高中数学解题方法系列：平面向量最值问题的4种方法

高中数学解题方法系列：平面向量最值问题的4种方法

平面向量中的最值问题多以考查向量的基本概念、基本运算和性质为主，解决此类问题要注意正确运用相关知识，合理转化。

一、利用函数思想方法求解

例1、给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧上变动.若其中

,则的最大值是________.

分析：寻求刻画C 点变化的变量，建立目标x y +与此变量的函数关系是解决最值问题的常用途径。

解：设AOC θ∠=，以点O 为原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，

则(1,0)A ，13

(,)2B -，(cos ,sin )C θθ。

Q

13

(cos ,sin )(1,0)(,)2x y θθ∴=+-即

cos 23sin y x y θθ⎧-=⎪⎪

⎨

⎪= cos 3sin 2sin()6x y πθθθ∴+=+=+2(0)3

π

θ≤≤。

因此，当3

π

θ=

时，取最大值2。 例2、已知(1,7),(5,1),(2,1),OA OB OP ===u u u r u u u r u u u r

点Q 为射线OP 上的一个动点，当

QA QB u u u r u u u r g 取最小值时，求.OQ u u u r

分析：因为点Q 在射线OP 上，向量OQ uuu r 与OP uuu r 同向，故可以得到关于OQ uuu r

坐标的一个

关系式，再根据QA QB u u u r u u u r g

取最小值求.OQ u u u r

解：设(2,),(0)OQ xOP x x x ==≥u u u r u u u r ，则(12,7),(52,1)QA x x QB x x =--=--u u u r u u u r

OA u u u r OB uuu r 120o

AB u u u v

,OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ,x y R ∈x y +,OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r x y +图 1 1

2

2

(12)(52)(7)(1)520125(2)8

QA QB x x x x x x x ∴=--+--=-+=--u u u r u u u r g

∴当2x =时，QA QB u u u r u u u r g

取最小值-8，此时(4,2).OQ =u u u r

二、利用向量的数量积

n m n m ϖ

ϖϖϖ⋅≤⋅求最值

例3、ABC ∆三边长为a 、b 、c ，以A 为圆心,r 为半径作圆,PQ 为直径，试判断P 、Q

在什么位置时，BP CQ u u u r u u u r

g

有最大值。 分析：用已知向量表示未知向量，然后用数量积的性质求解。

解：,AB BP AP AC CQ AQ AP +=+==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

Q

2

2

2

()()

()

BP CQ AP AB AP AC r AB AC AP AB AC r AB AC AP CB AB AC AP CB r ∴=---=-++-=-++≤+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g u u u r u u u r u u u r u u u r g g u u u r u u u r u u u r u u u r g 当且仅当AP u u u r 与CB u u u

r 同向时，BP CQ u u u r u u u r g

有最大值。 三、利用向量模的性质a b a b a b -≤+≤+r r r r r r

求解

例4：已知2,(cos ,sin ),a b b θθ-==r r r 求a r

的最大值与最小值。 分析：注意到()a a b b =-+r r r r

，考虑用向量模的性质求解。

解：由条件知1b =r

。

设a b c -=r r r ，则a r =b c +r r ，

c b c b c b -≤+≤+r r r r r r Q ， ∴13a ≤≤r

。

所以当b r 与c r 同向时，a r 取最大值3；当b r 与c r 反向时，a r 取最小值1。

四、利用几何意义，数形结合求解

例5、如图，已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积中最大的是

（A ）1213PP PP ⋅u u u u r u u u u r （B ）1214PP PP ⋅u u u u r u u u u r （C ）1215PP PP ⋅u u u u r u u u u r （D ）1216PP PP ⋅u u u u r u u u u r

分析：平面向量数量积121(1,2,3,4,5,6)i PP PP i =u u u u r u u u r g 的几何意义为121i PP PP u u u u r u u u r g 等于12PP u u u u r 的长度

图 2 1

图3

与1i PP u u u r 在12PP

u u u u r 方向上的投影1121cos ,i i PP PP PP u u u r u u u u r u u u r 的乘积。显然，由图可知，13PP u u u u r 在12PP u u u u r 方向上的投影最大，故选（A ）。

例6、a b r r 与是两个夹角为1200

的单位向量，且p+q=1（p 、q ∈R ），则pa qb +r r 的最小值

是

分析: 如图3，设,,OA a OB b OC ===u u u r r u u u r r u u u r pa qb +r r 则(1)OC pOA p OB

=+-u u u r u u u r u u u r

即

BC pBA =u u u r u u u r

因此点C 在直线AB 上，显然当OC ⊥AB 时，pa qb +r r 最小，其最小值为12

。

O

A

图4 C