2017-2018学年高中数学平面向量2.3.1平面向量基本定理练习新人教A版

2．3.1 平面向量基本定理
一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)
1．如图L2­3­1所示，设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，给出下列向量组：
图L2­3­1
①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.
其中可作为该平面内所有向量的基底的是( ) A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．③④
2．如图L2­3­2所示，用向量e 1，e 2表示向量a －b 等于( )
图L2­3­2
A ．－4e 1－2e 2
B ．－2e 1－4e 2
C ．e 1－3e 2
D ．3e 1－e 2
3．已知AD 是△ABC 的BC 边上的中线，若AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →
＝( ) A.12(a －b ) B ．－1
2(a －b ) C ．－12(a ＋b ) D.1
2
(a ＋b )
4．如图L2­3­3所示，矩形ABCD 中，若BC →＝6e 1，DC →＝4e 2，则OC →
等于( )
图L2­3­3
A ．3e 1＋2e 2
B ．3e 1－2e 2
C ．2e 1＋3e 2
D ．2e 1－3e 2
5．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及它们所在平面内的一点P 满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →
，
则( )
A ．点P 在△ABC 内部
B ．点P 在△AB
C 外部
C ．点P 在AB 边所在直线上
D ．点P 是AC 边上的一个三等分点
6．已知在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点．若AP →＝mAB →＋211AC →
，则实数m 的值为( )
A.911
B.5
11 C.
311 D.211
7．如图L2­3­4，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AD →＝λAC →＋μAE →
，则λ－μ的值为( )
图L2­3­4
A ．3
B ．2
C ．1
D ．－3
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 8．已知a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－e 2，c ＝－2e 1＋4e 2(e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量)，则c 为________(用a ，b 表示)．
9．已知a ，b 是两个不共线的向量，AB →＝2a ＋k b ，CB →＝a ＋3b ，CD →
＝2a －b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数k ＝________．
10．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →
成立，则m ＝________．
11．在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N.若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →
，则m ＋n ＝________．
12．(12分)如图L2­3­5所示，D 是线段BC 的一个四等分点，试用AB →，AC →表示AD →
.
图L2­3­5
13．(13分)如图L2­3­6所示，平行四边形ABCD 中，M 是DC 的中点，N 在线段BC 上，且NC ＝2BN.已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →和AD →
.
图L2­3­6
14．(5分)已知O 为△ABC 所在平面上一点，D 是AB 的中点，动点P 满足OP →＝13[(2－2λ)OD
→
＋(1＋2λ)OC →
](λ∈R )，则点P 的轨迹一定过△ABC 的( )
A ．内心
B ．外心
C ．垂心
D ．重心
15．(15分)如图L2­3­7，已知△ABC 的面积为14 cm 2
，D ，E 分别为边AB ，BC 上的点，且AD ∶DB ＝BE ∶EC ＝2∶1，求△APC 的面积．
图L2­3­7
1．B [解析] AD →与AB →不共线，DA →∥BC →，CA →与DC →不共线，OD →∥OB →
，所以①③可以作为该平面内所有向量的基底．
2．C [解析] 由图易知a －b ＝e 1－3e 2.
3．D [解析] 以AB ，AC 为邻边作平行四边形，如图所示，因为AE →＝AB →＋AC →＝2AD →
，所以AD →＝1
2
(a ＋b )．
4．A [解析] OC →＝12AC →＝12(AB →＋BC →)＝12(DC →＋BC →)＝3e 1＋2e 2.
5．D [解析] ∵PA →＋PB →＋PC →＝AB →＝PB →－PA →，∴PC →＝2AP →
，∴P ，A ，C 三点共线，且P 是AC 边上的一个三等分点．
6．C [解析] 设BP →＝λBN →，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋λBN →＝AB →＋λ(AN →－AB →)＝AB →
＋λ(14
AC →－
AB →)＝(1－λ)AB →＋λ4AC →＝mAB →＋211AC →
，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ4＝211，m ＝1－λ，
解得⎩
⎪⎨⎪
⎧λ＝8
11，m ＝311
.
7．D [解析] ∵E 是DC 的中点，∴AE →＝12
(AC →＋AD →)，∴AD →＝－AC →＋2AE →
，∴λ＝－1，
μ＝2，∴λ－μ＝－1－2＝－3.
8．2a －2b [解析] 设c ＝λa ＋μb ，则－2e 1＋4e 2＝λ(e 1＋e 2)＋μ(2e 1－e 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2＝λ＋2μ，4＝λ－μ，解得⎩
⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝－2，故c ＝2a －2b . 9．－8 [解析] ∵CB →＝a ＋3b ，CD →＝2a －b ，∴BD →＝BC →＋CD →
＝－a －3b ＋2a －b ＝a －4b .又AB →＝2a ＋k b ，且A ，B ，D 三点共线，∴一定存在实数λ，使AB →＝λBD →
，∴2a ＋k b ＝λ(a
－4b )，∴⎩
⎪⎨⎪⎧λ＝2，
k ＝－4λ，∴k ＝－8.
10．3 [解析] 由题意知，AB →＋AC →＝AM →＋MB →＋AM →＋MC →＝3AM →
，故m ＝3.
11．2 [解析] 由题知，AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN →
)，又O ，M ，N 三点共线，∴12
m
＋1
2
n ＝1，故m ＋n ＝2. 12．解：∵D 是线段BC 的一个四等分点，∴BD →＝14BC →＝14
(AC →－AB →)，∴AD →＝AB →＋BD →＝AB →
＋
14(AC →－AB →)＝34AB →＋14
AC →. 13．解：因为四边形ABCD 为平行四边形，M 为DC 的中点，NC ＝2BN ，所以AM →＝AD →＋DM →
＝AD →＋12AB →，AN →＝AB →＋BN →＝AB →＋13
AD →.
因为AM →＝c ，AN →
＝d ，所以⎩
⎪⎨⎪
⎧c ＝12AB →＋AD →，d ＝AB →＋13
AD →，
解得AB →＝25(3d －c )，AD →＝3
5
(2c －d )．
14．D [解析] ∵O 为△ABC 所在平面上一点，D 是AB 的中点，动点P 满足OP →＝1
3
[(2－
2λ)OD →＋(1＋2λ)OC →
](λ∈R )，且13(2－2λ)＋13
(1＋2λ)＝1，∴P ，C ，D 三点共线，∴点P
的轨迹一定过△ABC 的重心．故选D.
15．解：设AB →＝a ，BC →＝b ，则AE →
＝a ＋23b ，DC →＝13
a ＋
b .∵点A ，P ，E 共线，且点D ，P ，
C 共线，∴存在实数λ和μ，使AP →＝λAE →＝λa ＋23λb ，DP →＝μDC →＝1
3μa ＋μb .
又∵AP →＝AD →＋DP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
23＋13μa ＋μb ，∴⎩⎪⎨⎪
⎧λ＝23＋13μ，23λ＝μ，解得⎩
⎪⎨⎪
⎧λ＝67，
μ＝4
7
.∴S △PAB ＝47S △ABC ＝
14×47＝8(cm 2)，S △PBC ＝14×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－67＝2(cm 2)，∴S △APC ＝14－8－2＝4(cm 2
)．。