杭州高级中学2017届高三下学期第一次月考数学试卷 含解析

2016-2017学年浙江省杭州高级中学高三（下）第一次月考数学试卷
一、选择题：(本大题共10小题，每小题4分,共40分)
1．设集合A={y｜y=sinx，x∈R｝,集合B={x｜y=lgx},则(∁R A)∩B （)
A．(﹣∞，﹣1)U（1，+∞) B．[﹣1，1] C．（1，+∞）D．［1，+∞）
2．已知方程x2+(4+i）x+4+ai=0（a∈R）有实根b，且z=a+bi，则复数z的共轭复数等于（）
A．2﹣2i B．2+2i C．﹣2+2i D．﹣2﹣2i
3．若条件p：|x+1|＞2，条件q：x＞a且￢p是￢q的充分不必要条件，则a取值范围是（）
A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣3 D．a≤﹣3
4．已知函数f（x）=sin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则（+）•（﹣)的值为（）
A．﹣1 B．C． D．2
5．抛一枚均匀硬币，正，反面出现的概率都是，反复投掷，数列{a n}定义：，若，则事件S4＞0的概率为（)
A．B． C．D．
6．已知函数f(x)=﹣x3+2f′（2)x，n=f′（2）,则二项式展开式中常数项是( ）
A．第7项B．第8项C．第9项D．第10项
7．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F1，F2渐近线分别为l1，l2，位于第一象限的点P在l1上，若l2⊥PF1，l2∥PF2，则双曲线的离心率是（）
A．B．C．2 D．
8．若向量、满足｜|=|2+｜=2，则在方向上投影的最大值是（）
A．B．﹣C．D．﹣
9．已知a＞b,二次三项式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立,又∃x0∈R，使ax02+2x0+b=0成立，则的最小值为（）A．1 B．C．2 D．2
10．已知方程ln|x｜﹣ax2+=0有4个不同的实数根,则实数a的取值范围是（）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）
11．若xlog34=1，则x= ；4x+4﹣x= ．
12．抛物线x=ay2（a≠0)的焦点坐标是;双曲线的顶点到渐近线的距离为．
13．设离散型随机变量X的分布列为
X01234
P0。

20.10.10.30。

3
若离散型随机变量Y满足Y=2X+1，则E（Y）= ；D（Y)= ．14．已知，且，
（1）若，则tanβ=；
（2）tanβ的最大值为．
15．已知等差数列{a n｝满足，数列{b n}的前n项和为S n，则S100的值为．
16．已知平面区域Ω：夹在两条斜率为﹣的平行直线之间,且这两条平行直线间的最短距离为m，若点P(x，y）∈Ω，且mx﹣y的最小值为p，的最大值为q，则pq等于．
17．设a＜0，（3x2+a）（2x+b)≥0在（a，b）上恒成立,则b﹣a的最大值为．
三、解答题：（本大题共5小题,共74分）
18．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且（2a﹣c）cosB=bcosC，•=﹣3．
（I）求△ABC的面积；
（II）若sinA:sinC=3：2，求AC边上的中线BD的长．
19．在平面直角坐标系xoy中，已知点F（0，1），直线l:y=﹣1,P 为平面上的动点，且过点P作直线l的垂线，垂足为Q，满足：．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
(Ⅱ）在轨迹C上求一点M，使得M到直线y=x﹣3的距离最短,并求出最短距离．
20．已知函数f（x）=（t+1）lnx+tx2+3t,t∈R．
（1)若t=0，求证:当x≥0时，f（x+1）≥x﹣x2；
（2）若f(x）≥4x对任意x∈[1，+∞）恒成立，求t的取值范围．21．设椭圆C1：的左、右焦点分别是F1、F2，下顶点为A,线段OA的中点为B（O为坐标原点）,如图．若抛物线C2：y=x2﹣1与y轴的交点为B，且经过F1,F2点．
（Ⅰ）求椭圆C1的方程；
(Ⅱ)设M（0，），N为抛物线C2上的一动点,过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点，求△MPQ面积的最大值．
22．数列｛a n}各项均为正数，且对任意n∈N＊，满足a n+1=a n+ca n2（c＞0且为常数)．
(Ⅰ)若a1，2a2,3a3依次成等比数列,求a1的值（用常数c表示）;（Ⅱ）设b n=,S n是数列{b n｝的前n项和,
（i）求证：；
（ii）求证:S n＜S n+1＜．
2016-2017学年浙江省杭州高级中学高三（下）第一次月考数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．设集合A={y|y=sinx，x∈R}，集合B={x|y=lgx}，则（∁R A）∩B( ）
A．（﹣∞，﹣1）U（1，+∞）B．[﹣1，1］C．（1，+∞）D．［1，+∞)
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】求出y=sinx的值域确定出A，找出R中不属于A的部分求出A的补集，求出y=lgx的定义域确定出B，找出A补集与B的公共部分即可求出所求的集合．
【解答】解：由集合A中的函数y=sinx,x∈R，得到y∈［﹣1,1],∴A=［﹣1，1]，
∴∁R A=（﹣∞，﹣1)∪（1，+∞),
由集合B中的函数y=lgx,得到x＞0,
∴B=（0，+∞），
则（∁R A）∩B=（1，+∞）．
故选C
2．已知方程x2+（4+i)x+4+ai=0（a∈R）有实根b,且z=a+bi，则复数z的共轭复数等于( )
A．2﹣2i B．2+2i C．﹣2+2i D．﹣2﹣2i
【考点】复数的基本概念．
【分析】由复数相等的意义将方程x2+（4+i)x+4+ai=0（a∈R）转化为实系数方程，解方程求出两根．
【解答】解：方程x2+（4+i)x+4+ai=0（a∈R）可以变为x2+4x+4+i （x+a)=0，
由复数相等的意义得解得x=﹣2，a=2，
方程x2+（4+i）x+4+ai=0（a∈R）有实根b，故b=﹣2，
所以复数z=2﹣2i，
所以复数z的共轭复数等于2+2i
故选:B．
3．若条件p：｜x+1|＞2,条件q：x＞a且￢p是￢q的充分不必要条件，则a取值范围是( ）
A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣3 D．a≤﹣3
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】求出：｜x+1｜＞2，根据￢p是￢q的充分不必要条件，得出q⊊p，再运用集合关系求解．
【解答】解：∵p：｜x+1｜＞2，
∴p：x＞1或x＜﹣3，
∵￢p是￢q的充分不必要条件，
∴q是p充分不必要条件,
∴p定义为集合P，q定义为集合q，
∵q：x＞a，p：x＞1或x＜﹣3，
∴a≥1
故选：A
4．已知函数f（x)=sin（πx+φ）的部分图象如图所示,点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则(+）•（﹣）的值为（）
A．﹣1 B．C． D．2
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】可求出f（x）的周期为2，从而得出，根据正弦函数的对称性可知，点C为DE的中点，从而,并且，代入进行数量积的运算即可．
【解答】解：f(x)=sin(πx+φ)的周期为2；
∴；
D，E关于点C对称；
∴C是线段DE的中点；
∴
=
=
=2．
故选D．
5．抛一枚均匀硬币，正，反面出现的概率都是，反复投掷，数列｛a n}定义:,若，则事件S4＞0的概率为（）
A．B． C．D．
【考点】等可能事件的概率．
【分析】事件S4＞0表示反复抛掷4次硬币，其中出现正面的次数是三次或四次,利用n次独立重复试验恰好出现k次的概率公式能够求出事件S4＞0的概率．
【解答】解:事件S4＞0表示反复抛掷4次硬币,其中出现正面的次数是三次或四次，
其概率p=•+=，
故选：C．
6．已知函数f(x)=﹣x3+2f′（2）x，n=f′（2),则二项式展开式中常数项是（）
A．第7项B．第8项C．第9项D．第10项
【考点】二项式定理的应用；二项式系数的性质．
【分析】根据题意,对f(x）求导，有f′（x）=﹣3x2+2f′（2)，令x=2,有f′（2)=﹣12+2f′（2）,解可得n=f′（2）=12，将n=12代入的二项展开式，则可得满足常数项的r的值，进而可得答案．
【解答】解：根据题意,f′（x）=﹣3x2+2f′（2），
令x=2，有f′（2)=﹣12+2f′(2)，
进而有n=f′(2）=12，
则的二项展开式为T r+1=C12r(x）12﹣r（）r=C12r•（2r)•，令12﹣r=0，解可得，r=8，
此时为展开式的第9项，
故选C．
7．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1,F2渐近线分别为l1，l2，位于第一象限的点P在l1上，若l2⊥PF1，l2∥PF2，则双曲线的离心率是（)
A．B．C．2 D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1,l2，点P在第一象限内且在l1上,知F1(﹣c,0)F2（c，0）P(x，y），由渐近线l1的直线方程为y=x,渐近线l2的直线方程为y=﹣x，l2∥PF2,知ay=bc﹣bx，由ay=bx，知P（,）,由此能求出离心率．
【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1,F2,
渐近线分别为l1，l2，点P在第一象限内且在l1上，
∴F1（﹣c，0）F2(c，0)P（x，y),
渐近线l1的直线方程为y=x,渐近线l2的直线方程为y=﹣x，
∵l2∥PF2，∴，即ay=bc﹣bx，
∵点P在l1上即ay=bx，
∴bx=bc﹣bx即x=,∴P(,）,
∵l2⊥PF1，
∴，即3a2=b2,
∵a2+b2=c2,
∴4a2=c2，即c=2a，
∴离心率e==2．
故选C．
8．若向量、满足｜|=|2+|=2，则在方向上投影的最大值是（）
A．B．﹣C．D．﹣
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】对条件式子两边平方，用｜｜表示出的夹角θ的余弦值，代入投影公式，利用基本不等式得出投影的最大值．
【解答】解:∵|2｜=2，｜|=2，
∴||2+4+16=4,
设的夹角为θ，
则｜|2+8|｜cosθ+12=0．
∴cosθ=﹣．
∴在方向上投影为｜|cosθ=﹣=﹣(+）．
∵+≥2=．
∴｜｜cosθ≤﹣．
故选：B．
9．已知a＞b,二次三项式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，又∃x0∈R，使ax02+2x0+b=0成立，则的最小值为（）A．1 B．C．2 D．2
【考点】基本不等式．
【分析】由条件求得a＞1，ab=1，由此把要求的式子化为．化
简为，令=t＞2,则=(t﹣2）
+4+，利用基本不等式求得的最小值为8，可得的最小值．
【解答】解：∵已知a＞b,二次三项式ax2+2x+b≥0对于一切实数x 恒成立,
∴a＞0，且△=4﹣4ab≤0，∴ab≥1．
再由∃x0∈R,使+2x0+b=0成立，可得△=0,∴ab=1，∴a＞1．∴==＞0．
∴====．
令=t＞2，则==(t﹣2)+4+≥4+4=8,
故的最小值为8，故的最小值为=2，
故选D．
10．已知方程ln｜x|﹣ax2+=0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（)
A． B． C． D．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】根据函数与方程的关系，利用参数分离式进行转化，构造函数,求出函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解:由ln|x|﹣ax2+=0得ax2=ln｜x|+，
∵x≠0,
∴方程等价为a=，
设f（x)=，
则函数f（x）是偶函数，
当x＞0时,f（x）=，
则f′（x)===，
由f′（x）＞0得﹣2x（1+lnx）＞0，得1+lnx＜0，即lnx＜﹣1，得0＜x＜，此时函数单调递增，
由f′(x）＜0得﹣2x（1+lnx）＜0,得1+lnx＞0，即lnx＞﹣1，得x ＞，此时函数单调递减，
即当x＞0时，x=时，函数f(x)取得极大值f（）=
=（﹣1+）e2=e2，
作出函数f（x）的图象如图：
要使a=,
有4个不同的交点，
则满足0＜a＜e2,
故选：A
二、填空题：（本大题共7小题，多空题每题6分,单空题每题4分,共36分)
11．若xlog34=1，则x= log43 ; 4x+4﹣x= ．
【考点】对数的运算性质．
【分析】利用对数与指数的运算性质即可得出．
【解答】解：∵xlog34=1，∴x==log43．
∴4x==3，
4x+4﹣x=3+=．
12．抛物线x=ay2（a≠0)的焦点坐标是（，0）；双曲线
的顶点到渐近线的距离为．
【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．
【分析】利用抛物线的方程求解焦点坐标，双曲线方程求解渐近线方程,然后求解顶点到渐近线的距离．
【解答】解:抛物线x=ay2（a≠0），即y2=x，它的焦点坐标是（，0）；
双曲线的一条渐近线方程为:x+3y=0，它的顶点到渐近线的距离为:=．
故答案为:(，0)；．
13．设离散型随机变量X的分布列为
X01234
P0.20。

10.10.30。

3
若离散型随机变量Y满足Y=2X+1，则E（Y）= 5.8 ；D(Y）= 23.2 ．
【考点】离散型随机变量的期望与方差．
【分析】利用数学期望计算公式、方差的性质即可得出．
【解答】解：E(X）=0+1×0。

1+2×0。

1+3×0。

3+4×0。

3=2。

4．∴E(Y）=2E(X）+1=5.8；
D(Y)=22E(X）=23.2．
14．已知，且，
（1）若，则tanβ=；
（2）tanβ的最大值为．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】（1)将，带入计算即可．
（2）根据化简可得tanβ=看成是圆心为（0，0），半径r=1的圆与点（3，0）的斜率问题，可得结论．
【解答】解：由,化简可得：sinβ（1+sin2α）=sin2αcosβ,则tanβ=
（1）若，则tanβ=．
∵tanβ===，看成是圆心为（0，0），半径r=1的圆与点(3，0）的斜率问题,
直线过（3,0),设方程为y=k(x﹣3），
d=r=1，即1=，
解得k=．
∴tanβ的最大值为．
故答案为：，．
15．已知等差数列{a n}满足,数列{b n｝的
前n项和为S n，则S100的值为．
【考点】数列递推式．
【分析】利用等差数列的通项公式与“裂项求和”方法即可得出．【解答】解:设等差数列｛a n}的公差为d，∵a3=7，a5+a7=26,
∴a1+2d=7，2a1+10d=26,
解得a1=3,d=2．
∴a n=3+2（n﹣1)=2n+1．
∴b n===．
∴S100=+…+
==．
故答案为：．
16．已知平面区域Ω：夹在两条斜率为﹣的平行直线之间，且这两条平行直线间的最短距离为m,若点P(x，y）∈Ω,且mx ﹣y的最小值为p,的最大值为q，则pq等于．
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域,结合题意求出m,利用线性规划知识求得p,再由两点求斜率求出q，则答案可求．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
∵平面区域Ω夹在两条斜率为﹣的平行直线之间,且两条平行直线间的最短距离为m，
则m==．
令z=mx﹣y=x﹣y，则y=x﹣z，
由图可知,当直线y=x﹣z过B（2，3)时,直线在y轴上的截距最大,z 有最小值为p=，
=的几何意义为可行域内的动点与定点D（﹣，0）连线的斜率，
其最大值q=．
∴pq=．
故答案为：．
17．设a＜0，（3x2+a）（2x+b）≥0在(a，b)上恒成立，则b﹣a的最大值为．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】若(3x2+a）（2x+b）≥0在(a，b)上恒成立，则3x2+a≥0,2x+b ≥0或3x2+a≤0，2x+b≤0，结合一次函数和二次函数的图象和性质，可得a，b的范围，进而得到答案．
【解答】解：∵（3x2+a）（2x+b)≥0在（a，b）上恒成立,
∴3x2+a≥0，2x+b≥0或3x2+a≤0，2x+b≤0，
①若2x+b≥0在(a，b）上恒成立，则2a+b≥0,即b≥﹣2a＞0，
此时当x=0时，3x2+a=a≥0不成立,
②若2x+b≤0在（a，b）上恒成立，则2b+b≤0，即b≤0，
若3x2+a≤0在（a,b)上恒成立，则3a2+a≤0，即﹣≤a≤0,
故b﹣a的最大值为，
故答案为：．
三、解答题：（本大题共5小题，共74分）
18．△ABC的内角A，B,C所对的边分别为a，b,c,且（2a﹣c)cosB=bcosC，•=﹣3．
（I）求△ABC的面积;
（II）若sinA:sinC=3:2,求AC边上的中线BD的长．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（I）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosB的值，即可确定出B的度数，利用平面向量数量积的运算可求ac的值,进而利用三角形面积公式即可计算得解．
(II)由正弦定理化简可得a=，结合ac=6，可求a，c的值，由于=（+)，平方后利用平面向量的运算即可解得AC边上的中线BD 的长．
【解答】（本题满分为12分）
解：（I）已知等式(2a﹣c)cosB=bcosC，
利用正弦定理化简得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，
整理得：2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C)=sinA，
∵sinA≠0，
∴cosB=，
则B=60°．
又∵•=﹣3．
∴accos(π﹣B)=﹣3，
∴解得ac=6，
∴S△ABC=acsinB=×=…6分
（II)∵由sinA:sinC=3:2,可得:a：c=3:2，解得：a=，
又∵由(I）可得：ac=6,
∴解得：a=3，c=2，
又∵=（+)，
∴42=2+2+2=c2+a2﹣2=22+32﹣2×（﹣3)=19，
∴|｜=，即AC边上的中线BD的长为…12分
19．在平面直角坐标系xoy中，已知点F(0，1),直线l：y=﹣1，P为平面上的动点，且过点P作直线l的垂线,垂足为Q，满足：．(Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程;
（Ⅱ）在轨迹C上求一点M,使得M到直线y=x﹣3的距离最短,并求出最短距离．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】(Ⅰ）设P(x，y），则Q(x,﹣1），F（0，1)，由．根据向量数量积的坐标运算，即可求得动点P的轨迹C的方程;（Ⅱ）法一：设,利用点到直线的距离公式
,由二次函数的性质可知:，求得M
（2，1）；
法二：当与直线y=x﹣3平行，且与曲线相切时的切点与与直线y=x ﹣3的距离最短将直线方程代入抛物线方程，则△=0，即可求得m 和x值，即可取得M到直线y=x﹣3的距离最短；
当与直线y=x﹣3平行，且与曲线相切时的切点与与直线y=x﹣3的
距离最短．设切点为，求导，求得切线斜率为，即可求
得，M点坐标，根据点到直线的距离公式即可求得，M到直线y=x ﹣3的距离最短．
【解答】解：（Ⅰ)设P（x，y)，则Q（x，﹣1），F（0,1），∴，,…
．
∴2（y+1）=x2﹣2（y﹣1），化简得:x2=4y，
所求轨迹为：x2=4y…
(Ⅱ)法一：设，则M到直线y=x﹣3的距离为
，
∴，
此时M（2，1)为所求．…
法二:当与直线y=x﹣3平行,且与曲线相切时的切点与与直线y=x﹣3的距离最短．
设该直线方程为y=x+m，…
∴，
解得:m=﹣1，x=2，
∴M（2,1）到直线y=x﹣3的距离最短,最短距离为．…
法三：当与直线y=x﹣3平行，且与曲线相切时的切点与与直线y=x ﹣3的距离最短．
设切点为，
轨迹方程可化为：，切线斜率为，
∴x0=2，
则M到直线y=x﹣3的距离为=，
则M到直线y=x﹣3的距离的最小值为，此时M（2，1）．
20．已知函数f（x）=（t+1)lnx+tx2+3t，t∈R．
（1）若t=0，求证：当x≥0时,f(x+1）≥x﹣x2；
（2）若f（x）≥4x对任意x∈［1，+∞）恒成立，求t的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性．
【分析】(1)求出函数f（x）的解析式，问题转化为证明ln(x+1）≥x﹣x2；令g（x）=ln（x+1)﹣x+x2，(x≥0）；根据函数的单调性证明即可；
（2)问题转化为（t+1)lnx+tx2+3t﹣4x≥0,令φ(x)=(t+1）lnx+tx2+3t﹣4x，根据函数的单调性求出t的范围即可．
【解答】解：(1）证明：t=0时，f（x)=lnx,f（x+1）=ln（x+1），
即证ln（x+1）≥x﹣x2；
令g（x）=ln（x+1）﹣x+x2，（x≥0);
则g′（x）=＞0，
∴g（x）在（0，+∞）递增,
∴g（x）≥g（0）=0，
即l（x+1)≥x﹣x2；
(2）由f（x)≥4x⇒（t+1）lnx+tx2+3t﹣4x≥0，
令φ（x）=(t+1）lnx+tx2+3t﹣4x,
首先由φ（1）≥0⇒t≥1，
此时φ′（x）=，
令h（x）=2tx2﹣4x+t+1,
∵t≥1，∴△=16﹣8t(t+1）＜0，
∴h（x）＞0恒成立，
即φ′(x）＞0，φ(x）在［1，+∞）递增，
故φ（x）≥φ(1）=4t﹣4≥0，
综上，t≥1．
21．设椭圆C1：的左、右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C2：y=x2﹣1与y轴的交点为B,且经过F1，F2点．
（Ⅰ)求椭圆C1的方程；
（Ⅱ)设M(0,），N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点，求△MPQ面积的最大值．
【考点】圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程．
【分析】(Ⅰ）抛物线C2：y=x2﹣1与y轴的交点为B，且经过F1，F2点．求出B，F1，F2点的坐标，即可求出椭圆的半长轴与半焦距，再求出a写出椭圆方程．
(Ⅱ）设N（t,t2﹣1），表示出过点N的抛物线的切线方程，与椭圆的方程联立,利用弦长公式表示出线段PQ的长度，再求出点M到直线PQ的距离为d，表示出△MPQ面积，由于其是参数t的函数，利用函数的知识求出其最值即可得到，△MPQ的面积的最大值【解答】解：（Ⅰ）由题意可知B(0,﹣1)，则A（0，﹣2），故b=2．令y=0得x2﹣1=0即x=±1,则F1(﹣1,0)，F2(1,0），故c=1．
所以a2=b2+c2=5．于是椭圆C1的方程为：．
（Ⅱ)设N（t，t2﹣1），由于y’=2x知直线PQ的方程为：y﹣（t2﹣1）=2t（x﹣t）．即y=2tx﹣t2﹣1．
代入椭圆方程整理得：4（1+5t2）x2﹣20t（t2+1）x+5（t2+1）2﹣20=0，△=400t2（t2+1）2﹣80（1+5t2）[（t2+1)2﹣4]=80（﹣t4+18t2+3），，，
故=．
设点M到直线PQ的距离为d，则．
所以，△MPQ的面积S====
当t=±3时取到“=”，经检验此时△＞0，满足题意．
综上可知，△MPQ的面积的最大值为．
22．数列｛a n}各项均为正数，且对任意n∈N*，满足a n+1=a n+ca n2（c＞0且为常数）．
（Ⅰ）若a1，2a2，3a3依次成等比数列，求a1的值（用常数c表示）；(Ⅱ）设b n=，S n是数列｛b n}的前n项和，
（i）求证:;
（ii）求证：S n＜S n+1＜．
【考点】数列递推式；数列的求和．
【分析】（I）对任意n∈N*，满足a n+1=a n+ca n2（c＞0且为常数)．可得a2=．a3=．根据a1，2a2，3a3依次成等比数列，可得=a1•3a3，a2＞0，代入化为4a2=3a1（1+ca2）．再代入化简解出即可得出．
（II）（i）由a n+1=a n+ca n2（c＞0且为常数），a n＞0．代入﹣=﹣．化简整理即可证明．
（ii）由（i）可得：﹣=﹣．b n==，利用“累加求和“方法可得S n，再利用单调性即可证明．
【解答】(I）解：对任意n∈N*，满足a n+1=a n+ca n2（c＞0且为常数）．∴a2=．a3=．
∵a1，2a2，3a3依次成等比数列，∴=a1•3a3，∴=a1•3（）,a2＞0，化为4a2=3a1（1+ca2)．
∴4()=3a1[1+c（）］，a1＞0，化为：3c2x2﹣cx﹣1=0，解得x=．
（II)证明:（i)由a n+1=a n+ca n2(c＞0且为常数），a n＞0．
∴﹣=﹣==﹣．即﹣=﹣．（ii）由（i）可得：﹣=﹣．
∴b n==，
∴S n=+…+=．
由a n+1=a n+ca n2＞a n＞0，可得﹣．
∴S n＜=S n+1＜．
∴S n＜S n+1＜．
2017年4月27日。