第十二节菱形

菱形
【知识要点】
1、菱形的定义： 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2、菱形的性质
（1）菱形具有平行四边形的一切性质； （2）菱形是轴对称图形； （3）菱形的四条边相等；
（4）菱形的两条对角线互相垂直且每一条对角线平分一组对角； 3、菱形的判定方法
（1）定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形； （2）四条边都相等的四边形是菱形；
（3）两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 4、菱形对角线把它分成四个全等的直角三角形。

5、若菱形边长为a ，对角线分别为m 、n ，则其面积为mn S 2
1
=，若两个对边之间的距离
为h ，则S=ah 。

【典型例题】
例1．（2009肇庆）如图，ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O ，306ACD BD ∠==°，．
（1）求证：△ABD 是正三角形；（2）求 AC 的长（结果可保留根号）．
例2．如图，菱形ABCD 的边长为2，高AE 平分BC ，两对角线相交于点O,求：⑴菱形面积；⑵两对角线的长。

O D
A A
B D E
O
例3．如图，已知菱形对角线长分别为12m 和16m ，求菱形的高。

例4、如图，DE 是□ABCD 中∠ADC 的平分线，EF//AD 交DC 于F.（1）求证：四边形AEFD 是菱形。

A B
C
D
E F
例5、如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是角平分线，E 为AD 延长线上一点，CF//BE 交AD 于F ，连接BF 、CE ，求证：四边形BECF 是菱形。

例6、 如图在□ABCD 中，AC 、BD 交于O ，EF 和GH 都过点O ，且EF ⊥GH 。

求证：EHFG 为菱形。

A
B C D
F H G
【课堂练习】
1、下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是( )
A 、对角线互相平分的四边形
B 、对角线互相垂直且平分的四边形
C 、对角线相等的四边形
D 、对角线相等且互相垂直的四边形 2．菱形两条对角线长为8cm ，6cm ，它的高为（ ）。

A ．cm 524
B ．cm 548
C ．cm 56
D ．cm 5
12
3．在菱形ABCD 中，若∠ADC= 120，则BD:AC 等于（ ）。

A ．3:2 B ．3:3 C ．1:2 D ．3:1 4．(2009年河北)如右图，在菱形ABCD 中，AB = 5，∠BCD = 120°， 则对角线AC 等于（ ） A ．20 B ．15 C ．10 D ．5
5．万花筒是由三块等宽等长的玻璃片围成的，如图是看到的万花筒的一个图案，图中所有的三角形均为全等的等边三角形，其中的菱形AEFG 可以看成是把菱形ABCD 以A 为中心（ ）。

A ．顺时针旋转 60得到 B ．顺时针旋转
120得到
C ．逆时针旋转 60得到
D ．逆时针旋转 120得到
6．菱形的一个内角等于︒120，过这个角的顶点的对角线长为8cm,则这个菱形的周长为 cm 。

7．菱形的两条对角线长分别为a 、b,则它的边长为 ，面积为 ，高为 。

8．若以菱形的一个顶点到对边的距离等于边长的一半，则该菱形的两个相邻内角的度数分别是 和 。

9．菱形ABCD 的周长为52cm, 2:1:=∠∠ABC BAD ,则BD= 。

10．已知菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂直E 、F 分别为BC 、CD 的中点，那么EAF ∠= 。

11． BD 是菱形ABCD 的一条对角线，若∠ABD= 65，则∠A= 。

12．已知：D 点是等腰△ABC 的底边BC 的中点，DE ∥AB 交AC 于E ，DF ∥AC 交AB 于F ，求证，四边形AEDF 是菱形。

【课后作业】 B A
C
D
1．如图1，过矩形ABCD 的四个顶点作对角线AC 、BD 的平行线，分别交于E 、F 、G 、H 四
点，则四边形EFGH 是（ ）。

A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形
2．一个菱形两条对角线分别为6cm 和8cm ，则这个菱形的面积等于（ ）。

A ．248cm B ．224cm C ．212cm D ．26cm 3．如图2，菱形ABCD 中，BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，E 、F 为垂足，AE=EB ，则∠EBF 等于（ ）。

A ． 75 B ． 60 C ． 50 D ． 45
4．一个菱形的一条较长的对角线是2cm ，它的一个内角是 120，则它
的边长是 。

5．一个菱形的两条对角线长分别是30cm 和40cm ，则它的面积是 ，则它的边长是 。

6．如图3，DE
中∠ADC 的平分线，EF ∥AD 交DC 于F。

（1）求证：四边形AEFD 是菱形。

（2）如果∠A= 60，AD=5，求菱形AEFD
的面积。

7．如图4，△ABC 中，∠C= 90，AD 平分∠BAC
，ED ⊥BC ，DF ∥AB ，求证：AD 与EF 互相垂直平分。

8．两条等宽的长纸条倾斜地重叠着，试证重叠部分ABCD 为菱形。

图2 图3 图4
图5。