2021年高三数学 直线、平面平行的判定及性质考点分类自测试题 理

2021年高三数学直线、平面平行的判定及性质考点分类自测试题理
一、选择题
1．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l 与平面α的位置关系是( )
A．l∥αB．l⊥α
C．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α
2.如图边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交
于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则
下列命题中正确的是
( )
①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；
②BC∥平面A′DE；
③三棱锥A′­FED的体积有最大值．
A．①B．①②
C．①②③D．②③
3．设α、β、γ为三个不同的平面，m、n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n ⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β， m⊂γ.
可以填入的条件有 ( ) A．①或②B．②或③
C．①或③D．①或②或③
4．设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面，其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是 ( )
A ．③④
B ．①③
C ．②③
D ．①②
5．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列命题：
①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ；
②若m ∥α，m ∥β，则α∥β；
③若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α；
其中真命题的个数是 ( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．0
6．若α、β是两个相交平面，点A 不在α内，也不在β内，则过点A 且与α和β都
平行的直线
( )
A ．只有1条
B ．只有2条
C ．只有4条
D ．有无数条 二、填空题
7．已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题：
①若l ⊂α，m ⊂α，l ∥β，m ∥β，则α∥β；
②若l ⊂α，l ∥β，α∩β＝m ，则l ∥m ；
③若α∥β，l ∥α，则l ∥β；
④若l ⊥α，m ∥l ，α∥β，则m ⊥β.
其中真命题是________(写出所有真命题的序号)．
8．如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的
中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a 3
，过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝____________.
9．已知a 、b 、l 表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：
①若α∩β＝a ，β∩γ＝b ，且a ∥b ，则α∥γ；
②若a 、b 相交，且都在α、β外，a ∥α，a ∥β，b ∥α，b ∥β，则α∥β；
③若α⊥β，α∩β＝a ，b ⊂β，a ⊥b ，则b ⊥α；
④若a ⊂α，b ⊂α，l ⊥a ，l ⊥b ，则l ⊥α.
其中正确命题的序号是________．
三、解答题
10.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1、BC 1上分别有
两点E、F，且B1E＝C1F.
求证：EF∥平面ABCD.
11.如图，已知α∥β，异面直线AB、CD和平面α、β分别交于A、B、C、D四点，E、
F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
求证：(1)E、F、G、H共面；
(2)平面EFGH∥平面α.
12．如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝2a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF
∥平面AEC？证明你的结论．
详解答案
一、选择题
1．解析：l ∥α时，直线l 上任意点到α的距离都相等，l ⊂α时，直线l 上所有的点到α的距离都是0，l ⊥α时，直线l 上有两个点到α距离相等，l 与α斜交时，也只能有两点到α距离相等．
答案：D
2. 解析：①中由已知可得面A′FG⊥面ABC ，
∴点A′在面ABC 上的射影在线段AF 上．
②BC ∥DE ，∴BC ∥平面A′DE.
③当面A′DE⊥面ABC 时，三棱锥A′­FED 的体积达到最大．答案：C
3．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当n ∥β，m ⊂γ时，n 和m 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．
答案：C
4．解析：根据空间中的直线、平面的位置关系的判断方法去筛选知②、③正确．
答案：C
5．解析：①错，两直线可平行或异面；②两平面可相交，只需直线m 平行于两平面的交线即可，故命题错误；③错，直线n 可在平面内；
答案：D
6．解析：据题意如图，要使过点A 的直线m 与平面α平行，则据线
面平行的性质定理得经过直线m 的平面与平面α的交线n 与直线m 平行，
同理可得经过直线m 的平面与平面β的交线k 与直线m 平行，则推出n
∥k ，由线面平行可进一步推出直线n 与直线k 与两平面α与β的交线
平行，即要满足条件的直线m 只需过点A 且与两平面交线平行即可，显然
这样的直线有且只有一条．
答案：A
二、填空题
7．解析：当l ∥m 时，平面α与平面β不一定平行，①错误；由直线与平面平行的性质定理，知②正确；若α∥β，l ∥α，则l ⊂β或l ∥β，③错误；∵l ⊥α，l ∥m ，∴m ⊥α，又α∥β，∴m ⊥β，④正确，故填②④.
答案：②④
8．解析：∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，
∴MN ∥PQ.∵M 、N 分别是A 1B 1、B 1C 1的中点，AP ＝a 3，∴CQ ＝a 3，从而DP ＝DQ ＝2a 3
，∴PQ ＝223
a.
答案：223
a9．解析：①如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，可令平面A 1B 1CD 为α，平面DCC 1D 1为β，平面A 1B 1C 1D 1为γ，又平面A 1B 1CD∩平面
DCC 1D 1＝CD ，平面A 1B 1C 1D 1∩平面DCC 1D 1＝C 1D 1，则CD 与C 1D 1所在的直线分
别表示a ，b ，因为CD ∥C 1D 1，但平面A 1B 1CD 与平面A 1B 1C 1D 1不平行，即α
与γ不平行，故①错误．②因为a 、b 相交，假设其确定的平面为γ，根据a ∥α，b ∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β，②正确．③由两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，易知③正确．④当a ∥b 时，l 垂直于平面α内两条不相交直线，不可得出l ⊥α，④错误．
答案：②③
三、解答题
10. 证明：分别过E 、F 作EM ∥BB 1，FN ∥CC 1，分别交AB 、BC 于点M 、N ，连结MN.
因为BB 1∥CC 1，
所以EM ∥FN.
因为B 1E ＝C 1F ，AB 1＝BC 1，
所以AE ＝BF.
由EM ∥BB 1得AE AB 1＝EM BB 1
， 由FN ∥CC 1得BF BC 1＝FN CC 1
. 所以EM ＝FN ，于是四边形EFNM 是平行四边形．
所以EF ∥MN.又因为MN ⊂平面ABCD ，
所以EF ∥平面ABCD.
11. 证明：(1)∵E 、H 分别是AB 、DA 的中点，
∴EH ∥BD 且EH ＝12
BD. 同理，FG ∥BD 且FG ＝12
BD ， ∴FG ∥EH 且FG ＝EH.
∴四边形EFGH 是平行四边形，即E 、F 、G 、H 共面．
(2)平面ABD 和平面α有一个公共点A ，
设两平面交于过点A 的直线AD′.
∵α∥β，∴AD′∥BD.
又∵BD ∥EH ，∴EH ∥BD ∥AD′.
∴EH ∥平面α，
同理，EF∥平面α，又EH∩EF＝E，EH⊂平面EFGH，
EF⊂平面EFGH，
∴平面EFGH∥平面α.
12．证明：存在．证明如下：取棱PC的中点F，线段PE的中点M，连接BD.
设BD∩AC＝O.
连接BF，MF，BM，OE.
∵PE∶ED＝2∶1，F为PC的中点，M是PE的中点，E是MD的中点，
∴MF∥EC，BM∥OE.
∵MF⊄平面AEC，CE⊂平面AEC，BM⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，
∴MF∥平面AEC，BM∥平面AEC.
∵MF∩BM＝M，
∴平面BMF∥平面AEC.
又BF⊂平面BMF，
∴BF∥平面AEC.25563 63DB 換35302 89E6 触 23161 5A79 婹37534 929E 銞32984 80D8 胘C28519 6F67 潧28604 6FBC 澼?
I022799 590F 夏30028 754C 界。