【人教A版】2017-2018学年数学必修一优化练习：第二章 2.3 幂函数 Word版含解析

[课时作业]
[A组基础巩固]
1．下列所给出的函数中，是幂函数的是()
A．y＝－x3B．y＝x－3
C．y＝2x3D．y＝x3－1
解析：由幂函数的定义可知y＝x－3是幂函数．
答案：B
2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是() A．y＝x－2 B.y＝x－1
C．y＝x2D．y＝x 1 3
解析：∵y＝x－1和y＝x 1
3都是奇函数，故B、D错误．又y＝x2虽为偶函数，
但在(0，＋∞)上为增函数，故C错误．y＝x－2＝1
x2在(0，＋∞)上为减函数，且为偶函数，故A 满足题意．
答案：A
3．如图，函数y＝x 2
3的图象是()
解析：y＝x 2
3＝
3
x2≥0，故只有D中的图象适合．
答案：D
4．已知幂函数
2
732
25
()(1)()
t t
f x t t x t N
+-
=-+⋅∈是偶函数，则实数t的值为()
A．0 B.－1或1 C．1 D．0或1
解析：∵
2
732
25
()(1)()
t t
f x t t x t N
+-
=-+⋅∈是幂函数，
∴t2－t＋1＝1，即t2－t＝0，∴t＝0或t＝1.
当t＝0时，f(x)＝x75是奇函数，不满足题设；
当t＝1时，f(x)＝x85是偶函数，满足题设．
答案：C
5．a，b满足0<a<b<1，下列不等式中正确的是()
A．a a<a b B. b a<b b
C．a a<b a D．b b<a b
解析：因为0<a<b<1，而函数y＝x a单调递增，所以a a<b a.
答案：C
6．若函数则f{f[f(0)]}＝________.
解析：∵f(0)＝－2，
∴f(－2)＝(－2＋3)12＝1，
∴f(1)＝1，
∴f{f[f(0)]}＝f[f(－2)]＝f(1)＝1.
答案：1
7．下列命题中，
①幂函数的图象不可能在第四象限；
②当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；
③当α>0时，幂函数y＝xα是增函数；
④当α＜0时，幂函数y＝xα在第一象限内函数值随x值的增大而减小．
其中正确的序号为________．
解析：当α＝0时，是直线y＝1但去掉(0,1)这一点，故②错误．当α>0时，幂函数y＝xα仅在第一象限是递增的，如y＝x2，故③错误．
答案：①④
8．已知n ∈{－2，－1,0,1,2,3}，若⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＞⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13n ，则n ＝________. 解析：∵－12＜－13，且⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＞⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13n ，∴y ＝x n 在(－∞，0)上为减函数． 又n ∈{－2，－1,0,1,2,3}，∴n ＝－1或n ＝2.
答案：－1或2
9．点(2，2)与点⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )、g (x )的图象上，问当x 为何值时，有①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )．
解析：设f (x )＝x α，g (x )＝x β，
则(2)α＝2，(－2)β＝－12，
∴α＝2，β＝－1.
∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.
分别作出它们的图象如图所示，由图象可知，
当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )；
当x ＝1时，f (x )＝g (x )；
当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )．
10．已知幂函数y ＝x 2
23m m －－ (m ∈N ＋)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足
(a ＋1)3m <(3a －2)3的a 的取值范围．
解析： ∵函数在(0，＋∞)上单调递减，∴m 2－2m －3<0，
解得－1<m <3.∵m ∈N ＋，
∴m ＝1,2.又∵函数图象关于y 轴对称，∴m 2－2m －3是偶数．又∵22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m ＝1.
∴原不等式等价于(a ＋1)3<(3a －2)3.
又∵y ＝x 3在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴a ＋1<3a －2，∴2a >3，a >32，
故a 的取值范围是a >32.
[B 组 能力提升]
1．设幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，3，设0<a <1，则f (a )与f (a －1)的大小关系是( ) A ．f (a －1)<f (a )
B.f (a －1)＝f (a ) C ．f (a －1)>f (a ) D ．不能确定
解析：因为幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3，设f (x )＝x α，因为图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13α＝3，解得α＝－12，所以f (x )＝x 12-在第一象限单调递减．
因为0<a <1，所以a －1>a ，所以f (a －1)<f (a )． 答案：A
2．若(a ＋1)12-<(3－2a )12-，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，2 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：令f (x )＝x 1
2-＝1x
，∴f (x )的定义域是(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上是减函数，故原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1>0，3－2a >0，
a ＋1>3－2a ，
解得23<a <32.
答案：B 3．已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ，则实数m 的取值范围是________．
解析：∵0<0.71.3<0. 70＝1,1.30.7>1.30＝1，
∴0.71.3<1.30.7.而(0.71.3)m <(1.30.7)m ，
∴幂函数y ＝x m 在 (0，＋∞)上单调递增，故m >0.
答案：(0，＋∞)
4．把⎝ ⎛⎭⎪⎫2313-，⎝ ⎛⎭⎪⎫3512，⎝ ⎛⎭⎪⎫2512，⎝ ⎛⎭
⎪⎫760按从小到大的顺序排列________． 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫760＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫2313-＞⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫3512＜1，⎝ ⎛⎭
⎪⎫2512＜1. ∵y ＝x 12
为增函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2512＜⎝ ⎛⎭⎪⎫3512＜⎝ ⎛⎭⎪⎫760＜⎝ ⎛⎭⎪⎫2313-. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2512＜⎝ ⎛⎭⎪⎫3512＜⎝ ⎛⎭⎪⎫760＜⎝ ⎛⎭
⎪⎫2313- 5．已知幂函数f (x )＝x 21()m m －＋ (m ∈N ＋)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数f (x )经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．
解析：(1)∵m 2＋m ＝m (m ＋1)(m ∈N ＋)，而m 与m ＋1中必有一个为偶数，
∴m 2＋m 为偶数，
∴函数f (x )＝x 21()m m －＋ (m ∈N ＋)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．
(2)∵函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝2(m 2＋m )－1，即21
2
＝2(m 2＋m )－1， ∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2，
又∵m ∈N ＋，∴m ＝1，f (x )＝x 12.
又∵f (2－a )>f (a －1)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2－a ≥0，a －1≥0，
2－a >a －1，解得1≤a <32，
故函数f (x )经过点(2，2)时，m ＝1.满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为1≤a ＜32.
6．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·x 2
1m m ＋－，求m 为何值时，f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．
解析：(1)若f (x )为正比例函数，则
⎩⎪⎨⎪⎧
m 2＋m －1＝1，m 2＋2m ≠0，解得m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数，则
⎩⎪⎨⎪⎧
m 2＋m －1＝－1，m 2＋2m ≠0，解得m ＝－1. (3)若f (x )为二次函数，则
⎩⎪⎨⎪⎧
m 2＋m －1＝2，m 2＋2m ≠0，解得m ＝－1±132. (4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1， 解得m ＝－1±2.。