高一数学人教A版必修4课件：3.2 简单的三角恒等变换

一、求值问题 对半角公式的四点说明 (1)半角公式的正弦、 余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到 的. ������ (2)半角公式给出了求 的正弦、余弦、正切的另一种方式,即只
2
需知道 cos α 的值及相应 α 的条件,sin ,cos ,tan 便可求出. (3)由于 tan =
2 ������ sin ������ 1+cos ������
1
2
1.降幂公式与半角公式
降幂公式 sin2 =
2 α 1-������������������ α 2
半角公式 sin =±
2 α 1-������������������ α 2
续表
降幂公式 cos
2α
半角公式
2
2 α 2
=
1+������������������ α 1-������������������ α 1+������������������ α
������
1+cos 2
=-
1+������
.
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二、三角函数式的化简 三角恒等变换中常见的变换方法 (1)常值代换 用某些三角函数值或三角函数式来代替三角函数式中的某些 常数,使之代换后能运用相关公式使化简得以顺利进行.我们把这种 代换称之为常值代换 ,如 “1” 的代换就是一种特殊的常值代换. (2)切化弦 当待化简式中,既含有正弦、余弦,又含有正切,利用同角三角函 数的基本关系 tan α=
������ 2
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a a 2 +b 2
+ cos������· ������
������ ������ 2+������ 2
其中令 cos������ =
������2 + ������ 2
,sin������ =
������ ������ 2 + ������ 2
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3.2 简单的三角恒等变换
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学习目 标 重点难 点
1.记住三角恒等变换常用公式; 2.能够利用三角函数公式进行简单的三角函数式的化简、 求值和证明. 重点:三角恒等变换常用公式; 难点:三角恒等变换的化简与求值 .
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cos =±
2
α
1+������������������ α 2 1-������������������ α 1+������������������ α
tan2 =
tan =±
2
α
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1
2
2.化一公式(辅助角公式 ) asin α+bcos α = ������ 2 + ������ 2 sin������· =sin(α+φ).
=
12
1+
15 17
15 17

2
=
17
4 17 17
,
1+cos ������ sin
=-
=-
17
,
tan =
2
������
=-4.
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(1)sin 22.5°的值等于
������ 2 2- 2 2
������ 2 2
如 1± sin α= sin ± cos , 2 2 4sin2α-4sin α+1=(2sin α- 1)2. (6)公式的逆用和变形用 灵活逆用和变形用公式可以丰富三角恒等变换的方法. 例如:T(α+ β)可变形为 tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β);asin α+bcos α= ������2 + ������ 2 sin(α+φ)(或 asin α+bcos α= a2 + b 2 cos(α-φ)) 实为 S(α+β)(或 C(α -β))的逆用.
,cos2 =
2
������
1+cos ������ 2
2
.
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【例 1】 已知 sin α=- 且 π<α< π,求 sin ,cos ,tan 的值.
17 2 2 2
3
������
������
������
思路分析 :已知条件中的角 α 与所求结论中的角 成二倍关系 ,
������
������
������
及 tan =
2
������
2 2 1-cos ������ sin ������
2
不含被开方数,且不涉及符
号问题,所以求解题目时,使用相对方便,但需要注意该公式成立的条 件. ������ (4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目时,常用 sin2 =
1-cos ������ 2
sin ������
思想方法.切化弦的好处在于减少了三角函数名称的种类. (3)降幂与升幂 1 1 由 C2α 变形后得到公式:sin2α= (1-cos 2α),cos2α= (1+cos 2α),运 用它就是降幂. 反过来,直接运用倍角公式或变形公式 1+cos 2α= 2cos2α,1-cos 2α=2sin2α,就是升幂.
2
������
2
解答本题可根据半角公式求值 . 8 3 15 解 :∵sin α=- ,π<α< π,∴cos α=- . 又 <
2 ������ π ������ 2
< π,
4 1-cos ������ 2 2
3
17
2
17
∴sin 2 =
cos =2 ������
������ 2 ������ cos 2
.
(2)设 5π<θ<6π,cos =a,那么 cos =
4
������
.
答案 :(1)
(2)-
1+������ 2 1-cos45 ° 2
解析 :(1)sin 22.5°= (2)∵5π<θ<6π,∴
5π 4
������ 2
=
1-
2 2
2
=
2- 2 2
.
<
������ 4
<
2
3π 2
.
∴cos 4 =-
2 2
cos ������
将正切化为正弦和余弦,这就是 “切化弦”的
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(4)角的变换 角的变换沟通了已知角与未知角之间的联系,使公式顺利运用, 解题过程被简化.常见的角的变换 1 1 有:α=(α+β)-β,α=β-(β-α),α= [(α+β)+(α-β)],α= [(α+β)-(β-α)],α+β=(2 α+β)-α 等. (5)配方法