2019-2020学年广东省揭阳市第一中学高三上学期第一次月考数学(理)试题

2019-2020学年广东省揭阳市第一中学高三上学期第一次月考数
学（理）试题
一、选择题
1.若集合且，则集合可能是( )
A． B． C． D．
2. 已知命题，则命题的否定是( )
A． B．
C． D．
3.若满足约束条件则的最大值是( )
A． B． C．1 D．
4. 抛物线上的一点到轴的距离与它到坐标原点的距离之比
为1:2,则点到的焦点的距离是 ( )
A． B． C． D．
5.—个摊主在一旅游景点设摊，在不透明口袋中装入除颜色外无差别的2个白球和3个红球.游客向摊主付2元进行1次游戏.游戏规则为：游客从口袋中随机摸出2个小球，若摸出的小球同色，则游客获得3元励；若异色则游客获得1元奖励.则摊主从每次游戏中获得的利润(单位:元)的期望值是
( )
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
6. 已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上，则该圆柱的体积是( )
A． B． C. D．
7. 执行如图所示的程序框图，输出的的值是( )
A． B．0 C. D．
9. 设的内角的对边分为，.若是
的中点，则( )
A． B． C. D．
10. ( )
A． B． C. D．
11．若双曲线的左支与圆相交于两点，的右焦点为，且为正三角形，则双曲线的离心率是( )
A． B． C. D．
12.已知函数，对于任意且.均存在唯一实数，使得，且.若关于的方程有4个不相等
的实数根，则的取值范围是 ( )
A． B． C. D．
一、选择题
二、填空题
13．已知向量，，且，则__________．
14．已知集合，集合，，则下图中阴影部分所表示的集合为__________．
15．若函数的图象在点处的切线斜率为
，则函数的极小值是__________．
16．若函数至少有3个零点，则实数的取值范围是__________．
三、解答题
17．已知函数的定义域为，，函数
的值域为.
(1)当时，求；
(2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18．已知函数的图象在点处的切线方程为.
(1)求的值；
(2)求函数在上的值域.
19．如图，在多面体中，四边形是正方形，在等腰梯形中，，，，平面平面.
(1)证明：；
(2)求二面角的余弦值.
20．已知函数.
(1)当时，为上的增函数，求的最小值；
(2)若，，，求的取值范围.
21．已知，函数，.
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)证明：不论取何正值，总存在正数，使得当时，恒有
.
22．已知直线的参数方程为(为参数)，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为
.
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程(化为标准方程)；
(2)设直线与曲线交于两点，求.
23．已知函数.
(1)证明：；
(2)若，求的取值范围.
2019-2020学年广东省揭阳市第一中学高三上学期第一次月考数学（理）试
题
1-5: ADCDA 6-10: DCDBB 11、12：AC
二、填空题
13．已知向量，，且，则__________．
【答案】
【解析】由题设，则，，
，所以，应填答案。

14．已知集合，集合，，则下图中阴影部分所表
示的集合为__________．
【答案】
【解析】因为，，所以或，则图中阴影部分所表示的集合为，应填答案。

15．若函数的图象在点处的切线斜率为
，则函数的极小值是__________．
【答案】
【解析】因为，所以由导数的几何意义可得切线的斜率，故，令
可得，则函数的极小值为，应填
答案。

16．若函数至少有3个零点，则实数的取值范
围是__________．
【答案】
【解析】
由可得，则问题转化为
函数的图像有至少三个交点，结合图像可以看出
当时，即时满足题设，应填答案。

点睛：本题的求解过程体现了数形结合的数学思想的巧妙运用，求解时先在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图像，进而借助图像的直观建立不等
式，进而通过解不等式求出参数的取值范围。

三、解答题
17．已知函数的定义域为，，函数
的值域为.
(1)当时，求；
(2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）存在实数，使得；（2）。

【解析】【试题分析】（1）先求出时的集合，，再计算；（2）先求出集合，，再依据建立方程求；
解：(1)由，解得，即.
当时，因为，所以，即.
所以.
(2)因为，若存在实数，使，则必有，解得.
故存在实数，使得.
18．已知函数的图象在点处的切线方程为.
(1)求的值；
(2)求函数在上的值域.
【答案】（1）；（2）。

【解析】【试题分析】（1）先求出函数的导数，再借助导数的几何意义求出切线的斜率，建立方程求出，
进而将切点坐标代入求出；（2）借助（1）的结论先判定函数的单调性，再依据所给区间求出函数的最大值和最小值，然后确定函数的值域：
解：(1)因为，所以. 又，.
解得.
(2)由(1)知.
因为，所以函数在上递增，
因为，.
所以函数在上的值域为.
19．如图，在多面体中，四边形是正方形，在等腰梯形中，，，，平面平面.
(1)证明：；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】（1）见推证过程；（2）。

【解析】【试题分析】（1）先依据题设条件运用面面垂直的性质定理证明
平面，从而得到，再运用线面垂直的判定定理证明平
面，最后借助线面垂直的性质证明；（2）建立空间直角坐标系，借助向量的数量积的坐标形式求出两个平面的法向量，进而运用向量的数量积公式求解：
(1)证明：如图，取的中点，连接，因为，，所以四边形为平行四边形，
又，所以四边形为菱形，从而.
同理可证，因此.
由于四边形为正方形，且平面平面，平面平面，
故平面，从而，
又，故平面，即.
(2)解：由(1)知可建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，.
故，，设为平面的一个法向量，
故，即，故可取.
又，，设为平面的一个法向量，
故，即，故可取.
故.
易知二面角为锐角，则二面角的余弦值为.
点睛：空间向量是解决空间角度和距离的计算问题的有效工具，本题的第二问巧妙地借助题设条件建立了空间直角坐标系，运用空间向量的数量积公式的坐标形式及待定系数法先求出两个平面的法向量，然后再运用数量积的公式的两种形式建立方程求出其二面角的余弦值，使得问题获解。

20．已知函数.
(1)当时，为上的增函数，求的最小值；
(2)若，，，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）。

【解析】【试题分析】（1）先求函数的导数，再依据题设条件建立不等式，然后运用基本不等式求的最小值，进而得到，求出的最小值；（2）先判断函数的奇偶性与单调性，从而将不等式等价转化为
，进而转化为求解：
解：(1)当时，.
由为上的增函数可得对恒成立，则，∵
，∴，∴，则的最小值为.
(2)，
∵，∴，
∵，，∴，∴
，
∴为上的增函数，
又，∴为奇函数，
由得，
∵为上的增函数，
∴，∴，∵，∴，∴. 故的取值范围为.
点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，旨在考查导数知识在研究函数的单调性、极值最值等方面的综合运用。

求解第一问时，先求函数
的导数，再依据题设条件建立不等式
，然后运用基本不等式求的最小值，
进而得到，求出的最小值为-4；第二问的求解过程中，先判断函数的奇偶性与单调性，从而将不等式
等价转化为
，进而转化为求解，体现了等价转化的数学思想的巧妙运用。

21．已知，函数，.
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)证明：不论取何正值，总存在正数，使得当时，恒有
.
【答案】（1）；（2）总存在，使得当时，恒有. 【解析】【试题分析】（1）先将不等式等价转化为，然后构造函数，则，运用导数知识探求其最大值，进而求出实数的取值范围；（2）先对函数求导，从而将问题等价转化为函数的最大值，进而转化为函数的最大值小于进行分析探求：
解：(1)函数，的定义域均为.
因为，，所以可化为，
令，则，
由得，
所以，当，；当，，
所以的单调增区间是，单调减区间是.
所以.
所以.
(2)(方法一)：，
令，得；令，得，∴
，
当，即时，显然存在正数满足题意，
当时，
∵在上递减，且，
∴必存在，.
故存在，使得当时，.
(方法二)：，令，，所以，当，；当，.
所以的单调增区间是，单调减区间是，
因为，所以当，即时，存在，使得当，恒有.
即.
当时，由(1)知，即，
所以，
由得，所以，
因为，所以，根据函数的图象可知存在，
使得当，恒有，即.
综上所述，总存在，使得当时，恒有.
22．已知直线的参数方程为(为参数)，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为
.
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程(化为标准方程)；
(2)设直线与曲线交于两点，求.
【答案】（1）；（2）2。

【解析】试题分析：（1）先运用消参法将直线的参数消去化为普通方程，再借助直角坐标与极坐标之间的互化公式将曲线的极坐标方程化为普通坐标方程；（2）先将直线的普通方程化为极坐标方程，然后代入曲线的极坐
标方程中，借助根与系数的关系及极径的几何意义求出：解：(1)直线的普通方程为即，
曲线的直角坐标方程是，
即.
(2)直线的极坐标方程是，代入曲线的极坐标方程得：
，所以，
.
不妨设，则，
所以.
23．已知函数.
(1)证明：；
(2)若，求的取值范围.
【答案】（1）见证明过程；（2）.
【解析】试题分析：（1）运用绝对值不等式的三角形式求出函数的最小值，然后运用基本不等式分析推证出
；（2）先将不等式等价转化化为，再运用分类整合思想进行求解：
解：(1)证明：因为
，
又，所以，
所以.
(2)解：可化为，
因为，所以()，
①当时，不等式()无解，
②当时，不等式()可化为，
即，解得，
综上所述，.
一、选择题
1．已知集合，，则中的
元素的个数为( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
2．已知，为虚数单位，，则( )
A. 9
B.
C. 24
D.
3．已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是( )
A．1- B．0 C．2- D．3
2
4．已知，，，这三个数的大小关系为( )
A. B. C. D.
5．设等比数列的前项和为，且，则( )
A. 4
B. 5
C. 8
D. 9
6．设满足约束条件，则的最大值为( )
A. 3
B.
C. 1
D.
7．已知函数的最大值为3，的图象的相邻两条对称轴间的距离为2，与轴的交点的纵
坐标为1，则( )
A. 1
B.
C.
D. 0
8．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果为( )
A. 80
B. 84
C. 88
D. 92
9．在长方体中，，，，点在平面内运动，则线段的最小值为( )
A. B. C. D. 3
10．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
11．已知双曲线的虚轴上、下端点分别为，右
顶点为，右焦点为，延长与交于点，若四个点共圆，为坐标原点，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
12．已知函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题
13．已知向量，，且，则__________．
14．已知集合，集合，，则下图中阴影部分所表示的集合为__________．
15．若函数的图象在点处的切线斜率为
，则函数的极小值是__________．
16．若函数至少有3个零点，则实数的取值范围是__________．
三、解答题
17．已知函数的定义域为，，函数
的值域为.
(1)当时，求；
(2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18．已知函数的图象在点处的切线方程为.
(1)求的值；
(2)求函数在上的值域.
19．如图，在多面体中，四边形是正方形，在等腰梯形中，，，，平面平面.
(1)证明：；
(2)求二面角的余弦值.
20．已知函数.
(1)当时，为上的增函数，求的最小值；
(2)若，，，求的取值范围. 21．已知，函数，.
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)证明：不论取何正值，总存在正数，使得当时，恒有
.
22．已知直线的参数方程为(为参数)，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为
.
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程(化为标准方程)；
(2)设直线与曲线交于两点，求.。