高等数学第六章-定积分的元素法及其应用(1)
定积分的元素法
平面图形的面积、体积及平面曲线的弧长，功，
水压力等．
5
A
y=ƒ(x)
D H
B
o a
E
F x x+Δx
b x
求曲边梯形 AabB 的面积 A 的方法为:
(1) 在[a , b]上任取一个小区间[x , x + dx],并求出总量 A 的
微分dA = ƒ(x)dx ; (面积元素(微元))
(2) 以微分表达式 ƒ(x)dx为被积表达式,在[a , b]上作定积分 (面积元素(微元)进行求和累加)
在区间 [a, b]的任一个子区间[x, x+Δx] 上， 部分量ΔU≈f (x)Δx．
4
二
定积分的元素法
设 U 是可用定积分表达的量，则计算量 U 的步骤为： • 选择函数 f(x)，并确定自变量 x 的变化区间[a, b]; • 在[a, b]内考虑小区间[x, x+dx]，求出相应于这个小 区间的部分量ΔU的近似值 f(x)dx。称f(x)dx为量U的 元素，记为dU= f(x)dx． • 计算 U=a f ( x )dx 应用方向：
A dA f ( x )dx
a a
3
bU具有以下特点： 量U与函数 f(x)及x的变化区间 [a, b]有 关．
若 f(x)≡常数，则 U= f(x)(b－a)．
量U对区间具有可加性。即：把[a,b]分成若干部
分区间， 则 U相应地被分成了许多部分量之和．
第六章 定积分的应用
基本要求
1 掌握用定积分来求一些几何量和物理量的方法(元素法) 2 会建立一些简单的几何量与物理量的积分表达式 (如面积，体积，弧长、功、水压力等)
1
§6.1 定积分的元素法
定积分元素法的思想及其应用
定积分元素法的思想及其应用
积分元素法（Integration Element Method，IEM）是一种
数值计算方法，它可以用来解决复杂的微分方程，广泛应用于计算力学、流体力学、固体力学、电磁学、热传导等领域。
积分元素法的基本思想是将求解的区域划分为若干小的元素，分别求解不同元素的边界条件，最终求解整个区域的解。
这种方法的优点在于，使用积分元素法可以更加准确地求解复杂微分方程，而且可以更好地求解复杂的边界条件。
积分元素法的应用非常广泛，在计算力学中，常用来模拟结构的变形、挠曲和裂纹扩展等现象。
在流体力学中，常用来模拟流体运动、温度分布和压力分布。
在固体力学中，常用来模拟固体力学中的应变、变形、挠曲和裂纹扩展等现象。
此外，还可以用来模拟电磁场的传播、热传导的扩散、质量传输的运动等现象。
另外，积分元素法也可以用来解决复杂的几何问题，比如求解多边形、圆形和曲线等几何形体的表面积、体积等物理量。
此外，还可以用来计算多边形、圆形和曲线等几何形体的曲率、曲率半径等物理量。
总之，积分元素法是一种非常有用的数值计算方法，可以用来解决复杂的微分方程，也可以用来解决复杂的几何问题。
它的应用涉及到计算力学、流体力学、固体力学、电磁学、热
传导等领域，广泛应用于工程设计、科学研究和工业生产等领域。
§6.1定积分的元素法§6.2几何应用(面积、体积)(2015)
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
dA 1 ( )2 d
2
所求曲边扇形的面积为
r ( ) d
A 1 2 ( ) d 2
x
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例4. 计算阿基米德螺线 到 2 所围图形面积 .
解:
A
2
0
1 (a )2 d
2
02
y
ox
R x
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微分的几何意义与切线段的长度
dy f (x)dx
y y f (x)
y
ds dy dx
o
x
x
切线段的长度
x dx
此直角三角形称为： 微分三角形
ds (d x)2 (d y)2 1 f 2 (x)dx （弧微分公式）
曲线 y f (x) C[a,b], s b 1 f 2 (x)dx.
4 3 a2
3
对应 从 0 变
2 a
o
x
d
例5. 计算心形线
所围图形的面积 .
解:
1 (1 cos )2 d
2
2
2
1 (3cos
)2
d
2
3
5.
4
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与圆
(
3
,
(利用对称性)
)
23
d
o
2x
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二、体积
１．平行截面面积为已知函数的立体体积
§6 定积分的应用
§6.1 定积分的元素法（微元法） §6.2 几何应用 §6.3 物理应用
高等数学第六章-定积分的元素法及其应用(1)
精确值
积分表达式
这种分析方法成为元素法 (或微元分析法) 元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等
第六章 定积分的元素法及其应用
二、定积分在几何学上的应用
1. 直角坐标系下平面图形的面积
（1）若函数 f (x) 在[a,b] 上连续且 f (x) 0，则由f ( x)，x a,
所围图形的面积 . y b
利用椭圆的参数方程
o x xdx a x
应用定积分换元法得
4ab 2 sin2 t dt 0
4ab
1 2
2
ab
当 a = b 时得圆面积公式
第六章 定积分的元素法及其应用
2. 极坐标系下平面图形的面积
设由曲线 =( ) 及射线 =， = 围成的曲边扇 形，则曲边扇形面积为：
思考练习
1. 用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s .
提示: 交点为(1, 1), (9, 3), 以 x 为积分变量 , 则要分
两段积分, 故以 y 为积分变量.
A 3 1
dy
3 y
弧线段部分
直线段部分
s
3
1
1
dy
第六章 定积分的元素法及其应用
2.求曲线
30
y
x
R x
第六章 定积分的元素法及其应用
思考: 可否选择 y 作积分变量 ?
此时截面面积函数是什么 ? 如何用定积分表示体积 ? 提示:
2x y tan 2 tan y R2 y2
y
o
(x, y)
R x
2 tan Ry R2 y2 dy 0
高等数学第六章《定积分的应用》
第六章 定积分的应用一、内容提要（一）主要定义【定义】 定积分的元素法 如果（1）所求量U 是与一个变量x 的变化区间[]b a ,有关的一个整体量； （2）U 对区间[]b a ,具有可加性； （3）部分量i U ∆可表示为()i i i U f x ξ∆≈∆.则可按以下步骤计算定积分（1）选取一个变量x 或y ，并确定它的变化区间[]b a ,;（2）把区间[]b a ,分成n 个小区间, 求任一小区间[],x x dx +的部分量U ∆的近似dU .()U dU f x dx ∆≈=; （3）计算()U=baf x dx ⎰.（二）主要定理与公式根据定积分的元素法可建立一些几何和物理方面的定积分表达式. 1．平面图形面积 （1）直角坐标情形①由()(),(0),,y f x f x x a x b =≥==所围图形的面积()bas f x dx =⎰.②由()()12,,,y f x y f x x a x b ====所围图形的面积()()12 bas f x f x dx =-⎰.③由()()12,,,x y x y y c y d ϕϕ====所围图形的面积()()12dcs y y dy ϕϕ=-⎰（2）参数方程情形 由曲线l ：()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩，12t t t ≤≤，x 轴及,x a x b ==所围图形的面积 ()()21t t s t t dt ψϕ'=⎰（3）极坐标情形① 由(),,ρϕθθαθβ===所围图形的面积()212s d βαϕθθ=⎰ ② 由()()12,,,ρϕθρϕθθαθβ====所围图形的面积()()222112s d βαϕθϕθθ⎡⎤=-⎣⎦⎰ 2.体积（1）旋转体的体积① 由()0,,,y y f x x a x b ====所围图形绕x 轴旋转所得旋转体体积：()2b a V f x dx π=⎡⎤⎣⎦⎰. 当0a b ≤<时，上述曲边梯形绕y 轴旋转所得旋转体的体积： ()22bbaaV x y dx x f x dx ππ==⎰⎰.② 由(),0,,x y x y c y d ϕ====所围图形绕y 轴旋转一周形成的立体体积：()2d c V y dy πϕ=⎡⎤⎣⎦⎰ （2）平行截面面积为已知的立体的体积设以()[],A x C a b ∈表示立体Ω的过点x 且垂直于x 轴的截面面积，且立体Ω夹在平面x a x b ==与之间，则立体Ω的体积：()baV A x dx =⎰.3.平面曲线的弧长（1）光滑曲线():,l y f x a x b =≤≤的弧长为as =⎰.（2）光滑曲线()(),: ,x x t l t y y t αβ=⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩的弧长为s βα=⎰.（3）光滑曲线():, l ρϕθαθβ=≤≤的弧长为s βαθ=⎰4.变力沿直线做功、水压力 （1）变力沿直线做功设物体在变力()F x 的作用下，沿变力的方向由x a =移到x b =,在物体的位移区间[],a b 内任一子区间[],x x dx +上功的元素为 ()dW F x dx =,全部功()baW F x dx =⎰.（2）水压力设平板铅直地放入液体中，液体的密度为ρ，平板位于液面下的深度在区间[]0,b 内任一子区间[],x x dx +上,液体深x 处的压强为p gx ρ=,压力元素()dp gx f x dx ρ=⋅. 全部压力为 ()0bp gx f x dx ρ=⋅⎰.二、典型题解析（一）填空题【例6.1】 由曲线,xxy e y e -==及直线1x =所围成图形的面积是 . 解 所求面积 ()()1112xx x x S ee dx e e e e ---=-=+=+-⎰.故应填12e e -+-. 【例6.2】 由222,82x y x y =+=所围成图形（见图6.1）面积A （上半平面部分），则A = .解 两曲线22228x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩的交点为()()2,2,2,2-.所求的面积为222)2x A dx -=⎰328226x ⎫=-⎪⎭423π=+. 故应填423π+. 【例6.3】 曲线sin 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭与直线,02x y π==围成一个平面图形，此平面图形绕x 轴旋转产生的旋转体的体积 .解 2220s i n 4V x d x πππ==⎰. 故应填24π.【例6.4】 阿基米德螺线()0aeλθρλ=>从0θ=到θα=一段弧长s = .解 0s αθ=⎰ ()01eλαθλ==-⎰.)1eλα-.【例6.5】 曲线322y x x x =-++与x 轴所围成的图形的面积A = . 解 函数322(2)(1)y x x x x x x =-++=--+与x 轴的交点为()()()1,0,0,02,0-.()()023232122A x x x dx x x x dx -=--+++-++⎰⎰3712=. （二）选择题图6.122x y =228x y +=【例6.6】 曲线x y e =与其过原点的切线及y 轴所围成的图形（见图6.2）面积为[ ]（A ） ()1x e ex dx -⎰; （B ）()1ln ln ey y y dy -⎰;（C ）()1e x x e xe dx -⎰; （D ）()1ln ln y y y dy -⎰.解 曲线x y e =在任意点(),x y 的切线方程为()x x Y e e X x -=-,由于切线过原点,可以求出1x =,于是过原点的切线方程为Y eX =.所求平面图形的面积等于()1xeex dx -⎰. 故选择A.【例6.7】 由曲线()()12y x x x =--与x 轴围成的平面图形的面积为 [ ]. （A ）()()()()12011212x x x dx x x x dx -----⎰⎰;（B ）()()212x x x dx ---⎰;（C ）()()()()12011212x x x dx x x x dx ---+--⎰⎰;（D ）()()212x x x dx --⎰.解 在区间[]0,1,0y <,在区间[]1,2,0y >, 所以 ()()112S x x x dx =---⎰()()2112x x x dx +--⎰.故选择C.【例 6.8】 曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积为 [ ]（A ）2π （B ）π （C ）212π （D ）2π. 解 2222cos2V xdx ππππ-==⎰.故选择C.图6.2【例6.9】 双纽线()22222x yx y +=-围成的平面图形的面积为 [ ]（A ）402cos 2d πθθ⎰; （B ）404cos 2d πθθ⎰;（C）2θ; （D ）()2401cos 22d πθθ⎰.解 双纽线的极坐标方程为2cos 2 r θ=,(,44ππθ-≤≤35)44ππθ≤≤由对称性 2244001422S r d r d ππθθ=⨯=⎰⎰402cos 2d πθθ=⎰. 故选择A.【例6.10】 曲线()2ln 1y x =-上102x ≤≤的一段弧长l = [ ].（A）; （B ）1222011x dx x +-⎰; （C）; （D ）. 解 曲线是直角坐标表示的曲线,采用公式al =⎰.由曲线方程()2ln 1y x =-可得210x ->,221x y x -'=-,则1222011x l dx x +==-⎰. 故选择B .（三）非客观题 1. 平面图形的面积解题方法 （1）先画出草图；（2）求出交点；（3）选取积分变量、区间，找出面积元素，然后积分. （1）直角坐标情形【例6.11】求曲线22,ax y ay x ==所围(见图6.3)的面积. 解 如图所示，交点为()(),00,0A a O 及.图6.32ax y =2y ax =所围的面积()23232002)333aax x aS dx ax a aa ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦⎰. 【例6.12】 求介于由曲线2121,2+==x y x y 和x 轴围成的平面图形(见图6.4)的面积．解 （法一）设此面积为S ,有12101111()d ()d 2222S x x x x x -=+++-⎰⎰0122310()()42423x x x x x -=+++-23=（法二）13122002(21)]d ()3S y y y y y =-=-+⎰23=.【例6.12】 求0,2x x π==之间由曲线sin y x =和cos y x =所围成的图形(见图6.5)的面积. 解 20sin cos A x x dx π=-⎰()40cos sin x x dx π=-⎰()544sin cos x x dx ππ+-⎰()254cos sin x x dx ππ+-⎰=【例6.13】 求抛物线243y x x =-+-及其在点()0,3-和()3,0处的切线所围成的图形(见图6.6)的面积.解 由24y x '=-+得过点()0,3-和()3,0的切线方程为1:43l y x =-和2:26l y x =-+,图 6.4图 6.24π54π2π图 6.5图 6.6且可得12,l l 交点坐标为3,32⎛⎫⎪⎝⎭,则所围图形的面积为()32204343A x x x dx ⎡⎤=---+-⎣⎦⎰()32322643x x x dx ⎡⎤+-+--+-⎣⎦⎰94=. 【例6.14】求由曲线322,0a y y a x==+所围的面积. 解 所求面积为33222202lim b b a dx S dx a dx a x a x+∞-∞→+∞==++⎰⎰ 3212limarctan b a b a aπ→+∞==. 【例6.15】确定常数k ,使曲线2y x =与直线,2,0x k x k y ==+=所围成图形的面积最小. 解 选x 为积分变量,变化区间为[],2k k +,面积元素2dA x dx =,所求面积为()()22 k kA k x dx k +=-∞<<+∞⎰,要求k 使()A k 取最小值,()A k 是积分上(下)限函数,故()()22241dA k k k dk=+-=+, 令0dA dk =,解得驻点1k =-,因为2240d Adk=>,则1k =-为()A k 在(),-∞+∞内唯一极小值点,即当1k =-时,所围成图形的面积最小. （2）参数方程情形【例6.16】求摆线()()sin ,1cos x a t t y a t =-=-()020t y π≤≤=及所围的面积. 解 所求面积为20(1cos )(1cos )S a t a t dt π=-⋅-⎰图 6.72220(12cos cos )a t t dt π=-+⎰221cos 2(12cos )2tat dt π+=-+⎰20312sin sin 224t t t π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦23a π=【例6.17】求椭圆渐趋线()2233222cos ,sin c c x t y t c a b a b===-所围面积. 解 所求面积为223324sin cos c c S t t dt b a π'⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰22322034sin cos sin c c t t tdt b aπ=⎰4422012sin (1sin )c t t dt abπ=--⎰438c abπ=.（3）极坐标情形【例6.18】求曲线2(2cos )r a θ=+所围成图形(见图6.7)的面积. 解 所求面积为()201222cos 2S a d πθθ=⋅+⎡⎤⎣⎦⎰ ()220444cos cos a d πθθθ=++⎰201cos 2444cos 2a d πθθθ+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰209sin 244sin 24a πθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦ 218a π=【例6.19】 求心脏线1cos r θ=+与圆3cos r θ=公共部分(见图6.8)的面积. 解 由3cos 1cos θθ=+得交点坐标为3,23π⎛⎫± ⎪⎝⎭,()2232031121cos (3cos )22S d d πππθθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰54π=. 【例6.20】 求由双纽线()()222222x ya x y +=-所围成且在圆周22212x y a +=内部的图形(见图6.9)的面积.解将r =代入方程22cos2r a θ=中得6πθ=.令0r =代入22cos 2r a θ=中得4πθ=,故 226410611cos 222A d a d πππθθθ=+⎰⎰ 224611sin 22264a a πππθ=⋅⋅+2(633)24a π=+-, 214(66a A A π∴==+-.【例6.21】求由曲线2cos2r r θθ==及所围成的图形的公共部分（见图6.10）的面积.解 解方程组2cos 2r r θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得两曲线的交点坐标为26π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所求的面积为1r =+图 6.9)2646112cos222S d dπππθθθθ=+⎰⎰[]64061112sin2sin2242πππθθθ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦1626ππ=+=.2.体积的计算（1）旋转体的体积【例6.22】将抛物线24y ax=及直线x x=()x>所围成的图形绕x轴旋转，计算所得的旋转抛物体的体积.解()2,dV f x dxπ=其中()f x=所求体积()00222002x xV f x dx dx axπππ===⎰⎰.【例6.23】求曲线22,0y x x y=-=所围图形分别绕ox轴，oy轴旋转所成旋转体的体积.解所求体积为()22216215xV x x dxππ=-=⎰；()228223yV x x x dxππ=-=⎰。
定积分元素法课件
元素法的应用范围
01 02 03
适用于被积函数为连续函数的定积 分计算。
适用于被积函数为分段函数的定积 分计算。
适用于被积函数为周期函数的定积 分计算。
03
元素法的具体应用
求解定积分的具体方法
01
矩形法
将积分区间[a,b]分成n个小区间，每个小区间的长度为$\Delta x$，用
矩形近似代替该小区间上的曲线，求出矩形面积之和，即得定积分的近
计算方法则是通过数值计算方法（如梯形法、辛普森法等）来求解近似值。 • 两者都可以得到较为精确的结果，但数值计算方法需要更多的计算量。
元素法与物理方法的比较研究
元素法是通过数学模型和数值计 算方法来得到近似解，而物理方 法则是通过实验测量数据来得到 近似解。
在求解积分问题时，物理方法通 常是通过实验测量数据来得到近 似解。
元素法在求解积分问题时，将积分区间划分为若干个小区间，用近似函数代替被积 函数，从而将积分转化为求和。
微积分提供了一般的理论框架，而元素法是一种具体的计算方法，两者相辅相成。
元素法与数值计算方法的比较研究
• 数值计算方法是一种通过数值计算求解数学问题的方法，包括数值积分、数值微分、数值求解方程等。 • 元素法与数值计算方法在求解积分问题时，都采用了近似代替的方法。 • 元素法在求解积分问题时，将积分区间划分为若干个小区间，用近似函数代替被积函数，从而将积分转化为求和。而数值
近似方法的选取
根据具体问题的特点，选择合适的近 似方法（矩形法、梯形法或辛普森法 ），以保证近似值的精度和计算效率 。
求解定积分的实例分析
计算定积分$\int_{0}^{1}e^{x}dx$
通过矩形法、梯形法和辛普森法分别计算该定积分的近似值，并比较其精度和计算效率 。
高等数学 第六章 第7节 定积分的几何应用(中央财经大学)
一、微分元素法)( 或称为积分元素法法数学建模中的微分元素 ,当把非均匀变化的问题实际中在物理、几何以及工程 , ,则通积达形式能表示为某两个量的乘看作是均匀变化时. 分问题来处理常可将问题归结为定积 . 具有对区间的可加性要求量运用定积分处理问题时A取极限”—求和—近似“分划—,局利用整体上变化的量在局部问题的步骤将整体问题化成 , ,替“变”在局部上以“不变”代关系部上近似于不变的辩证,采用按照定积分的概念]. ,[ )( 111i i i ni i i ni i x x x f A A −==∈∆≈∆=∑∑ξξ便有关系式, ,个将具有代表性的第略去下标为简便和醒目起见i i, , ]d ,[ ] ,[ 1且取称之为典型小区间表示为小区间x x x x x i i +−, 则有为区间的左端点x i ξ. d )(x x f A ≈∆, )( d )( 记为或积分元素的微分元素为量通常称A x x f. d )(d x x f A =( 0d , 相当于取极限过程对区间的可加性由量→x A ] ,[ d , 0)||||上“无限累加”起来在区间将微分元素b a A x →∆] ,[ )(上的值：在区间就得到量即作定积分b a A. d )(d ∫∫==babax x f A A. ,加解为微分元素的无限累我们在这里将定积分理简言之一、平面图形的面积1解解解解y2解3解二、旋转体的体积一轴旋转一周所生成的将平面图形绕平面上某 . ,该轴称为旋转轴几何体称为旋转体 . , 间的可加性旋转体的体积具有对区上在区间I:旋转体的特点 ,截旋转体所得的的平面任何一个垂直于旋转轴. 图形均为圆截口1 y1 y2解Oaa b解解2πy三、平行截面面积为已知的几何体的体积解解。
高等数学课件6-1定积分的元素法
定积分的元素法：将积分区间划分为若干个小区间，然后计算每个小区间的积分值，最 后求和得到积分值
应用：计算不规则图形的体积
步骤：确定积分区间、划分小区间、计算每个小区间的积分值、求和得到积分值
注意事项：小区间的划分要均匀，积分值的计算要准确，求和时要注意精度
弧长公式：L=∫(a到b) f(x) dx 积分区间：a到b 积分函数：f(x) 计算方法：使用元素法进行积分计算
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缺点：当积分区间较宽时，计算误差较大
适用于求解定积分 适用于求解不定积分 适用于求解积分方程 适用于求解微分方程
确定积分区间和被积函数
将积分区间划分为若干个 小区间
计算每个小区间的积分值
求和得到积分结果
定积分的元素法：将曲线下的面积分割成若干个小矩形，然后求和 应用：计算不规则图形的面积 步骤：确定积分区间、分割区间、计算每个小矩形的面积、求和 注意事项：分割区间越小，计算结果越精确
积分区间必须是闭区间 积分函数必须是连续函数 积分函数必须是可积函数 积分区间内的函数值必须是有限的
定积分的几何意义是 函数在某一区间上的 面积，与函数在该区 间上的积分和相等
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元素法：一种计算定积分的方法
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原理：将积分区间划分为若干个小区间，在每个小区间内取一个代表点，然后计 算这些代表点的函数值，最后将这些函数值相加得到积分值
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优点：计算简单，易于理解
定积分的计算方法包括元素法、换元法、分部积分法等。
定积分是函数在 某一区间上的积 分和
定积分的值与积分 区间、被积函数和 积分变量有关
定积分的值与积 分区间的划分方 式无关
定积分的值与积 分变量的选取无 关
高等数学教案ch6定积分的应用(2021年整理)
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第六章定积分的应用教学目的1、理解元素法的基本思想；2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积)。
3、掌握用定积分表达和计算一些物理量(变力做功、引力、压力和函数的平均值等)。
教学重点：1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积.2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等.教学难点：1、截面面积为已知的立体体积。
2、引力。
§6 1 定积分的元素法回忆曲边梯形的面积设y f (x）0 （x［a b］）如果说积分⎰=b adx xfA)(是以[a b]为底的曲边梯形的面积则积分上限函数⎰=x adt tfxA)()(就是以［a x]为底的曲边梯形的面积而微分dA（x)f（x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值A f（x)dx f (x)dx称为曲边梯形的面积元素以［a b ]为底的曲边梯形的面积A 就是以面积元素f (x )dx 为被积表达式 以［ab ]为积分区间的定积分⎰=ba dx x f A )(一般情况下 为求某一量U 先将此量分布在某一区间［ab ］上分布在［ax ]上的量用函数U （x )表示再求这一量的元素dU （x ) 设dU （x )u (x ）dx 然后以u (x ）dx 为被积表达式 以[a b ]为积分区间求定积分即得⎰=ba dxx f U )(用这一方法求一量的值的方法称为微元法（或元素法）§6 2 定积分在几何上的应用一、平面图形的面积 1．直角坐标情形设平面图形由上下两条曲线y f 上(x ）与y f 下(x )及左右两条直线x a 与x b 所围成则面积元素为［f 上（x ） f 下(x )]dx 于是平面图形的面积为dx x f x f S ba ⎰-=)]()([下上类似地由左右两条曲线x 左（y )与x右（y )及上下两条直线y d 与y c 所围成设平面图形的面积为 ⎰-=dc dy y y S )]()([左右ϕϕ例1 计算抛物线y 2x 、y x 2所围成的图形的面积解 （1）画图(2）确定在x 轴上的投影区间: [0 1](3)确定上下曲线2)( ,)(x x f x x f ==下上（4）计算积分31]3132[)(10323102=-=-=⎰x x dx x x S例2 计算抛物线y 22x 与直线y x 4所围成的图形的面积解 （1)画图(2)确定在y 轴上的投影区间： ［24］（3)确定左右曲线4)( ,21)(2+==y y y y 右左ϕϕ(4)计算积分⎰--+=422)214(dy y y S 18]61421[4232=-+=-y y y例3 求椭圆12222=+by a x 所围成的图形的面积解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0a ] 因为面积元素为ydx 所以⎰=aydxS 04椭圆的参数方程为:x a cos t y b sin t于是 ⎰=a ydx S 04⎰=02)cos (sin 4πt a td b⎰-=022sin 4πtdt ab ⎰-=20)2cos 1(2πdt t ab ππab ab =⋅=222．极坐标情形曲边扇形及曲边扇形的面积元素由曲线（）及射线围成的图形称为曲边扇形曲边扇形的面积元素为θθϕd dS 2)]([21=曲边扇形的面积为⎰=βαθθϕd S 2)]([21例4. 计算阿基米德螺线a （a 〉0）上相应于从0变到2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积解: ⎰=πθθ202)(21d a S 32203234]31[21πθπa a ==例5. 计算心形线a (1cos ） (a >0) 所围成的图形的面积解: ⎰+=πθθ02]cos 1([212d a S ⎰++=πθθθ02)2cos 21cos 221(d aπθθθπ20223]2sin 41sin 223[a a =++=二、体 积 1．旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体 这直线叫做旋转轴常见的旋转体圆柱、圆锥、圆台、球体旋转体都可以看作是由连续曲线y f (x ）、直线x a 、a b 及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的立体设过区间[ab ］内点x 且垂直于x 轴的平面左侧的旋转体的体积为V （x ) 当平面左右平移dx 后 体积的增量近似为V ［f (x ）]2dx于是体积元素为dV [f (x ）］2dx旋转体的体积为 dxx f V ba 2)]([π⎰=例1 连接坐标原点O 及点P （hr ）的直线、直线x h 及x 轴围成一个直角三角形将它绕x 轴旋转构成一个底半径为r 、高为h 的圆锥体 计算这圆锥体的体积解： 直角三角形斜边的直线方程为xhr y =所求圆锥体的体积为dx x hr V h 20)(π⎰=hx hr 0322]31[π=231hr π=例2计算由椭圆12222=+by a x 所成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积解: 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆 22x a ab y -=及x 轴围成的图形绕x 轴旋转而成的立体 体积元素为dV y 2dx于是所求旋转椭球体的体积为⎰--=a a dx x a a b V )(2222πa a x x a ab --=]31[3222π234abπ=例3 计算由摆线x a (t sin t ） y a （1cos t ）的一拱 直线y 0所围成的图形分别绕x 轴、y 轴旋转而成的旋转体的体积解 所给图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为 ⎰=a x dx y V ππ202⎰-⋅-=ππ2022)cos 1()cos 1(dt t a t a ⎰-+-=ππ20323)cos cos 3cos 31(dt t t t a52a 3所给图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差 设曲线左半边为x =x 1（y ）、右半边为x =x 2（y )则⎰⎰-=aay dy y x dy y x V 20212022)()(ππ ⎰⎰⋅--⋅-=πππππ022222sin )sin (sin )sin (tdt a t t a tdt a t t a ⎰--=ππ2023sin )sin (tdtt t a 63a 32．平行截面面积为已知的立体的体积 设立体在x 轴的投影区间为［a b ] 过点x 且垂直于x 轴的平面与立体相截 截面面积为A （x ） 则体积元素为A （x )dx立体的体积为dxx A V ba )(⎰=例4 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 并与底面交成角计算这平面截圆柱所得立体的体积解取这平面与圆柱体的底面的交线为x 轴 底面上过圆中心、且垂直于x 轴的直线为y 轴 那么底圆的方程为x 2 y 2R 2 立体中过点x 且垂直于x 轴的截面是一个直角三角形两个直角边分别为22x R -及αtan 22x R - 因而截面积为αtan )(21)(22x R x A -= 于是所求的立体体积为dx x R V RR αtan )(2122-=⎰-ααtan 32]31[tan 21332R x x R RR=-=-例5 求以半径为R 的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h 的正劈锥体的体积解: 取底圆所在的平面为x O y 平面 圆心为原点并使x 轴与正劈锥的顶平行底圆的方程为x 2y 2R 2 过x 轴上的点x (R <x 〈R )作垂直于x 轴的平面 截正劈锥体得等腰三角形这截面的面积为22)(x R h y h x A -=⋅=于是所求正劈锥体的体积为⎰--=RR dx x R hV 22hR d h R 2202221cos 2πθθπ==⎰三、平面曲线的弧长设A B 是曲线弧上的两个端点在弧AB 上任取分点A M 0M 1M 2M i1M i M n1M n B 并依次连接相邻的分点得一内接折线 当分点的数目无限增加且每个小段M i 1M i 都缩向一点时 如果此折线的长∑=-ni i i M M 11||的极限存在则称此极限为曲线弧AB 的弧长并称此曲线弧AB 是可求长的定理 光滑曲线弧是可求长的1．直角坐标情形设曲线弧由直角坐标方程y f (x ） (a x b ）给出其中f （x )在区间［a b ］上具有一阶连续导数现在来计算这曲线弧的长度取横坐标x 为积分变量 它的变化区间为［ab ]曲线yf (x ）上相应于[a b ]上任一小区间［x xdx ］的一段弧的长度 可以用该曲线在点（x f (x ））处的切线上相应的一小段的长度来近似代替而切线上这相应的小段的长度为dxy dy dx 2221)()('+=+从而得弧长元素（即弧微分)dxy ds 21'+=以dx y 21'+为被积表达式 在闭区间[a b ］上作定积分便得所求的弧长为⎰'+=ba dxy s 21在曲率一节中我们已经知道弧微分的表达式为dxy ds 21'+=这也就是弧长元素因此 例1 计算曲线2332x y =上相应于x 从a 到b 的一段弧的长度解21x y =' 从而弧长元素dxx dx y ds +='+=112因此 所求弧长为b a bax dx x s ])1(32[123+=+=⎰])1()1[(322323a b +-+=例2 计算悬链线cx c y ch =上介于xb 与x b 之间一段弧的长度解cxy sh =' 从而弧长元素为dx cx dx c x ds ch sh 12=+=因此 所求弧长为⎰⎰==-b b b dx cx dx c x s 0ch 2ch c b c dx c x c b sh 2]sh [20==2．参数方程情形 设曲线弧由参数方程x (t )、y （t ) （t ）给出 其中(t ）、(t )在［］上具有连续导数因为)()(t t dx dy ϕψ''=dx(t ）d t所以弧长元素为dtt t dt t t t ds )()()()()(12222ψϕϕϕψ'+'='''+=所求弧长为⎰'+'=βαψϕdtt t s )()(22例3 计算摆线xa （sin ） y a (1cos )的一拱（02）的长度解 弧长元素为θθθd a a ds 2222sin )cos 1(+-=θθd a )cos 1(2-=θθd a 2sin 2=所求弧长为⎰=πθθ202sin 2d a s πθ20]2cos 2[2-=a 8a3．极坐标情形设曲线弧由极坐标方程(） (）给出其中r （）在［]上具有连续导数 由直角坐标与极坐标的关系可得 x（）cosy（）sin（）于是得弧长元素为θθθd y x ds )()(22'+'=θθρθρd )()(22'+=从而所求弧长为⎰'+=βαθθρθρd s )()(22例14 求阿基米德螺线a (a >0)相应于 从0到2 一段的弧长解弧长元素为θθθθd a d a a ds 22221+=+=于是所求弧长为⎰+=πθθ2021d a s )]412ln(412[222ππππ++++=a§63 功 水压力和引力一、变力沿直线所作的功 例1 把一个带q 电量的点电荷放在r 轴上坐标原点O 处 它产生一个电场 这个电场对周围的电荷有作用力由物理学知道如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点O 为r 的地方 那么电场对它的作用力的大小为2r qkF = （k 是常数）当这个单位正电荷在电场中从r a 处沿r 轴移动到r b （a <b ）处时计算电场力F 对它所作的功例1¢ 电量为+q 的点电荷位于r 轴的坐标原点O 处它所产生的电场力使r 轴上的一个单位正电荷从r =a 处移动到r =b (a <b ）处求电场力对单位正电荷所作的功提示： 由物理学知道在电量为+q 的点电荷所产生的电场中距离点电荷r 处的单位正电荷所受到的电场力的大小为2rq k F = (k 是常数） 解: 在r 轴上当单位正电荷从r 移动到r +dr 时电场力对它所作的功近似为dr rq k 2即功元素为drrq k dW 2=于是所求的功为dr rkq W b a2⎰=b a r kq ]1[-=)11(b a kq -=例2 在底面积为S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体 在等温条件下由于气体的膨胀把容器中的一个活塞（面积为S )从点a 处推移到点b 处计算在移动过程中气体压力所作的功解取坐标系如图 活塞的位置可以用坐标x 来表示 由物理学知道一定量的气体在等温条件下 压强p 与体积V 的乘积是常数k即pV k 或Vkp =解: 在点x 处因为V xS所以作在活塞上的力为xkS xS k S p F =⋅=⋅=当活塞从x 移动到x dx 时 变力所作的功近似为dxxk即功元素为dxxk dW =于是所求的功为dx x k W b a ⎰=b a x k ][ln =ab k ln =例3 一圆柱形的贮水桶高为5m 底圆半径为3m 桶内盛满了水试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？ 解作x 轴如图取深度x 为积分变量它的变化区间为［0 5］相应于[05］上任小区间［x x dx ]的一薄层水的高度为dx 水的比重为98kN/m 3 因此如x 的单位为m这薄层水的重力为98×32dx这薄层水吸出桶外需作的功近似地为dW 882×x ×dx此即功元素于是所求的功为⎰=502.88xdx W π502]2[2.88x π=2252.88⋅=π（kj ）二、水压力 从物理学知道在水深为h 处的压强为ph 这里 是水的比重 如果有一面积为A 的平板水平地放置在水深为h 处 那么 平板一侧所受的水压力为P p ×A如果这个平板铅直放置在水中 那么 由于水深不同的点处压强p 不相等 所以平板所受水的压力就不能用上述方法计算例4 一个横放着的圆柱形水桶 桶内盛有半桶水设桶的底半径为R 水的比重为计算桶的一个端面上所受的压力解桶的一个端面是圆片与水接触的是下半圆取坐标系如图在水深x 处于圆片上取一窄条 其宽为dx得压力元素为dxx R x dP 222-=γ所求压力为⎰-=Rdx x R x P 022 2γ)()(2221220x R d x R R---=⎰γ R x R 02322])(32[--=γ332R r =三、引力 从物理学知道质量分别为m 1、m 2 相距为r 的两质点间的引力的大小为221r m m GF =其中G 为引力系数 引力的方向沿着两质点连线方向如果要计算一根细棒对一个质点的引力 那么由于细棒上各点与该质点的距离是变化的且各点对该质点的引力的方向也是变化的 就不能用上述公式来计算例5 设有一长度为l 、线密度为的均匀细直棒在其中垂线上距棒a 单位处有一质量为m 的质点M 试计算该棒对质点M 的引力例5求长度为l 、线密度为的均匀细直棒对其中垂线上距棒a 单位处质量为m 的质点M 的引力 解 取坐标系如图使棒位于y 轴上质点M 位于x 轴上 棒的中点为原点O由对称性知 引力在垂直方向上的分量为零 所以只需求引力在水平方向的分量 取y 为积分变量它的变化区间为]2,2[l l - 在]2,2[l l -上y 点取长为dy 的一小段其质量为dy与M 相距22y a r += 于是在水平方向上引力元素为2222y a a y a dy m GdF x +-⋅+=ρ2/322)(y a dy am G +-=ρ引力在水平方向的分量为⎰-+-=222/322)(ll x y a dy am GF ρ22412l a a l Gm +⋅-=ρ。
定积分的应用
2
3
π
= 4 a2π3 . 3
例2 计算心形线ρ=a(1+cosθ)(a>0)所 + 所 围成的图形的面积. 围成的图形的面积. 解 S = 2∫π 1[a(1+cosθ]2dθ 0 2
=a2[3θ +2sinθ + 1 sin2 ]π = 3 a2π . θ0 2 4 2
a 2 a
计算由摆线x= − 的一拱, 例3 计算由摆线 =a(t−sint), y=a(1−cost)的一拱, 直线 =0 , = − 的一拱 直线y= 所围成的图形分别绕x轴 轴旋转而成的旋转体的体积 轴旋转而成的旋转体的体积. 所围成的图形分别绕 轴、y轴旋转而成的旋转体的体积. 所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为 解 所给图形绕 轴旋转而成的旋转体的体积为
b a2 −x2 x 解 旋转 椭球 体可以 看作是 由半个 椭圆 y= 及 a 轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体 轴旋转而成的立体. 轴围成的图形绕 轴旋转而成的立体.
旋转椭球体的体积为
b2 (a2 − x2)dx V =∫−aπy dx =∫−aπ 2 dx a b2 [a2x− 1 x3]a =π 2 3 −a a = 4πab2 . 3
解 dV = A( x )dx = π R 2 ( x ) dx = π ( x − 0) dx 4 1 2 4 16π V = ∫ π x dx = π x = = 8π 0
2 0 2
绕固定轴旋转所成旋转体的体积
V = π ∫ [ R ( x) − r 2 ( x)]dx
2 a
b
绕y 轴 旋转生 成的立 体体积:
2
0
π
定积分元素法的应用举例讲解
定积分元素法的应用举例讲解积分元素法（Integral Element Method，简称IEM）已在力学和流体力学等多个领域广泛应用，是一种用于计算固体和流体结构下力学运动和热力学过程的数值分析方法，既可以实现多面体和复杂介质体的仿真，也可定义复杂的边界条件。
1. 积分元素法概述积分元素法是一种基于有限元思想的数值分析方法，它以单元为计算单元，以积分元素为基本单位，将实体分割为弹性多边形单元或流体有限单元，其边界上的节点成为积分元素（Integration Elements），将它表示为经典力学中的一组力学形式，从而使得结构的瞬态变形、振动、应力变化、温度变化等复杂现象可以得到精确求解。
2. 积分元素法主要应用（1）静力学问题：IEM可解决实体中的多边形单元在有支座受力条件下，经受荷载的静力变形问题，可以精确求出不同结构的静力变形状态、应力图形和内部力。
（2）弹性振动问题：IEM可以计算实体的结构频率，也可以定义复杂的边界条件，结合多边形单元，可以得到弹性结构的振型图和频率，它们具有在计算计算过程中复杂度较低、误差较小等优势。
（3）热力学分析：IEM可用于介质体的温度分布、热膨胀性等力学特性的分析。
由于可以解决不同的多元体，计算效率也较高，因此在研究实体的温度场和材料的热膨胀校正时，积分元法得到了较多的应用。
（4）流体力学问题：IEM可以用于求解实体复杂介质体内流体性能的流场分析，可以计算复杂介质体内的气体和液体、粒子和气囊流动的流动状态和流量，以及流经实体表面时产生的阻力、等效阻力等，从而探讨封闭实体中流体的运动行为特性，为实体的设计提供重要参考。
3. 特性（1）具有较强的通用性：它拥有通用的计算流程，可以快速识别实体轮廓形状、建模及计算，并可以针对多边形单元和介质体自由组合，集成到同一的模型系统，为复杂结构的分析提供了一种简便的方法。
（2）节省计算时间：它可以以比常规有限元法少量的节点数目构建出可靠的模型，计算成本大大降低。
定积分元素法
定积分元素法量积分，即定积分，是高等数学中非常重要的一部分，定积分的定义是对一个函数在某个区间上的面积或体积的精确计算。
然而，当我们面对复杂的函数求解时，使用定积分的定义进行计算是非常困难的。
因此，我们需要寻找一些方法来简化计算。
其中一个常用的方法就是定积分元素法。
本文将会介绍该方法的原理和实际应用。
一、原理定积分元素法是使用微小区间来逼近整个区间的方法。
我们将该区间划分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx，然后选择每个小区间上的一个点，记为xi。
那么，将定积分转化为求和公式可以表示为：∫a^b f(x)dx = lim(Δx -> 0) Σf(xi) Δx其中，Δx = (b - a)/n。
这个公式就是定积分元素法的基本公式。
二、分点方法分点方法是定积分元素法中的一种特殊方法。
在该方法中，我们将整个区间内的点分为两类：第一类为端点，第二类为非端点。
然后，将除了端点以外的点均匀地划分为n-1个点，并且从小到大排列。
最后，根据定积分元素法的基本公式进行求和即可。
下面以求解f(x) = x^2在[0,1]上的定积分为例，解释如何使用分点方法计算。
（1）将整个区间内的点分为端点和非端点，因为本题是[0,1]，所以0和1为端点，非端点为所有不等于0和1的点。
（2）将非端点均匀地划分为n-1个点，这里我们假设n=3，那么非端点为0.25和0.75，它们被均匀地划分为2个点，即0.5和0.5。
（3）将所有点按照从小到大排序，那么排序后的点为0，0.5，0.5，1。
（4）根据定积分元素法的基本公式进行求和：∫0^1 x^2 dx = lim(Δx -> 0) Σ f(xi) Δx = lim(Δx -> 0) [f(0)Δx + f(0.5)Δx + f(0.5)Δx +f(1)Δx] = lim(Δx -> 0) [(0^2)Δx + (0.5^2)Δx + (0.5^2)Δx + (1^2)Δx] = lim(Δx -> 0) [(0.25Δx + 0.25Δx) + (0.25Δx + 0.25Δx) + (0.25Δx +0.25Δx) + (0.25Δx + 0.25Δx)] = lim(Δx -> 0)[1/4 Δx + 1/4 Δx + 1/4 Δx + 1/4 Δx] = lim(Δx -> 0) Δx/4 = 1/3因此，f(x) = x^2在[0,1]上的定积分为1/3。
高等数学第六版(同济版)第六章复习资料
第六章定积分的应用引入：前面学习了定积分的理论，这一章要应用这些理论来分析和解决一些实际问题中出现的量.用定积分计算这些量，必须把它们表示成定积分，先介绍将所求量表示成定积分的方法——元素法第一节定积分的元素法我们先用定积分的引例——曲边梯形的面积，引出元素以及元素法的概念：一、元素及元素法 1.元素：由连续曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积为：.(由微分知识得) 为面积元素或面积微元,记为 2.元素法：用元素法将所求量表示成定积分的方法，称为元素法. 由此可知，曲边梯形的面积是将面积微元累加得到的下面我们通过曲边梯形的面积来总结出实际问题中所求的量能用定积分表示的条件：二、用元素法将所求量能表示成定积分的条件：(设所求量为) 1．量与变量的所在区间有关; 2．量对于区间具有可加性；3．量的部分量有近似值，即. 三、用元素法将所求量能表示成定积分的步骤： 1．由实际情况选一变量如为积分变量，确定该其变化区间.2．分为个小区间，取其中一个小区间，计算其上的部分量，的所求量的一个元素 3．以为被积表达式，在注：元素的几何形状常取为:条,带,段,环,扇,片,壳等内容小结：本节介绍了元素法以及用元素法将所求量表示成定积分的方法与步骤第二节定积分在几何上的应用一、平面图形的面积 1.直角坐标情形:曲线与直线及轴所围成的曲边梯形面积为，因为面积元素为 2.参数方程情形：若曲线的参数方程为，且满足 (1). , (2). 在或上具有连续导数，且连续，则由曲线所围成的曲边图形的面积为：3.极坐标情形：设曲线的极坐标方程为，且在上连续，则由曲线与射线以及所围成图形的面积为 . 由于当在上变动时，极径来计算. 推导：①.取极角为积分变量，②.在上任取一小区间，其上的曲边扇形面积的近似值：③. . 为被积表达式，在上作定积分，得曲边扇形的面积公式：例1. 计算两条抛物线在第一象限所围所围图形的面积 2y解：首先确定图形的范围，由得交点、，y取为积分变量，由于面积元素，所以所求面积为 . 注： . 例2. 计算抛物线与直线所围图形的面积解：由得交点、，若取为积分变量，则有 . 若取为积分变量，则有 . 例3. 求椭圆所围图形的面积解：由于椭圆关于两个坐标轴对称，设椭圆在第一象限所围成的面积为，则所求面积为设，当时，，当时，，且，于是 . 例4.计算阿基米德螺线对应从变到所围图形面积. 解：由题可知，积分变量，于是所求面积为例5.计算心形线所围图形的面积解：心形线所围成的图形关于极轴对称,设极轴上半部分图形的面积为，则心形线所围成的图形面积为.取极角为积分变量，，于是 . 二、体积 1．旋转体的体积： (1).旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体，该直线称为旋转轴注：圆柱体、圆台、球体等都是旋转体，它们都可以看做是由连续曲线与直线以及轴围成的曲边梯形绕轴旋转一周所围成的立体 (2).旋转体的体积：①．由曲线与直线、以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转而成的旋转体的体积：推导：取为积分变量，，在上任取一小区间轴旋转而成的薄层的体积近似等于以为底面半径、以为高的扁圆柱体的体积，即体积元素为，以为被积表达式，在上作定积分即得所求旋转体的体积：②．由曲线与直线、以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转而成的旋转体的体积：例6.连接坐标原点及点的直线、直线及轴围成一个直角三角形，将它绕轴旋转构成一个底半径为、高为的圆锥体，求其体积解：过及的直线方程为： . 取为积分变量，，则所求旋转体的体积为例7.计算由椭圆所围成的图形绕轴旋转而成的旋转体的体积解：该旋转椭球体可看做是由半椭圆与轴所围成的绕轴旋转而成的立体，半椭圆方程为： . 取为积分变量，，则所求立体体积为例8.计算由摆线，相应于的一拱，直线所围成的图形分别绕轴、轴旋转而成的旋转体的体积解：记摆线绕轴旋转而成的旋转体的体积为，取为积分变量，，则记摆线绕轴旋转而成的旋转体的体积为，取为积分变量，，则. 2．平行截面面积为已知的立体的体积：设一非旋转体的立体介于过点、且垂直于轴的两个平面之间，该立体过轴上的点且垂直于轴的截面面积为，则该立体的体积为：推导：若为连续函数且已知，取为积分变量，,在，其上的薄层的体积近似等于底面积为、高为的扁圆柱体的体积，积元素：，以为被积表达式，在上作定积分，得所求立体的体积公式：例9.一平面经过半径为的圆柱体的底圆的中心，并与底面交成角，计算着平面截圆柱体所得立体的体积解：取该平面与圆柱体的底面的交线为轴，底面上过圆中心且垂直于轴的直线为轴，则底面圆方程为：，该立体中过轴上的点且垂直于轴的截面是一个直角三角形，两直角边分别为和即和，从而截面面积为，于是所求体积为例4.求以半径为的圆为底、以平行且等于底圆直径的线段为顶、高为的正劈锥体的体积解：取底面圆所在的平面为平面，圆心为原点，并使轴与正劈锥体的顶平行，底面圆方程为：，过轴上的点作垂直于轴的平面截正劈锥体得等腰三角形，截面面积为，于是，所求正劈锥体的体积为三、平面曲线的弧长引入：我们知道，用刘徽的割圆术可以定义圆的周长，即利用圆的内接正多边形的周长当边数无限增加时的极限来确定，现在将刘徽的割圆术加以推广，来定义平面曲线的弧长，从而应用定积分来计算平面曲线的弧长. 1.平面曲线弧长的相关概念 (1).平面曲线弧长：若在曲线弧上任取分点，，依次连接相邻分点得到该曲线弧的一内接折线，记限增加且每一个小弧段都缩向一点，即时，折线的长的极限存在，则称此极限值为曲线弧的弧长，并称该曲线弧是可求长的，记作 (2).光滑曲线：若曲线上每一点处都存在切线，且切线随切点的移动而连续转动，则称该曲线为光滑曲线 (3).定理：光滑曲线可求长. 2.光滑曲线弧长的计算 (1).直角坐标情形：设曲线弧的直角坐标方程为，，若在上具有一阶连续函数，则曲线弧长为推导：取为积分变量，曲线上的相应于上任意小区间上的一段弧的长度近似等于曲线在点处切线上相应的一段的长度，又切线上相应小段的长度为，从而有弧长元素，以为被积表达式，在上作定积分，得弧长公式：(2).参数方程情形：设曲线弧的参数方程为，，若及在具有连续导数，则曲线弧长为推导：取参数为积分变量，曲线上相应于上任意小区间上的一段弧的长度的近似值即为弧长元素，以为被积表达式，在上作定积分，得弧长公式： (3).参数方程情形：设曲线弧的极坐标方程为，，若在上具有连续导数，则曲线弧长为：推导：由直角坐标与极坐标的关系得：，，即为曲线的以极角。
高等数学讲义第六章定积分的元素法及其应用
高等数学讲义Higher Mathematics Materials(第六章定积分的元素法及其应用 )第六章定积分的元素法及其应用一、平面图形的面积1. 直角坐标系下的面积公式1 由连续曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围成的面积为：⎰⎰⎰-+-=ca d c bd dx x f dx x f dx x f A )()()( （1） 例1 求椭圆 22221,(0,0)x y a b a b +=>>的面积 解 由对称性，知 14A A =上半椭圆方程为22b y a x a=- dx x a a b dx x a a b A a a ⎰⎰-=-=⇒0222201 ＝.44,4)2arcsin 2(10222ab A A ab x a x a x a a b a ππ==⇒=-+ 例2 求由0,4,1,232===-+=y x x x x y 所围成的面积.解 4)1(2+--=x y 为开口向下，顶点为)4,1(的抛物线，故⎰⎰⎰+==433141dx y A ＝⎰⎰-+--+432312)23()23(dx x x dx x x ＝323 2 设)(),(x g x f 在[]b a ,上连续，且 []b a x x f x g ,),()(∈≤，则由b x a x x g y x f y ====,),(),(，所围成的面积为：=A []()()ba f x g x dx -⎰ （2） 注：公式（2）对于)()(x g x f <有正有负的情形也成立.例3 求由1,,===-x e y e y x x 所围成的面积.解 由公式（2），得.21)(10-+=-=⎰-e e dx e e A x x 3 求由曲线)(),(y x y x ψϕ==及直线d y c y ==,所围成的面积为[]dy y y A dc ⎰-=)()(ψϕ （3） 例4 求由2,,1===y x y xy 所围的面积.解 由公式（3），得.2ln 23)1(21-=-=⎰dy y y A 二 定积分的微元法2.极坐标下的面积公式1 先介绍定积分的元素法（微元法）讲定积分概念时，为了求某个不均匀分部的整体量A ，是分四步解决的，即分割（将整体化为局部，即化整为零）——近似代替(局部范围“以直代曲”，“以匀代不匀”，近似求出各部)——求和（积零为整）——取极限（由近似到精确），最后得到整体量.实际问题中，往往将其简化为两步，即第一步：无限细分区间[]b a ,，考虑任意份[]x x x ∆+,，或[]dx x x +,，“以不变代变”，“以匀代不匀”，写出量A 的局部量的近似值：dA dx x f x x f A ==∆≈∆)()(——称为A 的元素或微元.第二步：无限求和，即将dA 沿[]b a ,相加，得到定积分⎰⎰=ba ba dx x f dA )(，这就是整体量. 由以上两步完成的求和方法，称为微元法.例如 求由连续曲线[]b a x x f y ,,0)(∈≥=及直线x b x a x ,,==轴所围成曲边梯形的面积.解 由微元法，在[]b a ,上任取一点x 使这点具有小区间的意义，其长为dx ，做一高为)(x f ，“底边长”为dx 的小矩形，其面积为dA ，则dA dx x f dA ,)(=叫该图形在点x 的面积微元.将[]b a ,上的每一点的面积微元无限累加，及连续作和，便得到曲边梯形的面积⎰⎰==ba ba dx x f dA A .)( 用微元法同样可求变速直线运动所走路程为：ds dt t v ds S ba ba (,)(⎰⎰==叫路程微、元） 2极坐标系下的面积公式设有一条连续曲线，其坐标方程为：)(θr r =，求曲线)(θr r =及两个向径βθαθ==,所围成的面积A （曲边扇形）.解 用微元法.分割区间[]βα,，任取一份[]θθθd +,，在这一份上，以小圆弧代替小曲线弧，得到面积微元 θθθd r rd r dA )(21212=⋅= （扇形面积＝21半径⨯弧长），再将dA 在[]βα,上无限求和，得到θθθθβαβαd r d r A )(21)(2122⎰⎰== （4） 例5 求)0(,cos 2>=a a r θ围成圆的面积.解 0,cos 0,()22r ππθθ≥∴≥-≤≤，代公式（4），得 θθθθππππd a d r A 2222222cos 421)(21⎰⎰--== ＝.221422a a ππ=⋅⋅ 0<a 时，曲线所围面积相同.例6 求阿基米德螺线θa r =上相应于θ从0到π2一段弧于极轴所围成的图形的面积.解 πθ20≤≤，代公式（4），得3220322202202343221)(21πθθθθθπππa a d a d r A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡===⎰⎰ 三、体积1.旋转体的体积旋转体——连续曲线)(),(b x a x f y ≤≤=绕x 轴旋转一周所生成的体积.过[]b a ,上任一点x ，在小区间[]dx x x +,，的小曲边梯形绕x 轴旋转而成薄扁体积近 似于，以)(x f 为底半径，dx 为高的扁圆柱体的体积，即体积微元[]dx x f dv 2)(π=，将dv 在[]b a ,上累加，即得旋转体体积. []dx x f dv V b a b a 2)(⎰⎰==π （5）注：由连续曲线)(),(d y c y x ≤≤=ϕ绕y 轴旋转一周所产生得旋转体体积为=V []dy y d c 2)(⎰ϕπ （6） 例7 求由椭圆12222=+b y a x 绕x 轴旋转所成旋转体的体积（椭球）. 解 上半椭圆的方程为：a x a x a ab y ≤≤--=,22，代入公式（5），得.343)(232222222ab x x a a b dx x a a b V a a a a πππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=--⎰ 绕y 轴旋转椭球体积为：b a V 234π= 特例：当b a =时，球体体积为：334a V π=2.已知平行截面面积，求立体体积设空间某立体是由一曲面和垂直于x 轴的平面b x a x ==.所围成.假设过点x 垂直于x 轴的截面面积)(x A 在[]dx x x +,上薄片体积微元dx x A dv )(=，（如油炸土豆片），将dv 沿[]b a ,求和（薄片相加），得⎰=ba dx x A V )( （7）例8 求“圆柱楔形段”的体积.解 截面为三角形，其面积为：ααtan 21tan 21)(2y y y x A =⋅⋅= 底圆的方程是222R y x =+)(tan 21)(22x R x A -=∴α，代入公式（7），得所求体积.tan 32)(tan 21)(322ααR dx x R dx x A V R R R R =-==⎰⎰--三、平面曲线的弧长设弧的两端B A ,，取分点B M M M M M M M A n n i i ==--,,,,,,,11210依次连折线，如分点无限增加，且每小段弧1i i M M -，缩为一点时，折线长∑=-11i i i M M n 的极限为曲线弧AB 的弧长. 定理 光滑曲线是可求长的.1 直角坐标情形设曲线弧的直角坐标方程为)(),(b x a x f y ≤≤=其中)(x f 在[]b a ,上具有一阶连续导数，取曲线弧上任一小区间[]dx x x +,对应的弧，可用曲线在点 [,()]x f x 处切线上相应一段长近似代替，即222()()1ds dx dy y dx '≈+=+，在闭区间[]b a ,上作定积分，得所求弧长dx y S ba ⎰'+=21例9 计算曲线2332x y =上x 从a 到b 的一段弧长. 解 21x y ='，)1(112x d x dx y S b a ba ++='+=⎰⎰＝.)1()1(32)1(32232323⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=+a b x ba 例10 求悬链线cx chc y ⋅=在[]b b ,-上的弧长. 解 由对称性，先计算[]b ,0的一段长，c x sh y =' dx c x sh S b⎰+=0212dx cx ch b ⎰=02 ＝02()2.b x x b cch d c sh c c c =⋅⎰ 2参数方程情形设曲线弧的参数方程是 βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==t t y t x ,)()( 其中)(),(t t ψϕ在[]βα,上具有连续导数，在相应[]βα,上任一区间[]dt t t +,的小弧段长度的近似值（弧微分）为dt t t dt t dt t dy dx ds )()())(())(()()(22222222ψϕψϕ'+'='+'=+=于是所求弧长 dt t t S ⎰'+'=βαψϕ)()(22例11 计算摆线⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (θθθa y a x 的一拱πθ20(≤≤)的长度.解 弧长元素θθθθθθθd a d a d a a ds 2sin2)cos 1(2sin )cos 1(2222=-=+-=所求弧长为 a a d a S 8)2cos 2(22sin22020=-==⎰ππθθθ 3极坐标情形设曲线弧由极坐标方程 βθαθ≤≤=),(r r 给出.由直角坐标与极坐标的关系，可 得βθαθθ≤≤⎩⎨⎧==,sin cos r y r x 22222222()()(cos sin )()(sin cos )()()().ds dx dy r r d r r d r r d θθθθθθθθθ'''=+=-++=+⋅这是以极角θ为参数的曲线弧的参数方程，从而所求弧长为:.)()(22θθθβαd r r S ⎰'+=复 习 题 A1 . （1）(3) 3.（2）（4）5.。
大学高等数学_10定积分的元素法分析以及在几何和物理上的应用
16
3
32 a 3 2 sin 6 u d u 32 0 2 3
5 a
5 3 1 a 6 4 2 2
机动
t t d t (令 u ) 2 2
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2a
绕 y 轴旋转而成的体积为
o
y
x x2 ( y ) x x1 ( y )
因此所求弧长
2
2
y
(P168)
ds
y f ( x)
s
b b
a a
2 1 y dx
o a
xxdx b x
1 f 2 ( x) d x
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(2) 曲线弧由参数方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx) 2 (d y ) 2
2 (t ) 2 (t ) d t
y
在第一象限所围
y2 x
2
(1,1)
Ad A 0
1
x x dx
o
y x2
x 1 x d x
x
1 3
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例2. 计算抛物线 y 2 x 与直线 y x 4 所围图形
2
的面积 . 解: 由 得交点
y
(2 , 2) , (8 , 4)
一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程
给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值
则曲边梯形面积
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例4. 求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
《高等数学》(同济六版)教学课件★第6章.定积分的应用
表示为
定积分定义
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二 、如何应用定积分解决问题 ?
第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量
近的似值
微分表达式
dU f (x) dx
第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的
精确值
积分表达式
b
U a f (x) dx
这种分析方法称为元素法 (或微元分析法 )
元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
第二节
第六章
定积分在几何学上的应用
一、 平面图形的面积
二、 平面曲线的弧长 三、已知平行截面面积函数的
立体体积
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例8. 求双纽线
所围图形面积 .
解: 利用对称性 , 则所求面积为
y
1 a2 cos2 d
2
π 4
π
a2 4 cos 2 d (2 ) 0
O
ax
a2sin 2 a2
π 4
思考: 用定积分表示该双纽线与圆 r a 2 sin
所围公共部分的面积 .
答案:
π
A 2 6 a2 sin2 d 0
y Mi1
A M0 O
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
(证明略)
Mi
B Mn x
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(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
1 y2 dx
因此所求弧长
高等数学 第六章定积分的应用习题课
A1
1 2d
02
2a2(2 cos )2d
0
a2 (4 4cos cos2 )d 9 a2 0
则所求的几何面积为 A 2 A1 18 a2
【例5】设由曲线
y
sin x (0
x
)，y
2
1
及x
0围成
平面图形A绕x 轴,y 轴旋转而成的旋转体的体积。
则绕直线 y
1 2
旋转而成
的旋转体的体积微元dV
就是矩形S1
分别绕直线 y
1 2
旋转而成的旋转体的体积。
解: (1) 确定积分变量和积分区间：
绕直线 y 1 旋转如图 ，
y
2
1
取 x为积分变量,则 x [0, ].
2
(2) 求微元：对 x [0, ],
2
[x, x dx] [0, ],
0
1 dy]
1 y2
[(arcsin1)2 2
1
(arcsin y)d(
1 y2 )]
0
3 [2
4
1 y2 arcsin y 2 y]10
3 2
4
通过例5，同样可求出绕平行于x 轴和平行于 y 轴的直线
旋转而成的旋转体的体积，见例6。
【例6】设由曲线 y sin x (0 x ), x 及 y 0围成
（2）求微元：因为过点 x 的截面为等边三角形（如图），
其边长为 2 4 x2 ,高为 2 4 x2 3 .
2
所以截面积为
A( x) 1 2 4 x2 2 4 x2 3
6-1定积分的元素法
（1） 总量在区间上具有可加性，即把区间 分成几个小区间时总量就等于各个小区间上 的局部量之和，
（2）局部量可用 f (i )xi 近似表示
它们之间只相பைடு நூலகம்一个xi 的高阶无穷小
不均匀量Ｕ就可以用定积分来求得
这是建立所求量的积分式的基本方法 分析其实质，不难将四步简化为两步 第一步 “分割取近似 ” 含“分”、“粗”两步即将区间分成子区间
上的局部量 U 的近似值
dU f (x)dx 这就是局部量的微元
Ⅱ。求积分
即把微元 dU 在区间 [ a , b ] 上
“无限积累”起来 相当于把 f ( x)dx
作积分表达式 求它在 [ a , b ] 上的定积分
b
即 U f ( x)dx
a
这就是微元法
第六章 定积分应用
上一章，已经系统地介绍了定积分的基本
理论和计算方法。在这一章中，将利用这些知 识来分析解决一些实际问题。定积分的应用很 广泛，在自然科学和生产实践中有许多实际问 题最后都归结为定积分问题。本章不仅对一些 几何物理量导出计算公式，更重要的是介绍运 用“微元法”将所求的量归结为计算某个定积 分的分析方法。
⑤会用定积分解决物理方面的实际问题。
第一节 定积分的微元法
通过对不均匀量（如曲边梯形的面积， 变速直线运动的路程）的分析，采用“分 割、近似代替、求和、取极限”四个基本 步骤确定了它们的值，并由此抽象出定积 分的概念，我们发现，定积分是确定众多 的不均匀几何量和物理量的有效工具。那 么，究竟哪些量可以通过定积分来求值呢？ 我们先来回顾一下前章中讲过的方法和步
骤是必要的。
设量Ｕ非均匀地分布 [ a ,b ]上 求Ｕ的步骤
分 用分点 a x0 x1 xn1 xn b 将
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利用椭圆的参数方程
o x xdx a x
应用定积分换元法得
4ab 2 sin2 t dt 0
4ab
1 2
2
a分的元素法及其应用
Remark on (例3)
一般地：当曲边梯形的曲边 y f ( x) ( f ( x) 0, x [a,b]
第六章 定积分的元素法及其应用
（5）设x ( y)在[c,d]上连续，( y) 0
则由曲线x ( y) ，直线 y c 、y d 及 y 轴所围成的平面图形的面积为
d
A c (y)d y
其中面积 A 的元素为 d A (y)d y ．
第六章 定积分的元素法及其应用
求由曲线
及
围成的曲边扇形的面积 .
在区间
上任取小区间
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
所求曲边扇形的面积为
x
第六章 定积分的元素法及其应用
例 4 求曲线 2a cos (a 0) 围成圆的面积.
解：因为 0 ，
y
所以 cos 0( π π)
于是得
x (y)
c
ox
第六章 定积分的元素法及其应用
例5 计算由椭圆
所围图形绕 x 轴旋转而
转而成的椭球体的体积.( 注意:“绕y 轴旋转”)
解: 方法1 利用直角坐标方程
则
2
b2 a2
a
(a
2
x2
)
dx
0
2
b2 a2
a2 x
1 3
x3
a 0
y b
o x ax
(利用对称性)
因此所求弧长
第六章 定积分的元素法及其应用
例8 求连续曲线段
的弧长.
解:
cos
x
0,
2
x
2
s
2
2
1 y2 dx
2 2 0
1 ( cos x)2 dx
2 2
2 cos x dx
0
2
2
2
2
sin
x 2
2
0
4
第六章 定积分的元素法及其应用
例9 计算摆线
2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
表示为
定积分定义
第六章 定积分的元素法及其应用
2. 如何应用定积分解决问题 ?
第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的
近似值
微分表达式
第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的
第六章 定积分的元素法及其应用
例 1 求直线 y x 与 y x2 所围成图形的面积.
解题步骤：
（1）画出函数的图形，
y
y x2
并求出交点. （2）求出微元素
dA
1
yx
d A [x x2 ]d x
（3）把微元素累加起来，取极限 得图形的面积——定积分.
O x1 x
x dx
第六章 定积分的元素法及其应用
第六章 定积分的元素法及其应用
一、定积分的元素法 二、定积分在几何学上的应用 三、定积分在物理学上的应用 四、思考与练习
第六章 定积分的元素法及其应用
一、定积分的元素法 1. 什么问题可以用定积分解决 ?
1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的 一个整体量 ;
解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为
x2 y2 R2
垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为
(R x R)
利用对称性
V 2 R 1 (R2 x2 ) tan d x
02
2 tan R2x 1 x3 R
30
y
x
R x
第六章 定积分的元素法及其应用
上连续,则对应于小区间
的体积元素为
因此所求立体体积为
A(x)
ax
bx
第六章 定积分的元素法及其应用
4. 旋转体的体积
y
(1) 设 y f ( x) C[a,b]
oa x x
轴旋转一周围成的立体体积时, 有
y f (x)
(2)设 x ( y) C[c, d]
y
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时, 有
第六章 定积分的元素法及其应用
例 2 求抛物线 y2 2x 与直线 x y 4 所围成的图 形的面积. 解题步骤：
（1）画出函数的图形，并求出交点. （2）求出微元素
（3）把微元素累加起来，取极限得图形的面积—— 定积分.
例3 求椭圆 解: 利用对称性 , 有
第六章 定积分的元素法及其应用
例4 抛物线 y2 2x 分圆x2 y2 8 的面积为两部分，
求这两部分面积.
第六章 定积分的元素法及其应用
2. 极坐标系下平面图形的面积
设由曲线 =( ) 及射线 =， = 围成的曲边扇 形，则曲边扇形面积为：
A 1[( )]2d
2
第六章 定积分的元素法及其应用
精确值
积分表达式
这种分析方法成为元素法 (或微元分析法) 元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等
第六章 定积分的元素法及其应用
二、定积分在几何学上的应用
1. 直角坐标系下平面图形的面积
（1）若函数 f (x) 在[a,b] 上连续且 f (x) 0，则由f ( x)，x a,
x b 及 x 轴所围成曲边梯形的面积 A =
b
f ( x)dx
a
第六章 定积分的元素法及其应用
（2）若函数 f (x) 在[a,b] 上连续且 则由f ( x) ，x a,
x b 及 x 轴所围成曲边梯形的面积 A = b f ( x) dx a
第六章 定积分的元素法及其应用
由参数方程给出
x y
(t (t
) )
如果x (t)适合( ) a,( ) b,(t)在以 ， 为端点的
区间上有连续的导数，则由曲边梯形的面积公式及换元法有：
A=
b
f ( x)dx
b
ydx
b
(t)(t)dt
a
a
a
第六章 定积分的元素法及其应用
（3）若函数 f (x) 、g(x) 在[a,b] 上连续，且 f (x) g(x) ，
则由曲线 y f (x) 、 y g(x) 及直线 x a 、 x b 所围
成的平面图形的面积为：A b f (x) g(x)d x a
其中面积 A 的元素为 d A f (x) g(x)d x ．
例10 求阿基米德螺线
0≤≤2 一段的弧长 .
相应于
解: ds r 2 ( ) r2 ( ) d a2 2 a2 d a 1 2 d
o
2 a x
r a
2
sa
1 2 d
0
a
2
1 2 1 ln
2
1 2
2
2. 证明由平面图形0 a x b, 0 y f ( x) 绕y轴旋转时所成立体的体积为：
b
V =2 a xf ( x)dx
第六章 定积分的元素法及其应用
5. 平面曲线的弧长
定义 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,当折线段的最大 边长 →0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 则称
0
第六章 定积分的元素法及其应用
内容小结
1. 掌握定积分的元素法，并会应用 元素法来解决一 些几何和物理方面的问题。
2. 定积分几何学上的应用 （1）平面图形面积（直角坐标系、极坐标和参数方程） （2）平行截面面积为已知的立体的体积（含旋转体） （3）平面曲线的弧长（三种形式）
思考: 可否选择 y 作积分变量 ?
此时截面面积函数是什么 ? 如何用定积分表示体积 ? 提示:
2x y tan 2 tan y R2 y2
y
o
(x, y)
R x
2 tan Ry R2 y2 dy 0
一题多解
第六章 定积分的元素法及其应用
例7 计算由曲面
所围立体(椭球体)
（6）若函数(y) 、 (y) 在[c, d] 上连续，且 (y) (y) ，
则由曲线 x ( y) 、 x (y) 及直线 y c 、
y d 所围成的平面图形的面积为
A
d
c
(
y)
(
y)
d
y
其中面积 A 的元素为 d A ( y) ( y)d y ．
第六章 定积分的元素法及其应用
(2) 曲线弧由参数方程给出:
弧长元素(弧微分):
2 (t) 2 (t) dt
因此所求弧长
第六章 定积分的元素法及其应用
(3)曲线弧由极坐标方程给出:
令 x r( )cos , y r( )sin , 则得
弧长元素(弧微分):
ds [x( )]2 [ y( )]2 d r 2 ( ) r2 ( ) d (自己验证)
0 t 2的一拱与直线y 0所围成的图形分别绕
x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积.
例9 计算曲线 y sin x相应于0 x 的一段与x轴所 围成图形分别绕x轴与y轴而成旋转体的 体积.