第八章 数值积分1
数值分析课件第八章-数值积分
数值积分在金融学中用于计算金融工具的定价和风险管理。
计算机图形学
数值积分在计算机图形学中用于渲染算法，如光线跟踪和体积渲染。
数值积分的实际案例分析
我们将通过一些实际案例来展示数值积分的应用。从计算物体的表面积和体 积，到求解定积分的数值解，数值积分在各个领域都发挥着重要的作用。
数值积分的优缺点
数值分析课件第八章-数 值积分
欢迎来到数值分析课件第八章的演示！今天我们将学习数值积分，探讨其定 义、基本方法、误差分析、应用领域，以及优缺点。让我们一起深入了解这 个有趣而重要的主题吧！
数值积分的定义和概念
数值积分是一种计算数学中广泛应用的技术，通过离散化连续函数来估计曲线下的面积。它通过将曲线 划分为小矩形、小梯形或小区间，并计算其面积来实现。
数值积分的基本方法
1
矩形法
矩形法是最简单的数值积分方法之一，将曲线划分为多个小矩形，并计算每个小 矩形的面积后累加。
2
梯形法
梯形法将曲线划分为多个小梯形，并计算每个小梯形的面积后累加。它比矩形法 更精确，但仍然是一种近似方法。
3
辛普森法
辛普森法通过将曲线划分为多个小区间，并使用二次多项式拟合每个小区间的曲 线来计算积分。它比矩形法和梯形法更准确。
1 优点：快速准确
数值积分可以快速计算曲线下的面积，并提供较准确的结果。
2 缺点：近似误差
由于离散化和近似计算的原因，数值积分结果可能存在一定的误差。
总结和展望
通过本次课程，我们深入了解了数值积分的定义、基本方法、误差分析、应 用领域和优缺点。希望这些知识能够帮助您更好地理解和应用数值积分技术。
数值积分的误差分析
1 截断误差
数值积分的截断误差是由将连续函数离散化为小区间所引入的误差。它可以通过控制小 区间的大小来减小。
数值积分-计算方法
(k=0,1,…,n) 作代换x=a+th带入上式，变为： 其中：
(k=0,1,…,n) （1-1） 这个积分是有理多项式积分，它与被积函数f(x)和区间[a,b]无关。
只要确定n就能计算出系数
。 于是得到称为Newton—Cotes公式的求积公式： （1-2） 其中
称为Newton—Cotes系数。如表1所示。 表1 Newton—Cotes系数
§3.1计算n阶求积公式
若有m次代数精度，对(k=0,1,…)应有
而。
§3.2 Gauss求积公式的基本原理
更一般形式： （2-1） 为权函数，设>0，且在[a,b]上可积，构造n阶求积公式：
（2-2） 积分点使得（2-2）式达到2n+1次代数精度，则积分点称为Gauss 点，（2-2）式称为Gauss求积公式。
§2Newton—Cotes公式 §2.1Newton—Cotes公式的推导
当§1.1插值求积公式的插值节点为等距节点时，就得到Newton— Cotes公式。
将区间[a,b]n等分，，n+1个节点为 xk=a+kh (k=0,1,…,n)
在节点上对f(x)的Lagrange插值多项式是：
用Pn(x)代替f(x)构造求积公式： 记
y=(1-1/2*(sin(x)).^2).^(1/2); 在Matlab工作窗口中调用函数：
y2=gauss2('gaussf',0,pi/2) 运行结果为：
y2= 1.3508
第5章 结论
通过以上变成和计算，得到所求的两组积分：
应用Newton—Cotes积分公式所求的结果分别是 y1=1.5078，y2 = 1.3506，而应用Gauss-Legendre方法所求得的结果分别是y1=1.5705 和 y2= 1.3508。单从结果上看，我们也能看出，Newton—Cotes积分公式 和Gauss-Legendre积分公式在精度上的确存在着差异（两者n的取值不 同）。而结果上的差异来源很明显是插值积分在近似替代时产生的，结 合第1章理论依据的内容，Newton-Cotes积分公式的精度最高可达n+1 次，Gauss-Legendre积分公式的精度为2n+1次，由此可知，当n相同 时， Gauss -Legendre积分公式比Newton—Cotes积分公式具有更高的 代数精度。而就本题而言Gauss -Legendre积分公式具有5次代数精度， Newton—Cotes积分公式也具有5次代数精度。因此二者所求积分只存在 微小的差异，结果都比较准确。
第八章常微分方程的数值解法
y( xn1 )
15
Euler法的收敛性
称初值问题(8.1.1)的数值解法是收敛的，如:
h0 ( n )
lim yn y ( x)
其中： x xn x0 nh , x [ x0 , b]
16
例考察以下初值问题Euler法的收敛性
dy y dx y (0)＝y0 ( 0)
★
可得： h (k ) ( k 1) y y | f ( xn 1 , yn ) f ( x , y 1 n 1 n 1 ) | 2 hL ( k ) hL k 1 (1) ( k 1) (0) | yn 1 yn 1 | ( ) | yn 1 yn 1 | 2 2 hL k 1 ( k 1) 从而 : lim( ) 0 , 故有 lim yn 1 y n 1 。 k 2 k
★
由y0＝y( x0 ), 假定yn＝y( xn ), 往证：
y0 yn 1 y ( xn 1 ) xn 1； x0
14
证明
yn yn1 yn hf ( xn , yn ) yn h xn 1 1 yn (1 h ) y( xn )(1 h ) xn xn y0 y0 1 xn (1 h ) ( xn h) x0 xn x0 y0 xn 1 x0
8
局部截断误差
假设第n步在点xn的值计算没有误差,即yn y( xn ), 由单步法计算出yn1 , 则
Tn1 y( xn1 ) yn1 称为点xn1上的局部截断误差.
从初值y( x0 ) y0出发，由单步法显式或隐式 逐步计算，得xn 1的值yn 1 , 则
n1 y( xn1 ) yn1
《数值积分方法》课件
数值积分的分类
按方法分类
可分为直接法和间接法。直接法如蒙特卡洛方法，间 接法如梯形法则、辛普森法则等。
按精确度分类
可分为低阶和高阶方法。低阶方法如梯形法则，高阶 方法如复合梯形法则、复合辛普森法则等。
按使用范围分类
可分为有限区间上的数值积分和无限区间上的数值积 分。
02
直接法
矩形法
总结词：简单直观
在金融建模中的应用
期权定价模型
数值积分方法可以用于求解期权定价模型，从而为金融衍生品定价提供依据。例如，二叉 树模型和蒙特卡洛模拟等。
利率衍生品定价
在利率衍生品定价中，数值积分方法可以用于求解利率期限结构模型，例如LIBOR市场模 型等。
风险管理
通过数值积分方法，可以对金融风险进行量化评估和管理。例如，计算VaR（风险价值） 和CVaR（条件风险价值）等指标，以评估投资组合的风险暴露程度。
自适应插值控制法
总结词
自适应插值控制法是一种通过插值技术来提 高数值积分精度的控制方法。
详细描述
在数值积分过程中，自适应插值控制法利用 插值技术对积分函数进行逼近，以提高数值 积分的精度。这种方法能够根据积分区间和 积分函数的特性，自动选择合适的插值方法 ，以获得更高的积分精度。同时，自适应插 值控制法还能够有效地处理复杂积分函数和
80%
算法设计与实现
数值积分方法的设计与实现是计 算数学的重要研究内容，推动了 科学计算的发展。
数值积分的概念
定义
数值积分是对函数在某个区间 上的定积分进行数值逼近的方 法。
思想
通过选取适当的积分点和权函 数，将定积分的计算转化为数 值逼近问题。
近似公式
常用的数值积分公式有梯形公 式、辛普森公式、复合梯形公 式、复合辛普森公式等。
数值计算方法之数值积分
数值计算方法之数值积分数值积分是数值计算中的一个重要内容，它是对函数在其中一区间上的积分进行数值近似计算的方法。
数值积分在计算机科学、自然科学以及工程领域都有广泛的应用，如求解不定积分、概率密度函数的积分、求解微分方程初值问题等。
数值积分的基本思想是将积分区间划分为若干小区间，然后对每个小区间进行数值近似计算，再将结果相加得到近似的积分值。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。
首先介绍矩形法。
矩形法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间的函数值与该小区间的宽度相乘得到每个小矩形的面积，最后将所有小矩形的面积相加得到近似的积分值。
矩形法分为左矩形法、右矩形法和中矩形法三种。
左矩形法即用每个小区间的最左端点的函数值进行计算，右矩形法用最右端点的函数值进行计算，中矩形法用每个小区间中点的函数值进行计算。
梯形法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间两个端点的函数值与该小区间的宽度相乘，再将每个小梯形的面积相加得到近似的积分值。
梯形法相较于矩形法更为精确，但需要更多的计算量。
辛普森法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间的三个点的函数值进行插值，将插值函数进行积分得到该小区间的近似积分值，最后将所有小区间的近似积分值相加得到近似的积分值。
辛普森法相比矩形法和梯形法更为精确，但计算量更大。
除了以上几种基本的数值积分方法外，还有龙贝格积分法、高斯积分法等更为精确的数值积分方法。
这些方法的原理和步骤略有不同，但都是通过将积分区间分割为若干小区间，然后进行数值近似计算得到积分值的。
总结起来，数值积分是通过将积分区间分割为若干小区间，然后对每个小区间进行数值近似计算得到积分值的方法。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。
数值积分在计算机科学、自然科学以及工程领域均有广泛应用，是数值计算中的重要内容。
数值积分PPT讲稿
),
0,
只要
~ f ( xk ) fk
(k 0,1,, n)
构造求积公式，原则上是一个确定参数
xk
和 A的k 代数问题.
b
n
f ( x)dx
a
Ak f ( xk ),
k 0
11
例 求a,b,c的值使下列求积公式的代数精度 达到最高。
1
f ( x)dx a f (1) bf (0) cf (1) 1
12
3. 插值型的求积公式
设给定一组节点
a x0 x1 x2 xn b,
x
初等函数表示的原函数； （2）当 f是(x由) 测量或数值计算给出的一张数据表.
这时，牛顿-莱布尼茨公式也不能直接运用. 因此有必要研究积分的数值计算问题. 由积分中值定理知，在积分区间 [a内, b存]在一点ξ，
成立
b
a f (x)dx (b a) f ( ),
3
就是说，底为 b 而a高为 f的(矩)形面积恰等于所求
曲边梯形的面积 I(图4-1).
图4-1
4
问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以
准确算出 f (的)值. 将 f 称(为) 区间
上[a的, b平]均高度.
这样，只要对平均高度 f提(供) 一种算法，相应地便
获得一种数值求积方法.
用两端点“高度“ f (a与) f的(b算) 术平均作为平均高度
j 0
15
注意到 lk (x j ) kj, 上式右端实际上等于 Ak , 因而
b
Ak a lk (x)dx
成立. 这样，有下面定理.
定理1
求积公式至少有 次代n数精度的
充分必要条件是，它是插值型的.
数值积分
b f(x)d x b L (x)d x b a [ f (a) 4 f ( a b ) f (b)] S a a 2 6 2
称为抛物线求积公式或Simpson公式. 几何意义:用抛物线围成的曲边梯形的面积代替围成的 曲边梯形面积
Newton-Cotes公式
将区间[a,b]n等分，其分点为xi=a+ih ， i=0,1,2,,n ， h=(b-a)/n，以这n+1个等距分点 为插值基点,作n次值多项式
n
称为牛顿—柯特斯（Newton-Cotes）系数.
当n=1时， Newton-Cotes公式(2)为梯形求积公 式
b
a
ba f ( x)dx [ f (a ) f (b )] T 2
当n=２时， Ne
b
a
ba ab f ( x)dx f (a ) 4 f 2 f (b ) S 6
xk 1 f(x)d x xk 1 xk [ f ( x ) f ( x )] x k k 1 2 k
则
a f(x)d x
b
n1 k 0
xk 1 f(x)d x n1 xk 1 xk [ f ( x ) f ( x )] x k k 1 k 0 2 k
Ln ( x)
b a
n i0
f ( xi )li ( x)
n b a i i0
f ( x)dx 求积系数
( l ( x)dx) f ( xi )
b Ai a li ( x)dx, (i 0,1,2,, n)
Newton-Cotes系数
作变量替换x=a+th，于是
数值分析课件第八章-数值积分.ppt
g(u)
n (u n j)
n/2
(u j)
j0
2
jn / 2
是奇函数，故R[f]=0。证毕。
8.3 复合求积公式
1、复合梯形公式
将[a,b]n等分，h=(b-a)/n，在每个子区间[xk, xk+1] (k=0,1,…,n-1)上采用梯形公式，得
I
b
n1
f (x)dx
n
Ln (x) lk (x) f (xk )
k 0
(lk (x)
n j0
(x xj) ) (xk x j )
jk
则
b
b
n
b
a f (x)dx a Ln (x)dx f (xk ) a lk (x)dx
k 0
若记
Ak
b
a lk (x)dx
b n (x x j ) dx a j0 (xk x j )
0
32 90
C2( 4 )
1 4 2!2!
4
t(t 1)(t 3)(t 4)dt
0
12 90
C3( 4 )
1 4 3!
4
t(t 1)(t 2)(t 4)dt
0
32 90
C4( 4 )
1 4 4!
4
t(t 1)(t 2)(t 3)dt
0
7 90
求积公式为
4
I4 ( f ) (b a)
定义1. 若求积公式
b
f (x)dx
a
n
i f (xi )
i0
对所有次数不超过 m次的代数多项式 Pk (x)(k m)都准确成立 ,即
b
n
a Pk (x)dx i Pk (xi )
计算方法课件第八章常微分方程初值问题的数值解法
整体截断误差与局部截断误差的关系
定理：如果f(x，y)满足李普希兹（Lipschitz）条件
f(x ,y 1 )f(x ,y 2) L y 1y 2
且局部截断误差有界：
|R n|1 2h2M 2
(n1,2, )
则Euler法的整体截断误差n满足估计式：
ne(ba)L 0h 2L M 2(e(ba)L1)
分光滑。初值问题的解析解(理论解）用 y(x表n ) 示, 数值解法的精确解用 y表n 示。
常微分方程数值解法一般分为：
（1）一步法：在计算y n 1 时，只用到x n 1 ,x n和 y，n 即前一步的值。
（2）多步法：计算 y n 1 时，除用到 x n 1 ,x n 和 y n 以外，还要用 x n p 和 y n p (p1 ,2 k;k0) ,即前
其中L为李普希兹常数，b-a为求解区间长度，
M2 mayx(x) 。 axb
证明参见教材。
Remark：该定理表明，整体截断误差比局部截 断误差低一阶。对其它方法，也有类似的结论。
收敛性与稳定性
收敛性定义：如果某一数值方法对于任意固定的
xn=x0+nh，当h0(同时n )时有yn y(xn)，
则称该方法收敛。 稳定性定义 定义 用一个数值方法，求解微分方程初值问 题时，对给定的步长h>0，若在计算 y n 时引入 误差 （n 也称扰动），但由此引起计算后面的 ynk(k1,2, )时的误差按绝对值均不增加，则 称这个数值方法是稳定的。
一般的显式rk方法可以写成型钢截面只需少量加工即可用作构件省工省时成本低但型钢截面受型钢种类及型钢号限制难于完全与受力所需的面积相对应用料较多其中为常数选取这些常数的原则是要求第一式的右端在处泰勒展开后按h型钢截面只需少量加工即可用作构件省工省时成本低但型钢截面受型钢种类及型钢号限制难于完全与受力所需的面积相对应用料较多上述公式叫做n级的rungekutta方法其局部截断误差为显然euler法是一级一阶rk方法
数值方法课后习题答案第8章
第八章 数值积分习题8-12.已知函数表x 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6f(x) 3.12014 4.42569 6.042418.0301410.46675试用牛顿—柯特斯公式计算4.推导n=3时牛顿—柯特斯公式，并推导误差公式。
习题8-21.分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分，并比较结果。
x00.06250.1250.18750.250.31250.37500.0156100.0311280.0464670.615380.0762630.0905660.43750.50.56250.6250.68750.750.81250.10438 0.1176470.1303170.1423490.1537120.1643840.1743500.8750.937510.183607 0.1921540.23.用复化梯形公式求 n=5并估计误差。
解：22x sin x sin x1/(1+ sin x) 00010.20.19866930.0.946950.9620292 0.40.38941830.15164660.8683219 0.50.47942550.22984880.8131081 0.60.56464250.31882120.75825290.80.71735610.51459980.66024041.00.84147100.70807340.5854549习题8-42.n+1个节点的高斯型积分公式的代数精度是多少？会超过2n+1次吗？为什么？n+1个节点的高斯型积分公式的代数精度是2n+1次，不能再增高，因为n+1个节点的高斯型积分公式只有2n+2个自由度，2n+1次多项式恰有2n+2个系数需待定。
3.以二点积分公式为例，说明即使把积分上下限也作为待定系数，也无法构造出具有2n次代数精度的积分公式。
(n为节点个数)上下限必须相等，说明无法构造出一个积分公式达到4 次代数精度。
第8章 数值积分
数值计算与MATLAB第8章数值积分Newton-Leibniz ：（1）有不少被积函数f(x)理论上讲一定存在原函数，但无法用初等函数的有限形式表示出来。
如：sin x2。
（2）有些被积函数f(x)的原函数需要用很高的技巧方可求出，或者原函数非常冗长，实际上难于应用。
若用这样的原函数F(x)去计算定积分是非常繁杂的。
（3）有些从工程实际或科学实验中测得的被积函数本身就不是解析表达式，而是表格或图线，计算它们的定积分，就更是无法找到解析形式的原函数。
8.1 计算积分的MATLAB符号法s=int( fun, v, a, b ) fun是被积函数的符号表达式v是积分变量a、b为定积分的积分限输出参量s为积分结果举例8.2 Newton-Cotes求积公式数值积分原则上可以用于计算各种被积函数的定积分，其基本原理都是用多项式函数近似代替被积函数，用对多项式的积分结果近似代替对被积函数的积分。
(x)近似牛顿-柯特斯求积公式，就是用多项式函数Pn地代替被积函数f(x)，用对P(x)的积分代替对f(x)的积分n推出的一种数值积分方法。
1 牛顿—柯特斯求积公式推导)x -(x )x -)(x x -(x (x)n 10⋯=ω⎰⎰≈ba nb a dx x P dx x f )()(∑∑==-=-=n i ii i n i i i i n y x x x x x f x x x x x P 00)()()()()()()()(ωωωω)x -(x )x -)(x x -(x )x -(x )(n i 1i i -1i i 0i ⋯⋯=+i x ω⎰-=ba i i i dx x x x x K )()()(ωω柯特斯求积系数具有的特性：a 、跟被积函数、积分区间无关，只跟代替被积函数的多项式次数n 有关；b 、在定义式中作代换t=n-i 后其值不变，所以它具有对称性，即= 。
c 、=1。
将f(x)≡1代入N －C 求积公式便可得出该性质，将表8-1里一行中的取值相加，也可以验证该性质；d 、因此，一般都采用次数较低的插值多项式逼近被积函数，通常n 的取值不得大于8。
MATLAB教程第8章MATLAB数值积分与微分
MATLAB教程第8章MATLAB数值积分与微分1.数值积分数值积分是计算函数的定积分值的近似方法。
在MATLAB中，有几个函数可以帮助我们进行数值积分。
(1) quad函数quad函数是MATLAB中用于计算一维定积分的常用函数。
它的语法如下：I = quad(fun, a, b)其中，fun是被积函数的句柄，a和b分别是积分区间的下界和上界，I是近似的积分值。
例如，我们可以计算函数y=x^2在区间[0,1]内的积分值：a=0;b=1;I = quad(fun, a, b);disp(I);(2) integral函数integral函数是在MATLAB R2024a版本引入的新函数，它提供了比quad函数更稳定和准确的积分计算。
integral函数的语法如下：I = integral(fun, a, b)其中fun、a和b的含义与quad函数相同。
例如，我们可以使用integral函数计算函数y = x^2在区间[0, 1]内的积分值：a=0;b=1;I = integral(fun, a, b);disp(I);2.数值微分数值微分是计算函数导数的近似方法。
在MATLAB中，可以使用diff 函数计算函数的导数。
(1) diff函数diff函数用于计算函数的导数。
它的语法如下：derivative = diff(fun, x)其中，fun是需要计算导数的函数，x是自变量。
例如，我们可以计算函数y=x^2的导数：syms x;fun = x^2;derivative = diff(fun, x);disp(derivative);(2) gradient函数gradient函数可以计算多变量函数的梯度。
它的语法如下：[g1, g2, ..., gn] = gradient(fun, x1, x2, ..., xn)其中fun是需要计算梯度的函数，x1, x2, ..., xn是自变量。
例如，我们可以计算函数f=x^2+y^2的梯度：syms x y;fun = x^2 + y^2;[gx, gy] = gradient(fun, x, y);disp(gx);disp(gy);以上是MATLAB中进行数值积分和微分的基本方法和函数。
第八章积分与数值积分
416
433.5 443.1 459.2 463.2 466.5 454.6 443.9 426.6
401
420.5 435.5 447.6 454.6 457.6 450.2 447.8 433.5
380.5
398.5 415.2 429.2 439.5 446.5 448.1 440.2 434.5
315.5
330.2 346.5 360.3 374.5 386.3 399.5 406.3 407.6
310.4
325.4 342.3 356.5 369.5 381.2 391.2 397.4 390.0
306.3
323.1 338.2 352.5 364.5 375.5 380.2 382.2 388.6
x a cos t 椭圆方程： y b sin t
c r s1 a 1 c ( s1 s2 ) r ( s1 r ) 2 1 c ( s2 s1 ) 2 椭圆短半轴： b a 2 c 2
s2 s1cFra bibliotek x a cos t 椭圆方程： y b sin t 1 c ( s2 s1 ) 2 1 a ( s1 s2 2r ) 2
298.5
317.0 332.5 345.2 356.4 362.1 370.5 363.5 370.0
1000
352.3
374.5
391.6
405.5
414.3
418.5
416.8
413.6
407.5
398.5
389.5
376.5
350.5
区域[0,1200;0,1000]内观测点处的高程表 （单位：米）
计算方法数值积分
计算方法数值积分数值积分也叫数值积分法，是一种利用数值计算方法来近似计算定积分的技术。
数值积分法的基本思想是将求解定积分的问题转化为连续函数的逼近问题，通过对确定的函数值进行加权平均来估计定积分的值。
数值积分法的步骤如下：1.将被积函数f(x)分割成若干个小区间；2.在每个小区间上选择一个或多个代表点，计算这些代表点的函数值；3.将这些函数值与一组预先选定的权重相乘，并将结果求和，即可得到最终的近似积分值。
常用的数值积分法有矩形法、梯形法、辛普森法等。
矩形法是数值积分中最简单粗糙的近似计算方法。
它将每个小区间上的函数值等分为一个常量，用矩形面积的和来近似计算定积分。
具体来说，矩形法可分为左矩形法、右矩形法和中矩形法三种。
其中，左矩形法以每个小区间的左端点作为代表点，右矩形法以右端点作为代表点，中矩形法以每个小区间的中点作为代表点。
梯形法是通过近似使用梯形面积来计算定积分。
它的计算思想是将每个小区间上的函数值重新排列为两个连续点的直线，并计算这些直线与x轴之间的面积和。
具体来说，梯形法通过连接每个小区间的左右两个函数值，构成一个梯形来近似计算定积分。
辛普森法是一种更加精确的数值积分方法。
它的计算思想是将每个小区间上的函数值近似为一个二次多项式，并计算这些多项式的积分值。
辛普森法使用了更多的代表点，其中每两个相邻的代表点组成一个小区间，并使用一个二次多项式来逼近这个小区间上的函数。
辛普森法的精度比矩形法和梯形法要高。
数值积分法的精度受步长的影响，步长越小，近似误差越小。
在实际计算中，需要根据被积函数的特点和计算精度的要求来选择合适的数值积分法和步长。
此外，为了提高计算精度，还可以采用自适应步长和复合数值积分等方法。
总之，数值积分是求解定积分的一种近似计算方法，其基本思想是对函数的逼近和面积的加权平均。
常用的数值积分法有矩形法、梯形法和辛普森法等，选择合适的方法和步长可以提高计算精度。
数值积分法在科学计算领域和工程实践中被广泛应用。
数值积分
2.0 引 言1.定积分的计算可用著名的牛顿-莱布尼兹公式来计算:()()()ba f x dx Fb F a =-⎰其中F (x )是f (x )的原函数之一，可用不定积分求得。
然而在实际问题中，往往碰到以下问题： 1）被积函数f (x )是用函数表格提供的；2）被积函数表达式极为复杂，求不出原函数，或求出原函数后，由于形式复杂不利于计算；3）大量函数的原函数不容易或根本无法求出，例如概率积分21x e dx-⎰，正弦型积分10sin xdx x ⎰，等根本无法用初等函数来表示其原函数，因而也就无法精确计算其定积分，只能运用数值积分。
2.所谓数值积分就是求积分近似值的方法。
§2.1 机械求积公式 2.1.1 数值积分的基本思想基本思想：定积分的几何意义：曲线)(x f y =，直线b x a x ==,与x 轴所围成得曲边梯形得面积，无论被积函数是什么形式，只要近似计算曲边梯形面积，就可求定积分的值，这就是数值求积的基本思想。
积分中值定理⎰-=baf a b dx x f )()()(ξ，点ξ具体值未知，只要对平均高度)(ξf 提供一种数值算法，相应就求得一种数值求积方法。
（1） 用f (x )的零次多项式00()()y L x f x ==来近似代替()f x ,于是，110001()(()))(x x x x f x dx f x dxf x x x ≈=-⎰⎰（为左矩公式）1101110()()()()x x x x f x dx f x dxf x x x ≈=-⎰⎰（为右矩公式）110010110()()2()()2x x x x x x f x dx f dx x x f x x +≈+=-⎰⎰（为中矩公式）（2） 用f (x )的一次多项式011010110()()()x x x x L x f x f x x x x x --=+--来近似代替()f x ,于是，[]101101010********()()1()()(()())2x x x x x x x x x x f x f x dx x x x x x f x dx L x dxx f x f x ⎛⎫--=+ ⎪--⎝⎭=-+≈⎰⎰⎰（为梯形公式）（3） 用f (x )的二次插值多项式,其中01x x x '<<011200010101101()()()()()()()()()()()()()()()()x x x x x x x x L x f x f x x x x x x x x x x x x x f x x x x x '----'=+'''----'--+'--来近似代替()f x ,于是，112()()x x x x f x dx L x dx≈⎰⎰特别地：当011()2x x x '=+时，有10100101()()()4()()62x x x x x x f x dx f x f f x -+⎡⎤≈++⎢⎥⎣⎦⎰（为Simpson 公式）一般在区间[a ,b ]上的定积分()ba f x dx⎰，就是在区间[a,b]内取n+1个点01,,,nx x x ，利用被积函数f (x )在这n+1个点的函数值的某一种线性组合来近似作为待求定积分的值，即()()nbk k a k f x dx A f x =≈∑⎰右端公式称为左边定积分的某个数值积分公式。
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x b a b
f (a ) +
x a ba
f (b )
∫
b a
f ( x )dx ≈ b a [ f ( a ) + f ( b )] 2
f(x)
考察其代数精度. 考察其代数精度. 解:逐次检查公式是否精确成立 b 梯形公式 1 dx = b a = b a [1 + 1] 代入 P0 = 1:a /* trapezoidal rule*/ : 2 ∫ 代入 P1 = x :a x dx = ∫ 代入 P2 = x2 :
( x x j )
= ∫ [ f ( x ) Ln ( x )]dx = ∫ Rn ( x )dx
a a
b
b
∫
b
a
f ( n+1) (ξ x ) n ∏ ( x xk ) dx ( n + 1)! k = 0
§1 Newton-Cotes Formulae
定义 若某个求积公式所对应的误差 f ]满足:R[ Pk ]=0 对任 若某个求积公式所对应的误差R[ 满足 满足:
注:Cotes 系数仅取决于 n 和 i, , 可查表得到. 可查表得到.与 f (x) 及区 均无关. 间[a, b]均无关. 均无关
Cotes系数 C i( n ) 系数
Trapezoidal Rule Excuses for not b ba doing ∫a f ( x)dx ≈ 2 [ f (a) + f (b)] homework = 1 代数精度 I (ξ x ) b f ′′could only get arbitrarily a+th, h = ba, 用中 HW: /* 令 x = R[ f ] = ∫ ( x a)( x b)textbook. dx close to my a 值定理 */ p.170 2! 1 3 I couldn't actually b a #3 = h f ′′(ξ ) , ξ ∈ [a , b] , h = 12 1 reach it. 1 2 1 ( ( n = 2: C 0 2 ) = , C 1( 2 ) = , C 2 2 ) = Simpson's Rule 6 3 6 b 偶数阶的 a b n 为偶数阶的Newton-Cotes a+b [ f (a ) + 4 f ( 2 ∫a f ( x)dx ≈n+1 次代数精度.) + f (b)] 代数精度 = 3 公式至少有 6 次代数精度.
k =0 n
∫
b a
f ( x )dx ≈ ∑ f ( x k ) ∫ l k ( x )dx
k =0 a
n
误差 R[ f ]
b
Ak
= ∫ f ( x )dx ∑ Ak f ( x k )
a k =0
b
n
Ak = ∫
b a
决定, 由节点 决定, ∏ j ≠ k ( xk x j ) dx 与 f (x) 无关. 无关. =
第八章 数值积分 /* Numerical Integration */
近似计算 I = ∫ f ( x )dx
a b
插值型积分公式
/*interpolatory quadrature*/
§1 Newton-Cotes 公式
思 利用插值多项式 P ( x ) ≈ f ( x ) 则积分易算. 利用插值多项式 n 则积分易算. 路 在[a, b]上取 a ≤ x0 < x1 <…< xn ≤ b,做 f 的 n 次插值 上取 , 多项式 Ln ( x ) = ∑ f ( x k )l k ( x ) ,即得到
1 5 (4) R[ f ] = h f (ξ ) , 90 ba ξ ∈ (a , b ) , h = 2
R[ f ] = 3 5 (5) h f (ξ ) 80
n = 1: C 0( 1 )
1 = , 2
C 1( 1 )
1 = 2
§1 Newton-Cotes Formulae
n = 3: Simpson's 3/8-Rule, 代数精度 = 3, n = 4: Cotes Rule, 代数精度 = 5,
意 k ≤ n 阶的多项式成立,且 R[ Pn+1 ] ≠ 0 对某个 n+1 阶多项式 的多项式成立, 成立,则称此求积公式的代数精度 代数精度为 成立,则称此求积公式的代数精度为 n . 次插值, 例:对于[a, b]上1次插值,有 L1 ( x ) = 对于 上 次插值
A1 = A2 =
ba 2
a
f(b) f(a) a b
bБайду номын сангаас
b2 a 2 2
b3 a 3 3
=
ba 2
[a + b]
[a 2 + b 2 ]
∫
b
x 2dx =
≠
ba 2
代数精度 = 1
§1 Newton-Cotes Formulae
注:形如
∑A
k =0
n
k
f ( xk ) 的求积公式至少有
b a
n 次代数精度 该
公式为插值型( 公式为插值型(即: k = ∫ l k ( x )dx ) 插值型 A 当节点等距分布 等距分布时 当节点等距分布时: xi = a + i h, h =
R[ f ] =
8 7 h f 945
(6)
(ξ )
�
xn
(x xj) Ai = ∫ ∏ dx 令 x =a+th x0 ( xi x j ) j≠i n (t j) h ( b a )( 1) n i n =∫ ∏ × h dt = ∫0 ∏j ( t j )dt 0 (i j ) h n i ! ( n i )! i≠ j i≠
ba , i = 0, 1, ... , n n