2019年【精品课件】111正弦定理1语文

3.(2008 全国Ⅱ) 在△ABC 中， cos A 5 ， cos B 3 ．
13
5
（Ⅰ）求 sin C 的值；
（Ⅱ）设 BC 5 ，求△ABC 的面积．
（Ⅱ）由正弦定理得
AC
BC sin sin A
B
5 4 5
12
13 3
．
13
所以△ABC 的面积 S 1 BC AC sin C 1 513 16 8 ．
正弦定理
在Rt△ABC中,各角与其对边的关系:
sin A a c
sinC 1 c
c
sin B b c
不难得到:
A
c b
abc sin A sin B sin C C a B
在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?
C
b
A c
a B
(1)若三角形是锐角三角形, 如图1,
A
过点A作AD⊥BC于D,
sin B
AD c
且
sin（
C）
AD b
sinC
仿(1)可得
abc sin A sin B sin C
B
由(1)(2)知，结论成立．
A c
b
图2 C D
思考
求证:
ab c
＝
＝
＝ 2R
sin A B sin C ？
（2R为△ABC外接圆直径）
课堂小结
（1）三角形常用公式：A B C
正弦定理： a b c sin A sin B sin C
（2）正弦定理应用范围： ① 已知两角和任意边，求其他两边和一角 ② 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角。(注意解的情况)
正弦定理推广一:
a b c 2RR是ABC外接圆半径
B
A
c
b
证明：∵
SABC
1 2
aha
B
ha
Da
同理
∴ SABC
S1CA∴a而BbC sSihna12ACBbCcAs1Di12nbcaAscicnsinAsiBn
2
2
B bsinC
1 absinC 2
1 ac sin B 2
(2)已知两边和其中一边的对角,求其他边和角. 2.（08 陕西卷）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，
求其他两边和一角
例 1：在△ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。，
解三角形.（即求出其它边和角）
C
解：根据三角形内角和定理，B 180 (A C) 105 b
由正弦定理 a c
a
sin A sin C
Ac
B
得a
c sin A sin C
10 sin 45
= sin30
ac sinB
1 2
bc
sin A
练习： 1.在ABC中, a 6，b 8，C 45o.则S ABC _1_2__2__ .
2.已知三角形 ABC 中，a=50,B=450,C=1050,求 S ABC.
62（5 3 1）
3.(2008 全国Ⅱ) 在△ABC 中， cos A 5 ， cos B 3 ．
练习：在ABC中，a=2,b 2, A 450,求B,C,c
解：由正弦定理得sin B bsin A a
Q a b, A B,且00 B 1800
2
2 2
1
2
2
B 300,C 105o （三角形中大边对大角）
c asin C 2 6 2 3 1 sin A 2 4 2
c
b
此时有
sin B
AD c
, sin C
AD b
B
所以AD=csinB=bsinC, 即
b c, sin B sinC
图1 D
C
同理可得 a c , 即： a b c
sin A sinC
sin A sin B sin C
(2) 若三角形是钝角三角形呢？ 自己证下！
正弦定理:
在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等.
c bsin C 2 6 2 6 2
sin B 2 4
2
2 (2)当A 1200,C 1800 ( A B) 150
(2)已知两边和 其中一边的对 角,求其他边和 角.
c bsin C 2 6 2 6 2
sin B 2 4
2
2
(2)已知两边和其中一边的对角,求其他边和角.
应用正弦定理化边为角：
a 2Rsin A,b 2R sin B,c 2R sin C
或化角为边：sin A a ,sin B b ,sin C c
2R
2R
2R
课堂练习：
1.已知ABC的三个内角之比为A: B : C 3: 2 :1,
那么对应的三边之比a : b : c等于_2_：___3_：_1_____
2.已知ABC中a 2, B 750，C 450，则
abc
__4___3_ .
sin A sin B sin C
3
3、已知三角形 ABC 中，acosA=bcosB,
判断三角形的形状。 直角或等腰三角形
正弦定理推广二:
正 弦 面 积 公 式:
S AB C
1 2
ah
1 2
ab
sinC
1 2
若 c 2，b 6，B 120o ，则 a 等于
（ D）
A． 6
B．2
C． 3
D． 2
BC的长度与角A的
C3
大小有关吗?
三角形中角A与它的对 边BC的长度是否存在 数量关系?
C2 C1 C
A
B
(2) 若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2,
过点A作AD⊥BC， 交BC延长线于D,
此时也有
即 abc sin A sin B sin C
即正弦定理寻找的是各边和它的对角的关系！
剖析定理、加深理解
正弦定理可以解决三角形中哪类问题：
abc sin A sin B sin C
① 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角.
② 已知两角和一边，求其他角和边.
定理的应用 （1）已知两角和任一边，
13
5
（Ⅰ）求 sin C 的值；
（Ⅱ）设 BC 5 ，求△ABC 的面积．
3．解：（Ⅰ）由 cos A 5 ，得 sin A 12 ，
13
13
由 cos B 3 ，得 sin B 4 ．
5
5
所以 sin C sin(A B) sin Acos B cos Asin B 16 ． 65
2
2 3 65 3
4.在ABC中, a 3,b 1, B 30, 则其面积等于 __3_或___3____
24
思考
5、求证:
ab c
＝
＝
＝ 2R
sin A sin B sin C ？
（2R为△ABC外接圆直径）
证法3:
SABC
1 2
ab sin C
1 bc sin 2
A
1 2
ac sin
C 60o, a 3 3, b 2 3
例2：在ABC中，a= 3,b 2, B 450,求A,C,c
解：
sin A a sin B b
3 2 2
2
3
2 （三角形中大边对大角）
Q a b, A B,且00 A 1800 A 600 或A 1200
(1)当A 600,C 1800 ( A B) 750
10
2
由正弦定理 b c sin B sin C
得
b=
c sin B
sin C =
10 sin 105 5( sin 30
6
2)
练习：已知两角和任一边，求其他两边和一角.
（1）在△ABC中，已知 A=30°，B=120°，b=12。
解三角形.
C 30o, a c 4 3
（2）在△ABC中，已知 A=75°，B= 45°，c=3 2 求C，a ， b.
sinA sinB sinC
证明：作外接圆O,
过B作直径BC/,连AC/,
BAC 90,C C '
c
sinC sinC' c 2R A
c 2R
sin C
同理 a 2R, b 2R
sin A
sin B
a b c 2R sin A sin B sin C
B
a
O
C
b
C/
公式的应用 正弦定理： a b c ＝ 2R sin A sin B sin C