2017-2018学年度高一第二学期江苏省南京中华中学高一学数学期中试卷与解析

南京市中华中学2017-2018学年度第二学期期中试卷
高一数学
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）
1. 关于x 的一元二次不等式()()240x x --<的解集是 ．
2. 设数列{}n a 是等差数列,若34512a a a ++=,则4a = ．
3. 等比数列{}n a 中,251
2,4
a a ==则公比q = ．
4. 设ABC 中,三个内角满足222sin sin sin A B C +=,则角C 的大小为 ．
5. 已知数列{}n a 的通项公式为11
1
n a n n =-
+,则该数列前10项的和等于 ．
6. 设0,0x y >>且18x y +=,则xy 的最大值为 ．
7. 设ABC 中,60A =︒,2,AC BC ==则AB = ．
8. 若0,0x y >>且31xy x y =++,则xy 的最小值为 ．
9. 不等式240x ax ++≤的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ．
10. 在ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,若()2
26c a b =-+,3
C π
=
,则ABC 的面积是 ．
11. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若201710
12017,2007201710
S S a =--=,则2018S = ．
12. 钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）.现将99根相同的圆钢捆扎为1个尽可能大的
正六边形垛,则剩余的圆钢根数为 ．
D
B C
A
（第12题） （第13题）
13. 如图,在ABC 中, 42,2AB BC ==,以AC 为边作等腰直角三角形ACD （C 为直角顶点, B D 、在直
线AC 的两侧）,当B ∠变化时,线段BD 长的最大值为 ．
14. 已知整实数,,a b c 满足111a b +=,111a b c
+=+,则c 的取值范围是 ．
二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知()1
f x x x
=+.
⑴若函数的定义域为{}|0x x >,求函数()f x 的最小值； ⑵若函数的定义域为{}|0x x ≠,求函数()f x 的值域.
16. 已知{}n a 是首项为1,公差为2的等差数列, n S 表示{}n a 的前n 项和．
⑴ 求n a 及n S ；
⑵ 设{}n b 是首项为2的等比数列,公比q 满足()24410q a q S -++=,求{}n b 的通项公式及前n 项和n T .
17. 已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,向量()
3a b =m 与()cos ,sin A B =n 平行．
⑴ 求A
⑵ 若7,2a b ==,求ABC 的面积.
18. 某公司2017年9月投资14400万元购得某种纪念品的专利权及生产设备,生产周期为一年.已知生产每
件纪念品还需要材料等其他费用20元.为保证有一定的利润,公司决定该纪念品的销售单价不低于150元,进一步的市场调研发现：该纪念品的销售单价定在150元到250元之间较为合理（含150元及250元）.并且当销售单价定为150元时,预测年销售量为150每件;当销售单价超过150元但不超过200元时,预测每件纪念品的销售价格每增加1元,年销售量将减少1万件;当销售单价超过200元但不超过250元时,预测每件纪念品的销售价格每增加1元,年销售量将减少1.2万件.根据市场调研的结果,设该纪念品的销售单价为x （元）,年销售量为u （万件）,平均每件纪念品的利润为y （元）． ⑴ 求年销售量u 关于销售单价x 的函数关系式；
⑵ 该公司考虑到消费者的利益决定销售单价不超过200元,问销售单价x 为多少时,平均每件纪念品的利润y 最大?
19. 已知关于x 的不等式2364ax x -+>的解集为{}|1x x x b <>或．
⑴ 求,a b ；
⑵ 解不等式()20ax ac b x bc -++<；
⑶ 对任意[]1,1m ∈-,不等式()2440ax m x bm +-+->都成立,求x 的取值范围．
20. 设数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，若对任意的n *∈N ，均有n n k S a k +=-（k 是常数且*k ∈N ）
成立，则称数列{}n a 为“()P k 数列”．
⑴ 若数列{}n a 为“()1P 数列”，求数列{}n a 的通项公式；
⑵ 是否存在数列{}n a 既是“()P k 数列”，又是“()2P k +数列”？若存在，求出符合条件的数列
{}n a 的通项公式及对应的k 的值；若不存在，请说明理由；
⑶ 若数列{}n a 为“()2P 数列”，22a =，设3
1223
2222n
n n
a a a a T =++++
，证明：3n T <．
南京市中华中学2017-2018学年度第二学期期中试卷
高一数学
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）
1. 关于x 的一元二次不等式()()240x x --<的解集是 ． 【答案】()2,4；
【解析】结合二次函数图象解得．
2. 设数列{}n a 是等差数列,若34512a a a ++=,则4a = ． 【答案】4；
【解析】3454312a a a a ++==所以44a =．
3. 等比数列{}n a 中,251
2,4
a a ==则公比q = ． 【答案】12
； 【解析】35218
a q a ==，所以12q =．
4. 设ABC 中,三个内角满足222sin sin sin A B C +=,则角C 的大小为 ． 【答案】2
C π
=
； 【解析】利用正弦定理角化边得222a b c +=，所以2
C π=．
5. 已知数列{}n a 的通项公式为11
1
n a n n =-
+,则该数列前10项的和等于 ． 【答案】
10
11
； 【解析】1011111101+223101111
S ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=--+
+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.
6. 设0,0x y >>且18x y +=,则xy 的最大值为 ． 【答案】81； 【解析】()
2
814
x y xy +≤=，当且仅当9x y ==时取等.
7. 设ABC 中,60A =︒
,2,AC BC ==则AB = ． 【答案】1；
【解析】由余弦定理243
cos 4AB A AB
+-=，2210AB AB -+=，解得1AB =．
8. 若0,0x y >>且31xy x y =++,则xy 的最小值为 ． 【答案】1；
【解析】31xy x y -=+≥
)0t t =>,得23210t t --≥，解得1t ≥，所以1xy ≥，当且仅当
1x y ==时取等．
9. 不等式240x ax ++≤的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】(]
[),44,-∞-+∞； 【解析】先考虑解集为空集的情况为2160a ∆=-<，解得44a -<<，所以解集不为空集时a 的取值范围
是(][),44,-∞-+∞.
10. 在ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,若()2
26c a b =-+,3
C π
=
,则ABC 的面积是 ．
【解析】原式可化为22226a b c ab +-=-，2cosC 26ab ab =-，解得6ab =
，1sin 2S ab C =
11. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若201710
12017,2007201710
S S a =--=,则2018S = ． 【答案】0；
【解析】由等差数列性质n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
为等差数列，此数列的公差为201710
2017101201710S S d -
=
=-，首项为120171S =-，所以
()2018
201720181102018
S =-+-⨯=，所以20180S =．
12. 钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）.现将99根相同的圆钢捆扎为1个尽可能大的
正六边形垛,则剩余的圆钢根数为 ． 【答案】8；
【解析】除最中心1根圆钢外,由中心向外数第n 圈的圆钢个数为6n 根,所以前n 圈总共的圆钢个数为
()216126311331n n n n n +++
+=++=++,令233199n n ++≤,由于n ∈Z ,所以n 最大为5,所以
为5圈,共91根圆钢，剩余8根圆钢．
D
B C
A
（第12题） （第13题）
13. 如图,在ABC 中, 42,2AB BC ==,以AC 为边作等腰直角三角形ACD （C 为直角顶点, B D 、在直
线AC 的两侧）,当B ∠变化时,线段BD 长的最大值为 ． 【答案】62
【解析】根据余弦定理2244cos 44sin 2BD CD CD ACB CD CD ACB π⎛⎫
=+-+∠=++∠ ⎪⎝⎭
CD AC =,所以
2432cos 4CD ACB CD +-∠=,所以4272784
sin ACB CD CD -+-∠=,带入得
2242472784BD CD CD CD =+-+-记(
)
(
)()2
2
2422422
CD t t =<<,得
()()()2
2
243651240365123640251272BD t t t t =+--+=+---+=,所以62BD ≤,
当且仅当52t =时取等．
14. 已知整实数,,a b c 满足111a b +=,111a b c
+=+,则c 的取值范围是 ． 【答案】41,3⎛⎤
⎥⎝⎦
；
【解析】1111a b c a b a b +==+
+-+-,原式可化为()2
4a b a b ab ++=≤,解得4a b +≥,所以110,13a b ⎛⎤
∈ ⎥+-⎝⎦
, 41,3c ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
，当且仅当2a b ==时取等．
二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知()1
f x x x
=+.
⑴若函数的定义域为{}|0x x >,求函数()f x 的最小值； ⑵若函数的定义域为{}|0x x ≠,求函数()f x 的值域. 【答案】⑴ 2；⑵ (][),22+-∞-∞，
．
【解析】⑴ ()2f x ≥=,当且仅当1
x x =即1x =时取等;
⑵ 0x >时由()1可知值域为[)2,+∞, 0x <时, ()()12f x x x ⎡⎤
⎛⎫=--+-≤-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦,当且仅当1x =-时取等,所以值域为(]
[),22+-∞-∞，
．
16. 已知{}n a 是首项为1,公差为2的等差数列, n S 表示{}n a 的前n 项和．
⑴ 求n a 及n S ；
⑵ 设{}n b 是首项为2的等比数列,公比q 满足()24410q a q S -++=,求{}n b 的通项公式及前n 项和n T . 【答案】⑴ 21n a n =-,2
n S n =；⑵ 1
24
n n b -=⋅,41
23
n n T -=⨯；
【解析】⑴ ()1121n a a n d n =+-=-,()2112
n n n S a n d n -=+
=；
⑵ 将基本量带入方程得()2
71160q q -++=,解得4q =,1
24
n n b -=⋅,41
23
n n T -=⨯．
17. 已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,向量()
a =m 与()cos ,sin A B =n 平行．
⑴ 求A
⑵ 若2a b ==,求ABC 的面积.
【答案】⑴
3π
；．
【解析】⑴ 根据//m n ,可得sin cos a B A =,边化角得sin sin cos A B B A ,即sin A A ,所以
tan A 因为()0,A ∈π,所以3
A π
=
； ⑶ 根据余弦定理222247
cos 24b c a c A bc c
+-+-==,化简得2230c c --=,解得3c =,所以
1sin 2S bc A ==
18. 某公司2017年9月投资14400万元购得某种纪念品的专利权及生产设备,生产周期为一年.已知生产每
件纪念品还需要材料等其他费用20元.为保证有一定的利润,公司决定该纪念品的销售单价不低于150元,进一步的市场调研发现：该纪念品的销售单价定在150元到250元之间较为合理（含150元及250元）.并且当销售单价定为150元时,预测年销售量为150每件;当销售单价超过150元但不超过200元时,预测每件纪念品的销售价格每增加1元,年销售量将减少1万件;当销售单价超过200元但不超过250元时,预测每件纪念品的销售价格每增加1元,年销售量将减少1.2万件.根据市场调研的结果,设该纪念品的销售单价为x （元）,年销售量为u （万件）,平均每件纪念品的利润为y （元）． ⑴ 求年销售量u 关于销售单价x 的函数关系式；
⑵ 该公司考虑到消费者的利益决定销售单价不超过200元,问销售单价x 为多少时,平均每件纪念品的利润y 最大?
【答案】⑴ 300,150200340 1.2,200250x x u x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩
；
⑵ 180x =时y 最大；
【解析】⑴ ()()150150,150200100 1.2200,200250x x u x x --≤≤⎧⎪=⎨--<≤⎪⎩
,化简得300,150200340 1.2,200250x x u x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩；
⑵ ()
144002014400
20xu u y x u
u
-+=
=-
-,由于150200x ≤≤,所以(
)144001440014400
202028030028040300300y x x x u x x
=-
-=+-=---≤--- 当且仅当180x =时取等；
19. 已知关于x 的不等式2364ax x -+>的解集为{}|1x x x b <>或．
⑴ 求,a b ；
⑵ 解不等式()20ax ac b x bc -++<；
⑶ 对任意[]1,1m ∈-,不等式()2440ax m x bm +-+->都成立,求x 的取值范围． 【答案】⑴ 1
2a b =⎧⎨=⎩
；⑵2c <时,解集为(),2c ；2c =时,解集为∅；2c >时,解集为()2,c ；⑶
()(),13,-∞+∞．
【解析】⑴ 2320ax x -+>的解集为{}|1x x x b <>或,所以0
3
12
a b a b a
>⎧⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎩,解得1
2a b =⎧⎨=⎩；
⑵ 将12
a b =⎧⎨=⎩带入可得()2220x c x c -++<,因式分解可得()()20x x c --<
①2c <时,解集为(),2c ； ②2c =时,解集为∅； ③2c >时,解集为()2,c ；
⑶ 将12
a b =⎧⎨=⎩带入可得()24420x m x m +-+->, ()22440x m x x -+-+>,记
()()2
244g m x m x x =-+-+,由题可得()()
10
10g g ⎧->⎪⎨>⎪⎩,即2
2560320x x x x ⎧-+>⎪⎨-+>⎪⎩,解得x 的解集为
()(),13,-∞+∞．
20. 设数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，若对任意的n *∈N ，均有n n k S a k +=-（k 是常数且*k ∈N ）
成立，则称数列{}n a 为“()P k 数列”．
⑴ 若数列{}n a 为“()1P 数列”，求数列{}n a 的通项公式；
⑵ 是否存在数列{}n a 既是“()P k 数列”，又是“()2P k +数列”？若存在，求出符合条件的数列
{}n a 的通项公式及对应的k 的值；若不存在，请说明理由；
⑶ 若数列{}n a 为“()2P 数列”，22a =，设3
1223
2222n
n n
a a a a T =
++++
，证明：3n T <． 【答案】⑴ 12n n a -=；⑵ 详见解析；⑶ 详见解析． 【解析】⑴ 由题意可得11n n S a +=-对任意n *∈N 成立，
则1n =时，121a a =-，由11a =可得22a =；
则2n ≥时，11n n S a -=-，则1n n n a a a +=-，即12n n a a +=， 1n =时，212a a =也成立，则12n n a a +=对任意n *∈N 成立，
则12n n a -=；
⑵ 假设存在，则()2,2n n k n n k S a k S a k +++=-=-+对任意*n ∈N 成立， 由n n k S a k +=-可得22n n k S a k +++=-对任意n *∈N 成立，
则22n n S S +=+对任意n *∈N 成立，即122n n a a +++=①对任意n *∈N 成立， 由()2,2n n k n n k S a k S a k +++=-=-+可得22n k n k a a +++=+②对任意n *∈N 成立， 由①式可得123n k n k n k n k a a a a ++++++++=+，由②式可得3214n k n k n k n k a a a a ++++++++=++， 矛盾，因此不存在符合条件的数列{}n a ；
⑶ 由题意可得22n n S a +=-，则2n ≥时112n n S a -+=-，作差可得21n n n a a a ++=-，
1n =时，132S a =-，由11a =可得33a =，则312a a a =+，
因此21n n n a a a ++=+对任意n *∈N 成立， 由3
1223
2222n
n n
a a a a T =
++++，③ 312234
1
1
22232n
n n a a a a T +=++++，④ 312345
2
1
42222n
n n a a a a T +=++++
，⑤ ③-④-⑤可得
321432*********
12
1
42222222n n n n n n
n n n n a a a a a a a a a a a a a a a T ---++------+-=+++++
--
， 由21n n n a a a ++=+对任意n *∈N 成立可得1121212
1
42222n n n n n n a a a a a a T -+++-=+--，
由121,2a a ==，21n n n a a a ++=+可得0,n a n *>∈N ， 则1121
424
n T -<+，即3n T <．。