高中数学解题方法系列:平面向量最值问题的4种方法
求解平面向量最值问题的几个措施
探索探索与与研研究究图1B (-1,0),C (1,0),设x ,3-y ),PB =(-1-+PC )=2x 2-23y +2直线BC 为x 轴、.求得若∠AOB =150°,OA +n OB ,则3m -n 33θ),其中0°≤θ≤150°.设A (1,0),则θ=2sin æèöøθ+π3,2.故选C .以圆心为原点,两.设将问题我们无法快速求将目将问题转化为函数求得平面向量的最θ,向量c =æèöøcos 2θ2⋅,cos θ=2x -1,图2探索探索与与研研究究可得|c |2=[xa +(1-x )b]2=x 2+2x (1-x )(2x -1)+(1-x )2=-4x 3+8x 2-4x +1.令f (x )=-4x 3+8x 2-4x +1,x ∈[0,1],则f ′(x )=-4(3x -1)(x -1),由f ′(x )=0,得x =13或1.当0≤x <13时,f ′(x )<0,此时函数单调递减;当13<x <1时,f ′(x )>0,此时函数单调递增.所以f (x )min =f æèöø13=1127,故|c |min=.通过换元,将|c |2的表达式转化为关于x 的一元三次函数式.再对函数求导,根据导函数与单调性之间的关系判断出函数的单调性,求得函数的最小值,即可求得|c |min .三、利用向量的几何意义向量兼有数与形的“双重身份”,是联系代数与几何的纽带.在求解平面向量最值问题时,可根据平面向量的几何意义,如加法的三角形法则、平行四边形法则,向量的模即为向量所在线段的长,两个向量的数量积即为一个向量的模与其在另一个向量所在方向上的投影的乘积,来构造几何图形,进而根据图形的几何特征与性质求最值.例4.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点,则 AP ∙AB 的取值范围是().A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)图3解:过C 作CC ′⊥AB ,设垂足为C ′,过F 作FF ′⊥AB ,设垂足为F ′,如图3所示.因为|| AB =2,则 AP 在 AB 方向上的投影为||AP cos ∠PAB ,当P 与C 重合时,|| AP cos ∠PAB 的最大值为|||| AC ′=3,当P 与F 重合时,|| AP cos ∠PAB 的最小值为-||||F ′A =-1,故-1<|| AP cos ∠PAB <3,由向量数量积的几何意义可知, AP ⋅ AB 即为AB 的模与 AP 在 AB 方向上的投影的乘积,即 AP ⋅AB =|| AB ⋅||AP cos ∠PAB ,所以 AP ∙AB 的取值范围是(-2,6).故选A.解答本题,需灵活运用向量数量积的几何意义:AP ∙ AB 即为 AB 的模与 AP 在AB 方向上的投影的乘积,即 AP ∙ AB =|| AB ⋅|| AP cos ∠PAB .再添加辅助线,根据正六边形的结构特征,求得||AP cos ∠PAB 的取值范围,即可解题.四、利用等和线的性质等和线有如下性质:①当P 0在直线AB 上,且OP 垂直于等和线时,若 OP =k OP 0=x OA +yOB (k ,x ,y ∈R),则x +y =k .根据相似三角形的性质可知等和线之间的距离之比为|k |=|| OP|| OP 0(如图4).②当等和线恰为直线AB 时,k =1;③当等和线在点O 与直线AB 之间时,k ∈(0,1);④当直线AB 在点O 与等和线之间时,k ∈(1,+∞);⑤当等和线经过点O 时,k =0;⑥当两等和线关于点O 对称时,对应的两个定值k 互为相反数.利用等和线的性质求解最值问题的一般步骤为:(1)找到等和线为1的情形;(2)平移等和线到可行域内;(3)利用平面几何知识求出最值.例5.在矩形ABCD 中,AB =1,AD =2,动点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上.若 AP =λ AB +μAD ,则λ+μ的最大值为().A.3B.2C.2D.25图5解:如图5,设BD 与圆的相切点为P 1,则点A 到BD 的距离等于|P 1C |.当P 在P 1处时,λ+μ=1;当P 在P 1关于点C 对称的点P 2处时,λ+μ最大,此时(λ+μ)max =|P 1P 2|+|P 1C ||P 1C |=3.故选A .平面向量OP 满足: OP =λ OA +μ OB (λ,μ∈R),则点P 在直线AB上或在平行于AB 的直线上,可知图449一一一一一一一一一一一一一一一一一一λ+μ=k (定值),此时直线AB 及平行于AB 的直线为等和线,即可根据等和线的性质求得最值.五、利用极化恒等式极化恒等式:a ⋅b =14[(a +b )2-(a -b )2]是解答向量问题的重要工具.当遇到共起点的两向量的数量积最值问题时,可以考虑根据三角形法则和平行四边形法则,将两个向量的数量积的最值问题转化为两个向量的和、差的最值问题,利用极化恒等式求解.例6.如图6,在四边形ABCD 中,∠B =60°,AB =3,BC =6,且 AD =λ BC ,AD ∙ AB =-32,则实数λ的值为,若M ,N 是线段BC 上的动点,且MN =1,则DM ∙DN 的最小值为.图6解:由 AD ∙ AB =-32,得(λ BC )∙ AB =λ| BC || AB |cos ∠B=λ×6×3æèöø-12=-32,解得λ=16.分别过D ,A 作BC 的垂线,垂足分别为E ,F ,由极化恒等式得,DM ∙ DN =||DQ 2-||QM 2=|| DQ 2-æèöø122≥|| DE 2-æèöø122=|| AF 2-æèöø122=132.一般地,若在三角形ABC 中,M 为BD 的中点,由极化恒等式可得: AB ∙ AD =| AM |2-| BM |2;在平行四边形ABCD 中, AB ∙ AD =14(| AC |2-| BD |2),这样就将向量的数量积问题转化为两条线段长度的平方差问题.解答本题,需先找到定点,再根据动点的变化情况求最值可见,求解平面向量最值问题的措施很多.解题的关键是要根据解题的需求,建立合适的平面直角坐标系和关系式,灵活运用函数的性质、等和线的性质、向量的几何意义、极化恒等式进行求解.(作者单位:云南省曲靖市会泽县茚旺高级中学)探索探索与与研研究究比较函数式的大小问题通常会综合考查一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的性质和图象.解答这类问题的常用方法有:特殊值法、放缩法、中间值法、基本不等式法等.在解题时,若能选用恰当的方法,就能达到事半功倍的效果.本文主要谈一谈下列三种比较函数式大小的思路.一、利用重要不等式在比较函数式的大小时,可根据已有的经验和不等式结论来进行比较,这样能有效地提升解题的效率.常用的重要不等式有:(1)基本不等式及其变形式:若ab >0,a 、b >0,则a +b ≥2ab 、21a +1b≤ab ≤a +b 2≤,当且仅当a =b 时等号成立;(2)切线不等式:e x +1、ln x ≤x -1;(3)柯西不等式:a ,b ,x ,y ∈R ,()a2+b 2()x 2+y 2≥(ax +by )2,(ax -by )2≥()a 2-b 2()x 2-y 2;等等.例1.设a =0.1e 0.1,b =19,c =-ln 0.9,请比较a ,b ,c的大小.解:由于b =19=109-1,c =-ln 0.9=ln 109,令x =-0.1,由切线不等式:e x ≥x +1,当且仅当x =0时等号成立,可得e -0.1>-0.1+1=0.9,则e 0.1<109,所以0.1e 0.1<0.1×109=19,即a <b ,令x =109,由切线不等式:e x≥x +1,得:ln 109<109-1=19,即c <b ,而e 0.1>0.1+1=1.1,则0.1e 0.1>0.1×1.1=0.11,由重要不等式:当x >1时,恒有ln x <12(x -1x )成立,可知-ln 0.9=ln 109<12(109-910)=19180<0.11,50。
平面向量的最值问题
平面向量的最值问题
平面向量的最值问题指的是求平面向量的最大值和最小值的问题。
在求解平面向量的最值问题时,一般可以通过以下几种常用的方法进行求解:
1. 向量的模的最大值和最小值:对于平面向量a=(x,y),其模的最大值和最小值分别为:
最大值:|a| = √(x^2 + y^2)
最小值:|a| = 0
2. 向量的投影的最大值和最小值:对于平面向量a=(x,y),其在某个方向上的投影的最大值和最小值分别为:
最大值:|proj_u a| = |a|·cosθ,其中θ为a与u的夹角
最小值:|proj_u a| = 0
3. 向量的点乘的最大值和最小值:对于平面向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2),其点乘的最大值和最小值分别为:
最大值:a·b = |a|·|b|·cosθ,其中θ为a与b的夹角
最小值:a·b = |a|·|b|·cosθmin,其中θmin为a与b的夹角的最小值,即θmin=0时
需要注意的是,以上方法中的最大值和最小值都是相对于给定的条件和向量范围的。
具体在实际问题中求解向量的最值时,需要根据具体的条件和向量的性质进行分析和计算。
平面向量解题方法完全归纳与总结
平面向量解题方法完全归纳与总结
平面向量解题方法完全归纳与总结!
1、基底法
在处理平面向量问题时,有一类是所求的向量模长和夹角是在变化的,我们利用平面向量的基本定理,选取一组不共线的且模长和夹角知道的非零向量作为基底,把所求向量都用所选基底表示来处理问题.
2、平方法
在向量中,遇到和模长有关的问题,很多时候都可以考虑把相关式子两边同时平方来处理,并且要灵活运用:向量的平方等于它模长的平方这个规律
3、投影法
①我们可以理解成:两向量的数量积等于他们各自的模长,乘以它们夹角的余弦值;
②也可以理解成:两向量的数量积等于其中一个向量的模长,乘以另外一个向量在它上面的投影;
4、坐标法
几何问题代数化是数学中比较重要的一个思想方法,在平面向量中,这个思想在处理很多问题时比较“直接无脑”。
只要题目中给出了向量之间的夹角就可以考虑使用坐标来处理向量问题。
5、数形结合法
在处理一些平面向量的问题时,需要利用图形,结合向量的运算法则,综合分析,来处理一些动态变化问题。
这类问题主要包含:圆上动点、直线上动点等。
6、三点共线结论及其推广
7、绝对值不等式
8、极化恒等式
9、等和线
以上就是老师对高中数学向量这一板块的解题方法汇总总结,这
些方法足以应付高中数学中出现的向量题型,当然有同学想要更深入一些关于向量的解题方法的话还需要学习三角形与向量的五心相关知识,更高层次的还有复数与向量结合这种强基计划或者竞赛中的一些知识,这些我们在后期的一些文章当中会涉及。
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例析平面向量的最值问题的几种解法
ʏ刘长柏平面向量融合了代数㊁几何及三角函数等知识,在求其最值时,解题方法呈现出多样性㊂下面对平面向量的最值问题的几种解法进行归纳,意在抛砖引玉㊂一㊁基底法例1 已知点A ,B ,C 在圆x 2+y 2=1上运动,且A B ʅB C ,若点P 的坐标为(2,0),则|P A ң+P B ң+P C ң|的最大值为㊂解:设原点为O ㊂因为A B ʅB C ,所以A C 是圆O 的直径,所以|P A ң+P B ң+P C ң|=|2P O ң+P B ң|=|3P O ң+O B ң|ɤ3|P O ң|+|O B ң|=7,当且仅当P O ң,O B ң同向时等号成立㊂故所求的最大值为7㊂本题通过选择合适的基底向量,把三个动向量转化为只有一个动向量(O B ң),从而使问题得到解决㊂利用基底法解决问题时,首先需要考虑的是如何选择基底㊂二㊁坐标系法例2 已知矩形A B C D 的边长A B =2,A D =1,点P ,Q 分别在B C ,C D 上,且øP A Q =45ʎ,则A P ң㊃A Q ң的最小值是㊂解:以矩形A B C D 的顶点A 为原点,A B ,A D 所在的直线分别为x 轴,y 轴,建立平面直角坐标系x A y (图略)㊂易得A (0,0),B (2,0),C (2,1),D (0,1)㊂设P (2,y ),Q (x ,1)(0ɤx ɤ2,0ɤy ɤ1)㊂因为øP A Q =45ʎ,所以t a n 45ʎ=1x -y21+1x ㊃y 2,即y =2-2x 1+x ㊂因为A P ң㊃A Q ң=2x +y =2x +2-2x 1+x =2(1+x )+41+x -4ȡ42-4,当且仅当2(1+x )=41+x ,即x =2-1时等号成立㊂故A P ң㊃A Q ң的最小值为42-4㊂ 合理建立坐标系,由点的坐标转化为向量坐标的代数运算是坐标法解决向量问题的关键㊂三㊁构造函数法例3 等边三角形A B C 的边长为2,点P 为线段A B 上一点,且A P ң=λA B ң(0ɤλɤ1),则A P ң㊃C P 的最小值是,最大值是㊂解:A P ң㊃C P ң=A P ң㊃(A P ң-A C ң)=λA B ң㊃(λA B ң-A C ң)=4λ2-2λ=4λ-14()2-14㊂因为0ɤλɤ1,所以A P ң㊃C P ң的最小值为-14,最大值为2㊂本题主要是借助边长,将数量积转化为二次函数,利用二次函数的最值求解的㊂四㊁利用平面几何知识例4 已知向量a ,b ,c 满足|a |=4,|b |=22,a 与b 的夹角为π4,(c -a )㊃(c -b )=-1,则|c -a |的最大值为㊂解:设O A ң=a ,O B ң=b ,O C ң=c ㊂以O A所在的直线为x 轴,O 为坐标原点,建立平面直角坐标系x O y (图略)㊂由|a |=4,|b |=22,a 与b 的夹角为π4,可得A (4,0),B (2,2)㊂设C (x ,y ),由(c -a )㊃(c -b )=-1,可得(x -3)2+(y -1)2=1,此方程表示以(3,1)为圆心,1为半径的圆㊂|c -a |表示点A 与点C 的距离,即圆上的点与点A (4,0)的距离㊂因为圆心(3,1)到点A (4,0)的距离为2,所以|c -a |的最大值为2+1㊂解答这类问题,要熟练掌握与平面向量有关的三角形㊁平行四边形㊁圆㊁直线等平面几何知识㊂作者单位:江苏省盐城市时杨中学(责任编辑 郭正华)3数学部分㊃知识结构与拓展高一使用 2022年2月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
解答平面向量最值问题的三种路径
平面向量最值问题主要考查平面向量的公式、定理的应用,对同学们的计算能力与综合分析能力都有较高的要求.此类问题的常见命题形式有:(1)求某个向量的模的最值;(2)求某两个向量数量积的最值;(3)求某个代数式的最值.本文以几个题目为例,详细介绍解答平面向量最值问题的几个路径.一、运用坐标系法若平面向量最值问题中涉及的图形为规则图形,就可以根据图形的特征,寻找相互垂直的两条直线,将其视为x 轴与y 轴,建立平面直角坐标系.求得各个点的坐标与线段的方向向量,并将其代入目标式,即可将问题转化为求某个代数式的最值.运用坐标系法解题比较直观、便捷.例1.如图所示, OA , OB 的模长均为1,其夹角为120°,C 点在以O 为圆心的弧AB 上运动,若OC =x OA +yOB ,求x +y 的最大值.解:以O 为圆心,以OA 为x 轴的正方向,建立平面直角坐标系,设∠AOC =α,可得A (1,0),B (-12,,C (cos α,sin α),因为 OC =x OA +y OB ,所以(cos α,sin α)=x (1,0)+y (-12,,则ìíîïïïïx =cos αα,y =α,所以x +y =cos α+αα=2sin (α+π6),由于0≤α≤23π,所以π6≤α+π6≤56π,可知sin (α+π6)≤1,所以当α=π3时,x +y 取得最大值,其最大值为2.运用坐标系法解题的关键在于建立合适的平面直角坐标系,这里以O 为原点,以OA 为x 轴的正方向,垂直于OA 的直线为y 轴,建立平面直角坐标系.设∠AOC =α,便能根据题意快速求得A 、B 、C 三点的坐标以及x +y 的表达式,最后根据正弦函数的有界性就能求出最值.二、采用基底法基底法是求解平面向量最值问题的重要方法.我们知道,平面内的任意一个向量都可以用一组基底来表示.那么在求解平面向量最值问题时,可将目标向量用一组合适的基底表示出来,通过基底之间的数乘、加减运算以及数量积公式求得最值.例2.已知点A ,B ,C 在圆x 2+y 2=1上,P (2,0),AB ⊥BC ,求|| PA + PB +PC 的最大值.解:因为AB ⊥BC ,所以AC 是圆x 2+y 2=1的直径,又因为 PB = PO + OB , PB + PC =2 PO ,所以|| PA + PB + PC =||3 PO + OB ≤3|| PO +|| OB=7,当且仅当 PO 和OB 同向时等号成立.故|| PA + PB + PC 的最大值为7.解答该题,需注意将数形结合,根据图形明确各个点的位置关系,选取合适的基底 PO 和 OB ,并用基底来表示出|| PA + PB + PC ,最后利用绝对值不等式的性质求得最值.三、利用函数性质法有些平面向量最值问题中的目标式较为复杂,很难快速求得最值,此时不妨选取合适的变量,根据目标式的特征构造函数模型,将平面向量最值问题转变成函数最值问题,利用函数的图象与性质求最值.例3.已知扇形AOB 的半径为2,∠AOB =120°,如果点C 为扇形圆弧上的一动点,OC 与AB 相交于点P ,求 OP ∙ AP 的最小值.解:由题意可得:AB =23,设 AP =tAB ,0≤t ≤1,则 OP = OA +t AB ,所以 OP ∙ AP =t 2 AB 2+t OA ∙ AB =12t 2-6t =12(t -14)2-34≥-34,所以当t =14时,12(t -14)2-34取得最小值-34,所以 OP ∙ AP 的最小值为-34.解答本题,要先根据平面向量的共线定理,引入参数t ,求得 OP ∙AP 的表达式;然后将其视为关于t 的函数式,对其配方,根据二次函数的性质求得最小值.求解平面向量最值问题的路径很多,在遇到不同题目时,可以从多个方面进行考虑,根据题意和解题经验选择最合适的、最简单的路径求解,有时也需综合运用多个路径来解题.(作者单位:南京大学附属中学)张子超备考指南52。
如何解答平面向量最值问题
4x 4y
4
解题宝典
性运算法则、数量积公式来求向量模的表达式,再求
该表达式的最值,即可求得向量的模的最值.还可以根
据向量的几何意义构造出几何图形,将所求向量的模
y
≥ 1 (5 + 2 ∙4x ) = 9 ,
x y
4
4
看作三角形、四边形的一条边长,确定向量的模取最
当且仅当
∠ADC = 90°,
例3.已知直角梯形 ABCD 中,AD//BC,
1
= AM +
AN,
4x
4y
图1
有些平面向量最值问题中含有参数,要求参数的
最值或取值范围,需根据题意建立关于参数的关系
式,将问题转化为求代数式的最值问题,利用基本不
等式、函数的性质来求最值.还可以根据题意和向量加
减法的几何意义:三角形法则和平行四边形法则,画
a
(1)数列的通项公式 n ;
解:
(1)要使 C
{
-A
2m - 2
11 - 3m
2
数学篇
40
76
77
77
77
因 为 77 - 15 =(76 + 1) - 15 = 76 + C177·76 + ⋯
+C - 15 = 76(76 + C ·76 + ⋯ + C ) + 1 - 15 = 4 × 19
因为 BM = x BA + y BD = 2x BE + y BD ,
y
所以 λBN = 2x BE + y BD ,
解答平面向量最值问题的几个“妙招”
思路探寻由于ΔABC 与ΔABD 的底边相同,所以它们的面积之比就是它们在AB 边上的高之比,不难发现这两个三角形的高CE 和DE 的夹角就是二面角的平面角,可直接运用射影面积法,求得两个三角形ΔABC 与ΔABD 的面积,即可解题.三、采用垂面法由二面角的平面角的定义可知两个半平面的公垂面与二面角的棱垂直,因此公垂面与两个半平面的交线所成的角,就是二面角的平面角.如图5,若平面OABC 为二面角α-a -β的公垂面,则这个二面角的平面角为∠COB .运用垂面法解题,要先根据面面垂直的判定定理证明公垂面与二面角的两个半平面都垂直,才能确定二面角的平面角.图5图6例3.如图6,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =AA 1=2,BC =3,E ,F 分别为CD 1,AB 的中点.(1)求证:EF ∥平面BB 1C 1C ;(2)求二面角F -CD 1-D 的余弦值.解:(1)过程略;(2)设CD 的中点为P ,连接FP ,过点P 作CD 1的垂线,垂足为H .在长方体中,由FP ⊥CD 可得FP ⊥CD 1,因为PH ⊥CD 1,PH ⋂FP =P ,所以CD 1⊥平面FHP ,所以FH ⊥CD 1,则∠FHP 为二面角F -CD 1-D 的平面角.因为∠FPH =π2,且FP =BC =3,则HP =12DE=2所以FH =HP 2+FP 2=,所以cos ∠FHP =HPFH .即二面角F -CD 1-D 的余弦值为.运用垂面法解题时,可以找到一个与二面角的棱垂直的平面,那么根据面面垂直的判定定理可知这个平面即为二面角的公垂面.在本题中,我们根据CD 1⊥平面FHP ,确定平面FHP 为二面角的公垂面,从而找到二面角的平面角∠FHP .总之,在求解二面角问题时,我们需根据解题需求,采用三垂线法、射影面积法、垂面法来确定二面角的平面角,再根据平面几何知识,如勾股定理、正余弦定理来求平面角的大小.(作者单位:江苏省淮安市楚州中学)平面向量最值问题的常见命题形式有:(1)求两个向量数量积的最值;(2)求某个向量的模的最值;(3)求参数或代数式的最值.平面向量最值问题具有较强的综合性,对学生的运算和分析能力有较高的要求.下面以一道平面向量最值问题为例,谈一谈解答此类问题的“妙招”.题目:已知平面向量a ,b ,c (c ≠0)满足|a |=1,|b|=2,a ∙b =0,(a -b )∙c =0,若向量d 在a ,b 方向上的投影分别为x ,y ,d -a 在向量c方向上的投影为z ,则x 2+y 2+z 2的最小值为______.题目中给出的条件较多,需先根据题意理清各种关系,根据向量的模的公式、数乘运算法则、数量积公式、投影的定义建立关于x 、y 、z 的关系式,将目标式中变量的个数减少,从而将问题转化为求代数式的最值;再利用配方法、柯西不等式、导数法、数形结合法求解.一、配方配方法只适用于解答含有二次式的代数问题.若平面向量最值问题中的目标式为二次式,则可采用配方法.先将目标式配成完全平方式;然后根据完全平方式恒大于或等于0的性质,令完全平方式为0,即可求得目标式的最小值.解法1.∵a ∙b =0,∴a ⊥b,以a ,b两个向量的起点为原点建立平面直角坐标系,设a =(1,0),b =(0,2),c =(m ,n ),∵(a -b)∙c =0,∴m -2n =0,即m =2n ,∴c =(2n ,n )(n ≠0).∵d在a ,b 方向上的投影分别为x ,y ,∴d =(x ,y ),∵d -a 在c方向上的投影为z ,∴z =(d -a )∙c ||c =,吴仕明48思路探寻5的最小值为25.看作线段OP长度的平到直线2x+y-2=0的距离便可将问题转化为距离问题,通过研究点O、以及直线之间的位置关系确定目标式取最小值最后根据两点间的距离公式、点到直线的距我们从四种不同的角度寻找到解答这道平面向。
高中数学解题方法系列:平面向量最值问题的4种方法
高中数学解题方法系列:平面向量最值问题的4种方法平面向量中的最值问题多以考查向量的基本概念、基本运算和性质为主,解决此类问题要注意正确运用相关知识,合理转化。
一、利用函数思想方法求解例1、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ,它们的夹角为120o .如图所示,点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+ 其中,x y R ∈,则x y +的最大值是________.分析:寻求刻画C 点变化的变量,建立目标x y +与此变量的函数关系是解决最值问题的常用途径。
解:设AOC θ∠=,以点O 为原点,OA 为x 轴建立直角坐标系,则(1,0)A ,13(,)22B -,(cos ,sin )C θθ。
,OC xOA yOB =+ 1(cos ,sin )(1,0)()22x y θθ∴=+-即cos 2sin 2y x θθ⎧-=⎪⎪=⎪⎩cos 2sin()6x y πθθθ∴+=+=+2(0)3πθ≤≤。
因此,当3πθ=时,x y +取最大值2。
例2、已知(1,7),(5,1),(2,1),OA OB OP === 点Q 为射线OP 上的一个动点,当QA QB 取最小值时,求.OQ 分析:因为点Q 在射线OP 上,向量OQ 与OP 同向,故可以得到关于OQ 坐标的一个关系式,再根据QA QB 取最小值求.OQ 解:设(2,),(0)OQ xOP x x x ==≥ ,则(12,7),(52,1)QA x x QB x x =--=-- 图1122(12)(52)(7)(1)520125(2)8QA QB x x x x x x x ∴=--+--=-+=-- ∴当2x =时,QA QB 取最小值-8,此时(4,2).OQ = 二、利用向量的数量积n m n m⋅≤⋅求最值例3、ABC ∆三边长为a 、b、c ,以A 为圆心,r 为半径作圆,PQ 为直径,试判断P、Q在什么位置时,BP CQ 有最大值。
高中数学中平面向量问题的四大解题策略
高中数学中平面向量问题的四大解题策略“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一,是高中数学知识体系的重要组成部分,高考每年都考,题型主要有选择题、填空题,也可以与其他知识相结合在解答题中出现,平面向量在培养学生良好学习素养、提升学习解题能力中发挥着重要作用。
近年来,随着新课程改革,平面向量章节知识内容所占比重逐步加大。
掌握灵活、多样、实用的解题方法和策略是学好平面向量知识的重要条件和基本要义。
下面例举四个方法解决平面向量问题。
1 数形结合思想由于向量具有“数”与“形”双重身份,利用数形结合思想,将问题内容通过图形形式进行有效展示,并抓住内在关联,进行求解,会使得问题得到事半功倍的效果。
例1:①已知O为△ABC内一点,若对任意k∈R,恒有|OA-OB-kBC|≥|AC|,△ABC一定是()A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定分析:∵|OA-OB-kBC|=|BA-kBC|≥|AC|根据向量的数乘和减法的几何意义可知|■|为的最小值,由图形可知■⊥■。
所以选A。
②已知■=(2,0),■=(2,2),■=(■cosα,■sinα),则■与■夹角的取值范围是()A.[■,■]B.[■,■]C.[■,■]D.[■,■]分析:此题虽然所给条件主要是向量的坐标形式,但用坐标法来解决此类问题,计算量和难度相当大,但注意观察向量■=(■cosα,■sinα)会发现。
所以A点的轨迹是以点C(2,2)为圆心、2为半径的圆,作出图象如图,从图中可知两向量■与■夹角的取值范围是[■,■]。
通过以上两例体现出数形结合思想对解题对过程的简洁作用。
2 转化合思想利用三角形法则,向量共线定理,三角形的中线向量性质以及向量模的运算转化为向量的运算等都是进行向量转化的常用技巧;例2:①[2012·课程标准卷] 已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=■,则|b|=________。
最全归纳平面向量中的范围与最值问题 (十大题型)(学生版)
最全归纳平面向量中的范围与最值问题目录题型一:三角不等式题型二:定义法题型三:基底法题型四:几何意义法题型五:坐标法题型六:极化恒等式题型七:矩形大法题型八:等和线题型九:平行四边形大法题型十:向量对角线定理方法技巧总结技巧一.平面向量范围与最值问题常用方法:(1)定义法第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步:运用基木不等式求其最值问题第三步:得出结论(2)坐标法第一步:根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步:将平面向量的运算坐标化第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解(3)基底法第一步:利用其底转化向量第二步:根据向量运算律化简目标第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论(4)几何意义法第一步:先确定向量所表达的点的轨迹第二步:根据直线与曲线位置关系列式第三步:解得结果技巧二.极化恒等式(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和:|a +b |2+|a -b |2=2(|a|2+|b |2)证明:不妨设AB =a ,AD =b ,则AC =a +b ,DB =a -bAC 2=AC 2=a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2①DB 2=DB 2=a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2②①②两式相加得:AC 2+DB 2=2a 2+b 2 =2AB 2+AD 2 (2)极化恒等式:上面两式相减,得:14a +b 2-a -b 2 ----极化恒等式①平行四边形模式:a ⋅b =14AC 2-DB 2几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14.②三角形模式:a ⋅b =AM 2-14DB 2(M 为BD 的中点)技巧三.矩形大法矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O 是矩形ABCD 与所在平面内任一点,证明:OA 2+OC 2=OB 2+OD 2.【证明】(坐标法)设AB =a ,AD =b ,以AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy ,则B (a ,0),D (0,b ),C (a ,b ),设O (x ,y ),则OA 2+OC 2=(x 2+y 2)+[(x -a )2+(y -b )2]OB 2+OD 2=[(x -a )2+y 2]+[x 2+(y -b )2]∴OA 2+OC 2=OB 2+OD 2技巧四.等和线(1)平面向量共线定理已知OA =λOB +μOC ,若λ+μ=1,则A ,B ,C 三点共线;反之亦然.(2)等和线平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ,OP =λOA +μOB(λ,μ∈R ),若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上,则λ+μ=k (定值),反之也成立,我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线.①当等和线恰为直线AB 时,k =1;②当等和线在O 点和直线AB 之间时,k ∈(0,1);③当直线AB 在点O 和等和线之间时,k ∈(1,+∞);④当等和线过O 点时,k =0;⑤若两等和线关于O 点对称,则定值k 互为相反数;技巧五.平行四边形大法1.中线长定理2AO 2=AB 2+AD 2-12DB 22.P 为空间中任意一点,由中线长定理得:2PO 2=PA 2+PC 2-12AC 22PO 2=PD 2+PB 2-12DB 2两式相减:PA 2+PC 2-PD 2+PB 2=AC2-BD 22=2AB ⋅AD技巧六.向量对角线定理AC ⋅BD =(AD 2+BC 2)-(AB 2+CD2)2必考题型归纳题型一:三角不等式1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ,b ,c 满足|a |=2,|b |=1,|c -a -b |=1,若对任意c ,(c -a )2+(c-b )2≤11恒成立,则a ⋅b 的取值范围是.2(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足:|a|=1,b ⋅a =-1,若对满足条件的任意向量b ,|c -b |≥|c -a |恒成立,则cos c +a ,a 的最小值是.3已知向量a ,b ,c 满足a =b =c =2,a ⋅b =0,若关于t 的方程ta +b2-c=12有解,记向量a ,c 的夹角为θ,则sin θ的取值范围是.1.已知e 1 ,e 2 ,e 3 是平面向量,且e 1 ,e 2 是互相垂直的单位向量,若对任意λ∈R 均有e 3 +λe 1的最小值为e 3 -e 2 ,则e 1 +3e 2 -e 3 +e 3 -e 2的最小值为.2.已知平面向量e 1 ,e 2 满足2e 2 -e 1 =2,设a =e 1 +4e 2 ,b =e 1 +e 2 ,若1≤a ⋅b ≤2,则|a|的取值范围为.3.(2023·浙江金华·统考一模)已知平面向量a ,b ,c 满足a ⋅b =74,|a -b |=3,(a -c )(b -c)=-2,则c的取值范围是.1已知向量a ,b 的夹角为π3,且a ⋅b =3,向量c 满足c =λa +1-λ b 0<λ<1 ,且a ⋅c =b ⋅c ,记x =c ⋅a a ,y =c ⋅b b,则x 2+y 2-xy 的最大值为.2(2023·四川成都·高二校联考期中)已知向量a ,b ,c 满足a =1,b=2,a ⋅b =-1,向量c -a与向量c -b 的夹角为π4,则c 的最大值为.3(2023·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知向量a ,b 满足a =1,b=3,且a ⊥b ,若向量c满足c -a -b =2a -b ,则c的最大值是.1.已知向量a ,b 满足a =1,b =3,且a ⋅b =-32,若向量a -c 与b -c 的夹角为30°,则|c |的最大值是.2.已知向量a ,b ,满足a =2b =3c =6,若以向量a ,b 为基底,将向量c 表示成c =λa+μb (λ,μ为实数),都有λ+μ ≤1,则a ⋅b的最小值为3.已知向量a 、b 满足:a -b =4,a =2b .设a -b 与a +b的夹角为θ,则sin θ的最大值为.1.已知菱形ABCD 的边长为2,∠BAD =120°,点E ,F 分在边BC ,CD 上,BE =λBC ,DF=μDC .若λ+μ=23,则AE ⋅AF 的最小值为.2.(2023·天津·高三校联考阶段练习)已知菱形ABCD 的边长为2,∠BAD =120°,点E 、F 分别在边BC ,CD 上,BE =λBC ,DF =μDC ,若2λ+μ=52,则AE ⋅AF 的最小值.3.如图,菱形ABCD 的边长为4,∠BAD =30°,M 为DC 的中点,若N 为菱形内任意一点(含边界),则AM ⋅AN的最大值为.4.菱形ABCD 的边长为4,∠BAD =30°,若N 为菱形内任意一点(含边界),则AB ⋅AN的最大值为.5.如图,菱形ABCD 的边长为4,∠BAD =60°,M 为DC 的中点,若N 为菱形内任意一点(含边界),则AM ⋅AN的最大值为.6.平面四边形ABCD 是边长为2的菱形,且∠A =120°,点N 是DC 边上的点,且DN =3NC,点M 是四边形ABCD 内或边界上的一个动点,则AM ⋅AN的最大值为.7.(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ,b 满足a +b =3,a ⋅b =0.若c =λa+1-λ b ,且c ⋅a =c ⋅b ,则c 的最大值为.8.已知平面向量a ,b ,c 满足a =2,b =1,a ⋅b =-1,且a -c 与b -c 的夹角为π4,则c 的最大值为.9.已知平面向量a 、b 、c 满足a =4,b =3,c =2,b ⋅c =3,则a -b 2a -c 2-a -b ⋅a -c 2最大值为.10.在△ABC 中,M 为边BC 上任意一点,N 为AM 的中点,且满足AN =λAB +μAC,则λ2+μ2的最小值为.题型四:几何意义法1(2023·全国·模拟预测)已知a ,b ,c 是平面向量,满足a -b =a +b ,a =2b =2,c +a -b=5,则向量c 在向量a上的投影的数量的最小值是.2(2023·上海浦东新·上海市建平中学校考三模)已知非零平面向量a ,b ,c 满足:a ,b 的夹角为π4,c -a与c -b 的夹角为3π4,a -b=2,c -b =1,则b ⋅c 的取值范围是.3(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b 夹角为π3,且平面向量c 满足c -a =c -b =1,c -a ⋅c -b =-12,记m 为f t =ta +1-t b (t ∈R )的最小值,则m 的最大值是.1.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足a ⋅b =-3,a -b =4,c -a 与c -b 的夹角为π3,则c -a -b 的最大值为.2.(2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考开学考试)已知非零平面向量a ,b ,c 满足:a ,b 的夹角为π3,c -a 与c -b 的夹角为2π3,a -b=23,c -b =2,则b ⋅c 的取值范围是.3.已知非零平面向量a ,b ,c 满足a -b =2,且(c -a )⋅(c -b )=0,若a 与b 的夹角为θ,且θ∈π6,π3,则|c |的最大值是.4.(2023·全国·高三专题练习)平面向量a ,b ,c 满足:a ,b 的夹角为π3,|a -b|=|b -c |=|a -c |=23,则b ⋅c的最大值为.5.(2023·广东阳江·高二统考期中)已知非零平面向量a ,b ,c 满足a -b =4,且a -c⋅b -c =-1,若a 与b 的夹角为θ,且θ∈π3,π2,则c 的模取值范围是. 6.(2023·浙江·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c ,若a =b =a -b =1,且2a -c+2b +c =23,则a -c的取值范围是.7.(2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末)已知向量a ,b 满足a =b =1,且a ⋅b=0,若向量c 满足c +a +b =1,则c的最大值为.8.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ,b ,c 满足a -b +c =2b =2,b -a 与a的夹角为3π4,则c 的最大值为.9.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足:a -b =5,向量a与向量b 的夹角为π3,a -c =23,向量a -c 与向量b -c 的夹角为2π3,则a 2+c 2的最大值为.题型五:坐标法1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ,b 满足2a +b =3,b =1,则a +2a +b的最大值为.2(2023·江苏常州·高三统考期中)已知平面向量a ,b ,c 满足|a |=2,|b |=4,a ,b 的夹角为π3,且(a -c )⋅(b -c )=2,则|c |的最大值是.3设平面向量a ,b ,c 满足a =b =2,a 与b 的夹角为2π3,a -c ⋅b -c =0则c 的最大值为.1.(2023·安徽滁州·校考三模)已知平面向量a ,b ,c 满足|a |=1,|b |=3,a ⋅b =0,c -a 与c-b 的夹角是π6,则c ⋅b -a 的最大值为.2.(2023·河北·统考模拟预测)如图,在边长为2的正方形ABCD 中.以C 为圆心,1为半径的圆分别交CD ,BC 于点E ,F .当点P 在劣弧EF 上运动时,BP ⋅DP的最小值为.3.(2023·山东·山东省实验中学校考一模)若平面向量a ,b ,c 满足a =1,b ⋅c =0,a ⋅b =1,a⋅c=-1,则b +c 的最小值为.4.(2023·四川眉山·仁寿一中校考一模)如图,在平面四边形ABCD 中,∠CDA =∠CBA =90°,∠BAD =120°,AB =AD =1,若点E 为CD 边上的动点,则AE ⋅BE的最小值为.5.(2023·安徽滁州·校考模拟预测)已知a=1,b +a +b -a =4,则b -14a 的最小值是.6.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ,b 满足a =3,且b -λa的最小值为1(λ为实数),记a ,b =α,a ,a-b=β,则b ⋅b -a cos α+β最大值为.7.在矩形ABCD 中,AB =4,AD =3,M ,N 分别是AB ,AD 上的动点,且满足2AM +AN =1,设AC =xAM +yAN ,则2x +3y 的最小值为()A.48B.49C.50D.51题型六:极化恒等式1(2023·山东师范大学附中模拟预测)边长为1的正方形内有一内切圆,MN 是内切圆的一条弦,点P 为正方形四条边上的动点,当弦MN 的长度最大时,PM ⋅PN的取值范围是.2(2023·湖北省仙桃中学模拟预测)如图直角梯形ABCD 中,EF 是CD 边上长为6的可移动的线段,AD =4,AB =83,BC =12,则BE ⋅BF的取值范围为.3(2023·陕西榆林·三模)四边形ABCD 为菱形,∠BAC =30°,AB =6,P 是菱形ABCD 所在平面的任意一点,则PA ⋅PC的最小值为.1.(2023·福建莆田·模拟预测)已知P 是边长为4的正三角形ABC 所在平面内一点,且AP=λAB +(2-2λ)AC (λ∈R ),则PA ⋅PC 的最小值为()A.16B.12C.5D.42.(2023·重庆八中模拟预测)△ABC 中,AB =3,BC =4,AC =5,PQ 为△ABC 内切圆的一条直径,M 为△ABC 边上的动点,则MP ⋅MQ的取值范围为()A.0,4B.1,4C.0,9D.1,9题型七:矩形大法1已知圆C 1:x 2+y 2=9与C 2:x 2+y 2=36,定点P (2,0),A 、B 分别在圆C 1和圆C 2上,满足PA ⊥PB ,则线段AB 的取值范围是.2在平面内,已知AB 1 ⊥AB 2 ,OB 1 =OB 2 =1,AP =AB 1 +AB 2 ,若|OP |<12,则|OA |的取值范围是()A.0,52B.52,72C.52,2D.72,23(2023·全国·高三专题练习)已知圆Q :x 2+y 2=16,点P 1,2 ,M 、N 为圆O 上两个不同的点,且PM⋅PN =0若PQ =PM +PN ,则PQ 的最小值为.1.设向量a ,b ,c 满足|a |=|b |=1,a ⋅b =12,(a -c )⋅(b -c )=0,则|c|的最小值是()A.3+12B.3-12C.3D.1题型八:等和线1如图,边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ,P 为圆O 上任一点,若AP =xAB +yAC,则2x +2y 的最大值为()A.83B.2C.43D.12在△ABC 中,M 为BC 边上任意一点,N 为线段AM 上任意一点,若AN =λAB +μAC(λ,μ∈R ),则λ+μ的取值范围是()A.0,13B.13,12C.[0,1]D.[1,2]3(2023·全国·高三专题练习)如图,OM ∥AB ,点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且OP =xOA +yOB .当x =-12时,y 的取值范围是()A.0,+∞B.12,32C.12,+∞ D.-12,321.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中,∠AOB =60°,C 为弧AB 上的一动点,若OC=xOA +yOB ,则3x +y 的取值范围是.2.(2023·江西上饶·统考三模)在扇形OAB 中,∠AOB =60°,C 为弧AB 上的一个动点.若OC=xOA +yOB ,则2x +y 的取值范围是.3.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中,OA =1,∠AOB =π3,C 为弧AB 上的一个动点,若OC =xOA +yOB ,则x +3y 的取值范围是.4.(2023·福建三明·高二三明一中校考开学考试)如图,在扇形OAB 中,∠AOB =π3,C 为弧AB 上的一个动点,若OC =xOA +yOB,则x +4y 的取值范围是.5.(2023·全国·高三专题练习)如图,OM ⎳AB ,点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且OP =xOA +yOB,则实数对x ,y 可以是()A.-14,34B.-15,75C.14,-12D.-23,236.如图,B 是AC 的中点,BE =2OB ,P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点,且OP=xOA +yOBx ,y ∈R ,则下列结论正确的个数为()①当x =0时,y ∈2,3②当P 是线段CE 的中点时,x =-12,y =52③若x +y 为定值1,则在平面直角坐标系中,点P 的轨迹是一条线段④x -y 的最大值为-1A.1B.2C.3D.47.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中,AB =AC=AB ⋅AC=2,点Q 在线段BC (含端点)上运动,点P 是以Q 为圆心,1为半径的圆及内部一动点,若AP =λAB +μAC,则λ+μ的最大值为()A.1B.33C.3+33D.328.在△ABC 中,AD 为BC 上的中线,G 为AD 的中点,M ,N 分别为线段AB ,AC 上的动点(不包括端点A ,B ,C ),且M ,N ,G 三点共线,若AM =λAB ,AN =μAC,则λ+4μ的最小值为()A.32 B.52C.2D.949.(2023·全国·高三专题练习)在ΔABC 中,AC =2,AB =2,∠BAC =120°,AE =λAB ,AF=μAC ,M 为线段EF 的中点,若AM =1,则λ+μ的最大值为()A.73B.273C.2D.21310.在扇形OAB 中,∠AOB =60o ,OA =1,C 为弧AB 上的一个动点,且OC =xOA +yOB.则x +4y 的取值范围为()A.[1,4)B.[1,4]C.[2,3)D.[2,3]11.(2023·全国·高三专题练习)如图,在扇形OAB 中,∠AOB =600,C 为弧AB 上且与A ,B 不重合的一个动点,且OC =xOA +yOB,若u =x +λy (λ>0)存在最大值,则λ的取值范围为()A.(1,3)B.13,3C.12,1D.12,2题型九:平行四边形大法1如图,圆O 是半径为1的圆,OA =12,设B ,C 为圆上的任意2个点,则AC ⋅BC 的取值范围是.2如图,C ,D 在半径为1的⊙O 上,线段AB 是⊙O 的直径,则AC ⋅BD的取值范围是.3(2023·浙江·模拟预测)已知e 为单位向量,平面向量a ,b 满足|a +e |=|b -e |=1,a ⋅b的取值范围是.1.(2023·江西宜春·校联考模拟预测)半径为1的两圆M 和圆O 外切于点P ,点C 是圆M 上一点,点B 是圆O 上一点,则PC ⋅PB的取值范围为.2.(2023·福建·高三福建师大附中校考阶段练习)设圆M ,圆N 的半径分别为1,2,且两圆外切于点P ,点A ,B 分别是圆M ,圆N 上的两动点,则PA ⋅PB的取值范围是()A.-8,12B.-16,34C.-8,1D.-16,1题型十:向量对角线定理1已知平行四边形ABCD ,AB ⊥BC ,AB =BC =AD =2,CD =3,AC 与BD 交于点O ,若记a =OA⋅OB ,b =OB ⋅OC ,c =OC ⋅OD ,则()A.a <b <cB .a <c <bC .c <a <bD .b <a <c2如图,在圆O 中,若弦AB =3,弦AC =5,则AO ⋅BC的值是()A.-8B .-1C .1D .83如图,在四边形ABCD 中,AB ⊥BC ,AD ⊥BC 若,AB =a ,AD =b ,则AC ⋅BD 等于()A.b 2-a 2B.a 2-b 2C.a 2+b 2D.a 2⋅b 2。
高中数学中常见的平面向量问题求解
高中数学中常见的平面向量问题求解平面向量是高中数学中一种重要的概念,广泛运用于解决各种几何和代数问题。
在本文中,将介绍几个常见的平面向量问题,并给出详细的解题过程和方法。
一、向量的表示和运算在解决平面向量问题之前,首先需要了解向量的表示和运算方法。
平面向量通常用有序对表示,如向量AB可以表示为→AB=(x2-x1, y2-y1),其中A(x1, y1)和B(x2, y2)分别表示向量的初始点和终点。
平面向量之间可以进行加法、减法、数量乘法和向量的数量积运算。
二、向量共线和垂直1. 向量共线若两个向量→AB和→CD平行或反平行,则可以判断它们共线。
要判断两个向量共线,可以比较它们的分量比例,如果两个向量的x和y 分量的比例相等,即(x2-x1)/(y2-y1)=(x4-x3)/(y4-y3),则可以判断两个向量共线。
2. 向量垂直若两个向量→AB和→CD垂直,则可以判断它们的数量积为0。
要判断两个向量垂直,可以计算它们的数量积,如果数量积为0,即(→AB)·(→CD)=0,则可以判断两个向量垂直。
三、向量的模和方向角1. 向量的模向量的模表示向量的长度,记作|→AB|或AB。
计算向量的模可以使用勾股定理,即|→AB|=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。
向量的模满足非负性和三角不等式,即|→AB|≥0,|→AB|+|→BC|≥|→AC|。
2. 向量的方向角向量的方向角表示向量与x轴正方向的夹角,通常用α表示。
计算向量的方向角可以使用反正切函数,即α=arctan((y2-y1)/(x2-x1))。
四、向量叉乘和面积向量叉乘是一种运算,用于求解向量之间的关系和面积。
向量→AB和→CD的叉乘可以表示为(→AB)×(→CD),其结果是一个向量,垂直于→AB和→CD构成的平面,并且模等于两个向量的模的乘积乘以它们所夹的夹角的正弦值。
五、平面向量的应用平面向量在几何和代数问题中有广泛的应用,以下是几个常见的应用场景。
平面向量最值问题解题方法
平面向量最值问题解题方法平面向量最值问题是高中数学中的重要知识点,涉及面广,难度较大。
下面介绍一些平面向量最值问题的解题方法。
一、向量模长的最值问题1、向量模长最大值设向量a的模长为|a|,则向量a的模长最大值为|a|=√(a_x+a_y),其中a_x和a_y分别代表向量a在x轴和y轴上的分量。
求出向量a的模长后,可以采用以下两种方法求出向量a的模长最大值:(1)对于a的分量a_x和a_y,分别求出它们的绝对值,即|a_x|和|a_y|,然后将它们代入|a|=√(a_x+a_y)中,求出|a|的最大值。
(2)根据勾股定理,可以得出|a|的最大值为向量a在x轴和y 轴上的分量的平方和的平方根,即|a|=√((a_x+a_y))。
2、向量模长最小值同样设向量a的模长为|a|,则向量a的模长最小值为|a|=√(a_x+a_y),其中a_x和a_y分别代表向量a在x轴和y轴上的分量。
求出向量a的模长后,可以采用以下两种方法求出向量a的模长最小值:(1)对于a的分量a_x和a_y,分别求出它们的绝对值,即|a_x|和|a_y|,然后将它们代入|a|=√(a_x+a_y)中,求出|a|的最小值。
(2)根据勾股定理,可以得出|a|的最小值为向量a在x轴和y 轴上的分量的平方差的平方根,即|a|=√((a_x-a_y))。
二、向量夹角的最值问题设向量a和向量b的夹角为θ,则向量a和向量b的夹角的最值为:1、夹角最大值当向量a和向量b的方向相反时,它们的夹角最大,此时θ=π。
2、夹角最小值当向量a和向量b的方向相同时,它们的夹角最小,此时θ=0。
三、向量和的模长的最值问题对于两个向量a和b,它们的和向量c=a+b。
则向量c的模长最值为:1、模长最大值当向量a和向量b的方向相同,且它们的模长相等时,它们的和向量c的模长最大,此时|c|=2|a|。
2、模长最小值当向量a和向量b的方向相反,且它们的模长相等时,它们的和向量c的模长最小,此时|c|=0。
高中数学经典解题技巧及方法计划:平面向量
.高中数学经典解题技巧:平面向量【编者按】平面向量是高中数学考试的必考内容,而且是这几年考试解答题的必选,无论是期中、期末还是会考、高考,都是高中数学的必考内容之一。
因此,马博士教育网数学频道编辑部特意针对这局部的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法,希望能够帮助到高中的同学们,让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。
好了,下面就请同学们跟我们一起来探讨下平面向量的经典解题技巧。
首先,解答平面向量这方面的问题时,先要搞清楚以下几个方面的根本概念性问题,同学们应该先把根本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题:1.平面向量的实际背景及根本概念1〕了解向量的实际背景。
2〕理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义。
3〕理解向量的几何意义。
2.向量的线性运算1〕掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义。
2〕掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义。
3〕了解向量线性运算的性质及其几何意义。
3.平面向量的根本定理及坐标表示1〕了解平面向量的根本定理及其意义。
2〕掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
3〕会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。
4〕理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
4.平面向量的数量积1〕理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
2〕了解平面向量的数量积与向量投影的关系。
3〕掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算。
4〕能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直(关系。
向量的应用1〕会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
2〕会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。
..好了,搞清楚平面向量的上述内容之后,下面我们就看下针对这方面内容的具体的 解题技巧。
一、向量的有关概念及运算 考情聚焦:1.向量的有关概念及运算,在近几年的高考中年年都会出现。
.该类问题多数是单独命题,考查有关概念及其根本运算;有时作为一种数学工具,在解答题中与其他知识点交汇在一起考查。
如何求解平面向量最值问题
有些平面向量问题采用常规方法求解较为困难, 我们可以根据题意建立合适的平面直角坐标系,给各 个向量赋予坐标,根据平面向量坐标运算法则进行运 算,进而求得最值.通过向量坐标运算,可将平面向量 最值问题转化为坐标运算问题,有利于快速求得最值.
仍以上述例题为例.
解 设:O建A 立= a如=图(1,20所) ,示c =的O平C面= (直x,角y)坐,标系,
学会从不同的角度寻找解题的途径.
(作者单位:江苏省东台市唐洋中学) 35
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∵ ∴
Oa∙Bb==b0=,(∴0, 1a)⊥,b
,
由 |c - a - b| = 1 可得
(x - 1)2 + (y - 1)2 = 1 ,
∴点 C 在以 (1,1) 为
圆心,1 为半径的圆上,
图2
∴ |c| 的最大值为 1 + 2 .
这里根据 a ⊥ b 分别以 OA、OB 为 x、y 轴建立平面 直角坐标系,然后给各个向量赋予坐标,通过向量坐
解 答 本 题 ,主 要 运 用 了 绝 对 值 不 等 式 的 性 质
||a| - |b|| ≤ |a ± b| ≤ |a| ± |b| 、a + b≥ |a + b| 来建立新的不 等式,然后通过解不等式求得 |c| 的最大值.
二、借助平面几何知识求解
平面向量是连接“数”与“形”的纽带.在求解平面
解:∵ a∙b= 0 ,a ,b 是单位向量,∴ |a + b| = 2 ,
∵ a + b≥ |a + b| ,
∴ |c - a - b| = |c -(a + b)| ≥ ||c| - |a + b|| = ||c| - 2| ,
向量最值题型解题方法
向量最值题型解题方法向量问题一般分为向量的运算和向量的性质两个方面。
其中向量的运算包括向量的加法、减法、数量乘法、向量积和点积等;而向量的性质包括向量的模、单位向量、平行向量和垂直向量等。
下面我将分别介绍这些向量问题的解题方法。
一、向量的运算1.向量的加法向量的加法是指将两个向量按照一定的规则相加,其结果仍然是一个向量。
向量的加法满足交换律和结合律。
具体求向量的和时,只需将两个向量的对应分量相加即可。
2.向量的减法向量的减法是指将两个向量按照一定的规则相减,其结果仍然是一个向量。
向量的减法通过加上被减向量的负向量来实现。
具体求向量的差时,只需将两个向量进行相加,其中被减向量的各个分量取其相反数。
3.数量乘法向量的数量乘法是指一个向量与一个实数的乘积,其结果仍然是一个向量。
具体求向量的数量乘法时,只需将向量的各个分量与实数相乘即可。
4.向量积5.点积点积又称为数量积或内积,表示为\(A \cdot B\),是两个向量的数量积。
点积的结果是一个实数,等于两个向量的模的乘积与两个向量夹角的余弦值之积。
二、向量的性质1.向量的模向量的模是指向量的长度,表示为\(,A,\)或\(\,A\,\),即向量的终点到原点的距离。
根据勾股定理可以求出向量的模。
2.单位向量单位向量是指向量模为1的向量。
具体求单位向量时,只需将向量的各个分量除以向量的模即可。
3.平行向量平行向量是指夹角为0度或180度的两个向量。
两个向量平行的判断条件是它们的方向相同或相反。
4.垂直向量垂直向量是指夹角为90度的两个向量。
两个向量垂直的判断条件是它们的点积等于0。
在解决向量最值问题时,我们需要根据题目要求选择合适的方法。
根据向量的运算和性质,可以采用如下解题思路:第一步,读清题意,明确向量的数量、方向和运算等要求。
第二步,根据题意选择合适的向量算法。
如果题目要求计算向量的和、差或数量乘法,可以直接利用向量的运算法则进行计算。
如果题目要求计算向量的模、单位向量、平行向量或垂直向量,可以利用向量的性质进行计算。
快速解决平面向量题目的技巧
快速解决平面向量题目的技巧解决平面向量题目的技巧在学习平面向量时,很多学生常常觉得题目难以解决,因为涉及到复杂的计算和概念。
然而,只要我们掌握一些解题技巧,就能够快速解决这类问题。
本文将介绍一些快速解决平面向量题目的技巧,帮助读者更好地掌握这一知识点。
一、向量的加减运算在解决平面向量题目时,向量的加减运算是非常基础也是重要的一步。
我们可以使用三角形法则或平行四边形法则来进行运算。
1. 三角形法则三角形法则适用于解决两个向量相加的问题。
即将两个向量的起点和终点相连接,构成一个三角形,那么连接起点和三角形的终点的向量就是所要求的向量。
例如,已知向量A的坐标为(Ax, Ay),向量B的坐标为(Bx, By),我们可以得到向量C的坐标为(Cx, Cy)。
其中,Cx = Ax + Bx,Cy = Ay + By。
2. 平行四边形法则平行四边形法则适用于解决两个向量相减的问题。
即将两个向量的起点相连,形成一个平行四边形,那么连接起点和平行四边形的对角线的向量就是所要求的向量。
例如,已知向量A的坐标为(Ax, Ay),向量B的坐标为(Bx, By),我们可以得到向量C的坐标为(Cx, Cy)。
其中,Cx = Ax - Bx,Cy = Ay - By。
二、向量的数量积和向量积除了向量的加减运算外,向量的数量积和向量积也是平面向量题目中常见的计算方法。
这两个概念在解决平面向量问题时非常重要。
1. 向量的数量积向量的数量积又称点积,表示为A·B。
计算公式为A·B=|A||B|cosθ,其中|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长,θ表示两个向量的夹角。
在解决平面向量问题时,我们可以通过计算两个向量的数量积来判断它们的关系,例如判断是否正交、平行或夹角大小等。
2. 向量的向量积向量的向量积又称叉积,表示为A×B。
计算公式为A×B=|A||B|sinθn,其中|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长,θ表示两个向量的夹角,n表示单位法向量。
高考数学压轴题突破140 平面向量最值五种求解小绝招.doc
高考数学压轴题突破140 平面向量最值五种求解小绝招一.方法综述平面向量中的最值与范围问题是一种典型的能力考查题,能有效地考查学生的思维品质和学习潜能,能综合考察学生分析问题和解决问题的能力,体现了高考在知识点交汇处命题的思想,是高考的热点,也是难点,其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合.二.解题策略类型一与向量的模有关的最值问题【指点迷津】由已知条件得四点共圆是解题关键,从而转化为求外接圆直径处理.类型二与向量夹角有关的范围问题【指点迷津】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要注意变量之间的关系,进而得解.类型三与向量投影有关的最值问题类型五平面向量系数的取请点击此处输入图片描述值范围问题【指点迷津】(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来,这就为向量和函数的结合提供了前提,运用向量的有关知识可以解决某些函数问题;学*科网(2)以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题;(3)向量的两个作用:①载体作用:关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”,转化为我们熟悉的数学问题;②工具作用:利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.类型六平面向量与三角形四心的结合:【指点迷津】平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路:①“形化”,即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题,然后根据平面图形的特征直接进行判断;②“数化”,即利用平面向量的坐标运算,把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题,然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.。
求解平面向量最值问题的几个途径
思路探寻平面向量最值问题通常要求根据给出的条件,求向量的模的最小值、数量积的最大值、夹角的最值等.解答此类问题,需要根据已知条件和向量知识,求得目标式,然后把问题转化为函数问题、几何最值问题.与此同时,由于平面向量具有“数”与“形”的双重身份,所以在解题时要灵活运用数形结合思想.那么求解这类问题有哪些途径呢?下面举例说明.一、根据三角函数的有界性对于一些与向量的数量积、夹角、模有关的最值问题,通常可根据向量的数量积公式,通过向量运算求得目标式.此时目标式为关于某个夹角的三角函数式,那么就可以将问题看作三角函数最值问题.通过三角恒等变换化简目标式,便可利用三角函数的有界性求得最值.在利用三角函数的有界性求最值时,要明确夹角的取值范围,熟悉并灵活运用正弦、余弦、正切函数的单调性和有界性.例1.如图1,若△ABC 中,AB =2,∠ACB =π4,O 是△ABC 外接圆的圆心,则 OC ∙ AB + CA ∙CB 的最大值为______.解:因为∠ACB =π4,O 是△ABC 外接圆的圆心,则∠AOB =2∠ACB =π2,又因为AB =2,所以OA =OB =2,即外接圆的半径r =2.则 OC ∙ AB + CA ∙ CB = OC ∙() OB - OA +()OA - OC ∙()OB - OC= OC ∙ OB - OC ∙ OA + OA ∙ OB - OA ∙ OC - OC ∙ OB + OC 2= OA ∙ OB + OC 2-2 OA ∙ OC ,因为∠AOB =π2,OA ⊥OB ,即 OA ∙ OB =0.故 OC ∙ AB + CA ∙ CB = OC 2-2 OA ∙ OC =|| OC 2-2|| OA ∙||OC cos ∠AOC =2-4cos ∠AOC ,因为A 与C 不重合,所以 OA 与OC 的夹角的范围为(]0,π,故-1≤cos ∠AOC <1,所以当cos ∠AOC =-1,即当O 为AC 的中点时, OC ∙ AB + CA ∙CB 取得最大值2-4×()-1=6.首先根据三角形和圆的性质、向量的数量积公式求得目标式,将所求目标转化为有关∠AOC 的三角函数式;然后确定∠AOC 的取值范围,即可根据余弦函数的有界性确定目标式的最值.图1图2二、利用平面几何图形的性质对于与图形有关的平面向量问题,通常可先根据向量的几何意义画出几何图形,并确定向量所表示的点的轨迹;然后分析图形中点、线、图形之间的位置关系,利用平面几何图形的性质求最值.例2.在矩形ABCD 中,AB =2,BC =3,2 BE =EC ,P 是平面ABCD 内的动点,且 AP ∙ AB =AP 2.若0<t <1,则|| BE +t DE +|| PE +(t -1)DE 的最小值为______.解:由 AP ∙ AB = AP 2知: AP ∙( AB - AP )= AP ∙ PB =0,即 AP ⊥ PB ,所以P 在以AB 为直径的圆上,F 为圆心,于是以B 为原点,以BC 、BA 分别为x 、y 轴建立如图2所示的平面直角坐标系,所以A (0,2),D (3,2),E (1,0),F (0,1),若P (x ,y ),则x 2+(y -1)2=1,则 BE =(1,0), DE =(-2,-2),PE =(1-x ,-y ),所以 BE +tDE =(1-2t ,-2t ), PE +(t -1)DE =(3-x -2t ,2-y -2t ),则|| BE +t DE +|| PE +(t -1)DE 可看作点H (3-2t ,2-2t )到G (2,2)、P (x ,y )的距离之和,又(3-2t ,2-2t )在直线x -y -1=0上,1<x <3,由图2可知G (2,2)关于DE 对称点为G ′(3,1),故(|PH |+|GH |)min =|FG ′|-1=2,此时x =2,y =1,t =12.我们先根据矩形的特征建立平面直角坐标系;然后设P 点的坐标,求得各个向量的坐标以及 BE +tDE 、 PE +(t -1)DE 的表达式,即可根据其几何意义,将求||BE +t DE +|| PE +(t -1) DE 的最小值转化为求点H (3-2t ,2-2t )到G (2,2)、P (x ,y )的距离之和的最小值;最后根据矩形和圆的对称性,确定H 的位置,即可求得最小值.47思路探寻例3.已知非零平面向量a ,b ,c 满足||||a -b =2,且(c -a )∙(c -b )=0,若a 与b 的夹角为θ,且θ∈éëùûπ6,π3,则||c 的最大值是______.解:根据题意,作出如图3所示的图形.令a =OA,b = OB,c = OC,可得:||AB=2,且∠ACB=90°,取AB中点为M,则||CM=12||AB=1,则点C在以AB为直径的圆M上运动.由图可知,当O,M,C三点共线时,|| OC取得最大值,即|| OCmax=|| OM+1;不妨设三角形OAB的外接圆圆心为G,则GM⊥AB,在三角形OAB中,由正弦定理可得:2||OG=ABsinθ,即||OG=1sinθ,θ∈éëùûπ6,π3,故当θ=π6时,||OG max=2,||GM max=||OG2max-1=3;当O,M,G三点共线时,|| OM取得最大值,此时|| OMmax=||OG max+||GM max=2+3.故当θ=π6,且O,M,G,C四点共线时,|| OC max=3+3.根据题意和向量的几何意义作出几何图形,便可根据平面向量的基本定理以及正弦定理,确定||c 取得最大值的情形:O,M,G,C四点共线,即可利用数形结合思想求得最值.图3图4三、利用二次函数的性质在求解向量的最值问题时,可根据题意选取合适的基底,将目标式用基底表示出来,建立关于参数的关系式;也可根据题意建立适当的直角坐标系,通过平面向量的坐标运算,求得各点的坐标、向量的坐标以及目标式.最后将问题转化为函数最值问题,利用二次函数的性质来求最值.例4.已知在菱形ABCD中,AB=6,∠BAD=60°,CE=2EB,CF=2FD,点M在线段EF上,且AM=xAB+12 AD.若点N为线段BD上一个动点,则 AN∙ MN的最小值为______.解:因为CE=2EB,CF=2FD,所以BE=13 BC, DF=13 DC,所以AE=AB+BE=AB+13 AD,AF=AD+DF=13 AB+ AD,因为点M在线段EF上,可设AM=λAE+(1-λ)AF=λ(AB+13 AD)+(1-λ)·(13 AB+ AD)=(13+23λ) AB+(1-23λ) AD,而AM=xAB+12 AD,所以ìíîïïx=13+23λ,1-23λ=12,解得λ=34,x=56,所以 AM=56 AB+12 AD,则|| AM2=æèöø56 AB+12 AD2=2536 AB2+56 AB∙ AD+14 AD2=49,所以|| AM=7,因为点N为线段BD上一个动点,可设AN=μAB+(1-μ)AD,μ∈[]0,1,所以MN=AN-AM=μAB+(1-μ)AD-(56 AB+12 AD)=(μ-56) AB+(12-μ) AD,所以AN∙MN=[μAB+(1-μ)AD]∙[(μ-56) AB+(12-μ)AD]=μ(μ-56) AB2+(-2μ2+73μ-56) AB∙ AD+(1-μ)(12-μ) AD2=36μ2-42μ+3=36æèöøμ-7122-374≥-374,则当μ=712时, AN∙ MN的最小值为-374.由于∠BAD=60∘,AB=6,所以以向量AB,AD为基底,根据平面向量的线性运算法则和数量积公式,求AN∙MN的表达式,最终将问题转化为二次函数的最值问题.通过配方,根据二次函数的单调性即可求得目标式的最值.由此可见,求解平面向量最值问题,关键是运用转化思想和数形结合思想,通过平面直角坐标系、平面向量的坐标运算法则、平面向量基本定理、向量的几何意义,根据目标式的结构特征,将原问题转化为三角函数、平面几何、二次函数最值问题.(作者单位:甘肃省康乐县第一中学)48。
向量中最值问题方法
向量中最值问题方法宝子们,今天咱们来唠唠向量中的最值问题咋解决哈。
一、利用向量的模长公式。
向量的模长公式是解决最值问题的一个好帮手呢。
比如说给你一个向量→a=(x,y),那它的模长→a=√(x^2)+y^{2}。
要是遇到求向量模长的最值,就可以根据这个公式来转化问题。
像那种已知向量的坐标是关于某个变量的表达式,就把模长公式套进去,然后就变成了求一个函数的最值问题啦。
就好像是把向量的问题,披上了函数的外衣,然后咱就可以用函数求最值的方法,像求二次函数最值的配方法之类的来搞定。
二、利用向量的数量积。
向量的数量积也超级有用哦。
如果有两个向量→a和→b,它们的数量积→a·→b=→a→bcosθ(这里的θ是两个向量的夹角)。
有时候会遇到那种已知向量之间的夹角范围,让求数量积的最值的情况。
这时候呢,咱们就可以根据这个公式来分析。
如果夹角θ是固定的,那数量积就和两个向量的模长有关啦。
要是模长又可以用前面说的模长公式表示成关于某个变量的式子,那又能转化成函数问题喽。
而且哦,如果是求→a+→b这种向量和的模长的最值,咱们可以先把→a+→b^2=(→a+→b)^2=→a^2+2→a·→b+→b^2,通过这个式子先求→a+→b^2的最值,再开方得到→a+→b的最值,是不是很巧妙呀。
三、建立坐标系。
当题目中的向量关系比较复杂的时候,咱们可以建立坐标系呀。
把向量用坐标表示出来,这样就可以把向量问题转化为坐标运算的问题。
比如说有个三角形,已知各边向量之间的关系,咱们就可以把三角形放在坐标系里,让一个顶点在原点,一条边在坐标轴上,这样向量的坐标就比较好表示了。
然后再根据前面说的模长公式和数量积公式来求最值,就会清晰很多呢。
向量中的最值问题虽然有点小麻烦,但只要掌握了这些方法,就像找到了打开宝藏的钥匙一样,宝子们加油呀!。
由一道题谈平面向量最值问题的解法
思路探寻平面向量是既有大小又有方向的量,具有代数和几何双重特性,因此,解答平面向量最值问题可以从代数和几何两个角度入手,寻找不同的解题方案.下面以一道向量最值问题为例,探讨一下平面向量最值问题的解法.例题:已知点O 为∆ABC 的外心,AB =a ,AC =1a ,∠BAC =120°.若 AO =m AB +n AC ,求m +n 的最小值.方法一:基本不等式法基本不等式:a +b ≥2ab (a >0,b >0)是解答最值问题的重要工具.在运用基本不等式求最值时,要确保条件“一定二正三相等”成立.若已知关系式中出现两式的和或积,或根据已知关系式能配凑出两式的和或积,就可以根据题意创造出运用基本不等式的条件,利用基本不等式求得最值.解法1:因为 OA =m ( OB - OA )+n ( OC - OA ),所以(m +n +1) OA =m OB +n OC ,所以(m +n +1)2( OA )2=m 2( OB )2+n 2( OC )2+2mn OB ∙OC .因为cos ∠BOC =cos(2×60°)=-12,|| OA 2=|| OB || OC =|| OC 2,所以(m +n +1)2=m 2-mn +n 2,化简得mn =2(m +n )-13,又mn ≤æèöøm +n 22,当且仅当m =n 时等号成立,所以mn =2(m +n )-13≤æèöøm +n 22,解得m +n ≥2,或m +n ≤23,因为A 为钝角,所以m +n ≥1,所以m +n ≥2.以向量 OB 、 OC 为基底,表示出向量OA ,再通过变形得到关于m ,n 的关系式mn =2(m +n )-13.该式中含有m 、n 的和与积,利用基本不等式进行求解,就能顺利求得最值.解法2:因为 AO ∙ AB =12 AB 2,可得 AO ∙ AB =(m AB +n AC )∙ AB =12|| AB 2,所以m ∙a 2+n ∙1a ∙a cos 120°=12a 2,所以m ∙a 2-12n =12a 2.①又 AO ∙ AC =12AC 2,可得 AO ∙ AC =(m AB +nAC )∙ AC =12|| AC 2,所以m ∙1a ∙a cos 120°+n ∙(1a )2=12(1a)2,所以-12m +n (1a )2=12a2,②由①②得m =2a 2+13a 2,n =a 2+23,所以m +n =2a 2+13a 2+a 2+23=43+a 23+13a 2≥43+=2,当且仅当a =1时等号成立.根据外心的性质建立关于m 、n 的两个关系式,再联立两个方程,求得m 、n 的值,即可得出m +n 的表达式m +n =43+a 23+13a 2.该式中a 23、13a 2两式的积为定值,运用基本不等式即可求得两式的和的最小值.方法二:数形结合法在解答平面向量最值问题时,可根据平面向量的几何意义:三角形法则、平行四边形法则,或根据代数式的几何意义画出相应的几何图形;然后根据图形中点、直线、曲线之间的位置关系找到目标式取得最值时的情形,据此建立关系式,即可求得问题的答案.解:画出如图所示的图形,设AO =1,连接AO ,交BC 于点D ,则 AD =λ AB +(1-λ)AC ,设 AD =t AO ,则 AD =tm AB +tn AC ,则m =λt ,n =1-λt ,所以m +n =λt +1-λt =1t =1AD,当AO ⊥BC 时,OD 最小,AD 最大.因为∠BAC =120°,所以OD ≥12,所以m +n =1AD ≥2.根据题意和向量的平四边形法则画出相应的图形,然后根据平面向量的基本定理建立关于m 、n 的关系式,再通过分析图形,找到取得最值的情形:AO ⊥BC ,便可根据三角形的性质求得最值.可见,解答平面向量最值问题,可以从目标式的结构特征出发,利用基本不等式进行求解;也可从平面向量的几何意义出发,构造图形,通过数形结合来求得问题的答案.同学们在解答向量最值问题时,要注意运用发散思维,分别从几何、代数两个角度去寻找解题的方案.(作者单位:江苏省盐城市第一中学)由一道题谈平面向量最值问题的解法陈晓娟A 52。
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高中数学解题方法系列:平面向量最值问题的4种方法
平面向量中的最值问题多以考查向量的基本概念、基本运算和性质为主,解决此类问题要注意正确运用相关知识,合理转化。
一、利用函数思想方法求解
例1、给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为.如图所示,点C 在以O 为圆心的圆弧上变动.若其中
,则的最大值是________.
分析:寻求刻画C 点变化的变量,建立目标x y +与此变量的函数关系是解决最值问题的常用途径。
解:设AOC θ∠=,以点O 为原点,OA 为x 轴建立直角坐标系,
则(1,0)A ,13
(,)2B -,(cos ,sin )C θθ。
Q
13
(cos ,sin )(1,0)(,)2x y θθ∴=+-即
cos 23sin y x y θθ⎧-=⎪⎪
⎨
⎪= cos 3sin 2sin()6x y πθθθ∴+=+=+2(0)3
π
θ≤≤。
因此,当3
π
θ=
时,取最大值2。
例2、已知(1,7),(5,1),(2,1),OA OB OP ===u u u r u u u r u u u r
点Q 为射线OP 上的一个动点,当
QA QB u u u r u u u r g 取最小值时,求.OQ u u u r
分析:因为点Q 在射线OP 上,向量OQ uuu r 与OP uuu r 同向,故可以得到关于OQ uuu r
坐标的一个
关系式,再根据QA QB u u u r u u u r g
取最小值求.OQ u u u r
解:设(2,),(0)OQ xOP x x x ==≥u u u r u u u r ,则(12,7),(52,1)QA x x QB x x =--=--u u u r u u u r
OA u u u r OB uuu r 120o
AB u u u v
,OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ,x y R ∈x y +,OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r x y +图 1 1
2
2
(12)(52)(7)(1)520125(2)8
QA QB x x x x x x x ∴=--+--=-+=--u u u r u u u r g
∴当2x =时,QA QB u u u r u u u r g
取最小值-8,此时(4,2).OQ =u u u r
二、利用向量的数量积
n m n m ϖ
ϖϖϖ⋅≤⋅求最值
例3、ABC ∆三边长为a 、b 、c ,以A 为圆心,r 为半径作圆,PQ 为直径,试判断P 、Q
在什么位置时,BP CQ u u u r u u u r
g
有最大值。
分析:用已知向量表示未知向量,然后用数量积的性质求解。
解:,AB BP AP AC CQ AQ AP +=+==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
Q
2
2
2
()()
()
BP CQ AP AB AP AC r AB AC AP AB AC r AB AC AP CB AB AC AP CB r ∴=---=-++-=-++≤+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g u u u r u u u r u u u r u u u r g g u u u r u u u r u u u r u u u r g 当且仅当AP u u u r 与CB u u u
r 同向时,BP CQ u u u r u u u r g
有最大值。
三、利用向量模的性质a b a b a b -≤+≤+r r r r r r
求解
例4:已知2,(cos ,sin ),a b b θθ-==r r r 求a r
的最大值与最小值。
分析:注意到()a a b b =-+r r r r
,考虑用向量模的性质求解。
解:由条件知1b =r。
设a b c -=r r r ,则a r =b c +r r ,
c b c b c b -≤+≤+r r r r r r Q , ∴13a ≤≤r。
所以当b r 与c r 同向时,a r 取最大值3;当b r 与c r 反向时,a r 取最小值1。
四、利用几何意义,数形结合求解
例5、如图,已知正六边形123456PP P P P P ,下列向量的数量积中最大的是
(A )1213PP PP ⋅u u u u r u u u u r (B )1214PP PP ⋅u u u u r u u u u r (C )1215PP PP ⋅u u u u r u u u u r (D )1216PP PP ⋅u u u u r u u u u r
分析:平面向量数量积121(1,2,3,4,5,6)i PP PP i =u u u u r u u u r g 的几何意义为121i PP PP u u u u r u u u r g 等于12PP u u u u r 的长度
图 2 1
图3
与1i PP u u u r 在12PP
u u u u r 方向上的投影1121cos ,i i PP PP PP u u u r u u u u r u u u r 的乘积。
显然,由图可知,13PP u u u u r 在12PP u u u u r 方向上的投影最大,故选(A )。
例6、a b r r 与是两个夹角为1200
的单位向量,且p+q=1(p 、q ∈R ),则pa qb +r r 的最小值
是
分析: 如图3,设,,OA a OB b OC ===u u u r r u u u r r u u u r pa qb +r r 则(1)OC pOA p OB
=+-u u u r u u u r u u u r
即
BC pBA =u u u r u u u r
因此点C 在直线AB 上,显然当OC ⊥AB 时,pa qb +r r 最小,其最小值为12。
O
A
图4 C。