ⎪⎝⎭
21k k =⋅+，
点B 到直线AP 的距离2
4211
k k
d k ++-=
+ 2
311
k k +=
+ ()2
311
k k +=
+.
所以12151552222S S AP d AQ d AP AQ d ⎛⎫
-=
-=- ⎪⎝⎭
()22223111251121
k k k k k k k +-⎛⎫=+⋅-+⋅
⎪⎝⎭+ ()2312512k k k k -⎛⎫
=-⋅+ ⎪⎝⎭
2237612k k k ⎛⎫
--+= ⎪⎝⎭
2
313242k ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
故当1
3
k =时， 125S S -有最小值24-.
方法2：设()2P t t ，（1t >），则11AP k t =+,所以直线AQ : ()1
111
y x t -=-+,则()0Q t -，。

又直线AB ： 20x y +-=， 32AB =. 则点P 到直线AB 的距离为2212
22
2
t t t t d +-+-==，
点Q 到直线AB 的距离为222
2
2
t t d --+=
=
所以()212121322510552222t t t S S AB d d ⎛⎫+-+-=-=- ⎪
⎝⎭
()2
32242t =--.
故当2t =时， 125S S -有最小值24-.
11．【2018届浙江省杭州市高三上期末】已知椭圆22
:132
x y C +=,直线():0l y kx m m =+≠，设直
线l 与椭圆C 交于,A B 两点.
（Ⅰ)若3m >,求实数k 的取值范围;
(Ⅱ）若直线,,OA AB OB 的斜率成正等比数列（其中O 为坐标原点），求OAB ∆的面积的取值范围。

【答案】（Ⅰ)33k >
或33k <-.（Ⅱ）60,2S ⎛⎫
∈ ⎪ ⎪⎝⎭
【解析】试题分析：（1)由直线l 与椭圆C 交于,A B 两点,联立直线与椭圆方程，解得()()()
2
226423360km k m ∆=-+->,根据3m >，求出实数k 的取值范围（2) 设()11,A x y ，
()22,B x y ，由直线,,OA AB OB 的斜率成正等比数列，得2121212y y k k k x x =
=，计算得22
3
k =，再由点到直线的距离算出2
35
1m h m k ==
+，算出面积表达式OAB S ∆ 16
26AB h =⋅=
2233622m m ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，计算出范围 解析：（Ⅰ）联立方程22132
x y +=和y kx m =+，得
()2
2
2236360k x
kmx m +++-=，
所以()()()2
226423360km k m ∆=-+->,所以2223m k <+，
所以2233k +>,即21
3
k >，
解得33k >
或33
k <-. (Ⅱ）设()11,A x y ， ()22,B x y ，则122
623km
x x k -+=+， 21223623m x x k -=+，
设直线,OA OB 的斜率12,k k ，因为直线,,OA AB OB 的斜率成等比数列，
所以212
1212y y k k k x x =
=，即()()1
2212
kx m kx m k x x ++=， 化简，得22236k k +=，即22
3
k =. 因为2212531632AB k x x m ⎛⎫=+
-=- ⎪⎝⎭
， 原点O 到直线AB 的距离2
3
5
1m h m k =
=
+， 所以OAB S ∆ 1626AB h =⋅= 223366226
m m ⎛⎫-≤⨯ ⎪⎝⎭ 2233662222m m ⎛⎫+- ⎪
⎝⎭=，
当2m =±时，直线OA 或OB 的斜率不存在，等号取不到，
所以60,2S ⎛⎫
∈ ⎪ ⎪⎝⎭。

12.【河南省周口市2016-2017学年高二下学期期末】已知抛物线：（)的焦点为
，抛物线上存在一点到焦点的距离为3，且点在圆:上．
（1）求抛物线的方程；
（2)已知椭圆：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且离心率为．直线
：
交椭圆于，两个不同的点,若原点在以线段
为直径的圆的外部，求实数的
取值范围．
【答案】(1）；（2）
【解析】试题分析：（Ⅰ）设点 的坐标为,利用已知条件列出的方程组,求
出即可得到抛物线方程．
试题解析：（1)设点的坐标为．
由题可知，，解得，
∴抛物线的方程为；
（2）由（1）得，抛物线的焦点,
∵椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，
∴椭圆的半焦距，
即,又椭圆的离心率为，
∴,即,
∴椭圆的方程为，
设，
由,得，
由韦达定理,得,
由,得，
解得或,①
∵原点在以线段的圆的外部，则,
∴
，
即,②
由①，②得，实数的范围是或,即实数的取值范围是
．。