高中数学(苏教版)必修1精品教学案全集：第2章 第34课时——函数模型(2)教师版

第三十四课时函数模型及其应用（2）
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学习要求
1．能用指数函数、对数函数解决如复利、人口增长等与增长率有关的问题， 2．提高学生根据实际问题建立函数关系的能力.
自学评价
1.复利把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息．（就是人们常说的“利滚利”）．设本金为p ，每期利率为r ，存期为x ，则本金与利息和 ．
(1)x y p r =+
2.单利在计算每一期的利息时，本金还是第一期的本金．设本金为p ，每期利率为r ，存期为x ，则本金与利息和 ． (1)y p prx p rx =+=+
3．在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，可以用公式 表示．()
1x
y N
p =+
【精典范例】
例1：物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是O T ,经过一定时间t 后的温度是T ,则
1()()2
t h
a o a T T T T -=-⋅,
其中a T 表示环境温度,h 称为半衰期.
现有一杯用88c o
热水冲的速容咖啡,放在24c o
的房间中,如果咖啡降到40c o
需要
20min ,那么降温到35c o 时,需要多长时间?
【解】由题意知()20140248824()2h -=-⋅,即20
11
()42
h =,解之,得10h =,故
10
124(8824)()2
t T -=-⋅ ,
当35T =时,代入上式, 得
10
13524(8824)()2
t -=-⋅ ,
即 10111
()264
t = ， 两边取对数,
用计算器求得25.4t ≈
待定系数法 服务 函数模型（指、对数） 实际问题（增长率） 函数模型的结果 听课随笔
因此,约需要25.4min ,可降温到35c o
点评: 本题是利用已知的函数模型来解决物理问题，需由已知条件先确定函数式，然后再求解.本题的实质为已知自变量的值，求对应的函数值的数学问题，由于运算比较复杂，要求学生借助计算器进行计算.
例2：现有某种细胞100个，其中有占总数
1
2
的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过10
10个？（参考数据：lg30.477,lg 20.301==）.
分析：现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、 4个小时后的细胞总数， 【解】1小时后，细胞总数为 113
1001002100222
⨯+⨯⨯=⨯； 2小时后，细胞总数为 13139
100100210022224
⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯； 3小时后，细胞总数为 191927
100100210024248
⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯； 4小时后，细胞总数为 12712781
1001002100282816
⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯; 可见，细胞总数y 与时间x （小时）之间的函数关系为： 31002x
y ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，x N *∈
由103100102x ⎛⎫⨯> ⎪⎝⎭，得83102x
⎛⎫
> ⎪⎝⎭
，两边取以10为底的对数，得3lg 82x >，
∴8lg 3lg 2x >-， ∵
88
45.45lg3lg 20.4770.301=≈--， ∴45.45x >.
答：经过46小时，细胞总数超过10
10个.
点评:本例用归纳猜想的方法得出了细胞总数y 与时间x 之间的函数关系式；解类似x
a b >这类的不等式，通常在不等式两边同时取对数，利用对数函数的单调性求解．
这种通过观察几个特殊值的特征，从而归纳出函数一般表达式的方法叫做“不完全归纳法”，是高中数学中非常重要的一种方法．
例3：某公司拟投资100万元，有两种获利的可能可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？参考数据：
51.09 1.5386=，
461.09 1.4116,1.09 1.6771==
分析：可分别根据复利与单利的计算方法，分别计算出本息和，再进行比较，判断优劣． 【解】本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后收回的本息和是 100(110%5)150⨯+⨯=万元，
本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回的本息和是5100(19%)153.86⨯+=万元，
因此，按年利率9%的复利一次计算要比按年利率10%的单利计算更有利，5年后多得利息3.86万元．
点评：我国现行的定期储蓄中的自动转存业务是一种类似复利计息的储蓄．
追踪训练一
1．某工厂的一种产品的年产量第二年比第一年增加21%，第三年比第二年增加44%，求这两年的平均增长率．
解：设该产品第一年的年产量为a，两年的平均增长率为x，则()()()
2
1121%144%
a x a
+=++
解得 1.32132%
x=-=
2．在银行进行整存整取的定期储蓄，当到期时，银行会将本息和进行自动转存，某人2005年3月1日在银行存入10000元的一年定期，年利为2.25%，若他暂时不取这笔钱，当到2010年3月1日时，该笔存款的本息和为多少元？（精确到0.01元）
答案：5
10000(1 2.25%)11176.78
⨯+≈元.
3.已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，计算经过多少年剩留原来质量的一半？
分析：设原来的质量为1，由题意可知
经过100乘1年剩留0.9576，
经过100乘2年剩留2
0.9576，
……
经过100乘x年剩留0.9576x，
依题意有
1
0.9576
2
x=
【解】设经过100乘x年后剩留原来质量的一半，
依题意，有
1
0.9576
2
x=，
两边取对数，得lg0.9576lg2
x=-
解得16.00
x≈.
10016.001600
⨯=（年）.
答：约经过1600年剩留原来质量的一半.
【选修延伸】
一、函数与图像
高考热点1.（1998全国文11，理10）向高为H的水瓶中注水，注满为止.如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（）
听课随笔
【解】答案B
分析：如上图所示，取水深2H
h =
时，注水量0'2V V V =>，即水深至一半时，实际注水量大于水瓶总水量之半.A 中0'2V V <，C 、D 中0'2
V
V =，故排除A 、C 、D ，选B .
思维点拔：
（1）解答应用题的基本步骤：①设：合理、恰当的设出变量；②写：根据题意，抽象概括数量关系，并能用数学语言表示，得到数学问题；③算：对所得数学问题进行分析、运算、求解；④答：将数学问题的解还原到生活实际问题，给出最终的答案.
（2）在用数学方法解决实际问题时的能力要求有：①阅读理解能力；②抽象概括能力；③数学语言的运用能力；④分析、解决数学问题的能力.
（3）分析图表是数学应用的一个重要方面，特别要能够结合图表分析函数，应好好体会．
追踪训练二
1．我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控手段以达到节约用水的目的．某市用水收费方法是：水费=基本费+超额费+损耗费．该市规定：（1）若每户每月用水量不超过最低限量m 立方米时，只付基本费9元和每月的定额损耗费a 元；（2）若每户每月用水量超过m 立方米时，除了付基本费和损耗费外，超过部分每立方米付n 元的超额费；（3）每户每月的损耗费不超过5元．
（Ⅰ）求每户月水费y （元）与月用水量x （立方米）的函数关系；
（Ⅱ）该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示，试分析一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并求,,m n a 的值．
（Ⅰ）由题意，每月用水量为x （立方米），支付费用y （元），则
(
)9,0059,a x m y a x m n a x m +<≤⎧⎪=<≤⎨+-+>⎪⎩其中（Ⅱ）∵05a <≤，∴9914a <+≤，由表知，
一、二月份的水费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量m 立方米，将
4x =和5x =分别代入y 的解析式，得189(4)269(5)m n a
m n a
=+-+⎧⎨
=+-+⎩ ， 由②-①得8n =，从而823a m =- ③，
又∵三月份用水量为2.5立方米，
若2.5m >，将 2.5x =代入()9y x m n a =+-+
得()10982.5m a =+-+，即819,a m =-这与③矛盾， ∴2.5m ≤，即三月份用水量2.5立方米没有超过最低限量．
此时有109a =+， ∴1a =，代入③得3m =，
①
② 听课随笔
综上：一、二月份用水量超过最低限量，三月份用水量没有超过最低限量，且m n a
===．
3,8,1
点评：本例中对三月份的用水量是否超过最低限量的分析采用了假设检验的思想
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