数学广角《植树问题》
《植树问题》数学广角
随着人们对自然界的认识越来越深入，植树问题的理论体系也将不断完善和发 展，如引入新的数学工具和方法，解决更复杂的问题等。
应用领域的拓展
随着社会经济的发展和城市化进程的加速，植树问题的应用领域也将不断拓展 ，如与生态修复、环境保护等领域的结合，为解决全球性的环境问题提供新的 思路和方法。
04
CATALOGUE
非线性植树问题
定义与模型建立
定义
非线性植树问题是指树苗之间的间距不完全 相等，需要用非线性数学模型进行描述的问 题。
模型建立
对于非线性植树问题，通常需要建立非线性 方程或方程组来描述树苗之间的距离关系。
求解方法括迭代法、解析法、数值模拟法等。
分类讨论思想
总结词
分类讨论思想是将整体划分为部分，并对每个部分进行 讨论的思想方法。
详细描述
在植树问题中，分类讨论思想是将整个植树问题划分为 不同的部分，例如根据树的排列方式、间隔距离等因素 进行分类。通过对每个部分进行讨论，可以全面地考虑 植树问题的各种情况，从而更全面地解决问题。分类讨 论思想在植树问题中具有非常重要的作用，可以帮助我 们更加清晰地认识问题和解决问题。
公式
若在直线上的特定点上植第一棵树，则该点左边的树的数量为(m-1)，右边的树 的数量为n-(m-1)。
实例解析
实例
在长为100米的直线上等距离种植4棵树，相邻两棵树之间的距离为10米。若在 25米处植第一棵树，求在该点左边和右边的树的数量。
解析
在该点左边的树的数量为(25-1)/10=2，右边的树的数量为4-(25-1)/10=1。因 此，在该点左边有2棵树，右边有1棵树。
06
CATALOGUE
植树问题的拓展与延伸
数学广角《植树问题》
一边栽树，两端要栽。
植树棵数
13 29 130 36 2008
间隔数
12 28 129 35 2007
例1 同学们在全长100米的小路 一边植树，每隔5米栽一棵（两端 要栽）。一共需要栽多少棵树苗？
5米
100÷5＝20（段） 100米
20＋1＝21（棵）
答：一共需要栽21棵树苗。
跑道上插了（ 7 ）面旗，如果每两面之 间摆一盆花，一共要摆（ 6 ）盆花。
4米 4米 4米 4米 4米 4米 4米
路边有一行树，共（ 8 ）棵，有（ 7 ） 个间隔，由此可以得出，植树棵数比间隔 数（ 多1 ），第一棵到第八棵树之间共有 （ 28 ）米。
在全长200米的小路一边植树， 每隔8米栽一棵（两端要栽）。一 共需要栽多少棵树苗？
在沿河路的一边，设有16个节能路 灯（两端都设）,相邻两根的距离平均是 60米，这条路大约有多远？
执教人:李燕兰
三种常见植树情况：（等距离栽）
两端要栽 一端要栽 两端都不栽
沿着小路的一边栽树，两端
5
20米
每相邻两棵树之间的距离，叫间隔或间距。
间隔数是几？几棵树？
间隔数是几？几棵树？
一 植树棵数
边 栽
5
树
6
，
7
两 端 要
8 …
栽
10
。
100
间隔数
4 5 6
7 …
9 99
（16－1）×60＝900（米）
答：这条路大约有900米。
BACK
• 起点至第一栏的距离为14米， • 共有10个栏，每两个栏之间距离为9米, • 最后一栏至终点的距离是15米 • 你们知道从起点到终点共有多少米吗？
数学广角—植树问题
数学广角——植树问题一、教材分析“植树问题”主要是渗透有关植树问题的一些思想方法，通过现实生活中一些常见的实际问题，借助线段图等手段让学生从中发现一些规律，抽取出其中的数学模型，然后再用发现的规律来解决生活中的简单实际问题。
植树问题通常是指沿着一定的路线植树,这条路线的总长度被树平均分成若干段(间隔),由于路线的不同、植树要求的不同,路线被分成的段数(间隔数)和植树的棵数之间的关系也就不同。
在现实生活中类似的问题还有很多,比如公路两旁安装路灯、花坛摆花、锯木头、架设电线杆,等等,这些问题中都隐藏着总数和间隔数之间的关系教材将“植树问题”分为三个层次：在一条线段上植树（两端都栽）、在一条线段上植树（两端都不栽）、在一条首尾相接的封闭曲线上植树。
例1：在一条线段上植树（两端都栽）。
主要是让学生在解决这个问题的过程中发现规律,找到解决问题的有效方法,经历解决问题的过程。
教材从具体到抽象,从特殊到一般,呈现分析、思考、解决问题的全过程。
教材先由一个男孩说出容易出错的想法“每隔5m栽一棵,共栽100÷5=20（棵）”，接着由“对吗?检验一下”引出解决问题常用的方法——从简单的情况入手解决复杂的问题,渗透简单的化归思想。
然后,呈现同学们用示意图和线段图分析问题的过程。
通过画图先解决20m和25m的植树情况,并从中发现它们共同的规律:栽树的棵树比间隔数多1,接下来应用所发现的规律猜想30m和35m的植树情况,并加以验证。
最后，引导学生概括出一条线段两端栽树的植树问题的一般规律，并据此解决数据更大的问题。
例2：在一条线段上植树（两端都不栽）。
教材继续通过画线段图的方法帮助学生分析、理解，找出一般规律来解决例题提出的问题。
已文字配情境图的方式呈现问题，以帮助学生理解题意。
由于有了前面探索的经验，学生自然会想到借助线段图来分析，所以教材呈现了3位同学的分析和思考过程，引导学生继续画线段图进行分析，从而发现当两端都不栽数时，植树的棵树比间隔数少1，然后利用发现的规律解决例题的问题。
数学广角——,植树问题整理与复习
数学广角——植树问题整理与复习整理：刘新民一、基础知识整理植树问题的基本数量关系：棵距×间隔数=总距离。
一般分两种情况：（一）、在一条线段上一边植树，有三种情况：1、两端都植的解题方法：棵数=间隔数+1（开头的树）；棵距=总距离÷（棵数-1）；总距离=棵距×（棵数-1）；总距离÷棵距=间隔数2、一端植，另一端不植的解题方法：棵数=间隔数；总距离÷棵距=间隔数；总距离=间隔数×棵距3、两断都不植的解题方法：棵数=间隔数-1（末尾的树）；总距离=棵距×（棵数+1）；棵距=总距离÷（棵数+1）；总距离÷棵距=间隔数解决植树问题的关键要弄清以下两点：1、是否两旁都要植树，如果两边都植树还要乘2。
2、理清棵数与间隔数之间的关系。
（二）、在封闭图形上植树也有两种情况：1、在曲线图形上植树的解题方法：棵数=间隔数；总距离÷棵距=间隔数；总距离=间隔数×棵数2、在多边形上植树的解题方法：棵数=每边上的树×边数-顶点数注意：在封闭图形上植树相当与在一条线段上植树中一端植一端不植的情况。
二、例题讲解：例1：在一条100米的跑道的一侧从头到尾每隔5ｍ插一面红旗，一共需要准备多少面红旗？分析与解答：这道题属于在一条线段一边植树两端都植的问题，所以红旗的面数=间隔数+1，关键求出间隔数，由于间隔数=总距离÷棵距=100÷5=20（个），那么一共需要准备的红旗数=20+1=21（面）例2：某市政公司要在一条公路两旁等距离安装路灯（两端都不安装），每两盏路灯相隔25ｍ，一共装了40盏灯。
这条路长多少米？分析与解答：解答这道题应先求出每边装的路灯数，即每边装了40÷2=20（盏），又由于两端不装，那么间隔数应该比路灯数多1，即间隔数=20+1=21（个），再根据“总距离=间隔数×棵距”来算出这条路长，所以这条路长=25×21=525（ｍ）例3：南门幼儿园要在长88ｍ，宽40ｍ的长方形的操场四周栽树，要求四角各栽一棵，并且每相邻两棵树的距离是4ｍ。
人教版小学五年级上册数学课件 《植树问题》数学广角PPT
答：这条马路一共多16 长 164米。
类型三：两端都不 栽
复习训练三：两端都不栽
总距离÷株距=间隔数
棵树＝间隔数-1
17
两端都不栽
1 、 甲、乙两地相距80千米，每隔4千米设 一个站牌，甲、乙两地之间（甲、乙两地 除外）一共设有多少个站牌?
18
两端都不栽
1 、 甲、乙两地相距80千米，每隔4千米设 一个站牌，甲、乙两地之间（甲、乙两地 除外）一共设有多少个站牌?
11
两端都植树
4 、 把65棵树栽在一条长640米的水渠一侧 ，两端都栽。每相邻两棵树之间的距离是 多少米？
640÷（65-1）=640÷64=10 （米）
答：每相邻两棵树之间的距离
是10米。
12
两端都植树
练习1∶ 1.在一条马路一边从头至尾植树36棵，每相邻 两棵树之间隔8米，这长马路有多长?
1100÷5=220(棵)
答：一共要种220棵柳 树
22
封闭图形植树
2 、 一个三角形花坛的每边上各摆六盆花， 至少需要摆几盆花
23
封闭图形植树
2 、 一个三角形花坛的每边上各摆六盆花， 至少需要摆几盆花
（6-2）×3+3=15（盆） 答：至少需要摆15盆花
24
封闭图形植树
3 、 学校举行方阵队列表演，五一班同学排 成七行七列去掉。如果去掉一行一列，要 去掉多少人？还剩多少人？
80÷4-1=19（个）
答：一共设有19个站 牌
Байду номын сангаас19
类型四：封闭图形 植树
复习训练四：封闭图形植树
总距离÷株距=间隔数
棵树＝间隔数
20
封闭图形植树
数学广角——植树问题
数学广角——植树问题教学设计教学目标1.了解植树问题的起源和背景2.掌握数学求解植树问题的方法与技巧3.学会通过植树问题的解法，思考提高资源利用率的方法教学内容第一部分：植树问题的起源和背景这一部分旨在介绍植树问题的由来和背景，让学生了解到为什么需要解决植树问题以及为什么植树问题对于现代化建设有着重要的意义。
具体来说，我将通过以下内容展开讲解：•植树问题的初形•第一个植树问题•植树问题的重要性及意义第二部分：数学求解植树问题的方法与技巧这一部分以循序渐进的方式，详细介绍数学求解植树问题的方法和技巧，让学生能够掌握相关的知识点和技巧。
具体来说，我将通过以下内容展开讲解：•植树问题的数学模型•基础解法-最小二乘法•进阶解法-费马点•综合运用-改进算法第三部分：思考提高资源利用率的方法这一部分旨在让学生通过植树问题的解法，思考如何提高资源利用率。
具体来说，我将向学生展示：•油田开采中的资源利用率问题•能源开发中的地球物理勘探问题•精准农业中的作物种植问题教学方法本课程将采用多种教学方法，包括灵活多样的授课模式和基于实践的教学运用。
具体来说，•讲授植树问题和相关数学知识。
•群体讨论各种解决方法和不同的局限。
•实践案例学习和展示。
•探索和解决挑战奖。
评估和反馈为了提高学生的学习效果，我们将实施以下措施：1.《植树问题》测验测试学生对于植树问题知识的掌握程度。
2.以小组形式完成的实际案例研究和解决方案的展示，学生可以得到即时的反馈和指导。
3.个人清单记录学生的思考和进步教学质量保障为保障教学质量，我们将采用以下措施：1.本项目考虑每个阶段的教学评估。
2.团队成员之间互相监督。
3.如果有教学反馈，我们将尽我们的努力及时纠正和调整相关的教学计划。
结束语植树问题虽然只是一道数学题目，但它对于我们日常生产和生活中耗费资源的问题具有重要的参考意义。
希望本课程能够帮助学生掌握处理资源紧张和资源利用问题的方法和技巧。
第七单元数学广角-《植树问题》教案
3.培养应用意识：将数学知识应用于生活实际，解决植树问题，增强学生对数学知识在实际生活中的应用意识；
4.发展合作交流能力：鼓励学生在小组内开展讨论，共同解决问题，提高合作交流能力；
5.培养创新意识：鼓励学生从不同角度思考问题，寻求多样化解决方案，激发创新思维。核心素养目标的实现将有助于学生形成数学学科的核心素养，为今后的学习和生活打下坚实基础。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调封闭线路和不封闭线路上的植树规律这两个重点。对于难点部分，比如圆周上植树的问题，我会通过教具演示和图解来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与植树问题相关的实际问题，如学校操场的四周植树等。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如在教室内模拟植树，这个操作将演示植树的基本原理。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了植树问题的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对植树问题的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-解决方法：通过实际案例分析和图示，帮助学生理解端点植树对总数的影响；
（3）实际问题中的变量调整，如间隔距离和植树数量之间的关系；
-难点：如何根据实际情况调整间隔距离，以适应不同植树需求；
-解决方法：设计具有挑战性的实际问题，让学生在讨论和实践中掌握调整方法。
《数学广角——植树问题》教案
《数学广角——植树问题》教案
一、教材分析
本单元主要向学生渗透有关植树问题的一些思想方法。
教科书以学生比较熟悉的植树活动为线索，让学生选用自己喜欢的方法来探究植树的棵数和间隔数之间的关系，经历猜想、实验、推理的探索过程，启发学生透过现象发现其中的规律，再利用规律回归生活解决生活实际问题。
二、学情分析
由于学生初次接触植树问题，这部分的学习内容学生一定会很感兴趣，学习的热情也会比较高涨。
但根据以往的教学经验，这部分内容对学生来说，是不容易理解和掌握的。
学生已经掌握了关于线段的相关知识，也具备了一定的生活经验和分析思考能力与计算能力，因此为了让学生能更好地理解本单元的教学内容，在教学过程中对教科书内容进行适当调整，并充分利用学生原有的知识和生活经验来组织学生开展各个环节的数学活动。
三、教学目标
1 知识与能力
1.利用学生熟悉的生活情境，通过探索让学生进一步从实际问题中发现间隔数与植树棵数之间的规律，培养应用规律解决问题的能力。
2.通过小组合作观察、探索、交流的实践活动发现间隔数与植树棵数之间的关系，经历和体验“复杂问题简单化”的解题过程。
2 情感态度价值观
能够借助图形，利用规律来解决实际生活中简单的植树问题。
培养学生在解决实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力。
2020小学五年级上册数学《数学广角——植树问题》知识点及练习题
2020小学五年级上册数学《数学广角——植树问题》知识点及练习题知识点1、方法：化大为小或化繁为简，画图，列表，再总结应用2、植树问题：（1）、两端要栽：间隔数＝总长÷间距；总长＝间距×间隔数；棵数＝间隔数＋1；间隔数＝棵数－1（类似问题有：竖电线杆，两端插旗......）（2）、两端不栽：间隔数＝总长÷间距；总长＝间距×间隔数；棵数＝间隔数－1；间隔数＝棵数＋1（类似问题有：锯木头，剪铁丝......）（3）、一端栽一端不栽：间隔数＝总长÷间距；总长＝间距×间隔数；棵数＝间隔数；间隔数＝棵数（类似问题有：敲钟听声，上楼时间.....）3、锯木问题：段数＝次数＋1；次数＝段数－1总时间＝每次时间×次数4、方阵问题：最外层的数目是：边长×4—4或者是（边长－1）×4；单边边长=(最外层数目+4)÷4整个方阵的总数目是：边长×边长5、封闭的图形（例如围成一个圆形、椭圆形）：总长÷间距＝间隔数；棵数＝间隔数。
6、过桥问题总长=车身长+车间距×车间隔数+桥（路长）速度=总长÷时间7、出租车计费（信件邮资、洗照片）等问题。
计算时分成两部分。
(1)标准部分。
已经知道总价的，不再计算，不知道总价需计算。
（2）超出部分。
超出数量×超出单价。
最后相加。
练习题1．在椭圆形鱼塘周围栽树，鱼塘的周长是1000m，如果每隔50m栽1棵，一共要栽多少棵树？1000÷50＝20(棵)答：一共要栽20棵。
2．学校里有一个正方形的花坛，边长为50m，现在要在花坛四周栽树，四个角都要栽，每相邻两棵树之间的间隔是5m。
一共要栽多少棵树？50×4÷5＝40(棵)答:一共要栽40棵。
3．建筑工程队要盖一栋楼，需要在长150m、宽60m的地基上打桩。
四个角都要打桩，每隔2.5m打一根桩。
第7讲数学广角-植树问题(学生版)(知识梳理典例分析举一反三巩固提升)人教版
第7讲数学广角-植树问题知识点一：两端都栽的植树问题1.植树问题基本解决思路：间隔数=总长÷间隔距离。
2.两端都栽：棵数=间隔数＋1。
知识点二：两端都不栽的植树问题两端不栽：棵数=间隔数－1。
知识点三：封闭图形的植树问题在一条首尾相接的封闭曲线上植树，所需棵数与间隔数“一一对应”，相当于线段上一端栽一端不栽的情况。
一端栽一端不栽：棵数=间隔数。
考点一：植树问题【例1】一根绳子长18米，每3米剪成一段，需要剪几次？（1）求这根绳子一共可以剪几段。
（2）画图表示这根绳子被剪成的段数。
从图中可知，需要剪次。
1.在一个正方形的花坛的四周摆放16盆花，怎样摆放可以使每边摆放的花盆数都是5盆？（4分）（1）请画出示意图。
（用O表示花盆）（2）已知花坛的边长是2.4米，平均每盆花之间的距离是多少米？2.史冬鹏是我国著名的男子110米栏运动员，多次代表中国参加奥运会等重要体育赛事。
下面是男子110米栏赛道的示意图。
问：每两栏之间的距离是多少米？3.公路旁每隔2.5米栽一棵树，丽丽从第1棵树跑到第40棵树，妈妈说丽丽跑了100米，丽丽说没有100米。
你认为谁说的对？请说明你的理由。
一．选择题（共5小题）1．小区花园是一个长50米，宽40米的长方形，现在要在花园的四周栽树，四个角都要栽，每相邻两棵间隔5米。
一共要栽（）棵树。
A．18B．36C．37D．402．同学们围着圆桌吃午饭。
每张圆桌的周长是3米，如果每隔50厘米坐一人，一张圆桌一共可以坐（）人。
A．7B．5C．63．在一条环形跑道上，等距离插着8面红旗，这条跑道被平均分成（）段。
A．8B．7C．94．锯一根木头，锯一次需要n分钟，把这根木头锯成7段，需要用（）分钟。
A．7n B．6n C．8n5．在300米长的道路一边种树（两端都种），每20米一棵，一共要种（）棵。
A．15B．16C．17二．填空题（共5小题）6．把6米长的木料锯成每2米一段的短木料，每锯一段需要15分钟，这根木料全部锯完需要分钟。
数学广角：植树问题
⼀、知识提炼⽅法4、沿着正⽅形的四条边植树，每两棵树之间的距离相等，如果已知每边植树的棵树，求四周⼀共植树的棵树时，可⽤（每边植树棵树—1）×4，求出植树总棵树。
例4 ⼩明⽤棋⼦围成了⼀个空⼼的正⽅形，每边有16颗棋⼦，并且正⽅形四个顶点上都有⼀颗。
⼩明围这个正⽅形共⽤了多少颗棋⼦？巩固练习在⼀个正⽅形池塘四周种树，每条边上都种有13棵，并且正⽅形的四个顶点上都有⼀颗。
这个正⽅形池塘的周围⼀共种了多少棵树？三、提⾼拓展在实际⽣活中，有⼀些类似于植树问题的问题，如上楼梯、锯⽊料等，可按照“植树问题”的⽅法去解决问题。
例⼩红从1楼⾛到4楼⽤了120秒。
照这样计算，⼩红从1楼⾛到8楼共⽤多少秒？巩固练习⽤15秒可以将⼀根⽊料锯成4段。
如果⽤同样的速度将这根⽊料锯成8段，要⽤多少秒钟？课后测试1．学校有⼀条长60⽶的⼩道，计划在道路⼀旁栽树，每隔3⽶栽⼀棵，有（）个间隔。
如果两端都各栽⼀棵树，那么共需（）棵树苗；如果两端都不栽树，那么共需（）棵树苗；如果只有⼀端栽树，那么共需（）棵树苗。
2．把10根橡⽪筋连接成⼀个圈，需要打（）个结。
3．在⼀个正⽅形的每条边上摆4枚棋⼦，四条边上最多能摆（）枚，最少能摆（）枚。
4．⾖⾖和玲玲同住⼀幢楼，每层楼之间有20 级台阶，⾖⾖住⼆楼，玲玲住五楼。
⾖⾖要从⾃⼰家到玲玲家去找她玩，需要⾛（）级台阶。
5．如下图，每两块正⽅形瓷砖中间贴⼀块长⽅形彩砖。
像这样⼀共贴了50块长⽅形彩砖，那么正⽅形瓷砖有（）块（第⼀块和最后⼀块都是正⽅形瓷砖）。
6．15个同学在操场上围成⼀个圆圈做游戏，每相邻两个同学之间的距离都是2 m，这个圆圈的周长是（）m。
7．⼀座楼房每上⼀层要⾛18级台阶，王芳回家共上了108级台阶，她家住在（）楼。
8．⼩东把⼀些5⾓的硬币平均排列在⼀张正⽅形纸的周边，每边的硬币数相等，这些硬币的总⾯值是12元。
每边最多能放（）枚硬币。
⼆）、选择1．7路公共汽车⾏驶路线全长8千⽶，每相邻两站的距离是1千⽶。
五年级数学上册《数学广角-植树问题》必考题型
12×4－4＝44(个) 44－8＝36(个)36－8＝28(个) 28－8＝20(个)44＋36＋28＋20＝128(个)答：这个方阵一共有128个玩具小人。
2.建筑工程队要盖一栋楼，需要在长120 m、宽60 m的长方形地基的四周打桩，四个角上都要打，每隔3 m打一根桩，这栋楼地基的四周要打多少根桩？(120＋60)×2÷3＝120(根)答：这栋楼地基的四周要打120根桩。
3.滨海公园内一条林荫大道全长600米，在它的一侧从头到尾每隔50米放一个垃圾桶，一共需要多少个垃圾桶？600÷50＋1＝13(个)答：一共需要13个垃圾桶。
4.(变式题)学校雕塑底座是一圆形花坛，花坛的周长是80米，在花坛周围等距离放上玉兰花，一共放了32盆，每相邻两盆玉兰花的距离是多少米？80÷32＝2.5(米)答：每相邻两盆玉兰花的距离是2.5米。
5.小丽家住12楼，有一天电梯坏了，她从1楼走到5楼用了200秒，如果她用同样的速度走到自己家所在的楼层，还需要多长时间？200÷(5－1)×(12－5)＝350(秒)答：还需要350秒。
6.(变式题)学校召开运动会，同学们在一条笔直的跑道一旁每隔5米插一面小旗，从起点到终点，一共插了25面。
如果改为每隔6米插一面，会多出多少面小旗？25－[(25－1)×5÷6＋1]＝4(面)答：会多出4面小旗。
7.庆祝元旦的会场前摆设了一个正方形的鲜花方阵，最外层每边摆12盆黄花，其余部分都是红花，黄花一共有多少盆？红花一共有多少盆？12×4－4＝44(盆)(12－2)×(12－2)＝100(盆)答：黄花一共有44盆，红花一共有100盆。
8.(变式题)园林队在一段公路的一旁栽种了37棵树，每相邻两棵树间隔5米。
现要改为每相邻两棵树间隔4米(两端的树不动)，需要补种多少棵？有多少棵树不需要移动？(37－1)×5÷4＋1－37＝9(棵)4，5的最小公倍数为20，(37－1)×5÷20＝9(棵)9＋1＝10(棵)答：需要补种9棵，有10棵树不需要移动。
五年级数学广角植树问题
五年级数学广角植树问题
一、直线植树
1. 定义：在一条直线上等距离植树。
2. 公式：棵树=段数+1
3. 应用场景：校园绿化、街道绿化等。
二、圆形植树
1. 定义：在圆形区域等距离植树。
2. 公式：棵树=段数
3. 应用场景：公园绿化、广场绿化等。
三、方形植树
1. 定义：在方形区域等距离植树。
2. 公式：棵树=段数+1
3. 应用场景：城市绿化、小区绿化等。
四、密植问题
1. 定义：在有限的空间内尽可能多地植树。
2. 方法：采用较小间距，增加棵树。
3. 应用场景：园林设计、室内绿化等。
五、动态规划植树
1. 定义：根据不同条件和需求，动态调整植树方案。
2. 方法：采用递归或迭代算法，求解最优解。
3. 应用场景：复杂绿化规划、城市园林设计等。
人教版五年级数学上册第七章《数学广角--植树问题》考前复习卷讲解课件
二.填空题
19．2008年5月26日奥运圣火在扬州境内传递，为了美化环境，需要在每两棵绿
树之间布置花卉盆景，每个盆景需要50盆花，已知文昌中路两旁共有208棵绿树，
那么共需要 10300 盆花卉．
【分析】根据题意，可知道路两旁共有树208棵，那么一旁的棵数就是208÷2=104（棵），可以求出一旁树 与树之间的间隔数是104﹣1=103（个），根据题意可知在每两棵绿树之间布置花卉盆景，每个盆景需要50 盆花，可以求出一旁的花卉盆数，再乘上2就是文昌中路两旁共需要的花卉盆数．
=1÷8 = 答：平均锯一段所用的时间是锯完整根木条所用时间的 ． 故选：A． 【点评】解决此题关键是弄清求得是具体的数量还是分率，求具体的数量平均分的是具体的数量；求分率平 均分的是单位“1”；注意锯的次数=段数﹣1．
二.填空题
6．阳阳从1楼到3楼用了12秒，他从一楼到六楼需要 30 秒．
【分析】从1楼到3楼一共走了3﹣1=2个楼梯，用了12秒，所以走一个楼梯需要12÷2=6秒，从一楼到六楼需 要走6﹣1=5个楼梯，由此利用乘法的意义即可解答． 【解答】解：12÷（3﹣1）×（6﹣1）
故填：10300．
解答即可．
三.应用题
20．挂钟几点敲几下，敲四点时用了六秒，敲十二点时要用多少秒？
【分析】挂钟4点钟敲4下，6秒敲完，有4﹣1=3个间隔，每个间隔是6÷3=2秒，因此12点钟敲12下，有 12﹣1=11个间隔，即11×2=22秒． 【解答】解：6÷（4﹣1）×（12﹣1）
=6÷3×11 =22（秒） 答：敲十二点时要用22秒． 【点评】对于这类题目，根据敲铃的下数，可知道其间隔数，间隔数比下数少1，即可计算出敲完的时间．
=3.14×30 =94.2（米） ②94.2÷5=18.84≈18（棵） 故答案为：18． 【点评】此题考查学生对圆的周长公式的运用，以及去尾法的掌握．
《数学广角——植树问题》教案
1.理论介绍：首先，我们要了解植树问题的基本概念。植树问题是研究如何在直线、环形、封闭图形上均匀植树的问题。它在.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何在一个环形跑道上植树，以及这个规律如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调直线、环形、封闭图形植树规律这两个重点。对于难点部分，我会通过实际例子和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与植树问题相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示在一条直线上均匀植树的原理。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对于植树问题的学习表现出很大的兴趣。他们积极参与讨论，提出了很多有创意的想法，这让我感到很高兴。通过这节课的学习，我认识到以下几点：
1.生活情境的引入对提高学生的学习兴趣非常有效。在导入新课环节，我通过提问方式引导学生思考生活中的植树问题，使他们感受到数学与生活的紧密联系，从而激发了他们的学习热情。
（2）学会运用植树问题模型解决生活中的实际问题，提高数学应用能力。
2.教学难点
（1）理解间隔数与植树棵数的关系，并能根据不同情境灵活运用。
-难点解析：学生容易混淆直线与环形植树中间隔数与植树棵数的关系，需要通过实例分析、动手操作等方式加强理解。
（2）将植树问题与实际生活中的问题相结合，构建数学模型。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了植树问题的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对植树问题的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
5年级上册 第7讲 数学广角-植树问题-学生版
人教小数学生辅导讲义[学生版] 学员姓名年 级 辅导科目学科教师上课时间第7讲 数学广角-植树问题思维导图(1)两端都种：棵数=间隔数+1(2)两端不种：棵数 = 间隔数－1(4)封闭图形:棵树 = 间隔数(3)一端种一端不种:棵数 = 间隔数知识梳理知识点一：两端都栽的植树问题植树问题基本解决思路：间隔数=总长÷间隔距离两端都栽：棵数=间隔数＋1知识点二：两端都不栽的植树问题两端不栽：棵数=间隔数－1知识点三：封闭图形的植树问题一端栽一端不栽：棵数=间隔数在一条首尾相接的封闭曲线上植树，所需棵数与间隔数“一一对应”，相当于线段上一端栽一端不栽的情况。
精讲精练考点一：两端都栽的植树问题典例分析【例1】在相距140米的两楼之间的道路两旁植树，每隔20米植1棵，共植了() A．10B．12C．14D．16举一反三1．在一条长300米的公路两边种树，每隔5米种一棵(两端都种)．一共种()棵树．A．61B．121C．1222．(黄冈期末)21路公交车的起点每5分钟就要发一辆车，40分钟共要发()辆车．A．7B．8C．93．(弥勒市期中)16个同学排队，相邻两个同学间隔1m，这个队伍长()m．A．16B．17C．15D．8考点二：两端都不栽的植树问题典例分析【例2】(高台县期中)一根木棒锯成3段需要3分钟，锯成5段需要()分钟．A．5B．6C．7举一反三1．(重庆月考)将一根木棒锯成3段需要6分钟，则将这根木棒锯成8段需要()分钟．A．16B．18C．21D．242．(武侯区模拟)一根钢管锯成5段用20分钟，每据一次所用时间相同，如果锯成8段，需要()分钟．A．18B．35C．24D．323．(萧山区模拟)时钟3点钟敲3下，6秒钟敲完；那么6点钟敲6下，()秒钟敲完．A．12B．15C．18D．21考点三：封闭图形的植树问题典例分析【例3】一个圆形钓鱼池的周长为150米，沿池边每隔7.5米放一把椅子，一共要放把椅子．举一反三1．(红安县期末)一个圆形水池的周长为150米，沿池边每隔37.5米安盏观景灯，一共要安装盏观景灯．2．(蓬溪县期末)公园有一个周长是240米的圆形水池，围绕它的一周，每隔6米种一棵柳树，一共要种棵柳树．3．(镇原县期末)小丽家门前有一条40m的小路，绿化队要在路旁栽一排树．每隔5m栽一棵树，如果两端不栽，一共要栽棵；如果一端栽，一端不栽，一共要栽棵．巩固提升一．选择题(共6小题)1．(镇康县月考)把一根木头锯成3段要6分钟，每锯一次所用时间相同，锯成5段要()分钟．A．10B．15C．122．(卢龙县期末)在长70米的跑道一侧插上8面彩旗(两端都插)，每相邻两面彩旗之间相距()米．A．10B．8C．93．(清河区校级月考)公路旁每两根电线杆之间的距离是400米，6根电线杆之间的距离是()米．A．2800B．2400C．20004．淘淘和苹苹住同一幢大楼，每两层楼之间的台阶级数相同，淘淘回到四楼的家要走60级台阶，苹苹回到七楼的家要走()级台阶．A．105B．120C．1405．(高邑县期末)小明从一楼上到三楼用了50秒，他以同样的速度接着上到6楼，还需要用()秒．A．25B．75C．1256．(郴州模拟)把一根圆木锯成3段要6分钟，每锯一次所用时间相同，把同样的圆木锯成6段要()分钟．A．12B．15C．18D．21二．填空题(共6小题)7．街心公园一条路的一旁一共栽了82棵美人蕉，如果在每两棵美人蕉中间种上一棵兰草，需要种棵兰草．8．操场上等距离放了8张课桌，把相邻的两张课桌用一段绳子连接起来，一共要准备段绳子．9．(随州期末)一根木料，如果锯成3段要用12分钟，如果每锯一次的时间相等，那么锯13段要用分钟．10．(永州期末)2019年10月1日，国庆70周年庆祝大会上鸣礼炮70响．如果每隔3.5秒鸣一发礼炮，从第一响礼炮开始到最后一响礼炮结束，一共经历了秒．11．(铜官区期末)在一条全长1km的街道两旁安装路灯(两端都要安装)，每隔50m安一盏．一共要安装盏路灯．12．(任丘市期末)在一条长2500米的公路两侧架设电线杆，每隔50米架设一根，若公路两头不架，共需根电线杆．三．判断题(共5小题)13．(杭州模拟)将一根钢管锯成5段需要12分钟，那么要锯成10段需要24分钟．(判断对错) 14．(定州市期末)把一根10米长的绳子剪成5根2米长的绳子，需要剪5次．(判断对错)15．(萧山区校级期中)小刚每上一层楼需10秒，他上到四楼要40秒．．(判断对错)16．(周村区期末)一根木头锯成5段，每锯断一次需要3分钟，锯完这根木头共需要15分钟．(判断对错)17．(昆明期末)在笔直的跑道旁插了51面彩旗(两端都插)，它们的间隔是2米，这条跑道长102米．．(判断对错)四．应用题(共8小题)18．(交城县期中)豆豆要把3.6米长的木条锯成相等的15段，已知每锯一次需要3.4分，把这根木条锯完需要多长时间？19．(仁怀市期末)工人师傅在一条笔直的公路一侧架设电线杆，相邻两根间的距离是60m，从第1根到第24根有多远？20．(高邑县期末)在一条长450米的公路两侧安装灯笼．每隔9米装一顶，若公路两头不安．共需多少顶灯笼？21．同学们做课间操，随着体育老师一声令下：“前排两臂侧平举，后排两臂前平举，向前看齐!”同学们迅速站得整整齐齐!左右两端的同学相隔28.8米，又知相邻两个同学之间都是1.8米，操场上做课间操的同学站成了多少列？22．园林工人计划在一条公路的一旁种37棵树．每相邻两棵树间隔5米．实际栽种了31棵树(两端的树不动)，实际每相邻两棵树间隔多少米？23．(衡东县期末)在一个半径为10米的圆形水池周围栽树，每隔1.57米栽一棵，一共要栽多少棵树？24．(渭滨区期末)某学校在道路的一侧栽树，每隔6米栽一棵，且两端都要栽，从起点到终点共栽了12棵树，这条道路长多少米？25．为庆祝“六一“儿童节，学校在48米长的走廊两边摆鲜花，现在从走廊的一头开始，每隔4米摆一盆鲜花，直至走廊另一头，一共要摆多少盆鲜花？。
讲课数学广角《植树问题》
3
(二) 选择题
1、16名小学生排成一列纵队，每两名小 学生之间相距1米，这列队伍长( )米。
A、17 B、16 C、15 D、14
2、校运会的运动场上，1条跑道有2条石 灰线，4条跑道有( )条石灰线。
A、8 B、7 C、6 D、5
(三) 应用题
1、位于北栋教学楼五楼的四(1)的同学们， 从教室出发经一楼来到西栋教学楼五楼的
5 4 3 1 2 3 4 52 1
多媒体教室上课。已知这两栋教学楼每层
台阶都是22级，同学们一共走了多少级台
阶？
演示
(三) 应用题
2、从石城 五中西校门门口处 ，到石城客 运站广场之间的东城大道东侧，一共有36 座路灯。经测量，其中连续6座路灯间的 距离是200米，这36座路灯间的距离是多 少米？
(三) 应用题
3、请你来当设计师 石城县有公交车了，极大地方便了人 们的出行，可一直还处于招手即停的 状态，没有固定的停靠站点呢！西华 路沟通了老县城南北两端，有路公交 车总是从南路赣江源货运站出发，向 北行驶到石城中学门口后又折回，现 在要你给该路公交车设计停靠站点。
两端都种了吗？
0米
间们：直“接20用÷除5=法4”得到的 “只是20一÷个5=什4么”能样一的数步？到植位树解的答“这棵个数” 关要在于““2两0÷端5都=4要”的栽基”础的上植加树几问？ 题
吗？
我们用一条线段来代表20米长的小路 再用几个点或短竖线来代表小树苗
棵数=间隔数+1
引例 同学们在全长20米的小路一边植 树。每隔5米栽一棵（两端要栽）。一共 需要准备多少棵树苗？
你能运2用0刚÷才5建=4立的数学模型解答 这个植树4问+题1=了5吗？也就是说，你能 列出答算：式需解要答准这个备植5树棵问树题苗了。吗？
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数学广角——《植树问题》
华中科技大学附小李伟
教学内容：
人教版新课标教材四年级下册第117页例1及相应的练习。
教学目标：
1、通过操作探究，使学生理解并掌握植树问题中植树棵数与间隔数之间的关系；
2、初步认识“化繁为简”的数学思想方法，能灵活解决植树问题；
3、培养学生探索归纳规律的意识，使学生体验到学习的成就感和喜悦感。
教学重点：
掌握植树问题的类型和规律，能灵活解决实际问题。
教学难点：
发现并归纳植树问题的规律。
教学过程：
一、创设情境
师：再过两天我们就要迎来一个快乐的节日——“六.一儿童节”，这是全世界少年儿童共同的节日。
其实，一年中有意义的日子还有很多，你还知道哪些？
学生自由发言。
大家知道3月12日是什么节日吗？（植树节）植树造林，保护环境，是我们每个人都应尽的义务。
师：这节课我们一起来探讨植树活动中的数学问题——《植树问题》。
（板书课题，学生齐读）
二、提出问题
1．学生“种树”
师：咱们先来一次“模拟种树”吧。
（出示纸条和小棒）把这条张纸条看成40米长的小路，在路的一旁每隔10米种一棵树。
谁愿意来种一种？有不同的种法吗？
引导学生操作，明确直线上的植树问题有三种不同情况，并形成板书：
a．两端都种 b.两端不种 c.只种一端
2．提出问题
（出示：同学们在全长100米的小路一边植树，每隔5米种一棵）
师：根据这两个条件，你能提什么数学问题吗？
学生提问，教师板书：
①两端都种，一共需要多少棵树苗？
②两端不种，一共需要多少棵树苗？
③只种一端，一共需要多少棵树苗？
三、解决问题
1．尝试解决问题①
学生尝试解决问题，教师巡视并收集不同的做法，指名板演：
a． 100÷5+1=21（棵）
b. 100÷5=20（棵）或 100÷5-1=19（棵）
师：这里有好几种算法，我们怎样来验证哪个是正确的答案呢？
2．初步验证
引导学生画图验证。
学生可能出现：画一条100米长的小路，然后每隔5米种一棵，然后数出一共需要多少棵树苗。
师：画出整条路是可以找到正确的答案的，不过你觉得这种方法怎样？（很麻烦，浪费时间）
师：在解决比较复杂的问题时，我们可以先从简单的问题入手，通过研究简单的问题，发现它们共同的规律，然后运用规律来去解决复杂的问题。
这是数学学习中一种很常见的思想方法，叫做“化繁为简，以小见大”
3．探索规律
（1）先种10米，还是每隔5米种一棵。
教师演示：用1分米的线段表示5米，10米就是2分米，用点表示树。
数一数有几个间隔，种了几棵树？（板书：2个间隔，3棵树）
（2）和刚才一样，再种20米试一试，看看这次你又分成了几个间隔？种了几棵？（板书：4个间隔，5棵树）
（3）任意选择一段距离种一种，看你又分成了几个间隔，种了几棵？（学生汇报，教师板书）
（4）通过刚才的数间隔和棵数，你发现了什么？
4．归纳规律
学生总结汇报，明确两端都种树的规律：棵数 = 间隔数 + 1 （教师板书）5．验证结果
师：根据咱们刚才发现的这个规律，你能确定哪个答案是正确的吗？“100÷5”求的是什么？为什么还要“+1”呢？（指名汇报）
要求做错了的同学及时订正。
6．“两端不种”的规律
学生猜测“两端不种”的规律：棵数 = 间隔数 - 1 （教师板书）
师：到底同学们的猜测是不是正确的呢，我们还是用前面的方法，举简单的例子画一画，验证一下。
学生独立探究，验证猜想。
完成后指名汇报，明确规律。
引导学生利用探究出来的规律，解决问题②
7．“只种一端”的规律
师：你知道“只种一端”时，棵数与间隔数之间的关系吗？（棵数 = 间隔数）你是怎样想的？
学生发言，解决问题③
四、小结方法
师：大家回过头来看看，我们是怎样把这么长的路上的植树问题给解决的？
引导学生小结方法：画线段图，从短的路线开始找规律来得出结论去解决问题。
师：这种思想方法就是数学里的“化繁为简，以小见大”，运用这种策略可以帮助解决更多的数学问题。
五、应用巩固
1．教材第118页的“做一做”。
（园林工人沿公路一侧植树，每隔6米种一棵，一共种了36棵。
从第一棵到最后一棵的距离有多远？）
（1）引导学生理解读题，理解题意，让学生根据前面发现的规律来解决。
（2）把自己的想法和同桌说一说。
（3）全班交流：一共种了36棵树，那么就有35个间隔，每个间隔是6米，总长就是（36-1）×6 = 210（米）
（4）对于学生提出从小数据入手进行研究的解题策略，教师给予肯定与鼓励。
2．教材第122页的第2题。
（5路公共汽车行驶路线全长12千米，相邻两站的距离是1千米。
一共有几个车站？）
（1）这是在我们生活中经常遇到的问题，你能看出它和植树问题的关系吗？
（2）引导学生具体说说什么相当于“树”，什么相当于“间隔”。
（3）学生独立解决后汇报：12千米长的公共汽车行驶路线每1千米设一个车站，共有12个间隔，而两端都有车站，也就是起点站和终点站，因此共有13个车站。
（4）列式： 12÷1+1=13（个）
3．生活中还有哪些地方隐藏着“植树问题”呢？你能举例说一说吗？
4．补充练习。
（1）出示问题：爸爸使用的皮带，每两孔间隔3厘米。
爸爸在减肥前使用皮带的第6个孔，减肥后他使用第3个孔。
爸爸的腰围减少了多少厘米？
（2）先让学生读题，理解题意，然后引导学生画示意图，在小组内交流讨论。
（3）指名列式解决：3×3=9（厘米）
六、全课小结
师：通过今天的学习，你有什么收获？（学生小结）收获方法比收获知识更重要，希望大家能运用今天收获的方法去收获更多的新知识。
板书设计：
植树问题
两端都种同学们在全长100米的小路一边植树，
棵数 = 间隔数+1 每隔5米种一棵 2个间隔，3棵树两端不种①两端都种，一共需要多少棵树苗？ 4个间隔，5棵树棵数 = 间隔数-1 100÷5+1=21（棵） 5个间隔，6棵树只种一端②两端不种，一共需要多少棵树苗？ 8个间隔，9棵树棵数 = 间隔数 100÷5-1=19（棵）
③只种一端，一共需要多少棵树苗？
100÷5=20（棵）。