2021-2022年高三上学期期末等级考质量调研(一模)数学试题

2021-2022年高三上学期期末等级考质量调研（一模）数学试题
考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．
2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．
一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。

考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．
1、若“”，则“”是________命题．（填：真、假）
2、已知，，若，则的取值范围是________．
3、（为虚数单位），则________．
4、若中，，，则面积的最大值是_________．
5、若函数的反函数的图像过点，则________．
6、过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是，则该截
面的面积是__________．
7、抛掷一枚均匀的骰子（刻有1、2、3、4、5、6）三次，得到的数字依次记作a、b、
c，则（为虚数单位）是方程的根的概率是___________．
8、设常数，展开式中的系数为4，则_______．
9、已知直线经过点且方向向量为，则原点到直线的距离为__________．
10、若双曲线的一条渐近线为，且双曲线与抛物线的准线仅有一个公共点，则此双曲线的标准方程
为_________．
11、平面直角坐标系中，给出点，，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围是___________．
12、函数是最小正周期为4的偶函数，且在时，，若
存在满足，且()()()()1223f x f x f x f x -+-+
，则最小值为__________．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的
相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 13、若与都是非零向量，则“”是“”的
(
)
(A) 充分但非必要条件 (B) 必要但非充分条件 (C) 充要条件
(D) 既非充分也非必要条件
14、行列式147
258369
中，元素7的代数余子式的值为
(
)
(A)
(B)
(C) 3
(D) 12
15、一个公司有8名员工，其中6位员工的月工资分别为，，， ，，，另两位员工数据不清楚。

那么8位员工月工资的中位数 不可能是 (
)
(A)
(B)
(C)
(D)
16、若直线通过点，则下列不等式正确的是 (
)
(A) (B) (C) (D)
三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内
写出必要的步骤 .
17、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.
如图，某柱体实心铜质零件的截面边界是长度为55毫米线段和88毫米的线段以及圆心为，半径为的一段圆弧构成，其中． （1）求半径的长度；
（2）现知该零件的厚度为3毫米，试求该零件的重量（每1个立方厘米铜重克，按四舍五入精确到克）．()
l 2
l 1
N
M
C
B
A
18、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.
如图所示，、是互相垂直的异面直线，是它们的公垂线段。

点、在上，且位于点的两侧，在上，． （1）求证：异面直线与垂直；
（2）若四面体的体积，求异面直线、之间的距离．
19、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分
如图所示，椭圆C：，左右焦点分别记作、，过、分别作直线、交椭圆于、，且⫽．
（1）当直线的斜率与直线的斜率都存在时，求证：为定值；
（2）求四边形面积的最大值．
20、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
数列，定义为数列的一阶差分数列，其中，．
（1）若，试判断是否是等差数列，并说明理由；
（2）若，，求数列的通项公式；
（3）对（2）中的数列，是否存在等差数列，使得1212n
n n n n n b C b C b C a ++
+=
对一切都成立，若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．
21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
对于函数（），若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”． （1）求证：对任意正常数，都不是“同比不减函数”； （2）若函数是“同比不减函数”，求的取值范围；
（3）是否存在正常数，使得函数为“同比不减函数”，若存在，求的取值范围；若不存在，请
说明理由．
l 2
l 1
N
M
C
B
A
数学评分参考
一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。

考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果
1、真
2、
3、5
4、1
5、
6、
7、
8、
9、1 10、 11、 12、1513
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的
相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 13、(C) 14、(B) 15、(D) 16、(D)
三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内
写出必要的步骤 .
17、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分 解：
(1)77BC = （2分）
所以55sin 60sin 77BCA ︒∠==
（4分） 所以 （6分）
所以sin 49sin BC
PC PB BCP BPC
==⋅∠=∠ （8分）
(2) 2115539sin 6049(22S π=
⋅⋅⋅︒+⋅⋅-（10分） （12分）
所以重量为0.330.989658.982.74282.7⋅⋅=≈克 （14分）
18、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.
解：（1）因为，， 所以 （2分） 因为，所以 （4分）
又因为，根据平面几何知识，知 所以（6分）
因为，所以（8分）
（2）MN 就是异面直线、之间的距离（10分） 设
所以3111
((2)9323
ABCN V d d d d =⋅⋅==（12分）
所以，即异面直线、之间的距离为3 （14分）
19、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分
证明：（1）设，，
根据对称性，有
因为，都在椭圆C 上 所以， （2分） 二式相减，
所以22
212121122221212114
y y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅==--+-为定值（4分）
（2）（Ⅰ）当的倾角为时，与重合，舍（6分）
（Ⅱ）当的倾角不为时，由对称性得四边形为平行四边形
设直线的方程为 代入，得 （8分） 显然，，
所以121||2OAB
S y y =-=△（10分） 设，所以，，
所以2
2221119(4)6912
6m t m t t t t
+==+++++≤
（12分） 当且仅当即时等号成立。

所以，
所以平行四边形面积的最大值为max max ()4()4ABCD OAB S S =⋅=△，（14分）
20、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
解：（1）
（2分）
所以是等差数列 （4分） （2）
（6分）
猜测： （8分） 证明：（数学归纳法）
Ⅰ 时 成立 Ⅱ 假设成立，即 那么时 ， 时也成立
综合ⅠⅡ对任意都成立 （10分） （3）时，
时， （12分）
若存在等差数列，使得121122n
n n
n n n b C b C b C n -+++=⋅对一切都成立
只能（14分） 下证符合要求
123
123n n n n n C C C nC +++
+ ()012
1
1111n n n n n n C C C C -----=+++
+ （16分）
得证
21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
证明：（1）任取正常数T ，存在，所以，（2分） 因为200()()(0)()f x f T T f f x T =-=>=+， 即不恒成立
所以不是“T 同比不减函数” （4分） （2）因为函数是“同比不减函数”
所以恒成立，即()sin()sin 22
k x x kx x ππ
+++≥+恒成立（6分）
)
2(sin cos )4x x x k π
ππ
--≥=
对一切成立 （8分）
所以max
)
4x k πππ⎛
⎫- ⎪≥= ⎪ ⎪
⎝⎭ （10分） （3）设函数是“T 同比不减函数”
2 (1)() (11)2 (1)x x f x x x x x -≥⎧⎪
=--<<⎨⎪+≤-⎩
当时，因为(1)(1)1(3)f T f f -+≥-==成立，
所以，所以 （13分） 而另一方面，若， （Ⅰ）当时，
()()|1||1|(2)f x T f x x T x T x T x +-=+++--++-+ |1||1|2T x T x T =++--++-
因为 |1||1| |(1)(1)|2x T x T x T x T +--++≥-+--++=- 所以 ()()220f x T f x T +-≥--≥，所以有成立（15分） （Ⅱ）当时，
()()2(|1||1|)f x T f x x T x x x +-=+--+--+
因为 |1||1| |(1)(1)|2x x x x +--≥-+--=- 所以 ()()220f x T f x T +-≥--≥ 即 成立 （17分） 综上，恒有有成立
所以T 的取值范围是 （18分）
W28672 7000 瀀30012 753C 甼21166 52AE 劮36263 8DA7 趧 F25993 6589 斉}38326 95B6 閶26440 6748 杈W[H。